5.1.2垂线
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七年级数学（下册）
5.1.2垂线
费城中学 李晖
一、教学目标：
知识与技能：
1使学生掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，理解垂线的性质，掌握过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的结论
2.会用三角板或量角器过一点画一条直线的垂线。
过程与方法：
1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力.
2.了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.
情感态度与价值观：通过创设情境，激发学生学习兴趣，给学生创造成功的机会，体验成功的快乐。
二、教学重点: 两条直线互相垂直的概念、性质和画法.
三、教学难点：用垂直定义判断两条直线是否垂直及垂线的画法。
四、教学过程设计：
问题与情境设计 师生活动设计
情景引入 提出问题：1.如下图：（1）∠AOC的对顶角是哪个角？这两个角的关系是什么？（2）∠AOC的邻补角有几个？是哪几个角？ 2．当∠AOC＝90°，口答∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？直线AB、CD的位置关系怎样？学生回答完后，引入课题【板书】5.2.2垂线 因为对顶角、邻补角及对顶角的性质，是建立垂直概念的基础之上，所以在讲新课前要复习 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )巩固这些内容。教师 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )演示：转动直线CD的同时，用量角器量直线AB、CD相交所得的角，多变换几种位置一直转到使直线CD与AB所成的角有一个角∠AOC＝90°（如下图）
自主探究 探究活动一：.你能举出生活中常见的垂直关系的实例吗？你能试着给垂直下个定义吗？【板书】垂直定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。你能举出生活中常见的垂直关系的实例吗？探究活动二：垂直的记法、读法和判定归纳：直线垂直的记法读法：直线AB、CD互相垂直，记作“AB⊥CD”或“CD⊥AB”，读作“AB垂直于CD”，如果垂足为O，记作“AB⊥CD，垂足为O”（如图）．②垂直判定：∵∠AOC=90°，∴AB⊥CD（垂直的定义）．∵AB⊥CD（已知），∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．以上归纳实现数学的三大语言：文字语言，符号语言，几何语言之间的切换，并板书以突出其重要性。探究活动三垂线的画法及性质问题1：
（1）、用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？
（2）、经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
（3）、经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
画法：让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。
注意：如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上。通过画图，教师引导学生归纳结论：垂线的性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。问题2：如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，
A,B,C,……,其中 （我们称PO为点P到直线
l的垂线段）。比较线段PO、PA、PB、PC……的长短，这些线段中，哪一条最短？垂线的性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。问题3：什么叫点到直线的距离？思考：点A到直线DC的距离与点A到点C的距离有什么区别？ 提醒学生观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边,方格纸的横线和竖线……,思考这些给大家什么印象 小组成员间思考、讨论、交流。教师 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )根据学生回答情况，适当加以引导点拨，然后板书垂直的定义。通过举例，启发学生广泛联想，一方面让学生知道两直线垂直的概念是从实物中抽象出来的；另一方面使理论与实际相联系。学生活动 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )：让学生自己尝试学习，阅读 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )课本第3页的内容，然后师生间相互交流 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )．提醒学生注意：线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，特指它们所在的直线互相垂直。学生活动 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )：用∠AOD、∠BOD或∠BOC让学生重复练习正、反两步推理。让学生自己尝试学习，可充分发学生的积极性、主动性，对垂直定义做正、反两方面的推理可加深学生对定义的理解，一方面为了渗透符号推理格式，熟悉符号的使用；另一方面可加深学生对定义的理解，定义既可以作判定用，又可以当性质用． 学生先独立探索再组内交流，教师巡视指导。学生亲自动手操作，教师在巡视中及时指出、纠正学生发生的错误，训练学生以严谨的科学态度研究问题、解决问题。提出问题：（1）“过一点”包括几种情况？（2）“有且只有”是什么意思？学生思考并回答。有”表示存在，“只有”表示惟一。垂线的性质１放手让学生自己动手画图，总结，培养了学生动手，动脑，发现问题和解决问题的能力，达到能力培养的目标． 学生分小组测量，讨论，归纳。抽小组代表发言。探究性活动是《数学课程标准》的一个重要举措，并为培养学生的创新意识提供了一些机会。小组交流，一方面是为了加强对学生动手操作能力的培养，同时也培养了学生的合作意识和竞争意识，使学生更深入的得到结论。]教师总结归纳：只有线段PO最短，且当PO与l垂直时，才最短。刚才在问题2中探究得到了只有线段PO最短，且当PO与l垂直时，才最短。教师引导学生得出线段PO特征：P为直线外一点，O为过P向直线l所引的垂线的垂足，提高为：线段PO的长度就是点P到直线l的距离。从而得到了点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
学生先独立思考，然后在组内交流想法。通过交流，总结归纳：点A到直线DC的距离：线段AB的长度，A为直线外一点，B为过A向直线DC所引的垂线的垂足；点A到点C的距离：两点之间线段的长度。
尝试应用 1下列说法：①.两条直线互相垂直，则所有的邻补角都相等；②.一条直线不可能与两条相交直线都垂直；③.两条直线相交所成的四个角中，如果有三个角相等，那么这两条直线互相垂直；④直线外一点与直线上的一点间线段的长度是这一点到这条直线的距离。其中正确的有（）个 A.1 B.2 C.3 D.42如图所示，已知OA⊥OB,OC⊥OD,O为垂足，若∠BOC=∠1,则∠AOD为 3. 如图所示，直线AB、CD相交于点O，若∠EOD=40°，∠BOC=130°,那么射线OE与直线AB的位置关系是 4 如图所示：107国道a上有一出口M,想在附近公路b旁建一个加油站，欲使通道最短，应沿怎样的线路施工？ 2题图 3题图 4题图
补偿提高 1如图，直线AB、CD相交于O点，OE⊥AB,∠1=125°,求∠COE的度数2.在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD,当∠AOC=30°,∠BOD的度数是（） A. 60° B.120° C. 60°或90° D.60°或120°3.如图所示，O为直线AB上一点，∠AOC=1/3∠BOC,OC是角∠AOD的平分线，（1）求∠COD的度数（2）判断OD与AB的位置关系，并说明理由4如图，直线AB、CD相交于点O,OE⊥CD于点O,OD平分∠BOF,∠BOE=50°,求∠AOC、∠EOF、∠AOF的度数 1题图2题应提醒学生注意：此题有两种情况。3题图4题图
小结与作业 小结：这节课你有哪些收获？布置作业：（一）必做题课本第8页习题5.1第4、5题（二）选做题如图所示，OA⊥OB,OC⊥OD,OE是OD的反向延长线（1）∠AOC等于∠BOD吗？请说明理由。（2）若∠BOD=32°,求∠AOE的度数。 通过小结，帮助学生全面地理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )解掌握所学知识，使知识成为“体系”从而形成新的认知结构。让学有余力的学生进一步做选做题，目的是调动学生的学习和积极性，提高学生思维广度，培养学生良好的学习习惯和思维方式。
达标测评题（时间约5分钟，题目、题型要根据本节内容灵活把握）
1、 选择题
1画一条线段的垂线，垂足在 （ ）
A线段上 B.线段的端点 C线段的延长线上 D以上都有可能
2、 填空题
2如图所示，线段EO垂直于线段AB,AB与CD相交于点O，且∠2比∠1大50°，则线段
的长度叫做点E到AB的距离，∠AOC= 。
3如图：AB⊥CD于点O，直线EF过点O，若AOE=50°，则∠DOF= 。
三 解答题
4如图所示，已知OA⊥OB,OC⊥OD,若∠AOD=138°,求∠BOC的度数。
5如图：直线AB和射线OC交与点O,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.试判断OD与OE的位置关系。
附检测题答案：
1. D
2. OE、20度
3. 40°
4. 42°
5. 垂直
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七年级数学（下册）
5.1.2垂线
费城中学 李晖
一、教学目标：
知识与技能：
1使学生掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，理解垂线的性质，掌握过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的结论
2.会用三角板或量角器过一点画一条直线的垂线。
过程与方法：
1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力.
2.了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.
情感态度与价值观：通过创设情境，激发学生学习兴趣，给学生创造成功的机会，体验成功的快乐。
二、教学重点: 两条直线互相垂直的概念、性质和画法.
三、教学难点：用垂直定义判断两条直线是否垂直及垂线的画法。
四、教学过程设计：
问题与情境设计 师生活动设计
情景引入 提出问题：1.如下图：（1）∠AOC的对顶角是哪个角？这两个角的关系是什么？（2）∠AOC的邻补角有几个？是哪几个角？ 2．当∠AOC＝90°，口答∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？直线AB、CD的位置关系怎样？学生回答完后，引入课题【板书】5.2.2垂线 因为对顶角、邻补角及对顶角的性质，是建立垂直概念的基础之上，所以在讲新课前要复习 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )巩固这些内容。教师 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )演示：转动直线CD的同时，用量角器量直线AB、CD相交所得的角，多变换几种位置一直转到使直线CD与AB所成的角有一个角∠AOC＝90°（如下图）
自主探究 探究活动一：.你能举出生活中常见的垂直关系的实例吗？你能试着给垂直下个定义吗？【板书】垂直定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。你能举出生活中常见的垂直关系的实例吗？探究活动二：垂直的记法、读法和判定归纳：直线垂直的记法读法：直线AB、CD互相垂直，记作“AB⊥CD”或“CD⊥AB”，读作“AB垂直于CD”，如果垂足为O，记作“AB⊥CD，垂足为O”（如图）．②垂直判定：∵∠AOC=90°，∴AB⊥CD（垂直的定义）．∵AB⊥CD（已知），∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．以上归纳实现数学的三大语言：文字语言，符号语言，几何语言之间的切换，并板书以突出其重要性。探究活动三垂线的画法及性质问题1：
（1）、用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？
（2）、经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
（3）、经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
画法：让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。
注意：如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上。通过画图，教师引导学生归纳结论：垂线的性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。问题2：如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，
A,B,C,……,其中 （我们称PO为点P到直线
l的垂线段）。比较线段PO、PA、PB、PC……的长短，这些线段中，哪一条最短？垂线的性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。问题3：什么叫点到直线的距离？思考：点A到直线DC的距离与点A到点C的距离有什么区别？ 提醒学生观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边,方格纸的横线和竖线……,思考这些给大家什么印象 小组成员间思考、讨论、交流。教师 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )根据学生回答情况，适当加以引导点拨，然后板书垂直的定义。通过举例，启发学生广泛联想，一方面让学生知道两直线垂直的概念是从实物中抽象出来的；另一方面使理论与实际相联系。学生活动 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )：让学生自己尝试学习，阅读 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )课本第3页的内容，然后师生间相互交流 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )．提醒学生注意：线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，特指它们所在的直线互相垂直。学生活动 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )：用∠AOD、∠BOD或∠BOC让学生重复练习正、反两步推理。让学生自己尝试学习，可充分发学生的积极性、主动性，对垂直定义做正、反两方面的推理可加深学生对定义的理解，一方面为了渗透符号推理格式，熟悉符号的使用；另一方面可加深学生对定义的理解，定义既可以作判定用，又可以当性质用． 学生先独立探索再组内交流，教师巡视指导。学生亲自动手操作，教师在巡视中及时指出、纠正学生发生的错误，训练学生以严谨的科学态度研究问题、解决问题。提出问题：（1）“过一点”包括几种情况？（2）“有且只有”是什么意思？学生思考并回答。有”表示存在，“只有”表示惟一。垂线的性质１放手让学生自己动手画图，总结，培养了学生动手，动脑，发现问题和解决问题的能力，达到能力培养的目标． 学生分小组测量，讨论，归纳。抽小组代表发言。探究性活动是《数学课程标准》的一个重要举措，并为培养学生的创新意识提供了一些机会。小组交流，一方面是为了加强对学生动手操作能力的培养，同时也培养了学生的合作意识和竞争意识，使学生更深入的得到结论。]教师总结归纳：只有线段PO最短，且当PO与l垂直时，才最短。刚才在问题2中探究得到了只有线段PO最短，且当PO与l垂直时，才最短。教师引导学生得出线段PO特征：P为直线外一点，O为过P向直线l所引的垂线的垂足，提高为：线段PO的长度就是点P到直线l的距离。从而得到了点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
学生先独立思考，然后在组内交流想法。通过交流，总结归纳：点A到直线DC的距离：线段AB的长度，A为直线外一点，B为过A向直线DC所引的垂线的垂足；点A到点C的距离：两点之间线段的长度。
尝试应用 1下列说法：①.两条直线互相垂直，则所有的邻补角都相等；②.一条直线不可能与两条相交直线都垂直；③.两条直线相交所成的四个角中，如果有三个角相等，那么这两条直线互相垂直；④直线外一点与直线上的一点间线段的长度是这一点到这条直线的距离。其中正确的有（）个 A.1 B.2 C.3 D.42如图所示，已知OA⊥OB,OC⊥OD,O为垂足，若∠BOC=∠1,则∠AOD为 3. 如图所示，直线AB、CD相交于点O，若∠EOD=40°，∠BOC=130°,那么射线OE与直线AB的位置关系是 4 如图所示：107国道a上有一出口M,想在附近公路b旁建一个加油站，欲使通道最短，应沿怎样的线路施工？ 2题图 3题图 4题图
补偿提高 1如图，直线AB、CD相交于O点，OE⊥AB,∠1=125°,求∠COE的度数2.在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD,当∠AOC=30°,∠BOD的度数是（） A. 60° B.120° C. 60°或90° D.60°或120°3.如图所示，O为直线AB上一点，∠AOC=1/3∠BOC,OC是角∠AOD的平分线，（1）求∠COD的度数（2）判断OD与AB的位置关系，并说明理由4如图，直线AB、CD相交于点O,OE⊥CD于点O,OD平分∠BOF,∠BOE=50°,求∠AOC、∠EOF、∠AOF的度数 1题图2题应提醒学生注意：此题有两种情况。3题图4题图
小结与作业 小结：这节课你有哪些收获？布置作业：（一）必做题课本第8页习题5.1第4、5题（二）选做题如图所示，OA⊥OB,OC⊥OD,OE是OD的反向延长线（1）∠AOC等于∠BOD吗？请说明理由。（2）若∠BOD=32°,求∠AOE的度数。 通过小结，帮助学生全面地理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )解掌握所学知识，使知识成为“体系”从而形成新的认知结构。让学有余力的学生进一步做选做题，目的是调动学生的学习和积极性，提高学生思维广度，培养学生良好的学习习惯和思维方式。
达标测评题（时间约5分钟，题目、题型要根据本节内容灵活把握）
1、 选择题
1画一条线段的垂线，垂足在 （ ）
A线段上 B.线段的端点 C线段的延长线上 D以上都有可能
2、 填空题
2如图所示，线段EO垂直于线段AB,AB与CD相交于点O，且∠2比∠1大50°，则线段
的长度叫做点E到AB的距离，∠AOC= 。
3如图：AB⊥CD于点O，直线EF过点O，若AOE=50°，则∠DOF= 。
三 解答题
4如图所示，已知OA⊥OB,OC⊥OD,若∠AOD=138°,求∠BOC的度数。
5如图：直线AB和射线OC交与点O,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.试判断OD与OE的位置关系。
附检测题答案：
1. D
2. OE、20度
3. 40°
4. 42°
5. 垂直
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