§3.5 等比数列的前n项和
课时安排
2课时
从容说课
“等比数列的前n项和”是由一古典故事启发得出的一般求等比数列前n项和的思路。等比数列的前n项和公式的推导是这一节的难点，它是基于等比数列的“等比”特性的一种特殊求和方法。另外还需注意对公比q的讨论，从而得到等比数列的前n项和公式，对公式的理解与运用是本节的重点。
通过对本节的学习，要在了解等比数列前n项和公式的推导思路、过程之后，牢固掌握等比数列的前n项和公式，并能正确运用公式解决一些简单问题。
第一课时
●课 题
§3.5.1等比数列的前n项和(一)
●教学目标
（一）教学知识点
1.等比数列的前n项求和公式.
2.等比数列的前n项求和公式的推导及其思路.
（二）能力训练要求
1.会用等比数列求和公式进行求和.
2.灵活应用公式与性质解决一些相关问题.
（三）德育渗透目标
1.培养学生的综合能力.
2.提高学生的数学修养.
●教学重点
1.等比数列的前n项和公式.
2.等比数列的前n项和公式的推导.
●教学难点
灵活应用公式解决有关问题.
●教学方法
讲练结合法
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］前面我们一起学习有关等比数列的定义、通项公式及性质，分别是……
［生］(1)定义式：=q(n≥2，q≠0)
(2)通项公式：an=a1qn－1(a1,q≠0)
(3)性质：①a,G，b成等比数列G2=ab
②在等比数列{an}中，若m+n=p+q,则am·an=ap·aq
Ⅱ.讲授新课
［师］前面我们一起探讨了等差数列的求和问题，等比数列的前n项和如何求 下面我们先来看引言.
引言中提到的问题是这样的：求数列1，2，4，…，263的各项和.可看出，这一数列为一以a1=1,q=2的等比数列.这一问题相当于求此数列的前64项的和.
1.前n项和公式
一般地，设有等比数列a1,a2,a3…,an,…,它的前n项和是Sn=a1+a2+…+an.
刚才问题即为求：S64=a1+a2+…a64=1+2+4+…+263 ①
我们发现，若在①式两边同乘以2，则得
2S64=2+4+…+263+264 ②
由②－①可得：S64=264－1
同理可知，若Sn=a1+a2+a3+…+an
又∵在等比数列中，an=a1qn－1,∴a1+a1q+a1q2+…a1qn－2+a1qn－1,qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn－1+a1qn
不妨将上两式相减，可得(1－q)Sn=a1－a1qn
（1）当q=1,Sn=na1
（2）当q≠1时，Sn= ①
或Sn= ②
若已知a1,q,n，则选用公式①；当已知a1,q,an时，则选用公式②.
2.例题讲解
［例1］求等比数列1，2，4,…从第5项到第10项的和.
分析：等比数列的第5项到第10项可组成一新等比数列.
解法一：由1，2，4，…可知：a1=1,q=2
∴an=2n－1,∴a5=24=16,a10=29=512.
从第5项到第10项共有6项，它们的和为： =1008.
故从第5项到第10项的和为1008.
解法二：从第5项到第10项的和为：a5+a6+a7+a8+a9+a10=S10－S4,
由a1=1,q=2得：Sn=,
∴S10=210－1=1023
S4=24－1=15,S10－S4=1008.
故从第5项到第10项的和为1008.
［例2］一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人
分析：得知信息的人数可组成一以1为首项，公比为2的等比数列.
解：根据题意可知，获知此信息的人数依次为1，2，4，8，…是一以a1=1,q=2的等比数列.
一天内获知此信息的总人数为即为此数列的前24项之和S24=
答：一天时间可传遍224－1人.
评述：应先将所遇问题数学化，然后用有关知识加以解决.
Ⅲ.课堂练习
［生］(板演)课本P130练习1，2.(2)
1.根据下列各题中的条件，求相应的等比数列{an}的Sn:
解：（1）a1=3,q=2,n=6,
S6==189
(2)a1=2.4,q=－1.5,n=5,
S5==8.25
(3)a1=8,q=,an=,
Sn==15.
(4)a1=－2.7,q=－,an=,
Sn=.
2.(2)求等比数列,…从第3项到第7项的和.
解法一：由Sn=,及，q=÷= .
得S2=,
S7=
S7－S2=.
∴从第3项到第7项的和为
解法二：由a1=,a2=,得q=
∴an=a1·qn－1=·()n－1=,
∴a7=
从第3项到第7项的和为以为首项，q=的5项之和.
即.
∴从第3项到第7项的和为
Ⅳ.课时小结
等比数列求和公式：Sn=或Sn=(q≠1)及推导方法：错位相减法.是本节课应重点掌握的内容，课后应进一步熟练公式掌握其基本应用.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P131习题3.5 1；
（二）1.预习课本P129～P130
2.预习提纲：如何利用等比数列的通项公式及前n项求和公式解决有关问题
●板书设计
§3.5.1等比数列的前n项和(一)
1.公式
Sn=
=
(q≠1)
推导过程
2.例题讲解
网站：http://www.zbjy.cn 论坛：http://bbs.zbjy.cn 版权所有@中报教育网●备课资料
参考练习题
1.若数列{an}的前n项和为Sn=an－1(a≠0),则这个数列是
A.等比数列 B.等差数列
C.等比或等差数列 D.非等差数列
分析：若a=1,则Sn=0,∴an=0
则{an}为等差数列；若a≠1,则=a，
∴{an}为等比数列
答案：C
2.等比数列{an}中，若S6=91,S2=7,则S4为
A.28 B.32
C.35 D.49
分析：由Sn=,
得=7， ①
S6==91 ②
②÷①得：=13,即(q2)2+q2－12=0,∴q2=3
代入①得：,
∴S4=×(1－9)=28.
答案：A
3.数列{an}的通项公式为an=,若Sn=9,则n等于
A.9 B.10
C.99 D.100
分析：由an=
得Sn=－[(1－…+(=－1+
若Sn=9,即－1+=9,∴n=99
答案：C
4.使数列，…，…，前n项之积大于105，则自然数n值为
A.6 B.9 C.11 D.12
分析：由已知得：＞105，即＞105,
∴1+2+3+…+n＞55,＞55,解得n＞10
答案：C
5.已知两数的等差中项是10，等比中项是8，则以这两数为根的一元二次方程是
A.x2+10x+8=0 B.x2－10x+64=0
C.x2+20x+64=0 D.x2－20x+64=0
解：设两数为a,b,则a+b=20,ab=64
∴a,b为x2－20x+64=0的两根.
答案：D
6.在等比数列中，若S10=10,S20=30,则S30= .
解法一：由S10=a1+a2+…+a10=10,S20=a1+a2+…+a20=10+q10(a1+a2+…+a10)=(1+q10)·10=30
∴q10=2,q20=4,S30=S20+a21+…+a30=S20+q20(a1+a2+…a10)=70.
解法二：∵在等比数列中，∴S10,S20－S10,S30－S20成等比数列，
又S10=10,S20－S10=20,
∴S30－S20=40,
∴S30=40+S20=40+30=70.
答案：70
7.在正实数组成的等比数列中，若a4a5a6=3,则log3a1+log3a2+log3a8+log3a9= .
解：原式=log3a1a2a8a9
=log3(a4a6)2=2log3a4a6=4log3a5
又∵a4a5a6=a53=3,∴a5=
∴原式=4log3=4log3log33=.
答案：
8.在等比数列中，a1+a2+a3+a5=3,a6+a7+a8+a9+a10=9,则a11+a12+a13+a14+a15= .
分析：设等比数列{an}的公比为q,则a6+a7+a8+a9+a10=q5(a1+a2+a3+a4+a5)
即9=3q5,∴q5=3,q10=9
又a11+a12+a13+a14+a15=q10(a1+a2+a3+a4+a5)=9×3=27.
答案：27
9.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比数列，则= .
分析：∵a1,a3,a9成等比数列，∴（a1+2d）2=a1(a1+8d)
即a1=d,
∴.
答案：
10.数列1，2，3，…的前n项和为 .
分析：Sn=1+2+3+…+n=(1+)+(2+)+(3+)+…+(n+)
=(1+2+3+…+n)+( ++…+)==
=
答案：
11.已知等比数列中{an}：1，2，4，8，……，它的第n项为an，求a3n.
解：∵an=a1qn－1=2n－1,∴an=2n－1
∴a3n=23n－1
12.已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2(n=1,2,…),a1=1
(1)设bn=an+1－2an(n=1,2,…),求证{bn}是等比数列;
(2)设cn=(n=1,2,…),求证{cn}是等差数列；
（3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式.
解：（1）∵Sn+1=4an+2 ①
∴Sn+2=4an+1+2 ②
②－①得Sn+2－Sn+1=4an+1－4an(n=1,2,…)，即an+2=4an+1－4an
an+2－2an+1=2(an+1－2an)
∵bn=an+1－2an(n=1,2,…)
∴bn+1=2bn
由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列.
由S2=a1+a2=4a1+2,又a1=1,得a2=5
∴b1=a2－2a1=3,∴bn=3·2n－1
(2)∵cn= (n=1,2,…),∴cn+1－cn=
将bn=3·2n－1代入，得cn+1－cn=(n=1,2,…)
由此可知：数列{cn}是公差为的等差数列，c1== ,故cn=+
(3)∵cn=
∴an=2n·cn=(3n－1)·2n－2(n=1,2,…)
当n≥2时，Sn=4an－1+2=(3n－4)·2n－1+2.
由于S1=a1=1也适合于此式,∴前n项公式为Sn=(3n－4)·2n－1+2
●备课资料
参考练习题
1.数列{an}为正数的等比数列，它的前n项和为80，且前n项中数值最大的项为54，它的前2n项的和为6560，求此数列的首项和公比.
分析：利用等比数列的前n项和公式Sn=解题.
解：若q=1，则应有S2n=2Sn,与题意不合，故q≠1.
当q≠1时，由已知得：
由，得=82,
即q2n－82qn+81=0
得qn=81或qn=1(舍)
∴qn=81,故q＞1.
{an}的前n项中最大，有an=54.将qn=81代入①，得a1=q－1 ③
由an=a1qn－1=54,得a1qn=54q
即81a1=54q ④
由③④得a1=2,q=3
评述：在数学解题中还应有一个整体观念，如本题求出qn=81,应保留qn为一个整体求解方便.
2.已知数列{an}是等比数列，试判断该数列依次k项的和组成的数列{bn}是否仍为等比数列？
分析：应对{an}的公比q分类讨论.
解：设bn=a(n－1)k+1+a(n－1)k+2+…+ank,且数列{an}的公比为q
则当q=1时，b1=b2=…=bn=…ka1,
∴{bn}为公比是1的等比数列.
当q≠±1时，bn=
∴{bn}为公比是qk的等比数列.
当q=－1时，若k为偶数，则bn=0，此时{bn}不能为等比数列.
若k为奇数，数列{bn}为公比为－1的等比数列.
综上：当{an}的公比不为－1时，数列{bn}仍为等比数列；当{an}的公比为－1时，若k为偶数，则{bn}不是等比数列；当k为奇数时，数列{bn}为公比为－1的等比数列.
3.求数列1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…的前n项和Sn.
解：(1)a=0时，Sn=1;
(2)a=1时，Sn=n(n+1);
(3)a=－1时，Sn=
(4)a=±1;a≠0时，
Sn=.
4.数列{an}中，Sn=1+kan(k≠0,k≠1)
(1)证明数列{an}为等比数列；
（2）求通项an;
(3)当k=－1时，求和a12+a22+…an2.
分析：由于条件中涉及Sn与an的关系，因此，要考虑Sn－Sn－1=an(n≥2)的运用，然后回答定义.
（1）证明：∵Sn=1+kan ①
Sn－1=1+kan－1 ②
①－②得Sn－Sn－1=kan－kan－1(n≥2)
∴(k－1)an=kan－1, (常数)（n≥2），
∴{an}是公比为的等比数列.
（2）解：∵S1=a1=1+ka1,∴a1=
∴an=·()n－1=－
(3)解：∵{an}中a1=,q=,
∴{an2}为首项为（）2,公比为（）2的等比数列.
当k=－1时，等比数列{an2}的首项为，公比为
∴a12+a22+…+an2=
=
评述：应注意an=的应用.
5.已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.
解：设数列的公比为q，项数为2n
则,
得q(a1+a3+…+a2n－1)=170
∴q=2,
又∵=85,即=85
∴22n=256=28,∴2n=8
评述：在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及到a1,n,q,an,Sn5个量，其中a1和q是基本量，利用这两个公式，可知三求二.
6.等比数列{an}中，S4=1，S8=3，求a17+a18+a19+a20的值.
分析：关键是确定首项和公比.
解：设此数列的首项和公比为a1和q.
则
由②÷①得q4=2.
∴a17+a18+a19+a20=S20－S16==q16=24=16.
评述：在研究等比数列的问题中，要确定基本量a1和q,仍然离不开方程思想，在具体求解时，得到的方程往往是高次方程，因此，要注意优化与化简.
7.求（x+）2+(x2+)2+…+(xn+)2的值
分析：注意到（xn+）2=an=x2n++2,且{x2n}与{()2n}为等比数列，故可考虑拆项法.
解：Sn=(x2+x4+…+x2n)+(+…+)+
当x=±1时， Sn=n+n+2n=4n.
当x≠±1时，
Sn=+2n=
评述：在运用等比数列的求和公式时，要注意分析公比是否为1.
8.求数列2x2,3x3,4x4,…,nxn,…的前n项和.
分析：可以通过错位相减的方法转化为等比数列的求和问题.
解：（1）当x=0时，Sn=0.
(2)当x=1时，Sn=2+3+4+…+(n+1)= n(n+3).
(3)当x≠1时，Sn=2x2+3x3+4x4+…+(n+1)xn+1 ①
xSn=2x3+3x4+4x5+…+nxn+1+(n+1)xn+2 ②
①－②得：（1－x）Sn=2x2+x3+x4+…xn+1－(n+1)xn+2=
2x2+－(n+1)xn+2
∴Sn= ③
又当x=1时，Sn=0适合③
∴Sn=
评述：错位相减法是一种常用的重要的求和方法.
①
②
①
②
网站：http://www.zbjy.cn 论坛：http://bbs.zbjy.cn 版权所有@中报教育网第二课时
●课 题
§3.5.2 等比数列的前n项和(二)
●教学目标
（一）教学知识点
1.等比数列的前n项求和公式：
Sn= (q≠1),Sn=na1(q=1).
（二）能力训练要求
综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n项求和公式解决相关问题.
（三）德育渗透目标
提高学生分析、解决问题的能力.
●教学重点
进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.
●教学难点
灵活使用有关知识解决问题
●教学方法
讲练相结合
讲解思路，寻求规律，使学生通过练习加深理解.
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］前面我们学习了哪些有关等比数列的知识
［生］定义式：=q(q≠0,n≥2)
通项公式：an=a1qn－1(a1,q≠0)
若m+n=p+q,则am·an=ap·aq,
Sn= (q≠1)
Sn=na1,(q=1)
an=Sn－Sn－1(n≥2),a1=S1(n=1)
Ⅱ.讲授新课
［师］我们结合一些练习来看一下如何灵活应用它们.
［例1］求和：(x+(其中x≠0，x≠1，y≠1)
分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和.
解：当x≠0，x≠1，y≠1时，
(x+)+…+(xn+)
=(x+x2+…+xn)+( +…+)
=
=
［师］此方法为求和的重要方法之一：分组求和法.
［例2］已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3,S9,S6成等差数列，求证：a2,a8,a5成等差数列.
分析：由题意可得S3+S6=2S9，要证a2,a8,a5成等差数列，只要证a2+a5=2a8即可.
证明：∵S3,S9,S6成等差数列，∴S3+S6=2S9
若q=1,则S3=3a1，S6=6a1,S9=9a1，由等比数列中，a1≠0得S3+S6≠2S9，与题设矛盾
∴q≠1，∴S3=
且
整理得q3+q6=2q9，由q≠0得1+q3=2q6
又∵a2+a5=a1q+a1q4=a1q(1+q3)
∴a2+a5=a1q·2q6=2a1q7=2a8,
∴a2,a8,a5成等差数列.
评述：要注意题中的隐含条件与公式的应用条件.
［例3］某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)
分析：由题意可知，每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的产量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n项和.
解：设每年的产量组成一个等比数列{an},其中a1=5,q=1+10%=1.1,Sn=30
∴=30，
整理可得：1.1n=1.6
两边取对数，得nlg1.1=lg1.6，即：n=≈5
答：约5年内可以使总产量达到30万吨.
评述：首先应根据题意准确恰当建立数学模型，然后求解.
Ⅲ.课堂练习
［生］(板演)课本P131练习3，4
3.求和
解：（1）（a－1）+(a2－2)+…+(an－n)=(a+a2+…+an)－(1+2+…+n)
当a=1时，原式=n－
当a≠1时，原式=.
(2)(2－3×5-1)+(4－3×5-2)+…+(2n－3×5－n)=(2+4+…+2n)－3×(5-1+5-2+…+5－n)
=－3×.
评述：根据所求式的特点，选取恰当的求和方法，将其转化为等差或等比数列求和问题.
4.已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项的和，求证S7,S14－S7,S21－S14成等比数列，设k∈N*,Sk,S2k－Sk,S3k－S2k成等比数列吗？
解：（1）①当q=1时，S7=7a1,S14=14a1,S14－S7=14a1－7a1=7a1,S21－S14=21a1－14a1=7a1
∴S7,S14－S7,S21－S14为以7a1为首项，1为公比的等比数列.
②当q≠1时，S7=
=
S21－S14=
=
∴(S14－S7)2=
S7·(S21－S14)==
∴(S14－S7)2=S7·(S21－S14)
∴S7,S14－S7,S21－S14成等比数列.
[这一过程也可如下证明：
S14－S7=(a1+a2+…a14)－(a1+a2+…+a7)=a8+a9+…+a14=a1q7+a2q7+…+a7q7=(a1+a2+…+a7)q7=q7S7
同理，S21－S14=a15+a16+…+a21=a1q14+a2q14+…+a7q14=q14S7
∴S7,S14－S7,S21－S7为等比数列]
（2）①当q=－1且k为偶数时，Sk,S2k－Sk,S3k－S2k不是等比数列.
∵此时，Sk=S2k－Sk=S3k－S2k=0.
例如：数列1,－1,1,－1,…是公比为－1的等比数列，S2=0,S4－S2=0,S6－S4=0
②当q≠－1或k为奇数时，Sk=a1+a2+…ak=
S2k－Sk==
（或S2k－Sk=ak+1+…+a2k=a1qk+a2qk+…+akqk=qkSk）
S3k－S2k=
=
（或S3k－S2k=a2k+1+a2k+2+…+a3k=a1q2k+a2q2k+…+akq2k=q2kSk）
由(S2k－Sk)2=Sk(S3k－S2k),可得：Sk,S2k－Sk,S3k－S2k成等比数列.
评述：应注意等比数列中的公比q的各种取值情况的讨论，还易忽视等比数列的各项应全不为0的前提条件.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，应掌握等比数列的定义式、通项公式、性质以及前n项求和公式的灵活应用.利用它们解决一些相关问题时，应注意其特点.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P131习题3.5 4，5，6
（二）1.预习内容：课本P132
2.预习提纲：
（1）怎样数学建模
（2）怎样解决实际问题？
（3）收集有关分期付款的资料.
●板书设计
§3.5.2 等比数列的前n项和(二)
例1
例2
例3
复习回顾
an=a1qn－1(a1,q≠0)
Sn=
= (q≠1)
网站：http://www.zbjy.cn 论坛：http://bbs.zbjy.cn 版权所有@中报教育网
