第二课时
●课 题
§3.4.2 等比数列(二)
●教学目标
(一)教学知识点
1.等比中项概念.
2.等比数列定义及通项公式.
（二）能力训练要求
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.
2.深刻理解等比中项概念.
3.掌握等比数列的性质.
（三）德育渗透目标
1.提高学生的数学素质.
2.增强学生的应用意识.
●教学重点
1.等比中项的理解与应用.
2.等比数列定义及通项公式的应用.
●教学难点
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.
●教学方法
启发引导式教学法
启发引导学生自己发现知识，从而使学生掌握.
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上节课，我们主要学习了……
［生］等比数列定义：=q(q≠0，q≥2)，
等比数列通项公式：an=a1·qn－1(a1,q≠0)
Ⅱ.讲授新课
［师］根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质
［生］(1)若a，A，b成等差数列a=，A为等差中项.
［师］那么，如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，……
［生］则即，即G2=ab
［师］反之，若G2=ab,则，即a,G,b成等比数列
∴a,G,b成等比数列G2=ab (a·b≠0)
总之，如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.
即G=±,(a,b同号)
［师］另外，在等差数列中，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq，那么，在等比数列中呢？
由通项公式可得：am=a1qm－1，an=a1qn－1，ap=a1qp－1，aq=a1·qq－1
不难发现：am·an=a12qm+n－2，ap·aq=a12qp+q－2
若m+n=p+q,则am·an=ap·aq
［师］下面看应用这些性质可以解决哪些问题
［例1］在等比数列{an}中，若a3·a5=100,求a4.
分析：由等比数列性质，若m+n=p+q,则am·an=ap·aq可得
解：∵在等比数列中，∴a3·a5=a42
又∵a3·a5=100,∴a4=±10.
［例2］已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证{an·bn}是等比数列.
分析：由等比数列定义及通项公式求得.
解：设数列{an}的首项是a1,公比为p；{bn}的首项为b1,公比为q.
则数列{an}的第n项与第n+1项分别为a1pn－1,a1pn
数列{bn}的第n项与第n+1项分别为b1qn－1,b1qn.
数列{an·bn}的第n项与第n+1项分别为a1·pn－1·b1·qn－1与a1·pn·b1·qn，即为
a1b1(pq)n－1与a1b1(pq)n
∵=pq
它是一个与n无关的常数，∴{an·bn}是一个以pq为公比的等比数列.
特别地，如果{an}是等比数列，c是不等于0的常数，那么数列{c·an}是等比数列.
［例3］三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数.
解：设m,G,n为此三数
由已知得:：m+n+G=14,m·n·G=64，
又∵G2=m·n,∴G3=64,∴G=4,∴m+n=10
∴
即这三个数为2，4，8或8，4，2.
评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径.
Ⅲ.课堂练习
［生］(自练)课本P126练习4.
4.由下列等比数列的通项公式，求首项与公比.
（1）an=2n；（2）an=·10n
解：（1）由an=2n得a1=2,a2=22,∴q==2
(2)由an=·10n，得a1=,a2=25,∴q==10.
［生］（板演）课本P128练习5
5.（1）求45与80的等比中项；（2）已知b是a与c的等比中项，且abc=27,求b.
解：（1）由题意设45与80的等比中项为G，则G2=45×80,∴G=±60
(2)由已知得b2=ac,又∵abc=27,∴b=3
答案：（1）45与80的等比中项为60或－60；（2）b=3
Ⅳ.课时小结
本节主要内容为：(1)若a,G，b成等比数列，则G2=ab,G叫做a与b的等比中项.
(2)若在等比数列中，m+n=p+q,则am·an=ap·aq
Ⅴ.课后作业
（一）课本P127习题3.4 6，7，8
（二）1.预习课本P127～P128
2.预习提纲：
（1）等比数列前n项求和公式；
（2）如何推导等比数列的前n项求和公式
●板书设计
§3.4.2 等比数列(二)
1.定义
等比中项
（1）G2=aba、G、b成等比数列
（2）若m+n=p+q，则am·an=ap·aq
2.例题讲解
复习回顾
课时小结
网站：http://www.zbjy.cn 论坛：http://bbs.zbjy.cn 版权所有@中报教育网§3.4 等比数列
课时安排
2课时
从容说课
等比数列是又一特殊数列，它与前面我们刚刚所探讨过的等差数列仅有一字之差，所以我们可用比较法来学习等比数列的相关知识。在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上，牢固掌握等比数列的相关知识。
本节可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念。同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用性质。等比数列的概念及等比数列的通项公式是本节的重点。
通过对本节的学习，要深刻理解等比数列的概念，牢固掌握等比数列的通项公式，并要会用公式解决一些简单的问题。
第一课时
●课 题
§3.4.1 等比数列(一)
●教学目标
（一）教学知识点
1.等比数列的定义.
2.等比数列的通项公式.
（二）能力训练要求
1.掌握等比数列的定义.
2.理解等比数列的通项公式及推导.
（三）德育渗透目标
1.培养学生的发现意识.
2.提高学生创新意识.
3.提高学生的逻辑推理能力.
4.增强学生的应用意识.
●教学重点
等比数列的定义及通项公式.
●教学难点
灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问题.
●教学方法
比较式教学法
采用比较式数学法，从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、掌握与应用.
●教具准备
幻灯片一张：记作§3.4.1
1.等差数列定义：an－an－1=d(n≥2)(d为常数)
2.等差数列性质：（1）若a,A,b成等差数列，则A=,(2)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.(3)Sk,S2k－Sk,S3k－S2k…成等差数列.
3.等差数列的前n项和公式：Sn==na1+d
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容.（师生共同完成以下活动）
（打出幻灯片§3.4.1）
Ⅱ.讲授新课
［师］下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点
1，2，4，8，16，…，263; ①
5，25，125，625，…； ②
1，－，…； ③
［生］仔细观察数列，寻其共同特点.
对于数列①，an=2n－1;=2(n≥2)
对于数列②，an=5n;=5(n≥2)
对于数列③，an=(－1)n+1·=－ (n≥2)
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数.
［师］也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点.
1.定义
等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q (q≠0) 表示，即an∶an－1=q(q≠0)
如：数列①，②，③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，－.与等差数列比较，仅一字之差.
总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”.
注意：（1）公差“d”可为0；（2）公比“q”不可为0.
［师］等比数列的通项公式又如何呢
2.等比数列的通项公式
［师］请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一下等比数列的通项公式.
解法一：由定义式可得：a2=a1q,a3=a2q=(a1q)q=a1q2,a4=a3q=(a1q2)q=a1q3,…,an=an－1q=a1qn－1(a1,q≠0),n=1时，等式也成立，即对一切n∈N*成立.
解法二：由定义式得：(n－1)个等式
若将上述n－1个等式相乘，便可得：
，
即an=a1·qn－1(n≥2)
当n=1时，左=a1,右=a1，所以等式成立
∴等比数列通项公式为：an=a1·qn－1(a1,q≠0)
如：数列①,an=1×2n－1=2n－1(n≤64)
［生］写出数列②③的通项公式
数列②：an=5×5n－1=5n,数列③：an=1×(－)n－1=(－1)n－1与等差数列比较，两者均可用归纳法求得通项公式.
或者，等差数列是将由定义式得到的n－1个式子相“加”，便可求得通项公式；而等比数列则需将由定义式得到的n－1个式子相“乘”，方可求得通项公式.
［师］下面看一些例子：
［例1］培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）
分析：下一代的种子数总是上一代种子数的120倍，逐代的种子数可组成一等比数列，然后可用等比数列的有关知识解决题目所要求的问题.
解：由题意可得：逐代的种子数可组成一以a1=120,q=120的等比数列{an}.
由等比数列通项公式可得：an=a1·qn－1=120×120n－1=120n∴a5=1205≈2.5×1010.
答：到第5代大约可以得到种子2.5×1010粒.
评述：遇到实际问题，首先应仔细分析题意，以准确恰当建立数学模型.
［例2］一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
分析：应将已知条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式.
解：设这个等比数列的首项是a1,公比是q,
则：
②÷①得:q= ③
③代入①得：a1=,∴an=a1·qn－1=，8.
答：这个数列的第1项与第2项分别是和8.
评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.
Ⅲ.课堂练习
［生］（自练）课本P126练习1，2
1.求下面等比数列的第4项与第5项：
（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），……；（4）…….
解：（1）∵q==－3,a1=5
∴an=a1qn－1=5·(－3)n－1
∴a4=5·（－3）3=－135，
a5=5·（－3）4=405.
(2)∵q==2,a1=1.2
∴an=a1·qn－1=1.2×2n－1
∴a4=1.2×23=9.6,
a5=1.2×24=19.2
(3)∵q=÷
∴an=a1qn－1=
∴a4=,
a5=
(4)∵q=1÷
∴an=a1qn－1=
∴a4=.
2.(1) 一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项.
解：由题意得a9=,q=－
∵a9=a1q8,∴,
∴a1=2916
答：它的第1项为2916.
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.
解：由已知得a2=10,a3=20.在等比数列中
∵=q=2,
∴a1==5,a4=a3q=40.
答：它的第1项为5，第4项为40.
3.已知{an}是无穷等比数列，公比为q.
(1)将数列{an}中的前k项去掉，剩余各项组成一个新数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？
解：设{an}为a1,a2,…,ak,ak+1,…
则去掉前k项的数可列为：ak+1,ak+2,…,an,…
可知，此数列是等比数列，它的首项为ak+1,公比为q.
(2)取出数列{an}中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？
解：设{an}为：a1,a2,a3,…,a2k－1,a2k,…,取出{an}中的所有奇数项，分别为：a1,a3,a5,a7,…,
a2k－1,a2k+1,…
∵=q2(k≥1)
∴此数列为等比数列，这个数列的首项是a1,公比为q2.
(3)在数列{an}中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？
解：设数列{an}为：a1,a2,…,an,…
每隔10项取出一项的数可列为：a11,a22,a33,……
可知，此数列为等比数列，其公式为：.
评述：注意灵活应用等比数列的定义式和通项公式.
Ⅳ.课时小结
［师］本节课主要学习了等比数列的定义，即=q(q≠0，q为常数，n≥2)
等比数列的通项公式：an=a1·qn－1(n≥2)及推导过程.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P127习题3.4 1
（二）1.预习内容：课本P125～P126
2.预习提纲：
（1）什么是等比中项 （2）等比数列有哪些性质 （3）怎样应用等比数列的定义式、通项公式以及重要性质解决一些相关问题.
●板书设计
§3.4.1 等比数列(一)
1.定义
2.通项公式推导
an=a1qn－1（a1,q≠0）
3.例题
①②
①
②
…
n－1
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参考练习题
1.数列{an}的前n项之和是Sn=an+b(a、b为常数且a≠0,1),问数列{an}是等比数列吗？若是，写出通项公式；若不是，说明理由.
分析：利用等比数列的定义解题.
解：a1=S1=a+b,当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(a－1)an－1，
又a1=(a－1)·a0=a－1,
∴若a－1≠a+b，即b≠－1时，显然数列{an}不是等比数列.
若a－1=a+b,即b=－1时，由an=(a－1)an－1(n≥1),得(n≥2)，
故数列{an}是等比数列.
2.已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn=pn,那么数列{an}是
A.等比数列 B.当p≠0时为等比数列
C.当p≠0，p≠1时为等比数列 D.不可能为等比数列
答案：D
3.已知等比数列x,－,y,－,…,求x,y.
答案：x=,y=
4.已知数列{an}是等比数列，首项为a1,公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第t,k,p项，求数列{an}的通项公式.
分析一：先从等比数列入手解决问题.
解法一：设符合题设的等比数列{an}中的连续三项为am,am+1,am+2，则：
am+1=amq,am+2=am+1q,(q为公比)
两式相减，得q=
又am+1=am+(k－t)d,即am+1－am=(k－t)d
同理am+2－am+1=(p－k)d(d为公差）,故q=
∴所求通项公式为：an=a1()n－1.
分析二：先从等差数列入手解决问题.
解法二：设等差数列为{bn}，公差为d,
则
由题设知，bt,bk,bp是等比数列{an}中的连续三项，故q=
利用等比定理，可得：
∴q=,an=a1()n－1.
5.已知数列{an}为等比数列，a1+a3=10,a4+a6=,求a4的值.
分析：要求a4可以先求an，这样求基本量a1和q的值就成了关键，结合条件考虑运用方程思想解决.
解：设此数列的公比为q,由已知得：
由a1≠0，1+q2≠0,②÷①得，q3=q=a1=8.a4=a1q3=8×=1.
评述：本题在求基本量a1和q时，运用方程思想把两个方程相除达到消元的目的，此法应重视.
6.公差不为0的等差数列{an}中，a2,a3,a6,依次成等比数列，则公比等于
A. B.
C.2 D.3
解：设an=a1+(n－1)d,∴a2=a1+d,a3=a1+2d,a6=a1+5d
又∵a32=a2·a6, 即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d)，∴d=－2a1,
∴=3.
答案：D
●备课资料
参考练习题
1.已知数列{an}为等比数列，且an＞0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于
A.5 B.10
C.15 D.20
分析：要确定一个等比数列，必须有两个独立条件，而这里只有一个条件，故用先确定基本量a1和q，再求a3+a5的方法是不行的，而应寻求a3+a5整体与已知条件之间的关系.
解法一：设此等比数列的公比为q，由条件得a1q·a1q3+2a1q2·a1q4+a1q3·a1q5=25
即a12q4(q2+1)2=25,又an＞0,得q＞0,
∴a1q2(q2+1）=5
a3+a5=a1q2+a1q4=a1q2(q2+1)=5,
解法二：∵a2a4+2a3a5+a4a6=25
由等比数列性质得a32+2a3a5+a52=25
即(a3+a5)2=25,又an＞0,∴a3+a5=5
评述：在运用方程思想方法的过程中，还要注意整体观念，善于利用等比数列的性质，以达到简化解题过程、快速求解的目的.
2.有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.
解：设所求的四个数分别为a,x－d,x,x+d,
则
解得x=4,代入①②得,解得
故所求四个数为25，－10，4，18或9，6，4，2.
3.在数列{an}和{bn}中，an＞0,bn＞0，且an,bn,an+1成等差数列，bn,an+1,bn+1成等比数列，a1=1,b1=2,a2=3，求an∶bn的值.
分析：关键是求出两个数列的通项公式.根据条件，应注意两个数列之间的联系及相互转换.
解：由题意知：
∴an+1=,
an=(n≥2)
代入①得2bn=
即2(n≥2)
∴{}成等差数列，设公差为d
又b1=2,b2=，
∴d=
∴,当n≥2时，an=③，且a1=1时适合于③式，故.
评述：对于通项公式有关系的两个数列的问题，一般采用消元法，先消去一个数列的项，并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形，构造一个新的数列.
4.设x＞y＞2,且x+y,x－y,xy,能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.
分析：先由x＞y＞2,可知x－y＜x+y＜xy,下来只需讨论和x－y的大小关系，分成两种情况讨论.
解：∵x＞y＞2,x+y＞x－y,xy＞x+y,
而＜1＜x－y，
当＜x－y时，由,x－y,x+y,xy顺次构成等比数列.
则有,
解方程组得x=7+5,y=5+,
∴所求等比数列为.
当＞x－y时，由x－y,,x+y,xy顺次构成等比数列
则有
解方程组得y=,这与y＞2矛盾，故这种情况不存在.
5.有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.
分析一：从后三个数入手.
解法一：设所求的四个数为,x－d,x,x+d,根据题意有：
,
解得
∴所求四个数为3，6，12，18或.
分析二：从前三数入手.
解法二：设前三个数为,x,xq,则第四个数为2xq－x.
依题设有,
解得
故所求的四个数为3，6，12，18或.
分析三：从首末两项的和与中间两项的和入手.
解法三：设欲求的四数为x,y,18－y,2－x,由已知得：
解得
∴所求四数为3，6，12，18或.
6.在等比数列中，a1=1,q∈R且|q|≠1，若am=a1a2a3a4a5，则m等于
A.9 B.10
C.11 D.12
分析：∵am=a1a2a3a4a5=a15q1+2+3+4=a15q10=a15q11－1
又∵a1=1,∴am=q11－1,∴m=11.
答案：C
7.非零实数x、y、z成等差数列，x+1、y、z与x、y、z+2分别成等比数列，则y等于
A.10 B.12
C.14 D.16
分析：由已知得
答案：B
①②
①
②
③
①
②
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