●备课资料
一、椭圆简单几何性质的学习
利用椭圆的方程去讨论椭圆的性质，这种利用曲线的方程研究曲线的性质的方法，我们还是第一次遇到，所以，在教学中我们不仅要注意对研究结果的掌握和运用，而且还要对学生进行这种研究方法的思想渗透.
椭圆几何性质的简单应用
［例1］已知椭圆mx2+5y2=5m的离心率e=，求m的值.
分析：依题意，只有m＞0且m≠5时，方程才表示椭圆，又不能确定焦点位置，应分类讨论.
解：由已知可得椭圆方程为(m＞0且m≠5)
当焦点在x轴上，即0＜m＜5时，有a=，
则c=，依题意得
解得：m=3
当焦点在y轴上，即m＞5时，有a=，
则c=，依题意得
解得：m=
评述：本题中曲线类型所隐含的条件：m＞0且m≠5，不能忽视.
［例2］若椭圆的离心率是，求m的值.
分析：比较此题与上一个题目（即例1）的相同点与不同点，m所满足的条件是什么？焦点位置能确定吗？请读者试探索.
［例3］F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，PF1⊥PQ且|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率.
分析：利用椭圆的定义列出a、b、c三者间的关系
解：设|PF1|=m,
则|PQ|=m,
|F1Q|=m
由椭圆定义得
|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|=2a
∴|PF1|+|PQ|+|F1Q|=4a
即（+2）m=4a
∴m=(4-2)a
又|PF2|=2a-m=(2-2)m
在Rt△PF1F2中，
|PF1|2+|PF2|2=(2c)2
即(2-2)a2+(4-2)2a2=4c2
∴=9-6=3(-1)2
∴e=
二、曲线图形的画法
在利用椭圆的方程研究了椭圆的性质，即范围、对称性、顶点、离心率，这些性质给我们作曲线的图形奠定了基础，同时也为我们作曲线的图形提供理论依据.
［例4］作方程3y=2的图象.
分析：由原方程可变为：
9y2=4(9-x2)
即 ①
∵3y=2
∴y≥0, ②
9-x2≥0 ③
由①②③得：
(-3≤x≤3,y＞0)
∴方程所表示的图形应该是椭圆的上半部分，如上图.
［例5］作方程=-x的图象.
分析：由原方程可知
将原方程变形得
x2+(x≤0,-≤y≤)
∴方程所表示的图形应该是椭圆的左半部分.
请读者自己作出以上方程所表示的图形.
评述：曲线上的点的坐标是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点是曲线上的点，如果满足以上两条，我们说，这个方程叫曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线，故由曲线的方程的定义可以知道，如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P（x0,y0）在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0,在作方程的曲线时，我们应该遵循以上原则.
●备课资料
一、熟练掌握椭圆“准线”这一性质
1.教学椭圆的准线时，要注意些什么？
答：（1）使学生弄清椭圆与它的两条准线的位置关系，两条准线垂直于椭圆的长轴所在的直线，椭圆夹在两条准线之间，两条准线关于椭圆的短轴所在的直线与椭圆中心对称.
（2）使学生巧记准线方程，首先记住准线与椭圆中心的距离是，再根据准线的位置写出准线方程.
（3）使学生掌握准线的性质，椭圆上任何一点到焦点距离与它到相应准线的距离之比等于离心率e,且0＜e＜1.
(4)掌握焦点到相应准线的距离叫焦准距.记作p，且p=-c=.
2.准线的简单应用
［例1］方程表示准线平行于x轴的椭圆，求实数m的取值范围.
解：∵方程表示椭圆且准线平行于x轴
∴
解之得
∴所求实数m的取值范围是(-∞,0)∪(0,)
评述：此题分析时一定要注意曲线本身所隐含的m的范围，即m≠0且m≠1，若分析不周密，将会导致错误发生.
［例2］已知椭圆两准线间距离等于这个椭圆的焦距的两倍，求椭圆的离心率.
解：∵e=
∴±
∴椭圆的两准线之间距离为
而焦距2c=2ae
∴由题意，得=4ae
∴e=
评述：此题的求解过程仅是基本量之间的关系，与椭圆方程无关，因此没有必要再考虑，椭圆的方程是个什么样子了.
［例3］若椭圆的准线方程是x=±,求实数m的取值范围，并写出此椭圆的焦点坐标与离心率的大小.
解：∵方程表示椭圆
∴m＞0
∵椭圆准线方程为x=±
∴椭圆的焦点在x轴上
∴5＞m
∴a2=5,b2=m,c=
∴
∴m=3,焦点坐标是(±,0).
离心率是e=
评述：此题既要定性地去思考椭圆焦点所在的坐标轴，又要定量地去确定其中的a、b、c的值，另外，整个求解过程用到了方程思想确定m的值.
二、深化掌握椭圆标准方程的求法
［例4］求中心在原点，长轴在x轴上，一条准线方程是x=3,离心率为的椭圆方程.
解：设椭圆方程为(a＞b＞0)，根据已知有 ①
∵=3 ②
由①②联立解得a=,c=
∴b2=a2-c2=5-()2=
∴所求的椭圆方程为：
评述：此题关键仍是两个过程，即实现“定位”与“定量”.
［例5］若椭圆对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为-1，求椭圆的标准方程.
分析：将已知转化成a、b、c之间的关系.
解：∵焦点到同侧长轴端点的距离为-1
∴a-c=-1
又∵焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点
∴b=c
∴由得a=,b=c=1
∴所求方程为
［例6］求焦点F（0，5），截直线y=2x-1所得弦中点的横坐标是的椭圆标准方程.
分析：由焦点坐标可设出椭圆标准方程的形式，由于被直线所截得弦的中点坐标知道，可用中点坐标公式解题.
解：设所求椭圆方程为(a＞b＞0)
∴c=5,
即a2-b2=50 ①
将y=2x-1代入椭圆方程中得
∴(4b2+a2)x2-4b2x+b2(1-a2)=0
∵
∴a2=75，b2=25
∴所求椭圆方程为
评述：本题的难点是如何将中点坐标、原点斜率知识重新组合起来，以上方法是一种常规解法，本题若能设出弦的两端点坐标代入椭圆方程中，两式相减即能找到中点坐标与直线斜率间的关系式子.解法如下：
解：设所求椭圆为：(a＞b＞0)
再设直线被椭圆所截端点A（x1,y1）,B(x2,y2)
由题意可得弦AB中点坐标为( ， )且,
将A、B两点坐标代入椭圆方程中得
a2x12+b2y12=a2b2 ①
a2x22+b2y22=a2b2 ②
①-②得
a2(x12-x22)=-b2(y12-y22)
即
=-2· ③
又c2=a2-b2=50 ④
由③④得a2=75,b2=25
故所求椭圆方程为
评述：后一种解法给我们简洁方便的感觉，对交点采用了“设而不求”的方法，这是解决解析几何中与弦中点坐标，弦所在直线斜率有关的问题常用的解法技巧.
三、椭圆比值定义（第二定义）的应用
［例7］椭圆的方程为上有一点P，它到椭圆的左准线的距离等于10，求点P到它的右焦点的距离.
解：∵a2=100,b2=6
∴c=
∴e==
依椭圆第二定义，设P点到椭圆左焦点的距离为x，则
∴x=6
∴点P到椭圆右焦点距离为2×10-6=14
评述：椭圆第二定义的巧妙运用可以使题目化繁为简，熟练掌握椭圆第二定义灵活地将它应用到解题当中，是我们在教学中的重要训练对象.
［例8］已知定点A（-2，），点F为椭圆的右焦点，点M在该椭圆上移动时，求|MA|+2|FM|的最小值，并求出此时点M的坐标.
分析：设M（x,y），则有
由②可将y用x表示出来，将其代入①，则式子|MA|+2|FM|可转化成一个关于x的一元函数，再求其最小值.
以上解法，思路可行，计算量却很繁琐，不妨换一种思考方法.
解：∵a=4,b=2,c=2
∴e=
右焦点F（2，0），右准线方程l:x=8
设点M到右准线l的距离为d，
则
得2|MF|=d
∴|MA|+2|MF|=|MA|+d
由于点A在椭圆内，过A作AK⊥l，K为垂足，易证|AK|为|MA|+d的最小值，其值为8+2=10
∵M点的纵坐标为，得横坐标为2
∴|MA|+|2MF|的最小值为10，点M的坐标为（2，）
评述：（1）以上解法就是椭圆第二定义的巧用，将问题转化成点到直线的距离去求，就可以使题目变得简单易解了.
（2）一般地，如果遇到一个定点到定直线问题应联想到椭圆第二定义.
［例9］设P（x0,y0）是离心率为e的椭圆，方程为上的一点，P到左焦点F1和右焦点F2的距离分别为r1和r2.
求证：r1=a+ex0,
r2=a-ex0
证明：由椭圆第二定义，得
∴|PF1|=e=e
∴|PF1|=a+ex0
又
∴|PF2|=e=e
∴|PF2|=a-ex0
注意：|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0，称为(x0,y0)点椭圆的焦半径，焦半径公式在解题中的作用应引起我们广大师生的注意.
［例10］已知椭圆，过左焦点F作倾斜角为30°的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长.
解法一：∵a=3,b=1,c=2
∴F(-2,0)
∴直线方程为y=
与联立消元，得
4x2+12x+15=0 ①
设A（x1,y1）,B(x2,y2)则依韦达定理，得
x1+x2=-3,x1x2=
∴|AB|=
∴|AB|=2
解法二：由于所求线段AB是椭圆的“焦点弦”，故也可用“焦半径”公式计算：
|AB|=|AF|+|BF|=2a+e(x1+x2)=2
评述：一般地，遇到点到椭圆焦点的距离问题，可采用“焦半径”公式处理.
●备课资料
一、椭圆参数方程的深入探究
1.教学椭圆的参数方程时，要注意些什么？
答：①使学生弄清椭圆参数方程的来源，明确椭圆的参数方程，是表示椭圆的又一种方程，它是相对于直接给出曲线上动点的坐标x,y的关系的普通方程而言的，是一种通过第三个量中间接表示x,y之间关系的形式.
②熟练掌握椭圆参数方程与标准方程的关系，做到互化并灵活应用.
2.椭圆的参数方程在证明问题中的应用
［例1］设A（x1,y1）为椭圆上一点，过A作一条斜率为-的直线l，又设d为原点到直线l的距离，r1,r2分别是A点到椭圆两焦点的距离，求证：·d为常数.
分析：可利用椭圆参数方程.
证明：设椭圆参数方程为：
(θ为参数)
∵A(x1,y1)在椭圆上
∴
∴直线l的方程为：
cosθ1·x+2sinθ1·y-2=0
∴d=
∴(常数)
∴得证
注意：由于本题涉及到椭圆上一点到焦点的距离问题，所以可使用“焦半径”公式进行推理和运算，请读者自行完成.
［例2］AB是椭圆=1的任意一条弦，P为AB的中点，O为椭圆的中心.
求证：kAB·kOP为定值.
证明：设A、B两点坐标分别为(acosθ,bsinθ)(acosφ,bsinφ)
∵P(x,y)是AB的中点
∴x=(cosθ+cosφ)
y=(sinθ+sinφ)
∴kAB=
kOP=
∴kAB·kOP=
∵sin2θ-sin2φ=1-cos2θ-1+cos2φ=-(cos2θ-cos2φ)
∴kAB·kOP=-
3.椭圆的参数方程在与椭圆有关的最值问题中的应用.
［例3］若实数x,y满足=1，试求：v=y-3x的最大值.
解：设椭圆上一点的坐标为(4cosθ,5sinθ)，则
v=y-3x=5sinθ-12cosθ=13sin(θ－φ)(arctan=φ)
∴当θ=+φ时，vmax=13.
评述：(1)本题是利用椭圆的参数方程设出动点坐标，再运用三角函数式的变换，通过讨论三角函数式的最值而得解的.
(2)以上方法让我们体会到了巧用椭圆参数方程所带给我们的简单和明快.
［例4］已知x,y满足，求
f(x,y)=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值.
解：将=1转化成参数方程
即
∴f(x,y) =(x2+4y2)+(2xy+x+2y)
=4+(2·2cosθsinθ+2cosθ+2sinθ)
=4cosθsinθ+2(cosθ+sinθ)+4
令t=cosθ+sinθ
则2sinθcosθ=t2-1
∴f(x,y)=2(t2-1)=2t+4=2(t2+t+1)
∵t=cosθ+sinθ=sin(θ+)≤
∴f(x,y)有最大值为:
2［()2++1］=2(3+)
评述：运用椭圆的参数方程于求最值问题中，其解法的巧妙简单令人陶醉，数学中一定要注重培养学生的技巧能力.
二、椭圆中最大值、最小值问题的常用方法
解决与椭圆有关的最值问题除可利用椭圆的参数方程外，以下几种方法也是常用的.
［例5］已知x,y∈R,且x,y满足方程x2+4y2=1，试求f(x,y)=3x+4y的最大值、最小值.
分析：将所求f(x,y)=3x+4y经过令z=f(x,y)变形为y=，而是直线在y轴上的截距，再根据A(x,y)是x2+4y2=1上的点，故可采用判别式法去解决.
解：
①代入②中，得
13x2-6zx+z2-4=0
∴Δ=36z2-4×13(z2-4)≥0
∴-≤z≤
∴3x+4y的最大值为，最小值为-.
注意：直线-3x±=4y是椭圆的斜率为-的两条切线.
［例6］已知椭圆x2+2y2=98及点P（0，5），求点P到椭圆距离的最大值与最小值.
分析：以（0，5）为圆心，内切于椭圆的圆半径为r1，即点P到椭圆的最小值，以（0，5）为圆心外切于椭圆的圆的半径为r2,即点P到椭圆的最大值.
解：∵02+2×52＜98
∴点（0，5）在椭圆内部
设以（0，5）为圆心和椭圆相切圆的方程为：
x2+(y-5)2=r2 ①
将椭圆方程x2+2y2=98代入①中，得
r2=-(y+5)2+148(-7≤y≤7)
∴当y=-5时，rmax2=148
即：rmax=2
当y=7时，rmin2=4，
即rmin=2
注意：本题的解法称为辅助圆法.
●备课资料
参考练习题
1.设0≤a＜２π,若方程x2sina-y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，则a的取值范围是 （ ）
A.(, ) B.(, )
C.(,) D.(,π)
答案：C
2.方程(a＞b＞0,k＞0且k≠1)，与方程(a＞b＞0)表示的椭圆 （ ）
A.有等长的短轴、长轴
B.有共同的焦点
C.有公共的准线
D.有相同的离心率
答案：D
3.中心在原点，焦点在x轴上，焦距等于6，离心率等于，则此椭圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
4.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )
A.-16＜m＜25 B.＜m＜25
C.-16＜m＜ D.m＞
答案：B
5.椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0,)(0,2)，则此椭圆的方程是 （ ）
A.或 B.
C. D.
答案：C
6.若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点坐标是（0，4），则实数k的值是 （ ）
A.- B. C.- D.
答案：D
7.若椭圆的两焦点把两准线间的距离等分成三份，则椭圆的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
答案：C
8.中心在原点，长轴长是短轴长的2倍，一条准线方程是x=4，则此椭圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
9.椭圆的离心率e=[SX()1[]2[SX]]，则k的值等于（ ）
A.4 B.-
C.4或- D.-4或
答案：C
10.椭圆的焦点F1（0，6），中心到准线的距离等于10，则此椭圆的标准方程是______.
答案：
11.动点P到定点F（2，0）的距离与到定直线x=8的距离比是1∶2，则此点P的轨迹方程是______.
答案：
12.椭圆的短轴长等于2，长轴与短轴端点间的距离等于，则此椭圆的标准方程是______.
答案：
3.椭圆的一个顶点和一个焦点在直线x+3y-6=0上，则此椭圆的标准方程是______.
答案：或
14.椭圆的准线方程是y=±18,椭圆上一点到两焦点的距离分别是10和14，则椭圆的标准方程是______.
答案：
15.椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间距离等于36，椭圆上一点到两焦点的距离分别是9，15时，则此椭圆的方程是______.
答案：或
16.直线y=x+k与椭圆相交于不同两点，则实数k的取值范围是______.
答案：k∈(-3,3)
17.设椭圆(a为参数)上一点P与x轴正向所成角∠POx=，则点P的坐标是______.
答案：（）
18.设AB是过椭圆的一个焦点F的弦，若AB的倾斜角为,则AB的弦长是 .
答案：
备课资料
参考练习题
1．已知椭圆=1(a>O,b>0)的离心率e=，过点A(0，-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为．
(1)求椭圆方程．
(2)已知定点E(-1,0)，若直线y=kx+2(k≠O)与椭圆交于C、D两点，试判断：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过点E 若存在，求出这个值；若不存在．说明理由．
解：(1)e=，
∴
即a2=3b2,
过A（0，-b）,B(a,0)的直线为
把a=b代入，即x-y-b=0．
由已知，得
解得b=1．
∴a=．
∴所求方程为等．
(2)设C(x1,y1)，D(x2,y2)．
解
消去y，得
(1+3k2)x2+12kx+9=O．
必须l+3k2≠O且△>O，
即(12k)2-36(1+3k2)>0．
∴k<-1或k>1． ①
要存在k的值使以CD为直径的圆过点E．即要使CE⊥DE，即要使k满足①且使即要使xlx2+xl+x2+1+yly2=O． ②
∵yl=kx1+2，y2=kx2+2，
∴②式即(1+k2)xlx2+(2k+1)(xl+x2)+5=0． ③
∵x1+x2=
代入③得
9k2+9-24k2-12k+5+15k2=0，
∴k=.
又∵k=满足①.
∴存在k的值使以CD为直径的圆过E点，这个k值是.
2．试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对椭圆C1：=1(a>b>O)上任意一点P，均存在以P为顶点与圆C0:x2+y2=1外切且与C1内接的平行四边形？证明你的结论.
(提示：“当且仅当”型的条件探索问题，是要寻找充要条件，因此要分别证明必要性
和充分性)
解：如图所示，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心，所求条件为
必要性的证明：
设椭圆C1上任意一点P(r1cosθ，r1sinθ)，所以有Q(r2cos(θ+)，r2sin(θ+))，
其中|OP|=r1,|OQ|=r2,代入椭圆方程中，得
又菱形PQRS与单位圆C0外切，所以Rt△POQ斜边PQ上的高h=1．而
h=
充分性的证明：设,P是椭圆Cl上任意一点，过P、O作C1的弦PR,再过O作与PR垂直的弦QS，则PQRS为椭圆C1的内接菱形．
设|OP|=r1，|OQ|=r2，则P的坐标为(r1cosθ，r1sinθ)，Q的坐标为(r2cos(θ+)，
r2sin(θ+)),
代入椭圆方程，得
又在Rt△POQ中，斜边PQ上的高h=1,则h=
=
∴
同理，点O到QR，RS，SP的距离都是1，所以菱形PQRS与单位圆C0外切．
①
②
①
②
网站：http://www.zbjy.cn 论坛：http://bbs.zbjy.cn 版权所有@中报教育网●课 题
§8.2.2 椭圆的简单几何性质（二）
●教学目标
（一）教学知识点
1.椭圆的标准方程
2.椭圆的比值定义
3.椭圆的准线及其方程
（二）能力训练要求
1.使学生掌握求适合条件的椭圆的标准方程的方法.
2.使学生理解椭圆的比值定义，椭圆的准线的定义.
3.使学生掌握椭圆的准线方程并能应用准线方程判定椭圆的焦点位置.
（三）德育渗透目标
继续对学生进行对立统一观点的教育.
●教学重点
椭圆的比值定义，椭圆的准线及其方程的应用.
●教学难点
椭圆准线方程的应用.
●教学方法
指导学生自学法
通过学生自学的实践，使学生在自学中掌握方法提高自己获取知识的能力及分析问题、解决问题的能力，在教师分析指导的基础上让学生完成解题表述过程，训练表述的逻辑性、完整性和推理的严密性、严谨性.
●教具准备
投影片四张
第一张：P99例2（记作§8.2.2 A）
第二张：P99例3（画图别画出坐标系）（记作§8.2.2 B）
第三张：P100例4（别画图）（记作§8.2.2 C）
第四张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲（记作:8.2.2 D）
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］上一节课我们学习了椭圆的简单几何性质，请同学们回忆一下性质的具体内容并回答椭圆16x2+9y2=144中x,y的范围，长轴和短轴长、离心率、半焦距的大小、焦点及顶点的坐标.
［生］先将椭圆方程化成标准方程，得
∴-3≤x≤3,-4≤y≤4
长轴长2a=8，短轴长2b=6，离心率e=,半焦距c=，焦点坐标是
(0,- ),(0, )，顶点坐标是（0，-4），（0，4），（3，0），（-3，0）.
（学生的回答也许会因为长轴的位置发生变化而导致焦点坐标出错，要予以及时处理更正）
［师］好，请同学们注意，椭圆的焦点始终在长轴上，这一点绝对不能大意！下面我们来看几个例子：
Ⅱ.讲授新课
［师］（打出投影片§8.2.2 A读题）
分析指导：前面的学习我们已经知道，标准方程表示的椭圆其中心在原点，对称轴合于坐标轴，而椭圆的标准方程有两种形式，所以求椭圆的标准方程关键是确定a、b的值及焦点的位置或长轴的位置，此题中的①小题只告诉了两个点的坐标，即椭圆上的两个点，这似乎有点不易解决问题，但认真注意一下，这两个点正是两个关键点，它们都是对称轴为坐标轴的椭圆与坐标轴的交点，即椭圆的顶点，所以这两个点分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，据此可求出a、b的值.②小题的关键比较明确
下面请同学们自己完成解答过程，然后与课本上的对照一下，看自己的表述是否完整.
（让一名同学在黑板上板书，之后详讲）
［师］我们再来看这样一个题目，（打出投影片§8.2.2 B）读题，谁来做一下分析？
［生甲］卫星运行的轨道是椭圆，求卫星运行轨道的方程就是求椭圆的方程，而求椭圆的方程又需要建立坐标系.
［师］好，怎样建系呢？
［生甲］以过A、B、F2的直线为x轴，F2为椭圆的右焦点，记F1为椭圆的左焦点建立如图所示的直角坐标系（在投影片上作图建系）
设它的标准方程为(a＞b＞0)
（学生回答教师板书）
［师］好，下面就该确定a、b的值了，同学们注意题中提供的信息是近地点，远地点到地面的距离以及地球的半径，由这些条件，我们可以知道些什么呢？
（学生对照图形认真思考）
［生乙］已知反映在图形上，就是：
|F2A|=6371+439,|F2B|=6371+2384
［师］生乙将已知条件反映在图形上的情况做了说明，正确吗？
［生］正确.
［师］那么我们再仔细观察一下图形.
（指给所有学生看）
|F2A|=|OA|-|OF2|=a-c
因此，我们有a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=6371+439
（将此式子板书）
同理，我们可以得到（等待学生思考回答）
［生乙］a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+2384（板书）
联立解之得a=7782.5 c=972.5
∴b=
用计算器求得b≈7722
∴卫星的轨道方程是
［师］很好，从这个题的分析求解来看，同学们基本上掌握了分析的方法，照这样持之以恒地训练下去，在我们的面前没有克服不了的困难.
［师］下面再请同学们看这样一道题目.
（打出投影片§8.2.2 C）请一位同学读题，并根据题意作出图来.
［生丙］（读题，作图）
（学生可能照着教材上的图画下来，这时教师应当指出：你知道点M的轨迹是椭圆吗？左边直线l′，点F′是怎样的直线，怎样的点呢？根据题意只应当画出坐标系，点F，直线l以及M、F的连线，M到l的垂线.）
［师］此题求的是点M的轨迹，且不清楚轨迹类型，应该用什么方法去完成呢？
［生］用坐标法
［师］下面哪一位同学来继续求解的过程？
［生丁］根据题意得：
x2-2cx+c2+y2=a2-2cx+x2
a2x2+a2c2+a2y2=a4+c2x2
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
设a2-c2=b2，方程可化成
(a＞b＞0)
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴分别为2a,2b的椭圆.
［师］生丁同学做得很好，要注意方程化简的过程要在草纸上完成，化简整理过程可简写成：“两边平方，化简整理得”来代替化简的步骤.
由此可知，动点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0＜e＜1)时，动点的轨迹是椭圆（这是椭圆的比值定义，前面给出的椭圆的定义称为距离定义），定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率.
对于椭圆,相当于焦点F（c,0）的准线方程是x=，根据椭圆的对称性，相当于焦点F′(-c,0)的准线方程是x=，所以椭圆有两条准线.
请同学们考虑一下，中心在坐标原点，长轴在y轴上的椭圆准线方程是怎样的？
Ⅲ.课堂练习
P102练习4，6，习题8. 2,7,P1024
求下列条件下的椭圆的标准方程：
（1）a=6,e=,焦点在x轴上
答案：
（2）c=3,e=，焦点在y轴上
答案：
P1026
求下列椭圆的焦点和准线方程：
（1）
答案：F1（-8，0），F2（8，0），x=±
（2）2x2+y2=8
答案：F1（0，-2），F2（0，2），y=±4
P103习题8.2,7
椭圆的标准方程是 （ ）
A.x=± B.y=±
C.x=± D.y=±
答案：D
Ⅳ.课时小结
本节课我们继续讨论了椭圆的标准方程的求法，并给出了椭圆的比值定义、准线方程，请注意的是：一个椭圆有两条准线都垂直于长轴.另外，准线方程的形式要予以重视.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P103习题8.2 4，5，6，7，8，9
（二）1.预习内容：课本P101例5
2.预习提纲:
(1)曲线的参数方程的定义是什么？
(2)在椭圆的参数方程中，常数a、b的几何意义是什么？
(3)椭圆的参数化为普通方程的关键是什么？
●板书设计
§8.2.2 椭圆的简单几何性质（一）例2的解答（学生板书）例3的解答（师生共同完成）例4的解答椭圆的比值定义小结
网站：http://www.zbjy.cn 论坛：http://bbs.zbjy.cn 版权所有@中报教育网●课 题
§8.2.4 椭圆的简单几何性质（四）
●教学目标
（一）教学知识点
1.直线与椭圆的位置关系.
2.直线与椭圆相交所得弦长问题.
3．弦所在直线方程问题.
（二）能力训练要求
1.深化椭圆的性质学习.
2.提高解题的综合能力.
（三）德育渗透目标
1.事物之间既有联系又有区别的辩证观点.
2.学会抓主要矛盾、分解矛盾、解决矛盾的方法.
●教学重点
直线与椭圆的位置关系、弦长问题、弦所在直线方程问题.
●教学难点
学生解题综合能力的培养.
●教学方法
师生共同讨论法
通过对具体问题的分析与讨论，使学生掌握直线与椭圆相交、相切、相离的三种位置关系，使学生掌握根与系数的关系在求直线与椭圆相交所得弦长问题以及弦所在求直线方程问题中的灵活应用.
●教具准备
投影片五张
第一张：本课时教案的例8（记作§8.2.4 A）
第二张：本课时教案的例9（记作§8.2.4 B）
第三张：本课时教案的例10（记作§8.2.4 C）
●教学过程
Ⅰ.复习提问
[师]请同学们回忆初中我们学过的判断直线与圆的位置关系的方法有哪些.
[生甲]利用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系判断，即当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d[生乙]判别式法，即将已知直线方程代入圆方程。消元(x或y)得一元二次方程,再利用△判断解的个数,若△>0,方程有两个不同的解,直线与圆相交；若△=O,方程有两个相同的解,直线与圆相切；若△[师]两位同学回答得都很好!生甲从形的角度分析了直线与圆的位置关系随着圆心到直线的距离的变化而变化；生乙则将直线与圆的位置关系问题通过直线与圆的方程转化为一元二次方程解的个数问题．大家要从中体会等价转化思想与数形结合思想的作用．
Ⅱ．讲授新课
[师]对于直线与椭圆的位置关系如何判断呢 结合以下题目,进行讨论研究．
[例8]当m取何值时，直线L:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144相切、相交、相离．
(幻灯片§8．2．4 A)
[师]直线与圆的位置关系的判断方法是否可以推广应用到直线与椭圆的位置关系
中呢
[生]可以．
[师]刚才生甲、生乙的方法都可以吗
[生]生甲的方法不能推广应用到直线与椭圆的位置关系中．
[师]为什么呢
[生]椭圆不具备圆特有的性质，即圆心到圆上各点的距离都相等．
[师]好，请同学们用生乙所提供的方法讨论研究例8的解法过程．(生讨论，师巡视、
查看)
[生]解：将y=x+m代入9x2+16y2=144中，得
9x2+16(x+m)2=144．
整理，得25x2+32mx+16m2-144=0．
∵△=(32m)2-4·25·(16m2-144)=-576m2+14400，
∴当△>0，即-5当△=0，即m=土5时，直线L与椭圆相切．
当△5或m<-5时，直线L与椭圆相离．
[师]以上解题过程让我们体会到椭圆与圆的联系与区别，同学们在学习过程中，要不断地寻找知识与知识之间的联系，寻找分析问题、解决问题的方法与技巧．
下面，我们讨论直线与椭圆相交所得弦长问题．
[例9]已知斜率为1的直线L过椭圆+y2=1的右焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长.（幻灯片§8.2.4 B）
[师]请同学们整理思路并试着叙述.
[生丙]由己知条件可写出直线L的点斜式方程，再将其代入椭圆方程中，求得交点A、B坐标，最后，利用两点距离公式求得|AB|.
[生丁]我认为生丙的思路太繁杂．事实上，可以不去求解A、B两点坐标，而运用韦达定理求得|AB|．
[师]将你的思路及解法写在黑板上．
(生丁板书后，师评析)
解：设A(x1,y1),B(x2，y2),
由椭圆方程，得a2=4,b2=l,c2=3．
∴右焦点为F(，O)．
∴直线L的方程为y=x-. ①
将①代人x2+4y2=4中,
化简、整理，得
5x2-8x+8=0．
∴x1+x2=
∴(xl-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=．
∴(y1-y2)2=[(x1-)-(x2-)]2=(x1-x2)2=．
∴|AB|=
=
[师]生丁同学将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，运用韦达定理，求得弦长,避开了求交点坐标这一运算繁琐的过程，使问题变得简单易解．
另外，可以得到：设两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线L斜率为k，
则|AB|=
=.
∵
∴|AB|=.
∴|AB|=|x1-x2|
[例10]直线L与椭圆4x2+9y2=36交于A、B两点，并且线段AB的中点坐标为(1，1)，求直线L的方程．(幻灯片§8．2．4 C)
[师]请同学们讨论这个问题的解决办法．
[生戊]解：设直线L的方程为
y-1=k(x-1),
将其代入椭圆方程4x2+9y2=36中，得
4x2+9[k(x-1)+1]2=36．
整理得
(9k2+4)x2-18(k2-k)x+9k2-18k-27=O．
设A(x1，y1)，B(x2,y2)，
则xl+x2=
∵线段AB中点为(1，1).
∴所求直线L的方程为
y-1=-(x-1),
即4x+9y-13=O．
[师]生戊同学的解法完善吗 有需要补充的吗
[生己]我认为应先说明k存在,即当k不存在时，此直线L的方程为x=1,此时与椭圆
相交线段的中点纵坐标为0．而不是1，这与中点坐标为(1,1)矛盾，故k一定存在．另外k=-应代入“△”表达式中验证△是否大于O．
[师]生己同学补充的完全正确，此题的关键是根据题意确定出直线L的斜率k存在，进而设出直线L的点斜式，运用直线与椭圆的关系求得k值．其中要注意k值一定应该满足“△>O”这一条件．
Ⅲ．课堂练习
已知椭圆=1，求以点P(2,-1)为中点的弦所在直线的方程．
答案：x-2y-4=O．
Ⅳ．课时小结
1．对于直线与椭圆方程联立得方程组
对解的个数进行讨论，有两组不同实数解(△>0)时，直线与椭圆相交；有两组相同实数解(△=O)时，直线与椭圆相切；无实数解(△2．弦长|AB|=|x1-x2|的应用．
V．课后作业
已知椭圆,过右焦点F2的直线L交椭圆于A、B两点,若|AB|=，求直线L的方程．
答案：x-y-1=O或x+y-1=O．
●板书设计
§8.2.4 椭圆的简单几何性质（四）例8…… 小结1……例9…… 2……例10…… 3……
网站：http://www.zbjy.cn 论坛：http://bbs.zbjy.cn 版权所有@中报教育网●课题
§8.2.3 椭圆的简单几何性质（三）
●教学目标
（一）教学知识点
1.椭圆的参数方程.
2.椭圆的参数方程与普通方程的关系.
（二）能力训练要求
1.使学生了解椭圆参数方程的来源，并能在研究椭圆的性质、建立椭圆的方程的过程中，正确地应用参数方程.
2.使学生掌握参数方程与普通方程的关系，正确互化，以便灵活应用.
（三）德育渗透目标
使学生认识到事物的表现形式可能不止一种，认识事物要透过现象看本质.
●教学重点
1.建立椭圆的参数方程及椭圆参数方程的应用.
2.椭圆的参数方程与变通方程互化.
●教学难点
1.建立椭圆的参数方程及椭圆参数方程的应用.
2.椭圆的参数方程与普通方程的互化.
●教学方法
师生共同讨论法
通过师生共同讨论，使学生了解椭圆参数方程的来源，理解椭圆参数方程的建立方法，明确常数a、b的几何意义并掌握椭圆参数方程与普通方程的互化.
●教具准备
投影片两张
第一张：P101例5（记作§8.2.3 A）
第二张：本课时教案的例6、例7（记作§8.2.3 B）
多媒体课件一个：
在同一坐标平面内，以原点为圆心作两个半径不等的同心圆（用同一种颜色），作大圆的半径OA交小圆于B，作AN垂直于x轴，垂足为N，过B作BM⊥AN，垂足为M（点M标为另一种颜色）让OA绕点O旋转，看点M的轨迹，给学生一个直观印象.
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］上一节课我们学习了椭圆的比值定义，哪位同学来叙述一下.
［生］动点到一个定点与一条直线的距离的比是一个常数e(0＜e＜1)时，动点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线.
［师］椭圆25x2+9y2=225的准线方程是什么？
［生］将椭圆方程化成标准方程为：
可知：a=5,b=3,c==4
∴椭圆的准线方程是y=±
［师］同学们对准线方程的形式要予以掌握，另外，请注意知道a、c的值能写出准线方程，但知道准线方程要确定a、c的值，还需要其他条件，仅知道准线方程，只能确定a、c的关系，下面我们再来看这样一个题目.（打出投影片§8.2.3 A）
Ⅱ.讲授新课
［师］（读题，并用多媒体课件演示，对点M的轨迹给学生一个直观形象）
分析指导：题目让求当OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程，我们知道在解析几何中求哪个点的轨迹，就把哪个点的坐标设为(x,y)，然后再去寻求关系，那么我们来考虑一下，点M的坐标（x,y）随着哪个量的变化而变化呢？或者说选哪个量为参数呢？（给同学们留出思考的时间）
［生甲］点M的横坐标x就是点A的横坐标，点M的纵坐标就是点B的纵坐标，所以教一个量既能表示A点的横坐标又能表示B点纵坐标作为参数即可.由于OA在绕点O旋转，而且它的半径已知，△BOR、△AON匀为Rt△，故选转角∠AOx为参数，就既能表示B点的纵坐标,又能表示A点的横坐标.
［师］很好，生甲分析得透彻，大家听清楚了吗？
［生］明白啦！
［师］好，下面我们来写出解答过程（请一名同学在黑板上板书）
［生乙］设点M的坐标是(x,y)，φ是以Ox为始边，OA为终边的正角，取φ为参数，那么
x=ON=|OA|cosφ
y=NM=|OB|sinφ
即
这就是所求点M的轨迹的参数方程.
［师］做完的同学请举手.好，请放下，我们来看生乙的解答（师生共同审阅），有没有不完善或不严密的地方？
［生丙］我认为在取φ为参数的地方，标明参数的取值范围要严密一些，即标出0＜φ＜2π
［师］生丙所说的有道理吗？有必要吗？
（学生考虑）
［师］生丙所说的是非常有道理的，标明参数的取值范围是非常有必要的，不要以为课本上未谈及咱来谈就是多余的，就是多此一举的.事实上，求曲线的参数方程，对参数的范围是应予以足够重视的.这点在我们以后的做题中要引起注意.
至此，按题目要求，这道题我们做完啦，假如这道题条件不变，所求改为求点M的轨迹，我们该如何做呢？
［生］求出点M的轨迹方程，再指出轨迹是怎样的曲线吗？
［师］正确，怎样求其轨迹方程呢？求普通方程还是求参数方程呢？
［生］都可以.
［师］求出参数方程后，你能根据方程指出曲线类型吗？就是说上面所求出方程，你知道它表示的曲线是什么吗？
（生无言以对，也有可能根据我们前面演示的直观，或根据课前的预习会说是椭圆，但为什么呢？这时教师要抓住时机，指出应当怎样确定曲线的类型）.
［师］求出曲线的参数方程后，要想进一步确定曲线的类型，采用的方法仍然是化生疏为熟悉，将参数中的参数消去，得到曲线的普通方程，从而指出曲线类型，比如上面的参数方程，我们将两个方程分别变形，得：
=cosφ, =sinφ
利用三角函数中同一角的三角函数关系，即可消去参数，也就是将方程两边平方后相加，
得：
即消去方程中的参数后，得到的方程是椭圆的标准方程：
由此可知，点M的轨迹是长轴为2a,短轴为2b的椭圆.
我们把方程(0＜φ≤2π)称为椭圆的参数方程，在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴和短半轴长.
［师］上面我们讨论了椭圆的参数方程，并且讨论了参数方程化为普通方程的方法，那么给出椭圆的普通方程，怎样把它化为参数方程呢？
我们来看这样一个例子.（打出投影片§8.2.3 B）
［例6］将椭圆方程化为参数方程.
分析指导：将普通方程化为参数方程，重要是利用三角函数中同一角的正弦值平方与它余弦值的平方和等于1的这个关系.
解：令x=4cosθ,(0＜θ≤2π)
∵sin2θ+cos2θ=1
∴y=3sinθ
∴椭圆的参数方程为(0＜θ≤2π)
［师］此时，我们可以说点（4cosθ,3sinθ）是椭圆上的任意一点吗？
［生］（略加考虑，作答），可以.因为(x,y)是椭圆上的任意点，而x=4cosθ,y=3sinθ，所以(4cosθ,3sinθ)是椭圆上的任意点.
注意：(1)椭圆的普通方程化为参数方程结果不是惟一的.
(2)把椭圆的普通方程化为参数方程熟练之后，在求椭圆上的点到定点或定直线的最大、最小距离时，将是很方便的.
［例7］在椭圆上到直线l:3x-2y-16=0距离最短的点的坐标是______，最短距离是______.
分析：设椭圆上的任意一点为M（2cosθ, sinθ）则M点到直线l的距离
∴当φ－θ=时，d有最小值
此时，θ=φ-，sinθ=-cosφ=-,cosθ=sinφ=
∴M点坐标是（）
注意：求最值问题，三角代换是一种常用的方法，而圆、椭圆的参数方程，实质就是三角代换，它使二元x,y转化为一元θ,将代数问题转化为三角问题，使问题化繁为简.
Ⅲ.课堂练习
（1）已知椭圆的参数方程(θ是参数)，则它的标准方程是______.
答案：
（2）已知椭圆的方程,以离心角φ为参数，则椭圆的参数方程是______.
答案：(φ为参数)
（3）已知椭圆的参数方程(θ为参数)，则此椭圆的长轴长是______，短轴长是______，焦点坐标是______，准线方程是______，离心率______.
答案：2 2 F1（0，），F2（0，-）
y=±
（4）曲线(θ为参数)的焦距是______.
答案：2
（5）曲线的参数方程(θ为参数)，则此曲线是______.
A.椭圆 B.椭圆的一部分
C.线段 D.直线的一部分
答案：C
Ⅳ.课时小结
本节课我们讨论了椭圆的参数方程，以及参数方程与普通方程的互化，特别是用参数表示出椭圆上的点后，（三角代换），给求最值问题带来了很大的方便.同学们要很好掌握这种方法，需要注意的是：求曲线的参数方程时，由于所选的参数不同，求出的参数方程形式也不一定相同.其次，参数方程化为普通方程结果是惟一的，而变通方程化为参数方程形式是多样的.
Ⅴ.课后作业
课本P103习题8.2 10，11
●板书设计
§8.2.3 椭圆的简单几何性质（三）例6的解答例7的解答课堂练习小结
网站：http://www.zbjy.cn 论坛：http://bbs.zbjy.cn 版权所有@中报教育网
