一元二次方程全章学案青岛版

3、1一元二次方程
一、【课前预习】
自学课本76页—77页内容并完成下列问题
1．含有_____________个未知数，并且含有未知数的最高次数是_____________的整式方程叫一元二次方程，它的一般形式是_______________________，二次项是 _________，一次项是_________，常数项是_________。
2．是常数，） 这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中分别叫做 、 、 ，a、b分别叫做二次项系数和一次项系数。
3．方程2（x+1）=3的解是________________
4．方程3x+2x2=0.44含有_______个未知数，含有未知数项的最高次数是_______________，它____________ （填“是”或“不是”）一元一次方程．
二、课堂学习
（一）、【合作探究】
1．判断下列方程是否是一元二次方程？并说明理由。
，，， .
2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）x（11－x）=30 （2）（20＋2x）（40－x）=1200
（3） （4）
（二）、【课堂练习】
1．一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 ．
2．已知方程2(m+1)x2+4mx+3m－2=0是关于x的一元二次方程，那么m的取值范围是 ．
3．已知关于x的一元二次方程(2m－1)x2+3mx+5=0有一根是x=－1，则m= ．
4．已知关于x的一元二次方程(k－1)x2+2x－k2－2k+3=0的一个根为零，则k= ．
5．已知关于x的方程(m+3)x2－mx+1=0，当m 时，原方程为一元二次方程，若原方程是一元一次方程，则m的取值范围是 ．
6．已知关于x的方程(m2－1)x2+(m+1)x+m－2=0是一元二次方程，则m的取值范围是 ；当m= 时，方程是一元二次方程．
7．把方程a(x2+x)+b(x2－x)=1－c写成关于x的一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项，并求出是一元二次方程的条件．
8．关于x的方程(m+3)x2－mx+1=0是几元几次方程
（三）、课堂测试
写出下列方程的二次项系数、一次项系数和常数项：
1． 2．
3．(x+3)(x－3)=9 4．(3x+1)2－2=0
5．(x+)2=(1+)2 6．0.04x2+0.4x+1=0
7．(x－2)2=6 8．(x－5)(x+3)+(x－2)(x+4)=49
9．一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 。
三、课后提升
1．已知方程：①2x2－3=0；②；③；④ay2+2y+c=0；⑤(x+1)(x－3)=x2+5；⑥x－x2=0 。其中，是整式方程的有 ，是一元二次方程的有 。(只需填写序号)
2．分别根据下列条件，写出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一般形式：
(1)a=2，b=3，c=1； (2)；
(3)二次项系数为5，一次项系数为－3，常数项为－1；
(4)二次项系数为mn，一次项系数为，常数项为－n．
3.已知关于x的方程(2k+1)x2－4kx+(k－1)=0，问：
(1)k为何值时，此方程是一元一次方程 求出这个一元一次方程的根；
(2)k为何值时，此方程是一元二次方程 并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系 数、常数项．
3.2一元二次方程的解法（1）
一、课前预习
自学课本80页---81页内容并完成下列问题
1．如果那么x叫做a的______,记作________；
2．如果,那么记作________;
3．3的平方根是 ；0的平方根是 ；-4的平方根 ．
4．如何解方程呢？
由平方根的定义可知即此一元二次方程两个根为。形如方程可变形为 的形式，用直接开平方法求解．
2．写出形如的方程的解法．
二、课堂学习
（一）合作学习
解下列方程
1． 2．
3．解方程：
（二）、课堂练习
一、选择题
1．用直接开平方法解方程（x＋h）2=k ，方程必须满足的条件是（　）
A．k≥o B．h≥o C．hk＞o D．k＜o
2．方程（1-x）2=2的根是（ ）
A.-1、3 B.1、-3 C.1-、1+ D.-1、+1
3．下列解方程的过程中，正确的是（ ）
(1)x2=-2,解方程，得x=±
(2)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(3)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=;x2=
(4)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
4．解下例方程
(1)4x2=9 (2)3(2x+1)2=12
5.解下例方程：
（1）（2）45－x2＝0； （2）12y2－25＝0；
（3）16x2－25＝0. （4） 4x2－1＝0
（三）、课堂测试
1．解下例方程
(1)81(x-2)2=16 ； (2)(2x+1)2=25；
2.一个球的表面积是100 cm,求这个球的半径（球的表面积 R,其中R是球的半径）
三、课后提升
1、 一个立方体的表面积是384cm2，求这个立方体的棱长
2、解方程：x2-2x-3=0
3.2一元二次方程的解法（2）
课前预习
自学课本82页—83页内容并完成下列问题
1．请写出完全平方公式。
（a＋b）2 = （a-b）2 =
2．用直接开平方法解下例方程：
（1） （2）
3、把原方程化为 求解的方程，这种解一元二次方程的方法叫配方法
课上学习
（一）、合作学习
1、．思考：如何解下列方程
（1） （2）
2、问题1、请你思考方程与 有什么关系，如何解方程呢？
问题2、能否将方程转化为（的形式呢？
3、问题1、解下例方程
（1）－4x＋3＝0. （2）x2＋3x－1 = 0
问题2、解下列方程
（1）－6x－7＝0； （2）＋3x＋1＝0.
（二）、课堂练习
（1）x2+6x+ =(x+ )2；(2)x2-2x+ =(x- )2；
(3)x2-5x+ =(x- )2；(4)x2+x+ =(x+ )2；
(5)x2+px+ =(x+ )2；
2．将方程x2+2x-3=0化为(x+m)2=n的形式为 ；
3．用配方法解方程x2+4x-2=0时，第一步是 ，第二步是 ，第三步是 ，解是 。
4.用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可变形为（ ）
A.(x-4)2=9 B.(x+4)2=9
C.(x-8)2=16 D.(x+8)2=57
5.已知方程x2-5x+q=0可以配方成(x- )2=的形式，则q的值为（ ）
A. B. C. D. -
6.已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q的值是（　）
A.9 B.7 C.2 D.-2
7、完成课本83页练习题1、2
（三）、课堂测试
.用配方法解下列方程：
（1）x2-4x=5； （2）x2-100x-101=0；
（3）x2+8x+9=0； （4）y2+2y-4=0；
三、课后提升
1.试用配方法证明：代数式x2+3x-的值不小于-。
2、 你会用配方法解方程（x+1）2 +2（x+1）=8吗？你能找到几种方法？
3.2一元二次方程的解法（3）
一、课前预习
自学课本84页中例3、例4，并完成下列问题
1、用配方法解下列方程：
(1)x2-6x-16=0； (2)x2+3x-2=0；
2、请你思考方程x2-x+1=0与方程2x2-5x+2=0有什么关系？
二、课堂学习
（一）、【合作探究】
问题1、如何解方程2x2-5x+2=0？
问题2、对于二次项系数是负数的一元二次方程，如何用配方法求解？
问题1、解方程：
问题2、解方程：-
（二）、课堂练习
1. (1)x2-x+ =(x- )2, (2)2x2-3x+ =2(x- )2.
2．用配方法解一元二次方程2x2-5x-8=0的步骤中第一步是 。
3．方程2(x+4)2-10=0的根是 .
4．a2+b2+2a-4b+5=(a+ )2+(b- )2
5．用配方法解方程2x2-4x+3=0，配方正确的是（ ）
A.2x2-4x+4=3+4 B. 2x2-4x+4=-3+4
C.x2-2x+1=+1 D. x2-2x+1=-+1
6.用配方法解下列方程，配方错误的是（ ）
A.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100　　B.t2-7t-4=0化为(t-)2=
C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25　　　D.3x2-4x-2=0化为(x-)2=
7．用配方法解下列方程：
（1）； （2）
（三）、课堂测试
解下列方程
(1)2x2+1=3x； (2)3y2-y-2=0；
三、课后提升
1.试用配方法证明：2x2-x+3的值不小于.
2.已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2的值.
3.一个小球竖直上抛的过程中,它离上抛点的距离h(m)与抛出后小球运动的时间t(s)有如下关系:h=24t-5t2.经过多少时间,小球离上抛点的高度是16m
3．3一元二次方程的解法（4）
一、课前自学
（一）、复习巩固：
1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
2、用配方法解下例方程
（1） （2）
（二）新知导学自学课本88页—89页内容并完成下列问题
问题1：如何解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）？
问题2、一般地对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，
它的解是X=
二、课堂学习
（一）、【合作探究】
问题1、 解下列方程：
⑴ x2＋3x＋2 = 0 ⑵ 2 x2－7x = 4
问题2、为什么在得出求根公式时有限制条件b2－4ac≥0？
（二）、课堂练习
1．把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0)形式为 ，b2-4ac= .
2．方程x2+x-1=0的根是 。
3．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac= ，方程的根是 .
4.把方程(2x-1)(x+3)=x2+1化为ax2 + bx + c = 0的形式，b2-4ac= ，方程的根是 .
5.方程的解为 ．
6.已知y=x2-2x-3，当x= 时，y的值是-3
7．用公式法解方程x2+4x=2,其中求的b2-4ac的值是（ ）
A.16 B. 4 C. D.64
8．用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（ ）
A.x1.2= B. x1.2=
C. x1.2= D. x1.2=
9.方程(x-1)(x-3)=2的根是（ ）
A. x1=1,x2=3 B.x=22 C.x=2 D.x=-22
10.用公式法解下列方程：
（1）x2-2x-8=0； （2）x2+2x-4=0；
（三）、课堂测试
解下列方程
（1）2x2-3x-2=0； （2）3x(3x-2)+1=0.
三、课后提升
已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程的一个根，求这个三角形的周长。
3．3一元二次方程根的判别式
一、课前预习
（一）复习巩固：自学课本90页例2、例3并完成下列问题
1、 一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）当时，X1,2 =
2、 解下例方程：
（1）x2 -4x+4=0 （2）2x2 -3x -4=0 (3) x2+3x+5=0
3、不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0 ⑵ x2 = 4x－4 ⑶ x2－3x = －3
二、课堂学习
（一）、合作学习阅读课本91页中广角镜有关内容并回答下列问题
问题1：一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？
问题2：探索一元二次方程的根的情况与b2－4ac的符号有什么关系？
问题3：不解方程，判断下列方程根的情况：
1、； 2、；
3、
问题4、当k为何值时，关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k＋3 = 0有两个不相等的实数根？
（二）、课堂练习
1．方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，所以方程的根的情况是 .
2．一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（ ）
A.有两个不等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.不能确定
3．下列方程中，没有实数根的方程式（ ）
A.x2=9 B.4x2=3(4x-1)
C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0
4．方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（ ）
A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac＜0
C. b2-4ac≤0 D. b2-4ac≥0
5．如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= .
6.方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.不能确定
7.关于x的一元二次方程 的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
8.已知方程x2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m，n的值可以是m= ,n= .
9.若方程有实数根，
求：的范围
（三）、课堂测试
1.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则___________。
2.不解方程，判断下列方程根的情况：
（1） 3x2－x＋1 = 3x （2）5（x2＋1）= 7x
（3）3x2－4x =－4
三、课后提升：
关于x的方程x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，
求：k的取值范围
3．4用因式分解法解一元二次方程
一、课前预习
（一）复习巩固：
1、什么叫因式分解？因式分解的目的是什么？你已经学习了哪些因式分解的方法？
2、你能用因式分解的方法来解方程 吗？
（二）阅读课本95页---96页内容并完成下列问题
因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
１、将方程的右边化为
２、将方程左边因式分解．
３、根据“至少有一个因式为零”,得到两个 方程
４、分别解两个一元一次方程， 根就是原方程的根.
二、课堂学习
（一）合作学习（用因式分解法解下列方程）
1： 解方程：
2：解方程：
（二）课堂练习
1. 方程(x－16)(x＋8)＝0的根是( )
A．x1＝－16，x2＝8 B．x1＝16，x2＝－8
C．x1＝16，x2＝8 D．x1＝－16，x2＝－8
2．方程5x(x＋3)＝3(x＋3)解为( )
A．x1＝，x2＝3 B．x＝ C．x1＝－，x2＝－3 D．x1＝，x2＝－3
3．方程(y－5)(y＋2)＝1的根为( )
A．y1＝5，y2＝－2 B．y＝5 C．y＝－2 D．以上答案都不对
4.方程(x－1)2－4(x＋2)2＝0的根为( )
A．x1＝1，x2＝－5 B．x1＝－1，x2＝－5 C．x1＝1，x2＝5 D．x1＝－1，x2＝5
5.方程(2x＋1)2＋3(2x＋1)＝0的解为__________．
6.方程x(x－)＝ －x的解为__________．
7.解方程
(1)x2＋12x＝0； (2)4x2－1＝0；
8．用适当方法解下列方程：
(1)x2－4x＋3＝0； (2)(x－2)2＝256；
(3)x2－3x＋1＝0；
（三）课堂测试
1、用因式分解解下列方程
(1)x2＝7x； (2)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．
2、用适当的方法解下列方程
(1)x2－2x－3＝0； (2)(2t＋3)2＝3(2t＋3)；
(3)(1＋)x2－(1－)x＝0；
三、课后提升
1、一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系式h＝－5(t－2)(t＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．
2、用适当的方法解下列方程：
（1）x2-2x-8=0； （2）x2+2x-4=0； （3）2x2-3x-2=0；
（4）3x(3x-2)+1=0.
3、已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程的一个根，求这个三角形的周长。
4．已知：关于x的方程
求证；这个方程必有两个不等的实数根；
3．5一元二次方程的应用（1）
一、课前预习：
自学课本98页—99页内容并完成下列问题
（1） 如何把一张长方形硬纸片折成 一个无盖的长方体纸盒？
（2） 无盖长方体的高与裁去的四个小正方形的边长有什么关系？
（3）问题1：一根长为4M的绳子能否围成一个面积是1M2的矩形？
问题2：一根长为4M的绳子能否围成一个面积是1.2M2的矩形？
问题3：猜一猜，这根铁丝围成的矩形中，面积最大的是多少？
二、课堂学习
（一）、【合作探究】
问题1：如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个相等的小正方形，制成高是5cm，容积是500cm3的长方体容器，求这块铁皮的长和宽．
问题2、如图所示（1）小明家要建面积为150m2的养鸡场，鸡场一边靠墙，另一边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为35m。若墙的长度为18m，鸡场的长、分别是多少？（2）如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场最大面积是多少平方米？(3) 如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场的面积能达到250m2吗？通过计算说明理由。
（4）如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场的面积能达到100m2吗？通过计算并画草图说明。
（二）、课堂练习
1、完成课本100页练习1、2
2、在长为40米、宽为22米的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760平方米，道路的宽应为多少？
3、如图所示，要用防护网围成长方形花坛，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个2米宽的门，现有防护网的长度为91米，花坛的面积需要1080平方米，若墙长50米，求花坛的长和宽．
（1）一变：若墙长46米，求花坛的长和宽．
（2）二变：若墙长40米，求花坛的长和宽．
（3）通过对上面三题的讨论，你觉得墙长对题目有何影响？
（三）课堂测试
【自我检测】
一、选择题
1．三角形一边的长是该边上高的2倍，且面积是32，则该边的长是（ ）
A．8 B．4 C．4 D．8
2．李萍要在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积占整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽为xcm，根据题意可列方程（ ）
A．（90+x）（40+x）×54%=90×40; B．（90+2x）（40+2x）×54%=90×40;
C．（90+x）（40+2x）×54%=90×40; D．（90+2x）（40+x）×54%=90×40
3.如图，矩形的周长是20cm，以为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为，那么矩形的面积是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4.在长为m，宽为m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为 ；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图6），则此时余下草坪的面积为 ．
三、解答题
3．将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长．
4．学校原有一块面积为1500平方米的矩形操场，现将操场的一边增加了5米，另一边减少5米，围绕操场开辟了一圈绿化带，结果使操场的面积增加了150平方米，求出在操场的长和宽．
三、课后提升
如图，在Rt△ABC中∠B=90°，AB=8m，BC=6m，点M、点N同时由A、C两点出发分别沿AB、CB方向向点B匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后，△MBN的面积为Rt△ABC的面积的？
3．5一元二次方程的应用（2）
【课前预习】
（一）复习巩固：
1、通常用一元一次方程解决实际问题要经历怎样的过程？
2、用一元一次方程解决实际问题的关键是什么？
（二）完成下列问题
1、某商品原价289元，降价后售价为256元，则降价的百分数是多少？
2、某乡产粮大户,2007年粮食产量为50吨,由于加强了经营和科学种田,2008年粮食产量上升到60.5吨.求粮食产量增长的百分率.
课堂学习：
（一）合作探究
问题1某种手表,原来每只售价96元,经过连续2次降价后,现在每只售价54元,平均每次降价的百分率是多少
问题2某钢铁厂今年一月份的某种钢产量是5000吨,此后每月比上个月产量提高的百分数相同,且三月份比二月份的产量多1200吨,求这个相同的百分数.
（二）课堂练习
1．某商品连续两次降价10%后为m元，则该商品原价为（ ）
A．元 B．1.12m元 C．元 D．0.81m元
2．某钢铁厂去年1月份某种钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月的增长率为x，根据题意，得（ ）
A．5000（1+x2）=7200 B．5000（1+x）+5000（1+x）2=7200
C．5000（1+x）2=7200 D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2=7200
3.某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
5．某药品原来每盒售价96元，由于两次降价，现在每盒54元，则平均每次降价的百分数为_______．
6．某农场的粮食产量，若两年内从25万公斤，增加到30.25万公斤，则平均每年的增长率为_______．
7．某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x，则列方程为__________________，解得年利率是_________．
8．某市2002年底人口为20万人，人均住房面积9m2，计划2003年、2004年两年内平均每年增加人口为1万，为使到2004年底人均住房面积达到10m，则该市两年内住房平均增长率必须达到_________．（=3.162，=3.317，精确到1%）
9．某林场原有森林木材存量为a，木材每年以25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x，则经过一年木材存量达到________，经过两个木材存量达到__________．
10．某书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．某学生第一次去购书付款72元，第二次又去购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节省了34元，则该学生第二次购书实际付款________元．
11．益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350-10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？
12．恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193．6万元，求这两个月的平均增长率．
（三）课堂测试
1．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2009年盈利1500万元，到2010年盈利2160万元，且从2009年到2010年，每年盈利的年增长率相同．
（1）该公司2006年盈利多少万元？
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？
2.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元
三、课后提升
某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树
G
D
C
B
E
F
（3题图）
A
H