平面向量的坐标运算
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文档简介
§2.3.3平面向量的坐标运算
【教学目标】
1．理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量；
2．掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；
3．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.
【教学重难点】
教学重点 理解平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算．
教学难点 对平面向量坐标表示的理解．
【教学方法】
启发式 、讨论、类比
【教具准备】
直尺、投影仪、多媒体
【教学过程】
（一）情境引入（提出问题，激发学生学习兴趣）
以前，我们所讲的向量都是用有向线段表示，即几何的方法表示。向量是否可以用代数的方法，比如用坐标来表示呢？如果可能的话，向量的运算就可以通过坐标运算来完成，那么问题的解决肯定要方便的多。因此，我们有必要探究一下这个问题：平面向量的坐标运算。（板书课题）
（二）探索研究（教师当导演，学生做主演，教师积极启发学生思考）
1、平面向量的坐标表示的意义
[问题引入]
复习提问 1.请同学们用自己的语言叙述平面向量基本定理，以及基底的概念？
2.分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量 能否作为基底？
学生活动 学生很容易回答定理内容：
平面向量的基本定理:如果,是同一平面内的两个不共线向量.那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,使=+,其中,称为一组基底。
[知识形成]
教师引导 我们把平面向量置于直角坐标系中，欲在直角坐标系中研究平面向量。
●引导设问 我们知道在直角坐标系内，平面内的每一个点都可以用一对有序实数来表示，且点与坐标是一一对应的。既然向量的起点和终点的坐标是确定的，那么向量也可以用一对实数来表示吗？
教师讲授 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
…………
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作
…………
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示。
[概念深化]
◆提出问题
1、以原点O为起点作向量=，点A的位置是否唯一确定？
2、点A的坐标与向量的坐标有什么关系？
3、两个向量相等的充要条件利用坐标如何表示？
学生活动 学生依次回答上述问题，
1、点A的位置有向量唯一确定。
2、以原点O为起点的向量的坐标与终点A的坐标相同。
3、向量（以坐标原点为起点）相等的充要条件是向量的坐标相同。
教师强调 ：
1、点的坐标与以原点O为起点的向量的坐标建立一一对应的关系。
如图所示，在直角坐标平面内，以原点O为起点作则点A的位置被唯一确定。设，则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y),也就是向量的坐标。
2、在直角坐标系中向量可自由移动，只要大小和方向不变，它们的坐标就是相同的
3、两个向量相等的充要条件是两个向量的坐标相等
例1：用基底、分别表示向量、、、，并求出它们的坐标。
2、平面向量的坐标运算
●引导设问 以上，我们研究的是平面向量的坐标表示，我们知道向量是可以作运算的，请同学们运用所学的知识研究两个向量的和与差的坐标表示，及实数与向量积的坐标表示。
1．已知向量=（，），=（，），求向量+，-，的坐标。
○学生活动 学生可能有多种思路
代数推导
引导设问 你能根据上述过程再现-，的坐标推导过程吗？
学生活动 学生可独立完成坐标公式推导，并总结归纳出：
=(，)
●向量的坐标公式学生板演：如图所示，设是表示向量的有向线段，点， ，则，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。
★ 学生总结
（1）向量加减法的坐标等于向量坐标的加减法。
+=(+,+)，-=(-,-)
（2）实数与向量的积的坐标等于是属于向量坐标的积。
=(，)
（3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点坐标。
A（，），B（，），=(-,-)
▲教师强调
1：任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位置有关。
2：当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的坐标就是向量终点的坐标。
（三）典例精析
例2、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。
解：设顶点D的坐标为（x,y）, =（-1-（-2），3-1）
=（1，2），=（3-x,4-y）,由=，得（1，2）=（3-x,4-y）
x=2,y=2,顶点D的坐标为（2，2）。
变式引申：已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。
解：当平行四边形为ABCD时，由得D1=(2, 2)；
当平行四边形为ACDB时，得D2=(4, 6)；
当平行四边形为DACB时，得D3=(6, 0)。
（四）演练反馈：
1、下列说法正确的有（ B ）个
（1）向量的坐标即此向量终点的坐标
（2）位置不同的向量其坐标可能相同
（3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标
（4）相等的向量坐标一定相同
A．1 B．2 C．3 D．4
2、已知A（-1，5）和向量，若，则点B的坐标为___（5，4）_______。
3、已知：点A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），若(λ∈R) ，试求 为何值时，点P在一、三象限角平分线上？点P在第三象限内？
分析：可以用表示P的横坐标、纵坐标，再根据条件建立等量关系，求点P的坐标；
解：设点P的坐标为（x，y），则（x，y）-（2，3）=（x-2，y-3）
=[（5，4）-（3，2）]+ [（7，10）-（2，3）]=（3+5，1+7）
，
∴(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ)
∴ ∴
∴P(5+5λ，4+7λ)
(1)若点P在一、三象限角平分线上，则5+4λ=4+7λ
∴λ=
(2)若点P在第三象限内，则 ∴λ＜-1
∴即只要λ＜-1时，点P就在第三象限内.
（五）本课小结
本节课主要学面向量的坐标表示、坐标运算。
1、 向量的坐标表示是向量的另一种表示形式（也可以称之为向量的代数表示），其背景是向量基本定理；
2、 向量的坐标表示，为我们进行向量的运算打开了方便之门
（1）两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和；
（2）两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差；
（3）实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标乘以该实数；
3、向量的坐标表示使得我们可以通过数的运算来研究图形的几何性质，体现了数形结合的思想方法；
前面我们还学习了共线向量，那么怎样运用坐标来表示和判定呢？这留待我们下一 节再来研究。
（六）课后作业
A、必做题：P114，习题5.4第1、2、3、4题．
B、选做题：已知三角形ABC，A（7，8）、B（3，5）、C（3，4），M、N是AB、AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于F点，求．
O
x
y
B
A
C
D1
D2
D3
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3
【教学目标】
1．理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量；
2．掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；
3．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.
【教学重难点】
教学重点 理解平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算．
教学难点 对平面向量坐标表示的理解．
【教学方法】
启发式 、讨论、类比
【教具准备】
直尺、投影仪、多媒体
【教学过程】
（一）情境引入（提出问题，激发学生学习兴趣）
以前，我们所讲的向量都是用有向线段表示，即几何的方法表示。向量是否可以用代数的方法，比如用坐标来表示呢？如果可能的话，向量的运算就可以通过坐标运算来完成，那么问题的解决肯定要方便的多。因此，我们有必要探究一下这个问题：平面向量的坐标运算。（板书课题）
（二）探索研究（教师当导演，学生做主演，教师积极启发学生思考）
1、平面向量的坐标表示的意义
[问题引入]
复习提问 1.请同学们用自己的语言叙述平面向量基本定理，以及基底的概念？
2.分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量 能否作为基底？
学生活动 学生很容易回答定理内容：
平面向量的基本定理:如果,是同一平面内的两个不共线向量.那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,使=+,其中,称为一组基底。
[知识形成]
教师引导 我们把平面向量置于直角坐标系中，欲在直角坐标系中研究平面向量。
●引导设问 我们知道在直角坐标系内，平面内的每一个点都可以用一对有序实数来表示，且点与坐标是一一对应的。既然向量的起点和终点的坐标是确定的，那么向量也可以用一对实数来表示吗？
教师讲授 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
…………
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作
…………
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示。
[概念深化]
◆提出问题
1、以原点O为起点作向量=，点A的位置是否唯一确定？
2、点A的坐标与向量的坐标有什么关系？
3、两个向量相等的充要条件利用坐标如何表示？
学生活动 学生依次回答上述问题，
1、点A的位置有向量唯一确定。
2、以原点O为起点的向量的坐标与终点A的坐标相同。
3、向量（以坐标原点为起点）相等的充要条件是向量的坐标相同。
教师强调 ：
1、点的坐标与以原点O为起点的向量的坐标建立一一对应的关系。
如图所示，在直角坐标平面内，以原点O为起点作则点A的位置被唯一确定。设，则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y),也就是向量的坐标。
2、在直角坐标系中向量可自由移动，只要大小和方向不变，它们的坐标就是相同的
3、两个向量相等的充要条件是两个向量的坐标相等
例1：用基底、分别表示向量、、、，并求出它们的坐标。
2、平面向量的坐标运算
●引导设问 以上，我们研究的是平面向量的坐标表示，我们知道向量是可以作运算的，请同学们运用所学的知识研究两个向量的和与差的坐标表示，及实数与向量积的坐标表示。
1．已知向量=（，），=（，），求向量+，-，的坐标。
○学生活动 学生可能有多种思路
代数推导
引导设问 你能根据上述过程再现-，的坐标推导过程吗？
学生活动 学生可独立完成坐标公式推导，并总结归纳出：
=(，)
●向量的坐标公式学生板演：如图所示，设是表示向量的有向线段，点， ，则，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。
★ 学生总结
（1）向量加减法的坐标等于向量坐标的加减法。
+=(+,+)，-=(-,-)
（2）实数与向量的积的坐标等于是属于向量坐标的积。
=(，)
（3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点坐标。
A（，），B（，），=(-,-)
▲教师强调
1：任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位置有关。
2：当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的坐标就是向量终点的坐标。
（三）典例精析
例2、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。
解：设顶点D的坐标为（x,y）, =（-1-（-2），3-1）
=（1，2），=（3-x,4-y）,由=，得（1，2）=（3-x,4-y）
x=2,y=2,顶点D的坐标为（2，2）。
变式引申：已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。
解：当平行四边形为ABCD时，由得D1=(2, 2)；
当平行四边形为ACDB时，得D2=(4, 6)；
当平行四边形为DACB时，得D3=(6, 0)。
（四）演练反馈：
1、下列说法正确的有（ B ）个
（1）向量的坐标即此向量终点的坐标
（2）位置不同的向量其坐标可能相同
（3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标
（4）相等的向量坐标一定相同
A．1 B．2 C．3 D．4
2、已知A（-1，5）和向量，若，则点B的坐标为___（5，4）_______。
3、已知：点A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），若(λ∈R) ，试求 为何值时，点P在一、三象限角平分线上？点P在第三象限内？
分析：可以用表示P的横坐标、纵坐标，再根据条件建立等量关系，求点P的坐标；
解：设点P的坐标为（x，y），则（x，y）-（2，3）=（x-2，y-3）
=[（5，4）-（3，2）]+ [（7，10）-（2，3）]=（3+5，1+7）
，
∴(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ)
∴ ∴
∴P(5+5λ，4+7λ)
(1)若点P在一、三象限角平分线上，则5+4λ=4+7λ
∴λ=
(2)若点P在第三象限内，则 ∴λ＜-1
∴即只要λ＜-1时，点P就在第三象限内.
（五）本课小结
本节课主要学面向量的坐标表示、坐标运算。
1、 向量的坐标表示是向量的另一种表示形式（也可以称之为向量的代数表示），其背景是向量基本定理；
2、 向量的坐标表示，为我们进行向量的运算打开了方便之门
（1）两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和；
（2）两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差；
（3）实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标乘以该实数；
3、向量的坐标表示使得我们可以通过数的运算来研究图形的几何性质，体现了数形结合的思想方法；
前面我们还学习了共线向量，那么怎样运用坐标来表示和判定呢？这留待我们下一 节再来研究。
（六）课后作业
A、必做题：P114，习题5.4第1、2、3、4题．
B、选做题：已知三角形ABC，A（7，8）、B（3，5）、C（3，4），M、N是AB、AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于F点，求．
O
x
y
B
A
C
D1
D2
D3
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