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《集合与函数概念》总结提高
一、运用知识、方法过程中应注意的问题
l.正确理解集合的概念必须掌握构成集合的两个必要条件：研究对象是具体的，其属性是确定的．
2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”．
3.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式(组)的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或Venn图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用Venn图表示，容易被忽视．如在关系式BA中，易漏掉B=的情况．21世纪教育网
4.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图是什么，用数形结合法解之．
5.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时要不重复不漏.
6.函数的单调性和奇偶性
(1)单调性：①函数单调性的定义；②单调函数的概念；③单调区间；④注意函数的单调区间可以是定义域，也可以是定义域的某个区间。在写单调性区间时，包括端点可以，不包括端点也可以，但对于某些点无意义时单调区间就不包括这些点.
(2)奇偶性：①奇偶性的定义；②奇偶函数的性质：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；③奇偶函数的定义域都关于原点对称．21世纪教育网
（3）在研究函数的单调性与奇偶性时,有时需要将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性问题．还必须注意函数单调性是与区间紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．
7.图象的作法：①据函数表达式，列表、扫描点、连光滑曲线；②利用函数的奇偶性、反函数的图象与对称性描绘函数图象．
二、知识、规律、方法总结21世纪教育网
1.数形结合法、分类讨论法是在解决集合关系问题上的常用方法．
2.相同函数的判定方法：①定义域相同；②对应关系相同(两点必须同时具备)．
3.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③解方程组法等．
4.函数的定义域的求法：列使函数有意义的自变量的不等关系，求解即可求得函数的定义域．常涉及到的依据有：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于O；③实际问题要考虑实际意义等．
5.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法．21世纪教育网
6.单调性的判定步骤：①设是所研究区间内任意两个自变量，且；②判定与的大小；③作差比较或作商比较．
7.函数的奇偶性的判定法：首先考查定义域是否关于原点对称，再看与之间的关系：①函数为偶函数，函数为奇函数；②为偶函数，为奇函数；③是偶函数，的奇函数，其中0．
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集合解题错误剖析
安徽 李庆社
集合主要考查同学们对集合基本概念的认识和理解，以及对集合语言和集合思想的运用．由于集合中的概念较多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，因而同学们在学习过程中常常会不知不觉地出错，下面对集合问题中常见的错误进行剖析．21世纪教育网
一、忽视空集的特殊性
例1 若，，且，求由实数组成的集合.
错解： 由，解得.
∵，∴，从而或.
当时，由，解得；
当时，由，解得.
故由实数组成的集合.
剖析：因为由交集定义容易知道，对于任何一个集合，都有，所以错解又忽视了时的情况. 正确的解法是：
①当时，同上解法，得或；21世纪教育网
②当时，由无实数根，解得．
综上可知，实数组成的集合.
例2 已知，，若，求实数的取值范围.
错解 ∵，∴或
解得，
故实数的取值范围是.
剖析：因为由并集定义容易知道，对于任何一个集合，都有，所以错解还是忽视了时的情况. 正确的解法是：[21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
①当时，同上解法，解得；
②当时，由，解得.
综上可知，实数的取值范围是.
二、忽视元素的互异性
例3 已知集合，，且，求实数的值．21世纪教育网
错解：，．
解得 ，或．
剖析：当时，中的元素为0，7，3，7，这与集合中元素的互异性矛盾，应舍去．当时，，故正确结果是．
三、忽视元素与集合的概念21世纪教育网21世纪教育网
例4 设为非空集合，，，，则 ．21世纪教育网
错解：．21世纪教育网
剖析：此题错解的原因是混淆了集合的元素和集合的子集的概念，是分别由，的真子集构成的集合，因而，的元素都是集合，显然既是又是的元素．
正解：．
四、忽视隐含条件
例5 设全集，，，
求实数的值．
错解：，，且，，
解得 或．
剖析：错解在于忽视了题目里的隐含条件．
正解：应继续对的值是否适合进行验证，
当时，，此时．
当时，，此时不是的子集．
所以的值只能为2．
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灵活应用函数性质解题
广东 任广维[来源:21世纪教育网
函数的单调性是相对于函数定义域内某个子区间而言的“局部”性质，它反映了函数在某区间上函数值的变化趋势；函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的“整体”性质，主要讨论的是函数的对称性．函数的这两个基本性质应用灵活、广泛，下面就其应用中的典型问题选解两例．
例1 已知，求函数的最值．
解：已知函数式可化为，先判断函数在上的增减性．
设，则，
，．
，即函数在上是减函数．
．
故所求函数的最小值为，无最大值．
评析：函数单调性在解题中的应用，主要表现在通过建立函数关系式或构造辅助函数式，把原问题转化为对函数单调性的讨论，以达到化难为易、化繁为简的目的．
例2 已知是奇函数，它在上是增函数，且，试问在上是增函数还是减函数？并证明你的结论．
分析：根据函数的单调性的定义，可以设，进而判断[来源:21世纪教育网]
的符号．[来源:21世纪教育网]
解：任取，且，则有．
在上是增函数，且，，
又是奇函数，，．21世纪教育网
于是，
在上是减函数．
评析：此题是一道抽象性较强的题，它综合应用了函数的性质．
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运用数学思想求解函数问题
函数中蕴含着丰富的数学思想方法，解题时若能充分运用这些数学思想方法，常可使许多问题获得简洁巧妙的解决．21世纪教育网
１．对应的思想21世纪教育网
在本章中，映射是一种对应，函数是一种对应，并且函数是按照某种对应关系建立的从定义域到值域的映射，因此函数的定义域、对应关系确定以后，值域就确定了，在解题中，一定注意函数定义域．[来源:21世纪教育网
例１ 已知集合Ｍ＝｛１，２，３｝，Ｎ＝｛４，５｝，函数以Ｍ为定义域，以Ｎ为值域，则这样的函数共有——————
解：
[来源:21世纪教育网]
21世纪教育网21世纪教育网
21世纪教育网21世纪教育网
图１
由图可知，这样的函数共有６个．
２．数形结合的思想方法
函数的图像直观地显示函数的性质，借助于图像来研究、解决有关函数的问题是数形结合应用的一个重要方面．在解不等式、判断方程是否有解、解的个数及二次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图像解题．
例2 方程的解的个数是（ ）21世纪教育网
Ａ．０个 Ｂ．１个 21世纪教育网
Ｃ．２个 Ｄ．３个 21世纪教育网
解：在同一坐标系画出函数
及的图像，
如图２，他们的图像有1个交点．故选Ｂ．
例3 已知＜０，下列不等式中成立的一个是（ ）
Ａ．＞ Ｂ．＞ Ｄ． Ｄ．
解：若在同一坐标系中分别作出的图象 ，
如图２所示，显然＜０时，，
即＜０时，．
３．分类讨论的思想
在函数这一部分经常涉及到分类讨论的情形，特别是含参数的二次函数在部分区间上的最值问题，含参数的函数单调性的研究及应用等问题中，一般需用分类讨论的思想方法．
例4 已知函数在区间［－，２］上的最大值为１，求实数的值．
解：＝０时，＝－－３，在［－，２］上不能取得１，故０．21世纪教育网21世纪教育网
（０）的对称轴方程为
（１）令，解得＝－，此时［－，２］21世纪教育网
∵ ＜０，最大，所以不合适．21世纪教育网
（２）令，解得＝，此时［－，２］
∵ ＝＞０， ∴最大，合适．
（３）令＝１，解得＝，验证后知只有＝才合适．
综上所述，＝，或＝．
４．转化与化归的思想
在解决恒成立及复合函数等问题时，往往可以把问题转化为指数函数、对数函数、二次函数、幂函数等我们熟悉的函数去研究，将复杂的问题分解、归结为简单问题．
例5 已知函数 ，，若对任意，＞０恒成立，试求实数的取值范围．
解：在区间［１，＋）上，＞０恒成立恒成立．
设，21世纪教育网
∵ ＝递增，
∴当＝１时，，当且仅当＞０时，函数＞０恒成立．21世纪教育网
故＞－３
５．函数与方程的思想
本章中学习了指数函数、对数函数，研究了分段函数，函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性．因此，用函数和方程的观点指导解题，是一种重要思想方法．
例6 设，且它们的绝对值都不大于１，求证：．21世纪教育网[来源:21世纪教育网
分析：构造函数，是关于的一次函数，由于［－1，1］,只要证明且，就能证明．
证明：设 ，是关于的一次函数
∵ 21世纪教育网
∴
∴在［－1，1］上恒为负， ∴．
评注：本题解法的关键在于要具有函数意识，能结合式子的特征构造出一次函数，从而由一次函数的图像性质，使问题得以解决．
１
２
３
４
５
１
２
３
４
５
１
２
３
４
５
１
２
３
４
５
１
２
３
４
５
１
２
３
４
５
Ｏ
ｘ
ｙ
1
１
图２
EMBED Equation.3
Ｏ
ｘ
ｙ
1
１
图3
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集合常见错误剖析
山东 王秀奎 雒义霞
集合主要考查同学们对集合基本概念的认识和理解，以及对集合语言和集合思想的运用．由于集合中的概念较多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，因而同学们在学习过程中常常会不知不觉地出错，下面对集合问题中常见的错误进行剖析．
一、忽视空集的特殊性
例1 已知集合，且，求实数的取值范围．
错解：由可知，方程有非正实根，又常数项不为零，故原方程只有负根，因此解得．
剖析：错解忽视了，由可知，漏掉了的情形．21世纪教育网
正解：（1）当时，同上解法，得；21世纪教育网
（2）当时，方程无实根，21世纪教育网21世纪教育网
所以，
解得．综上可知，的取值范围是．
二、忽视元素的互异性
例2 已知集合，，且，求实数的值．21世纪教育网
错解：，．
解得 ，或．
剖析：当时，中的元素为0，7，3，7，这与集合中元素的互异性矛盾，应舍去．当时，，故正确结果是．
三、忽视元素与集合的概念
例3 设为非空集合，，，
，则 ．
错解：．
剖析：此题错解的原因是混淆了集合的元素和集合的子集的概念，是分别由，的真子集构成的集合，因而，的元素都是集合，显然既是又是的元素．
正解：．
四、忽视隐含条件21世纪教育网
例4 设全集，，，[来源:21世纪教育网
求实数的值．
错解：，，且，，
解得 或．
剖析：错解在于忽视了题目里的隐含条件．
正解：应继续对的值是否适合进行验证，
当时，，此时．
当时，，此时不是的子集．
所以的值只能为2．
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集合中的新运算——差集
浙江 曾经
集合中的差集在中学课本中虽然没有出现，但在能力立意的高考中频频出现新定义的“差集”，下面加以介绍．
一、定义
定义：一般地，设A，B是两个集合，由所有属于A且不属于B的元素组成的集合，叫做集合A减集合B(或集合A与集合B之差)，记作A－B(或A\B)，即A－B＝{x|x∈A，且xB}(或A\B＝{x|x∈A，且xB}．
二、与补集异同21世纪教育网
⑴ 在中，要求B是A的子集；在A－B中，B可以不是A的子集．
⑵ 当B是A的子集时，有＝A－B．
三、例题选讲
例1 如果A＝{0，1，2，3}，B＝{1，2，4}，那么A－B＝_________．B－A＝_________．21世纪教育网
解：∵ 0∈A，3∈A，且0B，3B， ∴ A－B＝{0，3}．
∵ 4∈B，且4A， ∴ B－A＝{4}．
故应填{0，3}，{4}．21世纪教育网
例2 如果A＝{x|x是小于5的自然数}，B＝{1，2，3}．21世纪教育网
那么A－B=_________，B－A＝_________．
解：∵ A＝{0，1，2，3，4}，BA， ∴ A－B＝AB＝{0，4}，B－A＝．
故应填{0，4}，．
例3 设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x|x∈M且xP}，则P－(M－P)等于（ ）
A． P B． M∩P C． M∪P D． M
解：当M∩P≠时，由Ｖenn图知，M－P为图形中的阴影部分，则P－(M－P)显然为P．
当M∩P＝时，M－P＝M，则P－(M－P)＝P－M＝{x|x∈P且xM}＝P．
综上，应选A．
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求函数值域的常用方法
山东 周超
下面例析求函数值域的几种常用方法．
一、直接法（观察法）
适用于较简单的函数，从解析式观察，利用如等，直接得出它的值域．
例1 求函数，的值域．
解：由，，则．
所以函数的值域为．
二、配方法
适用于解析式中含有二次三项式的函数，同时要注意闭区间内的值域．
例2 求函数的值域．
解：配方，得，又，结合图象，知函数的值域是．
三、分离常数法
适用于分式型函数，且分子、分母是同次，这时通过多项式的除法，分离出常数，使问题简化．
例3 求函数的值域．
解：分离常数，得．
由，得，即有．
所以函数的值域是．
四、换元法
某些无理函数等，可通过换元法转化为有理函数再求解．21世纪教育网
例4 求函数的值域．
解：设，则，于是．21世纪教育网21世纪教育网
又，得．21世纪教育网
所以函数的值域是．
五、图象法
所谓图象法，就是利用函数图象的直观性，求得函数值域的方法．
例5 求函数的值域．21世纪教育网
解：将原函数的解析式中的绝对值去掉，得21世纪教育网
作出图象（如右图），显然．
所以函数的值域是．
21世纪教育网
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3
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2
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４
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忽视空集后的反思
浙江 陈金跃
空集具有特殊而重要的地位，但在解题的过程中极易被忽视，特别是在题设中隐含空集时，往往因忽视空集而导致错解. 所以，很有必要通过错解后的反思，来提高解集合题的正确率.
例1 若，，且，求由实数组成的集合.
错解： 由，解得.
∵，∴，从而或.[来源:21世纪教育网
当时，由，解得；21世纪教育网
当时，由，解得.
故由实数组成的集合.21世纪教育网
反思：因为由交集定义容易知道，对于任何一个集合，都有，所以错解又忽视了时的情况. 正确的解法是：
①当时，同上解法，得或；
②当时，由无实数根，解得．
综上可知，实数组成的集合.
例2 已知，，若，求实数的取值范围.
错解 ∵，∴或
解得，
故实数的取值范围是.
反思：因为由并集定义容易知道，对于任何一个集合，都有，所以错解还是忽视了时的情况. 正确的解法是：
①当时，同上解法，解得；
②当时，由，解得.[来源:21世纪教育网]
综上可知，实数的取值范围是.
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学好集合“三注意”
四川 罗能平
集合是同学们在高中接触的第一个数学概念，它在高中数学中发挥着巨大的作用，因此，大家必须努力学好它。实践表明，真正要掌握好集合并非一件易事，除了应充分理解课本上的内容外，还应注意以下几点。21世纪教育网21世纪教育网21世纪教育网
1、 注意符号“”、“”与“”、“”各自的用法．
这是同学们最不易掌握的内容之一，往往会将这些符号混用．实际上，“”与“”只能用于元素与集合之间；而“”与“”是用在两个集合之间．如1{1，2}；3{1，2}；{1}{1，2}；{a}{a，b}等等．
2、 注意“”的特殊性．21世纪教育网21世纪教育网
“”是不含任何元素的集合．但它在集合大家庭中的地位却不可小视，它有着自己的特殊性．
1、 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；
2、 只有唯一的一个子集（即它本身），而无真子集；
3、 任何一个集合与作交集运算都等于；
4、 任何一个集合A与作并集运算都等于A．
除此之外，大家还应注意与“0”、“{0}”、“{}”的区别与联系．这里值得一提的是，“{}”与“{}”都是正确的．在解题中，我们应注意考虑集合是空集的情形．
例1：已知集合P={x|x2+x―6=0},Q={x|mx―1=0}，若QP，求m的值．
错解：∵P={―3,2}, QP, ∴Q={―3}或Q={2}。
（1） 若Q={―3}，即(―3)m―1 =0, ∴m=―1/3；
（2） 若Q={2}，即2m―1=0,∴m=1/2．
故m=―1/3或m=1/2．
剖析：上述解答是不完整的，原因就在于忽视了空集的存在．显然，当Q=时，也
有QP，故Q={―3}或Q={2}或Q=，∴相应的m的值为 m=―1/3或1/2或0．
3、 注意数形结合思想
数形结合思想可帮助我们理解集合的本质含义，如在进行有些集合的运算时，借助数轴示意图表示集合与集合的关系，既易于理解，又能提高解题效率；又如对于集合的交、并、补等运算，用Venn图描述，比单纯用数学语言要形象直观．
例2：已知M={x|x1}，N={x|xa}且MN，则（ ）
（A）a≤1 （B）a1 （C）a≥1 （D）a1
分析：建立数轴，画出点集M、N（如下图），可知a≤1，所以选A．
N M
a 1
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集合运算典例解析
安徽 李庆社
例1设集合A＝｛x∈Z｜-10≤x≤-1｝，B＝｛x∈Z｜｜x｜≤5｝，则A∪B中的元素个数是 ( )
A.11 B.10 C.16 D.15
分析符号“∪”是“并集”，即指由A和B中元素合并在一起组成的集合，相同元素只计一次.用列举法知，A＝｛-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1｝，B＝｛-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5｝，因此，A∪B＝｛-10，-9，…，5｝，共含16个元素.∴选C.
例2已知集合A和集合B各含12个元素，A∩B含有4个元素，试求A∪B的元素个数.
解：设A∪B＝U，
因为card (A)＝12，card(B)＝12，且card(A∩B)＝4，
所以card(A∪B)＝card(A)+card(B)-card(A∩B)
＝12+12-4＝20。
点评：符号card(A)表示集合A中元素的个数，类似card(A∩B)等含义相同，它们之间有公式：
card(A∪B)＝card(A)+card(B)-card(A∩B).
例3试证A∪(A∩B)＝A.
证明：A∪(A∩B)＝(A∪A)∩(A∪B)＝A∩(A∪B)＝A.21世纪教育网
点评：∵AA∪B21世纪教育网
∴A∩(A∪B)＝A.
例4 在全国高中数学联赛第二试中只有三道题，已知(1)某校25个学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；(2)在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍；(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1；(4)只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，问共有多少学生只解出第二题
分析 本题的条件较多，利用文氏图，设解出第一、二、三道题的学生的集合为A、B、C，并用三个圆分别表示，如右图，则重叠部分表示同时解出两道题或三道题的集合，这样得到七个部分，其人数分别用a,b,c,d,e,f,g表示，然后，根据已知条件列出方程组求出b.
21世纪教育网
解：根据已知条件(1)，(2)，(3)，(4)可得
a+b+c+d+e+f+g＝25,①
b+f＝2(c+f),②
a＝d+e+g+1,③
a＝b+c.④
②代入①得a+2b-c+d+e+g＝25,⑤[来源:21世纪教育网
③代入⑤得2b-c+2d+2e+2g＝24,⑥
④代入⑤得3b+d+e+g＝25,⑦21世纪教育网
⑦×2-⑥得4b+c＝26.⑧21世纪教育网
由于c≥0，所以b≤6.
利用②、⑧消去c，得f＝b-2(26-4b)＝9b-52.21世纪教育网
因为f≥0，所以b≥5.
则有b＝6，即只解出第二题的学生有6人.
例5 已知A＝｛x｜x2+x-6＝0｝,B＝｛x｜mx+1＝0｝，且B∪A＝A，求实数m的取值范围.21世纪教育网
错解：∵A＝｛x｜x2+x-6＝0｝＝｛-3，2｝，且B∪A＝A，21世纪教育网
∴B＝｛-3｝，或B＝｛2｝，即-3m+1＝0，或2m+1＝0.
故m∈｛,-｝.21世纪教育网
分析：问题错在对集合B考虑的不全面，B＝｛x｜mx+1＝0｝代表方程mx+1＝0的解集，可以有一解，也可无解.而无解的情况是B＝，这种情况又恰恰满足B∪A＝A的题设条件.错的原因有两个，其一是忽略了mx+1＝0会无解；其二是忽略了A∪B＝ABA及是任何集合的子集.
正确解：∵A＝｛x｜x2+x-6＝0｝＝｛-3,2｝,且B＝｛x｜mx+1＝0｝，B∪A＝A，
∴B＝｛-3｝，B＝｛2｝，或B＝?，即-3m+1＝0，2m+1＝0，或m＝0.21世纪教育网21世纪教育网
故实数m∈｛,-，0｝.
例6 填空题
(1)已集集合A＝｛y｜y＝x2-6x+6,x∈R｝,B＝｛y｜y＝-x2+6x-6,x∈R｝，则A∩B＝＿＿＿＿
(2)已知集合A＝｛(x,y)｜y＝x2-6x+6,x∈R｝，B＝｛(x,y)｜y＝-x2+6x-6,x∈R｝，则A∩B＝＿＿＿＿。
(3)已知集合A的元素满足方程4a2+＝4a-1，a,b∈R，集合B＝｛x｜x(x2-1)(4x2-1)＝0｝.则A∩B＝＿＿＿＿。
分析 要特别注意分清楚每小题里的集合中元素是什么 它们分别有什么特征 [来源:21世纪教育网
(1)中集合A，B的元素都是函数y，它们分别表示两个函数的值域；
(2)中集合A，B的元素都是直角坐标系中点的坐标，它们分别表示两条抛物线上的点的集合；
(3)中集合A的元素要满足一个二元方程，它应该表示点(a,b)的集合；集合B中元素要满足一个一元方程，它表示这个方程的根的集合.
解：(1)由A知，y＝(x-3)2-3≥-3；
由B知,y＝-(x-3)2+3≤3.
利用数轴不难看出：
A∩B＝｛y｜-3≤y≤3｝.
(2)A∩B应该是这两条抛物线的交点，即解方程组解得方程组有两组解(3+，0)和(3-，0).
∴A∩B＝｛3+,0｝,(3-,0)｝.
(3)将方程4a2+＝4a-1配方，得(2a-1)2+＝0.
∵a、b∈R，∴a＝且b＝-1.∴A＝｛(a,b)｜(，-1)｝.
解方程x(x2-1)(4x2-1)＝0，得x＝0，或x＝±1，或x＝±.
∴B＝｛-1，-，0，，1｝. ∴A∩B＝.
点评：解答第(3)小题，很容易出现下面错误解法，即误认为A＝｛-1，｝，从而得出A∩B＝｛-1，｝.应引起我们的重视.
例7已知集合A＝｛1，3，-x3｝，B＝｛1，x+2｝.是否存在实数x，使得B∪(CSB)＝A 实数x若存在，求出集合A和B；若不存在，请说明理由.
分析：解答本例的关键是两点：21世纪教育网
(1)理解B∪(CSB)＝A的含义；21世纪教育网
(2)学会分情况讨论或验证数学问题.
解：∵B∪(CSB)＝A，∴BA.
(1)若x+2＝3，则x＝1，符合题意；
(2)若x+2＝-x3，则x＝-1，但不合题意.21世纪教育网
∴当x＝1时，A＝｛1，3，-1｝，B＝｛1，3｝.
点评：有些数学问题，很难从整体着手解决，需从分割入手，把整体科学合理地划分为若干个局部独立的问题，通过逐一解决这些问题，达到整体问题的解决.这种重要的数学思想方法就是分类讨论的方法，要学会这种思维方法。
练习21世纪教育网
1、设关于x的方程x2+px-12＝0,x2+qx+r＝0的解集分别为A、B且A≠B，A∪B＝｛-3，4｝，A∩B＝｛-3｝，求p,q,r的值.
2、已知集合A＝｛x｜2a≤x≤a2+1｝,B＝｛x｜x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0｝，求使AB的a 的取值范围.
3、设A＝｛x｜x2-3x-2＝0｝，B＝｛x｜x2-ax+2＝0｝，若A∪B＝A，求由实数a的值组成的集合.[来源:21世纪教育网
4、某班共有学生50名，其中参加数学课外小组的学生有22名，参加物理课外小组的学生有18名，同时参加数学、物理两个课外小组的有13名，问：（1）数学和物理两个小组至少参加一个的学生有多少名？（2）数学和物理两个课外小组都不参加的学生有多少名？
参考答案
1、由A∩B＝｛-3｝，可知方程x2+px-12＝0有根-3，故有(-3)2-3p-12＝0即3p＝-3, ∴ p＝-1,此时A＝｛x｜x2-x-12＝0｝，即A＝｛-3,4｝，又A≠B，A∪B＝｛-3，4｝，A∩B＝｛-3｝，可知方程x2+qx+r＝0只能有重根-3，即这个方程为(x+3)+＝0 即x2+6x+9＝ 0，故q＝6,r＝9 ∴p＝-1,q＝6,r＝9.
2、B＝｛x｜(x-2)［x-(3a+1)］≤0｝，故当3a+1≥2，即a≥时，B＝｛x｜2≤x≤3a+1｝;当3a+1＜2即a＜时，B＝｛x｜3a+1≤x≤2｝又AB，故
或
解得 1≤a≤3，或a＝-1。
3、由A∪B＝A可知BA，化简集合A得A＝｛1，2｝，∴B可为｛1，2｝，｛1｝，｛2｝， 四种情形.
当B＝｛1，2｝＝A时，显然a＝3
当B＝｛1｝或｛2｝时，方程x2-ax+2＝0有等根，而由韦达定理知x1·x2＝2故等根为-或，故B≠｛1｝，B≠｛2｝.
当B＝时，方程x2-ax+2＝0无实根，故Δ=a2-8＜0，得-2＜a＜2.故所求a值的集合为｛3｝∪｛a｜-2＜a＜2｝.
4、解：设全集 为，集合，集合
，则中有50个元素，中有元素22个，中有元素18个， 中有元素13个，中含有22－13=9（个），中含元素18－13=5（个）， 中含元素9+13+5=27（个），（ ）中含有元素50－27=23（个），（1）数学和物理两个课外小组至少参加一个小组的学生有27名；（2）数学和物理两个课外小组都不参加的学生有23名。
[来源:21世纪教育网]21世纪教育网
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一次函数的应用
四川 王丽
一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛．当人们在社会生活中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量间的线性关系，则可利用一次函数解决．21世纪教育网
例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到获取更多利润的目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法．这时我们应三思而后行，利用头脑中的数学知识，作出明智的选择，以免上了商家设下的圈套，吃了眼前亏．[来源:21世纪教育网]
下面，我就为大家讲述我亲身经历的一件事．21世纪教育网
随着优惠形式的多样化，“可选择性优惠”逐渐被越来越多的经营者采用．一次，我去“物美”超市购物，一块醒目的牌子吸引了我，上面说该商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，在所需茶壶和茶杯一次性购买的情况下，该店推出两种优惠方法：①买一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）；②打九折（即按购买总价的付款）．现在我需购买茶壶4个，茶杯若干个（不少于4个），那么我用哪种优惠办法付款更省钱呢？我便很自然地联想到了运用函数知识解决此问题．
设买茶杯只，付款元（，且），则
用第一种方法需付款；
用第二种方法需付款．
接着比较的相对大小．
设．
然后便要进行讨论：21世纪教育网
当时，，即；
当时，；
当时，．
综上可知，当所购茶杯多于24只时，法②省钱；恰好购买24只时，两种方法均可；购买个数在4～23之间时，法①便宜．
可见，利用一次函数来指导购物，既锻炼了数学头脑、发散了思维，又节省了钱财、杜绝了浪费，真是一举两得啊！
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学习函数性质三注意
河北 崔丽英
一、注意特殊函数的存在
例1 判断函数的奇偶性．
错解：函数的定义域为，关于原点对称．
又，21世纪教育网
函数是偶函数．[来源:21世纪教育网]
分析：上述解法是错误的，因为忽视了定义域关于原点对称的函数既是奇函数也是偶函数．
正解：由题易知，函数的定义域为，此时，因而函数既是奇函数又是偶函数．
二、注意对参数的讨论21世纪教育网
例2 判断函数的奇偶性．
错解：显然函数定义域为．
，，
则，且，
函数既不是奇函数，也不是偶函数．
分析：此解法错误的原因在于未考虑到这种特殊情形，以致解题结果不完整．
正解：当时，函数，此时为偶函数；
当时，，，，，此时函数既不是奇函数，也不是偶函数．21世纪教育网
三、注意隐含条件
例3 已知函数是增函数，定义域为，且，，求满足的的取值范围．
错解：因为，，
所以．
又因为在上是增函数，所以，解得．
即的取值范围是．
分析：错解忽视了函数的定义域为这一隐含条件，[来源:21世纪教育网
即如果，必须，，且．
正解：由题意，得
解得 ．[来源:21世纪教育网
所以的取值范围是．
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教你理解函数的概念
山东 高纬中
我们已经知道从集合A到集合B(A、B是非空数集)的一个函数是:
,记作y.
也就是:
xy
这里的x是定义域中任意值,当x变化时也成立,即:[来源:21世纪教育网
当a时,a y;21世纪教育网
当x+1时,x+1 y;
当 时, y;
当x2+2x-1时, x2+2x-1 y;
当g(x)时,g(x) y;
总之,当x取什么值时,与之对应的函数值y=f(x)中的x就得换成对应的x之值.
下面从例子中进一步领会这个意义.
例1.已知且
(1)求，f(2)，g(2)的值；
(2)求f[的值；21世纪教育网
(3)求f[和g[的解析式．
分析：按自变量的取值代入函数式求之.
解:[来源:21世纪教育网
.
g[]=g()=()2+2.
评注:求函数值时，要正确理解对应法则“f”和“g”的含义;求f[g(x)]时，应先
求g(x)，然后将f(x)解析式中的x换为g(x),同时要注意函数的定义域．
21世纪教育网
例2.已知的定义域为，求下列函数的定义域：
;②y=.
分析:区间是函数中的x的取值范围, 函数的定义域是
中的x的取值范围,它由的取值范围来确定,其余同理解决.
解:的定义域为∴
即解得或因此的定义域为-1].
②的定义域为,∴中的x须满足,
∴(这里要注意,不要出错!),|x|,∴,故y=f(x2)的定义域是[-1.1].
评注: 的对应法则不是“f”,而是由“f”和“取倒数”复合而成的,
函数y=的对应法则是由“f”和“平方”复合而成的.
例3. 已知f(x)的定义域是[a,b],且a+b>0,求的定义域.
分析:要是函数有意义,必须使同时有意义,故可列出中的x的满足条件.[来源:21世纪教育网
解:∵f(x)的定义域是[a,b],∴F(x)中的x须满足
,此不等式组的解即是函数的定义域.
当时，-a<0,由数轴(如图1),可得[来源:21世纪教育网
定义域为，即函数不存在；21世纪教育网
当时，由数轴(如图2),可得定义城为(O}；
当时，∵a+b>0,∴b>-a>0,由数轴(如图3)可得定义城为
评注:在以后的学习中,只要碰到不等式有关的解的问题,一般都用数轴来确定最后的答案.21世纪教育网
从以上的例子中可以发现,在处理有关函数的问题时,函数式中的变量x是随着x的变化而变化的,在函数的学习中必须首先弄清这一点.
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高中数学①1.3教材解读
河北 赵春祥 山东 董秀娟
[来源:21世纪教育网
一、函数的单调性与最大（小）值
１．函数的单调区间是其定义域的子集，因此在讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域．
２．是给定区间上任意两个值，帮可取遍给定区间上每一个值．函数的单调性反映了函数在给定区间上的函数值的变化情况，它可能是定义域上的整体性质，也可能是局部性质．如果函数在多个区间单调性相同，区间之间用“，”分割，或用“和”相连，一般不用“”．
３．从函数图象可知，对区间上任意两实数且，当恒有时，函数必为减函数；而当恒有时，函数必为增函数．
4． 证明函数单调性的一般步骤
（１）设为给定区间内的任意两个值，且；
（２）大小的确定．一般用作差法将与0比较大小；或在同号情况下将与1比较大小，并对它进行有利于判断符号的变形，如因式分解、配方、有理化等．
（３）判定函数的单调性．
５．函数的单调性具有广泛的应用性．可以利用函数的单调性比较函数值的大小，也可以转化为比较自变量的大小．
6． 对于函数，其定义域为，则[来源:21世纪教育网
（１）若存在，使得对于任意，恒有成立，则称是函数的最小值；
（２）若存在，使得对于任意，恒有成立，则称是函数的最大值．
７．函数的最值与函数的值域有着密切的联系．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．
８．函数的最小（大）值，实际上是函数图象的最低（高）点的纵坐标，因而有时借助函数图形的直观性可得出函数的最值．
二、函数的奇偶性[来源:21世纪教育网]
1． 由函数奇偶性定义可知，在定义域内，那么也在定义域内，所以函数存在奇偶性的前提条件是函数的定义域必须关于原点对称．故判断函数的奇偶性时，首先看定义域是否关于原点对称，若定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，但函数的定义域关于原点对称并不一定在原点处有定义，如．
2． 奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据：为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简或应用定义的等价形式，即若或（其中），则为奇函数；若或（其中），则为偶函数．
3． 由奇函数定义知，点与点关于原点对称，又由的任意性可知，其图象关于原点对称，即奇函数的图象关于原点对称；同理可知，偶函数的图象关于轴对称，反之也成立．因此研究有关函数奇偶性的问题，可以借助函数的图象特征进行分析．[来源:21世纪教育网
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第一章：集合与函数概念
一、教材的地位和作用
集合概念及其基本理论，称为集合论，是近代数学的一个重要的基础．一方面，许多重要的学科，如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．函数是高中数学的重要内容.在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在学生周围，因此，教科书采用了从实际例子中抽象概括中用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念.21世纪教育网
二、知识结构网络
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三、教学要求的变化
1．元素的性质—互异性.
2．Venn的要求提高，体会直观图示对理解抽象概念的作用.如P12B组4
3．对求函数的定义域、值域的要求降低了，但基本函数的定义域值域必须掌握.
4．对求函数的概念的要求较高，特别是对函数的图象要求更高.
如：P21例5、P23练习2 、P25B组1、2等.建议集合讲完后先复习初中学过的正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的图象以及函数图象的平移和的图象怎样由变化得到.借助二次函数图象解一些简单的一元二次不等式.
5．用定义证明函数的单调性不能少，下列几种函数必须掌握、、（）、.
6．函数的奇偶性不能弱化，奇函数的图象特征和性质、偶函数图象特征和性质必须掌握.奇函数以、为代表，偶函数以，为代表. 如:P396这样的题目必须得讲清楚.
7．复合函数求解析式必须掌握.
四、典型例题解析
例1：已知集合，则集合=（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，2}
例2：A={x|x
例3：已知集合，若，则= .
例4：已知集合，其中，且，求q的值.
例5：已知定义在R上的偶函数在为增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
例6：已知，则= .
例7：已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
例8：已知函数，
（1） 判断函数的奇偶性；
（2） 证明在上是减函数.21世纪教育网
例9：已知定义在[-2，2]上的奇函数在其定义域内是增函数，试解不等式.
集合
集合与元素的概念
集合的分类
有限集（特殊：空集）
无限集
元素的性质
确定性
互异性（重点）
无序性
集合的表示法
列举法
描述法（重点）
图示法：文氏图，数轴
集合与元素的关系
属于、不属于
集合与集合的关系
包含关系
运算关系
子集
真子集
相等
全集
补集CUA={x|xU且xA}
交集AB={xA且xB}
并集AB={xA或xB}
函数概念
函数表示方法
解析法
函数基本性质
单调性与最值
图象法
奇偶性
列表法
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函数思想在解题中的应用
函数是中学数学中最重要的概念之一，内容十分丰富，构成了一个完整的知识体系．在数学学习中，我们应重视培养以函数为桥梁，根据实际问题建立函数观念，灵活应用函数思想与方法去分析和解决问题的能力．
函数思想方法，就是要用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、处理问题．
利用函数处理问题，须深刻理解，熟练掌握各种函数的具体特征及函数的单调性、最值、图象变换等，这是利用函数思想解题的必备基础．同时要善于观察问题的结构特征，揭示内在联系，挖掘隐含的特征，从而恰当构造函数和准确利用函数性质，使问题得以解决．
例１ 已知关于的方程的两实根一个小于１，另一个大于１，求实数的取值范围．
分析：若直接利用求根公式解答此题，则要解复杂的无理不等式组，如果从函数观点出发，令＝，则由根的分布，[来源:21世纪教育网
函数的图象只能如图1，图2所示.
对应的条件分别是 [21世纪教育网
图1 图2
解：由以上分析可知，令＝，为使方程＝０的两实根一个小于１，另一个大于１，只需
即 解得.
评注：本题是一个利用函数图象解决方程根的分布问题的典型例题，一般地，关于根的分布问题，均可引入函数，由函数图象的特征构造解法，使问题得到巧妙解决．21世纪教育网
例2 设，且它们的绝对值都不大于１，求证：．21世纪教育网
分析：构造函数，是关于的一次函数，由于［－1，1］，因此，只要证明且，就能证明.
证明：设 ，是关于的一次函数.
∵ ，
∴，
.
∴在［－1，1］上恒为负. ∴．
评注：本题解法的关键在于要具有函数意识，能结合式子的特征构造出一次函数，从而根据一次函数的图象性质，使问题得以解决．
例3 对任意的［－１，１］，函数＝的值总大于０，试求的取值范围．
分析：观察所给的函数式，如果看作关于的二次函数式，则感到无从下手，如果重新调整函数关系式，写成关于的一次函数，利用一次函数的单调性，则问题便迎刃而解．
解：视为关于的函数，令为关于的一次函数，故须使在［－１，１］上恒大于０，则 解得＜１或＞３．[来源:21世纪教育网
评注：一般地，对于一次函数＝，在范围内，＞０恒成立等价于
Ｏ
１
Ｏ
１
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函数解析式的表示形式及五种确定方式
山东 胡彬
函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。
一、解析式的表达形式
解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。
1、一般式是大部分函数的表达形式，例
一次函数：
二次函数：
反比例函数：
正比例函数：
2、分段式[来源:21世纪教育网]
若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。
例1、设函数，则满足的x的值为 。
解：当时，由得，，与矛盾；
当时，由得，。
∴
3、复合式
若y是u的函数，u又是x的函数，即，那么y关于x的函数叫做f和g的复合函数。
例2、已知，则 ， 。[来源:21世纪教育网
解：
21世纪教育网[来源:21世纪教育网
二、解析式的求法
根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。
1待定系数法
若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。
例3、已知二次函数满足且图象在轴上的截距为1，被轴截得的线段长为，求函数的解析式。
分析：二次函数的解析式有三种形式：
1 一般式：
2 顶点式：
3 双根式：
解法1：设，则
由轴上的截距为1知：，即c=1 ①
∴
由知：
整理得：, 即： ②
由被轴截得的线段长为知，，21世纪教育网
即. 得:.
整理得： ③
由②③得： , ∴ .21世纪教育网
解法2：由知：二次函数对称轴为，所以设；以下从略。
解法3：由知：二次函数对称轴为；由被轴截得的线段长为知，；
易知函数与轴的两交点为，所以设，以下从略。21世纪教育网
2、换元法
例4、已知：，求。
解：设，则，，代入已知得
∴
注意：使用换元法要注意的范围限制，这是一个极易忽略的地方。
3、配凑法21世纪教育网
例5、已知：，求。
解：
∴
注意：1、使用配凑法也要注意自变量的范围限制；[来源:21世纪教育网
2、换元法和配凑法在解题时可以通用，若一题能用换元法求解析式，则也能用配凑法求解析式。
4、赋值（式）法21世纪教育网
例6、已知函数对于一切实数都有成立，且。
(1)求的值；
(2)求的解析式。
解：（1） 取，则有
（2）取，则有.
整理得：
5、方程法
例7、已知：，求。
解：已知：①
用去代换①中的得 : ②
由①×2－②得：.
跟踪练习
1、设函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2、（1998上海）函数的最大值是 。
3、已知：，求。
4、已知：为二次函数，且，求。
参考答案：1、D 2、4 3、 4、
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集合相等的性质及应用
河北 杨新兰
两个集合相等是集合之间的一个重要关系，集合A和B相等的概念应分几个层次去理解．
⑴若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．
⑵对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A = B．
⑶对于两个集合A 和B，如果AB，同时BA ，那么就说这两个集合相等，记作 A = B．
⑷对于两个有限数集A = B ，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：①两个集合的元素个数相等；②两个集合的元素之和相等；③两个集合的元素之积相等． 21世纪教育网
由此知，集合A 与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．21世纪教育网
例1 设集合 A = { a| a = 3n + 2 ，n∈Z }， B = { b| b = 3k－1 ，k∈Z }，试证明集合A = B．
证明：先证明AB ．设任一元素a∈A ，则a = 3n + 2 = 3( n + 1 ) －1 (n ∈Z)，
由于n ∈Z，则n + 1 ∈Z，所以有a∈B，故AB．
再证明BA．又设一元素 b∈B ，则 b = 3k－1 = 3( k－1) + 2 ，（k ∈Z）．
因为k ∈Z，则k－1∈Z．所以b∈A ，故BA ．21世纪教育网
由此可知A = B ．21世纪教育网
例２ 已知集合 A = { m，，1}，集合 B = {m，m + n，0}，若A = B ，求实数m、n的值．
解：由 A = B ，得
由集合的互异性可知m≠1．所以m =－1，n = 0．
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运用韦恩图解题“三层次”
浙江 周宇美
由于图形简明、直观，因此很多数学问题解题往往借助于图形来分析，下面例析运用集合中“韦恩图”解题的三层次：识图——用图——构图．
一、识图21世纪教育网
是指给出韦恩图形式，用集合的交、并及补等集合的运算表示．
例1 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
(A) （M∩P）∩S
(B) （M∩P）∪S
(C) （M∩P）∩I S
(D) （M∩P）∪I S
解：阴影部分是M与P的公共部分(转化为集合语言就是M∩P)，且在S的外部(转化为集合语言就是I S)，故选(C)．
例2 用集合A、B及它们的交集、并集、补集的符号表示阴影部分的集合，正确的表达式是（ ）
(A) (A∪B)－(A∩B)21世纪教育网21世纪教育网[21世纪教育网
(B) U (A∩B)
(C) (A∩UB)∪(UA∩B)
(D) U (A∪B)∩U (A∩B)
解：阴影有两部分，左边部分在A内且B外(转化成集合语言就是A∩UB)，右边部分在B内且A外(转化成集合语言就是UA∩B)，故选(C)．
21世纪教育网
二、用图
例3设U是全集，非空集合P、Q 满足PQU，若含P、Q 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_______（只要写出一个表达式）.
解 将集合语言用韦恩图表示，
如图1，极易得到其多种答案：[来源:21世纪教育网
⑴UQ∩P；
⑵P∩(UP∩Q)；
⑶UQ∩(P∪Q)；等等.
例4 已知全集I＝N*，集合A={x│x=2n，n∈N*}，B={x│x＝4n，n∈N*}，则 ( )
(A) (B)
(C) (D)
解：根据题意，易得B?A，画出韦恩图
(如图2)，显然I＝A∪IB，故选(C)．
例5 设全集U ＝{x|0＜x≤10，x∈N*}，若A∩B＝{3}，A∩UB＝{1，5，7}，UA∩UB＝{9}，求A，B．
分析：本题关系较为复杂，由推理的方法较难，而用韦恩图，则显得简捷．
解：由U ＝{1，2，3，…，9}，据题意，画韦恩图，如右图，易得A＝{1，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．
三、构图
对于某些应用题，若能构造韦恩图求解，可使问题变得简单明了．
例6 某班50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既会讲英语又会讲日语的有14人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？
解：设全集U＝{某班50名学生}，A＝{会讲英语的学生}，B＝{会讲日语的学生}，A∩B＝{既会讲英语又会讲日语的学生}，则由韦恩图知，既不会英语又不会日语的学生有：50－22－14－6＝8(人)．
21世纪教育网
[21世纪教育网
例7 50名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确有40人，化学实验做得正确有31人，两种实验都做错的有4人，问这两种实验都做对的有多少人？
解：设全集U ＝{做理化实验的50名学生}，A＝{做对物理实验的学生}，B＝{做对化学实验的学生}，A∩B＝{两种实验都做对的学生}，并设Card(A∩B)＝x，则由韦恩图(图略)，知21世纪教育网
40－x＋x＋31－x＋40＝50，解得x＝25．
即两种实验都做对有25人．
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判断函数奇偶性的几种常见错误
四川 毛仕理
初学函数奇偶性的同学，在利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性时，常会由于基础知识掌握不牢，产生以下几种错误．
1.错用定义
例1 判断函数的奇偶性．21世纪教育网
错解：当时，；
当时，，21世纪教育网
当时，函数是偶函数．21世纪教育网
当时，函数是奇函数．
剖析：函数的奇偶性在关于原点对称的定义域内是一致的，不能把定义域分割开来，“当时，函数是偶函数；当时，函数是奇函数”这种说法本身就是错误的．
正解：当时，，；
当时，，．
故函数既不是奇函数也不是偶函数．[来源:21世纪教育网]
2.对函数本质认识不透
例2 判断函数的奇偶性．21世纪教育网
错解：，
，且．
故此函数是偶函数，但不是奇函数．
剖析：表面上看，以上结论似乎无懈可击，便考虑到函数的定义域是，值域是，故函数的解析式可简化为，．21世纪教育网
正解：，，，且．
故此函数既是奇函数又是偶函数．
3.顾此失彼
例3 判断函数的奇偶性．
错解：当时，；
当时，．
函数是奇函数．21世纪教育网
剖析：尽管对于定义域内的每一个，都有成立，
但当时，，
函数既不是奇函数也不是偶函数．
此外，应特别注意，若函数是奇函数，则对定义域内的每一个，都有，特别当属于定义域时，有，所以．因此，一般地，有以下结论：奇函数要么在处没有定义，要么在处的函数值为0，即．在例3中如果能去掉函数在处的定义（或在处定义），那么这个函数就是奇函数了．
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高中数学①1.2教材解读
江苏 王佩其
函数是数学大厦的基石，而掌握函数概念是学好高中数学的一个重要前提，那么，在学习函数概念时我们应该注意哪些问题呢？
1．深刻领会函数两个定义的一致性
函数是一种特殊的映射 (集合A,B为数集），初中学的函数概念和高中用映射定义的函数概念本质上是一致的，都说明了对于原象集合中的任意一个元素（自变量），在象的集合中都有唯一确定的元素（因变量）和它对应这样一个事实．
2．正确理解符号y=f(x)的涵义
函数的对应关系就是自变量x和因变量y之间的依从关系，它表示对自变量x施加的一种运算f ,是函数的实质.对应关系可以是一个或几个解析式，也可以是图表或图象．符号“y=f(x)”是“y是x的函数”这句话的数学表示，它仅仅是一个数学符号，并不表示“y等于f与x的乘积”，这是初学函数概念时同学们容易搞错的地方.有时也用y=g(x)、y=h(x)等符号表示函数．f (x)与f(a)是不同的，前者为函数，后者为函数值，y=f(a)表示函数y=f(x)在自变量x=a时的函数值．
3．分段函数
函数y=f(x)用解析式表示时，由多个式子组成．如：，通常称这类函数为分段函数.
４．函数图象
函数的图象具有多样性，可以是一条连续的曲线、间断不连续的曲线或一些孤立的点．如：f(x)=的图象是由两条曲线构成的，每一条应视作该图象的一部分，而不应看作“两个”图象．
５．牢牢把握函数的三要素：定义域、对应关系、值域
函数的三要素：定义域、对应关系、值域．定义域决定了自变量x的取值范围，对应关系确定了y的值，值域由定义域和对应关系即可完全确定．如果两个函数的定义域和对应关系相同，则它们就是相同的函数．由纯数学式子确定的函数，其定义域是使该数学式子有意义的自变量x的取值范围，它的基本要求为：
①分式函数的分母不等于零；②根式中偶次根式被开方数非负；③分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；④若函数的表达式是由几个数学式子组合而成的，则该函数的定义域是各个数学式子定义域的公共部分;⑤实际问题中还须考虑自变量x所代表的具体量的允许范围．
例 已知21世纪教育网[来源:21世纪教育网
1 求f(x)的；
2 求f(2x+1)的．
分析：是指,在求f(x)定义域时应视为一整体求出的范围即可；求出f(x)定义域后，在求f(2x+1)的时把2x+1看着f(x)的自变量应有 ，进而求出x 的范围．
解： ①因为所以，故f(x)的定义域为;[来源:21世纪教育网]
②因为f(x)的定义域为，所以，故. 21世纪教育网
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抓住元素是关键
四川 毛仕理
[来源:21世纪教育网
集合学习中，出现了十几个新名词并且都很抽象．在这千头万绪中，应该抓住关键，这个关键就是“元素”．遇到集合问题，首先要弄清：集合里的元素是什么．21世纪教育网
例１ 已知集合M={直线}，N={抛物线}，则M∩N中元素的个数为( )
(A)0 (B)0，1，2其中之一 (C)无数个 (D)无法确定
解： M中的元素为直线，N中的元素为抛物线，由于既是直线而又是抛物线的图形不存在，故M∩N=φ，选A．
评注：若不弄清M，N中的元素，误认为是“点”，则直线与抛物线有相离、相切、相交三种关系，就会误选B．[来源:21世纪教育网]
例２ 化简集合 A=.
解法1： 解方程组得x=，y=-，所以A可化简为A1=．
解法2： 解方程组得(，-)，所以A可化简为A2=．
评注： A1表示的是两个方程，A2表示的是两个实数，它们都是二元素集合,而A的元素是一个实数对(两直线的交点),它是一个单元素集合,应表示为A=(列举法)，或A=(描述法)．
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集合学习的几点注记
安徽 李庆社
集合知识，是掌握和使用数学语言的基础，在学习函数及其他后续内容时，将得到充分运用。为了更好地掌握它，同学们在学习中要注意以下方面的问题。
1.注意运用数形结合思想
例1.设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
解：利用韦恩图可知，选B。
评注：集合问题大都比较抽象，解题时尽可能借助韦恩图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题具体化。
2.注意运用补集思想
例2.已知集合，，若，求k的取值范围。
解：由已知可得，。
若，则，即；
令，则。
。
评注：的反面是，求困难时，可考虑求其反面，“正难则反”是一种重要的解题策略。
3.注意命题的否定与否命题的区别
例3.“若”的否命题是_____________。
解：“若”
评注：对于命题“若p则q”，其命题的否定是“若p则”（逻辑联结词“非”通常只否定结论），而它的否命题是“若则”。
4.注意从集合角度掌握充分条件、必要条件
例4.已知，有的必要条件，求实数a的取值范围。
解：由是的必要条件，即当xQ时，有xP
所以，从而可得，故。
评注：由xP是xQ的必要条件，得是解本题的关键。
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谈集合交并计数公式的妙用
山东 李锦昱
集合的运算中交并公式（以下简称为公式）被形象地称为集合运算中的“多退少补”.公式所蕴含的数学思想方法是同学们学习中要学会的，同时该公式有许多妙用，请看下面两例. 21世纪教育网
例1 为了保证出版物的质量，出版社经常由两人进行独立校对同一校样，如果甲发现120处错误，乙发现110处错误，其中有92处错误是共同的，能否据此估计出校样中有多少处错误？他们两人可能遗漏了多少处错误？
解 设共有处错误，则甲发现错误的概率（即校对能力）是.但对于乙发现的110处错误，甲发现了92处，故甲的校对能力又可以表示为，显然=，解之得.又假设两人遗漏了处错误，由集合交并公式可得，解之得.虽然两人校对能力比较强，仍然有5处错误“幸运”地成为“漏网之鱼”！
当前各编辑部的人手普遍较少，编辑又大多身兼数职，出现错误的确难免！当然，老编们最大的愿望是奉献出精品刊物的同时，把出错率降到最低限度！请你也理解老编的难处！
例2 棱长为5的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体表面积（含孔内各面）与体积分别是（）
A．258、125 B．234、106 C．222、101 D．210、95[来源:21世纪教育网]
解 用集合运算的观点可以通过韦恩图虚拟出正方形孔的特征，然后将其作为集合中元素作定性分析，可得去掉的小孔从上下、左右、前后看各
有10个，但上下与左右、上下与前后、左右与前后都有2
个公共的小孔，其表面积计算应为：正方体表面有
个，从上下、左右、前后看各有
个，其表面积为，21世纪教育网
选C.当然问题还可以理解为：该有孔正方体表面积
（含孔内各面）应该是：.其中的含义分别为正方体的表面积、加6个“通孔”的内壁面积、减正方体表面的12个小正方形面积、再减“通孔”中6个交叉部分的小正方体的表面积，因此选C.再从体积方面分析：若没有孔的话，体积应该为，
现在前后、左右、上下有6个“通孔”，每一个体积为， 21世纪教育网
其体积为，但任意一个“通孔”与另外两个“通孔”有交叉部
分，这样共有6个交叉部分，所以剩余几何体的体积为
.
这种理解是不是体现了集合运算中的“多退少补”的思想呢？
前后
左右
上下
重庆卷文科试题韦恩图
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“伏兵”一现，马到成功
——集合与函数易错点分析
广东 欧阳先平
一。因概念不清致错21世纪教育网
1．y=log2(Ax2+Ax+1)的定义域为R，求A的取值范围。
【错解】∵y=log2(Ax2+Ax+1)的定义域为R，∴ Ax2+Ax+1>0在R上恒成立，即：[来源:21世纪教育网]
,解得0 伏兵 ：Ax2+Ax+1>0此不等式不一定是一元二次不等式。
【正解】①当A=0时，y=0，满足条件，即函数y=0的定义域为R；
②当A≠0时，由题意得：,解得0由①②得A的取值范围为[0，4）。
【评注】把握二次函数的定义是关键。
2．已知集合A={y|y=x2-1,x∈R}，集合B={x|x2-1>0}，则A∩B=___________
伏兵 :在集合的描述法表示中，“|”前的符号只是代表元素，而不是集合中的元素是该符号。“|”后的关系式表示集合中元素满足的属性。21世纪教育网
二．因要求不明致错
3．函数的反函数为_________________________21世纪教育网
4．已知f(-1)=1-x，则f(x)=_____________________
伏兵 求反函数与求函数的解析式须注明定义域。
5．函数y=x+的一个单调增区间是___________________________
伏兵 求函数单调性时，不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示．
三．因考虑不周致错
6．函数y=logA(x2-2x+2A-A2)的单调递增区间为_____________________
伏兵 对数函数的真数为正
7．函数y=的奇偶性为_______________21世纪教育网
8．判断函数f(x)=(x－1)的奇偶性为___
伏兵 一个函数具有奇偶性的（必要）条件为:定义域关于原点对称
9．已知集合A=｛xx2+(p+2)x+1=0, p∈R｝,若A∩R+=。则实数P的取值范围为
伏兵 Ф是任何集合的子集，是任何非空集何的真子集。
10.求函数y=的值域
错解 （用判别式法）
将原函数变形得：(y-1)x2+(y-4)x-3(2y+1)=0 ① 21世纪教育网
当y=1时，①式化为 –3x=9,有解x=3;
当y≠1时，∵①式中x∈R
∴△=(y-1)2+4×3(y-1)(2y+1)≥0
即：25y2-20y+4≥0, 解这个不等式得y∈R21世纪教育网
综上：原函数值域为：y∈R
伏兵 因非恒等变形而改变了函数的定义域，导致函数值的改变
正解：原函数要有意义，必须有：x2+x-6≠0即x≠2且x≠-3,在此前提下，原函数可化为：y== (y-1)x=2y+1
∴y≠1 且x=≠-3 解得y≠1且y≠
∴原函数值域为：y∈(-∞, )∪(,1)∪(1,+∞)
11.已知(x+2)2+=1,求x2+y2的取值范围。
错解 由已知得 y2=-4x2-16x-12，
因此 x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+)2+
∴当x=-时，x2+y2有最大值
即x2+y2的取值范围是(-∞, ]
伏兵 ：x的取值范围要受已知条件的限制。
正解：由于(x+2)2+=1得(x+2)2=1-≤1，∴-3≤x≤-1从而当x=-1时x2+y2有最小值1。x2+y2的取值范围是[1, ]21世纪教育网
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辨析程序框图中的易错题
山东 孙道斌
例1 画出计算的值的程序框图．
错解：程序框图如图1所示．
[来源:21世纪教育网]
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辨析：上图中，对所计算的值无法实现累加．
正解：程序框图如图2所示．
例2有位同学为了求的值，画出了一个程序框图，如图3所示，请你指出其中的错误，并画出正确的程序框图．[来源:21世纪教育网]
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辨析：第一处错误是在第二个处理框内应是“”，而不是“”；第二处错误是判断框中应是“”，而不是“”，正确的程序框图如图4所示．
例3 求函数的值的算法流程图如图5所示，指出流程图中的错误，并重新写出算法，重新绘制解决该问题的流程图，且回答下面提出的问题．
问题1：要使输出的值为正数，输入的的值应满足什么条件？
问题2：要使输出的值为8，输入的值应是多少？
问题3：要使输出的值最小，输入的值应是多少？
解析：如图5所示，该流程图上的一段流程线缺少表达程序执行顺序的箭头；再者由于是求分段函数的函数值，输出的函数值的计算方法取决于输入的值所在的范围，所以必须引入判断框应用选择结构．
正确的算法如下：
第一步：输入；
第二步：如果，则使，并输出，否则执行第三步；
第三步：使；
第四步：输出．
根据以上的步骤，可以画出如图6所示的算法流程图．
[来源:21世纪教育网
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问题1：要使输出的值为正数，则，或（舍去）．
故当输入的时，输出的函数值才是正数．
问题2：要使输出的函数值为8，则，或（舍去）．[来源:21世纪教育网]
故输入的值应为4．21世纪教育网
问题3：当时，，，时，，
又，故要使输出的值最小，只要输入的满足就行了．21世纪教育网
[来源:21世纪教育网
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求函数解析式的几种方法
山东 胡大波
求解析式方法多，难度大．只有正确求出函数解析式才能进一步研究函数性质，因此本文介绍几种求解析式的方法，供同学们参考．
1．配凑法21世纪教育网
例１ 已知，求．
解：，即．
2．换元法
例2 若，求．21世纪教育网21世纪教育网
解：令，则，．
．
3．解方程组法
若已知满足某个等式，这个等式除是未知量外，还出现其他未知量（如，等）．可以利用相互代换得到方程组，消去或，进而得到的解析式．
例３ 若，求．
解：，用去替换式中的，
得，即有21世纪教育网
解方程组消去，得 ．
4．待定系数法
当题设给出函数特征，求函数的解析式时，可用此种方法，如函数为一次函数，可设，再利用恒等原理确定其系数．
例4 设方程的两根为，试求满足，， 的二次函数的解析式．
解：由已知条件，可得，，
显然，即．
设二次函数．
为方程的两根，
且．[来源:21世纪教育网]21世纪教育网21世纪教育网
可得 故
．
5．特值法
此法适用于所给的关系式中，无论自变量在定义域内取何值，关系式均成立，通过取某些特殊值代入题设的等式中，有时能使问题具体化、简单化，顺利找出规律，求出解析式．
例5 已知，，求．
解法1：令，得，即．
又令，代入上式，得，
．
解法2：令，得，
即，
．[来源:21世纪教育网
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数学思想方法在集合中的应用
集合中蕴含着丰富的数学思想方法，在解有关集合问题时若能充分运用这些数学思想方法，常可使许多问题获得简洁、巧妙的解决．下面将集合中常见的数学思想方法举例说明，以供参考．
一、数形结合的思想方法
数形结合思想，是将抽象的数学语言与直观、具体的图形结合起来，通过“数”与形的相互转化，达到化难为易，化繁为简的目的．集合中常用的手段是数轴法和韦恩图法．21世纪教育网[来源:21世纪教育网
例１ 设集合Ｍ＝｛∣｝，Ｎ＝｛∣｝，若ＭＮ＝Ｎ，求实数的取值范围．21世纪教育网
解：由ＭＮ＝Ｎ得ＮＭ，故当Ｎ＝，时，成立；
当时，由图中数轴所示，[来源:21世纪教育网
可得，解之得．21世纪教育网
综上所述可知所求实数的取值范围为｛∣２｝．
评注：应用数轴解答有关集合问题时，应先画出数轴，然后依据题目的条件将集合准确地在数轴上表示出来，再借助数轴的直观性，从而使抽象的集合问题的解答过程简捷、巧妙、形象、直观．21世纪教育网
例２ 已知集合A、B、C为非空集合，M=A∩C ，N=B∩C, P=M∪N，则 （ ）21世纪教育网
Ａ．一定有Ｃ∩Ｐ＝Ｃ， Ｂ．一定有Ｃ∩Ｐ＝Ｐ，
Ｃ．一定有Ｃ∩Ｐ＝Ｃ∪Ｐ， Ｄ．一定有Ｃ∩Ｐ＝，
解：如图３，Ｍ＝Ａ∩Ｃ，Ｎ＝Ｂ∩Ｃ， 21世纪教育网
Ｐ＝Ｍ∪Ｎ，则必有Ｍ∪ＮＣ，
即ＰＣ ， ∴ Ｃ∩Ｐ＝Ｐ， 选Ｂ．[来源:21世纪教育网]
评注：对于涉及的集合个数、信息较多或对于未给元素的抽象集合，研究其关系或运算时，常可考虑用韦恩图求解．
二、分类讨论思想
分类讨论的思想是一种重要的思想方法，也是一种基本的解题策略．就是化整为零，各个击破的解题手段，使问题变得条理清晰、层次分明、易于解决．
例３设集合Ａ＝｛∣｝，Ｂ＝｛∣｝，
若，求实数的取值范围．
解：由，得Ａ＝｛∣｝．21世纪教育网21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
在集合Ｂ中，．
（1）当＝０时，＝－２，则Ｂ＝Ｒ，满足；
（2）当０时，．21世纪教育网
①若＜０，则Ｂ＝｛∣｝，这与矛盾．
②若＞０，则Ｂ＝｛∣｝，为使，只要即可，21世纪教育网
解得．
综上所述，实数的取值范围是｛∣｝．
评注：分类讨论是解决集合问题的常用方法．但在分类时，必须要统一标准，简明扼要，做到不重不漏．
三、方程思想
方程思想是中学数学最基本、最重要的数学思想．就是从分析问题的数量关系入手，把变量之间的关系用方程的关系来反映，然后通过解方程或对方程进行讨论的方法，使问题得到解决．
例４ 已知全集Ｕ＝｛１，２，４，６，８｝，集合Ａ＝｛８，ｍ，ｎ，ｐ｝，Ｂ＝｛１，ｍｎ，ｍｐ，ｎｐ｝，且Ａ＝Ｂ，求Ａ．
解：∵ Ａ＝Ｂ21世纪教育网
∴
．由②得mnp＝８ .又ｍ、ｎ、ｐＵ ，且ｍ、ｎ、ｐ互异，故ｍ、ｎ、ｐ中不能有６，只能分别为１、２、４（顺序不定），显然１、２、４也是①的解．[21世纪教育网
∴Ａ＝ ｛１，２，４，８｝ 即Ａ＝｛６｝．
评注：本题利用两个集合（有限集）的性质解集合相等的问题，其实质就是用方程的思想和方法，即从A=B中找出两个独立的等量关系，要注意排除与集合元素互异性或题设相矛盾的情况．21世纪教育网
四、划归与转化思想
在处理数学问题时，通过某种变换或划归把复杂问题简单化，把陌生问题转化为熟悉问题，从而使得原问题得到解决．21世纪教育网
例５ 已知｛（，）∣｝，Ａ＝｛（，）∣｝，
Ｂ＝｛（，）∣｝，求
解：集合｛（，）∣｝是平面上所有点的集合；集合Ａ是直线上的点的集合；集合Ｂ是直线上的点的集合，但要除去点（１，０）；而表示点（１，０）以及平面上除了直线上的所有点以外的所有点，所以对应的元素为（１，０），即＝｛（１，０）｝．
评注：数学语言通常包括文字语言、符号语言、和图形语言等，在处理集合问题时，我们经常需要将这几种语言进行转化，但在相互转化的过程中要注意转化的等价性．
-2
-5
2-t
2t+1
Ｕ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｍ
Ｎ
图３
①
②
①
①
①
②
②
②
①
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函数最值中的开放型问题
河北 杨新兰
所谓开放型问题是相对于中学课本中有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的．这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度．它重在考查同学们的分析、探索能力和思维的发散性．下面就函数最值中的开放型问题评析两例，以开拓同学们的视野．
例1 已知函数和．21世纪教育网
（1） 若为实数，那么满足何种条件时，有最大值？求出最大值及相应的的值．
（2） 是否存在同时满足下列两个条件的实数对：①取得最大值时的值与取得最小值时的值相同；②为整数．若存在，求出这样的实数对；若不存在，说明理由．
解：（1）当时，无最大值，所以必有，
，21世纪教育网
当且仅当，即时，
有最大值，此时；
（2），，
当取最小值时，．
，
又为整数，所以只有．
此时，由此解得，或．[来源:21世纪教育网
即这样的实数对存在，且为，或．
评析：对于二次函数在指定区间上的最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的图象的顶点处取得．21世纪教育网
例2 已知函数，问是否存在正实数，使得函数
在区间上的最大值为，最小值为．
解：若存在这样的，则．
（1） 若，即时，则此时无解；
（2） 若，即时，则，21世纪教育网
解得（不合题意，舍去），或．
而当时，适合；
存在这样的，且．
（3） 若，即时，不合题意．
评析：处理函数最值中的开放型问题，一要注意定义域在解题中的制约作用，二要对字母进行合理的分类讨论．
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简解集合问题的“四化”策略
浙江 曾安雄
集合是历年高考考查的重要内容之一．由于集合知识的抽象性，给处理集合问题带来一定的困难，为此本文结合近几年的高考集合题，例析简解集合问题的几种常用策略，供参考．21世纪教育网21世纪教育网
一、具体化策略21世纪教育网
对于离散的数集或点集等具有明显特征的集合，可以将集合中的元素一一列举出来，使之具体化，然后从中寻长解题方法．
例1 设集合，，则（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解析：（列举法）分别取，
得，．
易看出，中的元素在中都有，而中的元素如．
，故选（Ｂ）．
二、直观化策略
把抽象集合或逆向型集合问题等，利用直观图表，如图轴、Venn图、函数的图象等，可化抽象为直观，快速找到解题途径，从而优化解题过程．
例2 设集合，，则集合， ．
[来源:21世纪教育网
解：由，，画出数轴，
由图可知．
三、简单化策略
对于连续的数集或含有运算的数集，通常用简单化的策略，通过化简弄清集合是由什么元素组成，然后再着手解题．
例3 若集合，，则（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
分析：本题的出错率极高，由简单化原则知，其实质是求两个函数值域的交集．
解析：本题集合与中的代表元素是，则即是求函数与此同时的值域的公共部分，显然，，故选（Ｃ）
四、性质化策略21世纪教育网
在解集合问题时，用常用性质求解，往往事半功倍．21世纪教育网[来源:21世纪教育网
如：①；②当集合含有个元素时，它有个子集，等等．
例4 集合，包含的的子集共有（ ）
Ａ．2个 Ｂ．3个 Ｃ．5个 Ｄ．8个
解析：本题等价于求集合的子集个数，即为，故选（Ｄ）．
例5 设全集，集合，，那么是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解析：由性质，有，故选（Ａ）．
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函数奇偶性的判定方法
山东 刘海
21世纪教育网
函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法．
1．定义域判定法
例1 判定的奇偶性．[来源:21世纪教育网]
解：要使函数有意义，须，解得，
定义域不关于原点对称，原函数是非奇非偶函数．
评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数具有奇偶性．
2．定义判定法
例2 判断的奇偶性．
解：函数的定义域为，
且 ，[21世纪教育网[来源:21世纪教育网
函数是偶函数．
评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性．
3．等价形式判定法21世纪教育网
例3 判定的奇偶性．
解：的定义域为，关于原点对称，当时，，图象过原点．
又时，，．21世纪教育网
又，为奇函数．
评注：常用等价变形形式有：若或，则为奇函数；若或，则为偶函数（其中）．
4．性质判定法
例4 若，是奇函数，是偶函数，
试判定的奇偶性．
解：在的公共定义域内，任取一个，则，
分别是奇函数和偶函数，
，．
．
在上为奇函数．
评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；②两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．
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集合学习中数学语言的转换
四川 毛仕理
在集合中，其数学语言常见形式主要有三种：一是自然语言，通过日常语言来描述集合问题中的数学对象；二是符号语言，通过约定的数学符号来表达集合问题中的数学对象；三是图形语言，通过图形来表示集合问题中的数学对象；集合的概念有运算中包含着丰富的数学语言.例如集合的交集，它的三种语言分别是：[来源:21世纪教育网
文字语言：由所有属于A且属于B的元素所组成的集合.
符号语言：A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}
图形语言：(图中阴影部分)
这三种语言使用起来是等效的，学会它们之间的相互转化，会给学习带来很大的方便.解决问题时，要灵活准确地进行语言转换.
例1 图中U是全集，A、B是U的两个子集，用阴影表示(UA)∩（UB）.
解析：先将符号语言(UA)∩（UB）转换成与此等价的另一种符号语言U(A∪B)，再将符号语言U(A∪B)转换成图形语言(如下图中阴影部分)
例2 已知平面内的△ABC及点P，求{P｜P A＝P B}∩{ P｜P A＝P C}[来源:21世纪教育网]
解析：将符号语言{ P｜PA＝PB}∩{ P｜PA＝PC}转化成文字语言就是到△ABC三顶点距离相等的点所组成的集合.故{ P｜PA＝PB}∩{ P｜PA＝PC}＝{△ABC的外心}.
例3 设U为全集，集合M、N、P都是其子集，则下图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A.M ∩（N∪P） B.M ∩[P∩（UN）]
C.P ∩[ (UM)∩(UN) D.（M∩N）∪（M∩P）21世纪教育网
解析：对于阴影部分的元素x∈P且x∈M，但xN，故它表示的集合应为M∩[P∩（UN）]，选B
例4 设f（x）＝（x－2k）2，x∈Ik，Ik表示区间(2k－1，2k＋1]，对于自然数k，求集合Mk＝{a｜使方程f（x）＝ax在Ik上有两个不相等的实根}
解析：将Mk＝{a｜使方程f（x）＝ax在Ik上有两个不相等的实根}用符号语言表示的集合问题转化为与之等价命题：(文字语言)21世纪教育网
“求使y＝ax与y＝（x－2k）2，x∈（2k－1，2k＋1）有两个不同交点时a的取值范围.”21世纪教育网
运用数形结合的思想，可得a的取值范围是0＜a≤
即 Mk＝{a｜0＜a≤＝
例5 某班级共有48人，其中爱好体育的25名，爱好文艺的24名，体育和文艺都爱好的9名，试求体育和文艺都不爱好的有几名 21世纪教育网
解析：先将文字语言转换成符号语言，设爱好体育的同学组成的集合为A，爱好文艺的同学组成的集合为B.整个班级的同学组成的集合是U.则体育和文艺都爱好的同学组成的集合是A∩B，体育和文艺都不爱好的同学组成的集合是(UA)∩（UB)再将符号语言转换成图形语言：
通过图形得到集合(UA)∩（UB）的元素是8
最后把符号语言转化成文字语言，即(UA)∩（UB）
转化为：体育和文艺都不爱好的同学有8名.
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