《平方根2》教学案
学习目标：
1．通过探究了解无限不循环小数的存在，运用夹逼的方法估计无限不循环小数的大小和感受无限不循环小数。
2.掌握用计算器来求算术平方根（近似值）的方法。理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律。
学习重点：夹值法及估计一个（无理）数的大小，初步感受无理数。，等。
学习难点：大小的探究过程。夹值法及估计一个（无理）数的大小的思想。
1、 预习导学：
1、一般的，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的 .a的算术平方根记为 .读作 .a叫做 . 规定：0的算术平方根是 。
2、计算：
3、准备计算器、小剪刀、4个边长为1厘米的正方形纸片。 eq\
二、研习探究：
探究：
1、用两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，能否得到一个大的正方形？如果能得到，它的面积是多少？探究剪和拼的方法，小组展开交流，提出疑难问题。把拼出的示意图画在下面。
2、（2）这个大的正方形的面积为2，那么它的边长是多少？你能用算术平方根来表示这个边长吗？
3、你能估计的大小吗？它会在一个什么范围内？越精确越好。阅读教材70页探究部分，并展开交流。
4、你能否根据以上发现估计出5、11、48、65的算术平方根的值在哪两个整数之间？试一试。
例题解析：
例1．用计算器求下列各式的值：（精确到0.001）
（1）；（2）；（3）
例2、
小丽想用一块面积为400cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2 的长方形纸片，使它的长宽之比为3 ：2。不知道能否裁出，正在发愁，小明见了说“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”，你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
分析解题思路：能否裁出符合要求的纸片，就是要比较两个图形的边长，易知正方形的边长是 cm，所以只需求出长方形的边长，设长方形的长和宽分别是3xcm和2xcm,求得长方形的长为 cm。
三、拓展提高：（更上一层楼！）
1．用计算器求下列各式的值，你有什么发现？
（1）；（2）；（3） （4）
= = = =
规律：
2、运用：
如果=15,那么= =
四、教学反思：
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1《平方根3》教学案
学习目标：
1．掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别.
2．能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系.
学习重点：平方根的概念和求数的平方根。
学习难点：平方根和算术平方根的联系与区别
一、预习导学：
根据所学知识，比较下列数的大小，并说说你的理由：
和12 和 0.5
二、研习探究：
1、问题：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
X2 1 49 16 36
X
2、如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的 或 即：如果=a，那么x叫做a的平方根．
3、求一个数的平方根的运算，叫做 。如：3的平方等于9，9的平方根是3。
如±1的平方是 ，而1开平方是 ；±2的平方是 ，而 开平方是±2;
的平方是9，而9开平方是 。所以平方与开平方互为 ．
4、 求下列各数的平方根。（注意书写格式）
（1） 100 （2） （3） 0.25
解：
5.填表并分析平方根与算术平方根的区别与联系
81 0 49—121 （-0.25）2 11 a（a≥0） 361—289
算术平方根
平方根
归纳：①一个是正数有 个平方根，它们 。即正数进行开平方运算有 个结果。
②一个是负数 平方根，即负数不能进行开平方运算。
③0的平方根是 。
④符号：正数a的算术平方根可用 表示；正数a的负的平方根可用 表示．
三、巩固练习：
1．49的平方根是 ，算术平方根是 。 2．0.09的算术平方根是 ，平方根是 。
3．一个正数的平方等于0.01，这个数是_______。4．一个数的平方等于0.01，这个数是_______。
5、判断下列说法是否正确：
（1）5是25的算术平方根（ ） （2）25的平方根是5（ ）
（3）6是36的一个平方根（ ） （4）-4是16的负的平方根（ ）
（5）（-4）2的平方根是-4（ ） （6）0的平方根与算术平方根都是0。（ ）
（7）的算术平方根是4（ ） （8）=±4 （ ）
（9）=4 （ ） （10）-=-4 （ ）
6. 求下列各式的值。
（1）， （2）－， （3）
四、拓展提高：
1、计算:= , = , = , = ,= ,= ,=
由以上计算总结：对于任意数a, 等于多少？
2、计算：()2 = ()2 = ()2 = ()2 = ()2 = ()2=
由以上计算总结：对于任意非负数a, ()2等于多少？
3、你能根据平方根的意义求下列各式中的x吗？
（1）x2=25 (2) x2-81=0 (3) 25 x2=36
五、教学反思：
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1《实数1》教学案
学习目标：
1．了解实数的意义。
2. 能对实数按要求进行分类。
3. 了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义。
学习重点：正确理解实数的概念.
学习难点：理解实数的概念.
学习过程
一、预习导学：
①使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3= - = = = = =
二、研习探究：
1、归纳：上面的有理数都可以写成 或 的形式.
事实上， 一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.
2、新概念：
阅读教材82-83页，填空：
①在前面两节的学习中，我们知道，许多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，它们不能化成分数.我们给无限不循环小数起个名，叫 .
有理数和无理数统称为 。
②实数的分类（请尝试画出实数的分类图.）
3、尝试应用（试一试，你一定能行！）
（1）你能尝试着找出三个无理数吗？ 、 、 .
（2）下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
···，
小结：用根号形式表示的数一定是无理数吗？答：
（3）.把下列各数填入相应的集合内：
，，，，，，，，，0，
， 0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
整数集合 ｛ ···｝
负分数集合｛ ···｝
正数集合 ｛ ···｝
负数集合 ｛ ···｝
有理数集合｛ ···｝
无理数集合｛ ···｝
4.阅读教材83-84页并合作完成：
①我们知道在有理数中只有符号不同的两个数叫做互为 ，如3和-3，实数的相反数的意义与有理数一样. 的相反数是
②在有理数中绝对值的意义.例如，|-3|=3 ，.实数绝对值的意义和有理数的绝对值的意义相同. ，|-|=
③试一试：完成教材第84页思考题.
归纳结论：数a的相反数是 .（这里的a表示任意一个实数）
一个正实数的绝对值是 ；一个负实数绝对值是 ；0的绝对值是 .
5、例题
（1） 分别写出 - ，π-3.14 的相反数
（2）指出 -，1-的相反数。
（3） 求的绝对值。
（4）已知一个数的绝对值是 ,求这个数。
6、尝试应用：求下列各数的相反数、绝对值：
（1） （2） （3） （4） （5）3.8
三、拓展提高：
1． 判断下列说法是否正确：
（1）无限小数都是无理数；（ ）（2）无理数都是无限小数； （ ）（3）带根号的数都是无理（ ）
2.（1）求绝对值小于的所有整数。
3、若|a-b|=a-b,那么a与b的大小关系是 ；若|a-b|=b-a ,那么a与b的大小关系是
四、教学反思：
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1《实数章节复习1》教学案
学习目标：
1.了解算数平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数是平方根，会用 立方根运算求某些数的立方根。
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点是一一对应，有序实数对与平面上的点是一一对应的；了解数的范围由有理数扩大到实数后，概念运算等的一致性。
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围。
学习重点：平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算。
学习难点：平方根和实数的概念。
1、 知识点回归：
1．算术平方根。
（1）定义：如果一个 x的平方等于a，即，那么这个 叫做 的算术平方根.
记为 ，读作“ ”,a叫做 。
（2）规定：0的算术平方根是
（3）性质：算术平方根具有双重非负性：
①被开方数a是 ，即a≥0.
②算术平方根本身是 ，即≥0。
也就是说， 任何正数的算术平方根是一个 ， 0的算术平方根是 ， 没有算术平方根。
2．平方根
（1）定义：如果一个 的平方等于a，那么这个 叫做a的 或
（2）非负数a的平方根的表示方法:
（3）性质： 一个正数有 平方根，这两个平方根 。
0 只有 个平方根，它是 。 没有平方根。
说明：平方根有三种表示形式：± ， ，－，它们的意义分别是 ，
， 。
要特别注意： ≠±。
3.平方根与算术平方根的区别与联系：
区别：①定义不同算术平方根要求是
②个数不同平方根一般有 个，算术平方根有 个
③ 表示方法不同：算术平方根为 ，平方根为
联系：①具有包含关系：平方根 算术平方根
②存在条件相同：
③ 0的平方根和算术平方根都是 。
4、性质：
（1）= （2）从算术平方根的定义可得：= (a≥0)
5．立方根
（1） 定义：如果一个 的立方等于a，那么这个 叫做a的 或
（2） 数a的立方根的表示方法:
（3） 互为相反数的两个数的立方根之间的关系：
（4） 两个重要的公式
6．开方运算：
（1）定义：
①开平方运算：求一个数a的平方根的运算叫做开平方。
②开立方运算：求一个数立方根的运算叫做开立方
（2）平方与开平方是 ，故在运算结果中可以相互检验。
7．无理数的定义： 叫无理数。
8．有理数与无理数的区别
有理数总可以用 或 表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。而无理数是 ，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。有理数可以化成分数，无理数不能化成分数。
9.常见的无理数类型
（1）一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···
（2）看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
（3）有特定意义的数，如：π=3.14159265···
(4)开方开不尽的数。如：。
10．实数
（1）概念：有理数和 无理数统称为实数。
（2）分类 按定义
正整数
整数 0
负整数
有理数 有限小数或无限循环小数
正分数
实数 分数
负分数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
按大小 正实数
实数 零
负实数
(3)实数的有关性质
①a与b互为相反数〈=〉a+b=0
②a与b互为倒数〈=〉ab=1
③任何实数的绝对值都是非负数，即≥0
④互为相反数的两个数的绝对值相等, 即=
⑤正数的倒数是 数;负数的倒数是 数; 没有倒数.
⑥一个正实数的绝对值是 ，负实数的绝对值是它的 ，0的绝对值是
（4）实数和数轴上的点的对应关系：
和数轴上的点是一一对应的关系
实数的大小比较
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 。
正数 零；零 负数；正数 一切负数；两个负数比较，绝对值大的 。
（5）实数中的非负数及其性质
在实数范围内，正数和零统称为非负数
我们已经学过的非负数有如下三种形式
①任何一个实数a的绝对值是非负数，即≥0
②任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
③任何一个非负数a的算术平方根是非负数，即≥0
非负数有以下性质
①非负数有最小值零
②几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。
二、巩固练习：
（一）、求下列各式的值：
1、= 2、= 3、= 4、= 5、=
6、= 7、= 8、= 9、= 10、=
11、= 12、= 13、= 14、= 15、=
（二）、求使下列各式有意义的x的取值范围：
1、； 2、； 3、； 4、；
（三）求下列各式中x的值：
1、； 2、； 3、； 4、；
（四）把下列各数分别填入相应的集合中：，3.14159265，，0.6，0，-8，，，
有理数集合：
无理数集合：
（五）计算：
1、 2、；
3、； 4、 5、
（六）
1. 的相反数是（ ） A． B． C． D．
2、比大的实数是（ ）A． B． C． D．
3、比较大小: 4.9; .(填“>”或“<”)
4、如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
5、若 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，则 ．
6、已知，则
7、已知，则
三、教学反思：
P
Q
M
N
4
3
2
0
1
PAGE
4《13.2立方根》教学案
学习目标：
1、了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根.
2、了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根. 了解类比思想。
3、让学生体会一个数的立方根的惟一性. 分清一个数的立方根与平方根的区别。
学习重点：立方根的概念和求法。
学习难点：立方根与平方根的区别。
一、预习导学：
1、问题：要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？
解：设这种包装箱的边长为x m,则
所以x= . 即这种包装箱的边长应为 。
2、填表：
X3 1 8 27 64
X
二、研习探究：
1、 类别平方根的定义 ：
如果一个数的立方等于，这个数叫做的 （也叫做 ），即如果，那么 叫做 的立方根。
2.探究： 根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？
因为，所以8的立方根是（ ）。
因为，所以0.125的立方根是（ ）。
因为，所以8的立方根是（ ）。
因为，所以8的立方根是（ ）。
因为（- ）3 =- ，所以- 的立方根是（ ）。
总结归纳：
（1）一个正数有 个 的立方根。0有一个立方根，是 。一个负数 。
（2）任何数都有 的立方根。
（3）一个数的立方根，记作 ，读作：“ ”，其中叫被 ，3叫 指数，不能省略，若省略表示 。例如:表示27的立方根，;表示的立方根，.
3.探究： 因为所以
因为，所以
总结：
三、巩固练习：
1.
（1）已知x３=b，则b是x的 ，x是b的 。 （2）的立方根是 ，
（3）-512的立方根是 。 （4）若x3=64，则x= 。
（5）-＝_______， （6）=________。 （7）若y3=64，则= 。
（8）立方等于-64的数是 。 （9） 8开立方所得的数是 。
（10） 64的立方根是 （11）的立方根是
2. 求下列各式的值：
（1） = （2） =
（3）= （4）=
（5） = （6）=
四、拓展提高：
1、．利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么吗？你能说说其中的道理吗？
… …
2、 观察上面的式子与结果，你能总结出什么结论：
3、 不使用计算器你能比较4与的大小吗？
五、教学反思：
PAGE
1《平方根1》教学案
学习目标：
1、 知道一个数的算术平方根的意义；
2、 会用根号表示一个数的算术平方根；
3、 根据算术平方根的意义会求一些数的算术平方根。
学习重点：算术平方根的概念
学习难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。
一、预习导学：
计算下列各式，并努力记住这些整数平方的结果：
12= 22= 32= 42= 52= 62= 72=
82= 92= 102= 112= 122= 132= 142=
152= 162= 172= 182= 192= 202=
0.52= 0.82= （）2= （）2= （）2=
二、研习探究：
1. 情境引入：
学校要举行美术作品比赛，小丽很高兴，她想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛。
问题：你能算出画布的边长吗？（说出你的算法.）
如果这块正方形画布的面积为单位1，那么它的边长是多少？如果面积分别为9、16、36、呢？将正确答案填入下表。
正方形的面积 1 9 16 36
边长
上面的问题可以归纳为“已知一个正数的平方，求这个正数的问题”。
2.新概念学习：
一般的，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的 .a的算术平方根记为 .读作 .a叫做 .
规定：0的算术平方根是0。 （为什么规定：0的算术平方根为0？）
如：上面的正数3的平方等于9，所以3是9的算术平方根，或者说9的算术平方根是3，记=3
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100；(2)1；(3)；(4)0.0001
3、概念清晰：
表示的意义是什么？它的值是多少？用等式怎样表示？
144的算术平方根是多少？怎样用符号表示？
小组展开交流，提出疑难问题
三、巩固练习：
尝试应用（试一试，你一定能行！）
1.求下列各数的算术平方根.
① 1.44 ②81 ③1.69 ④-（-9） ⑤
⑥|-| ⑦ ⑧
解：
2．求下列各式的值
①= ② ③
④ ⑤ ⑥
完成后小组成果展示，反思总结
四、拓展提高：
1.问题：表示什么意思？它的值是怎样的数？
这里的被开方数a应该是怎样的数呢？
归纳：表示 .
算术平方根为 ，即≥0
被开方数为 ，即a≥0
没有算术平方根，即当 ，无意义
五、教学反思：
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3《实数2》教学案
学习目标：
1.知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应.
2.学会比较两个实数的大小.
3.了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练地进行实数运算.
学习重点：实数与数轴上的点一一对应关系.
学习难点：对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解.
一、研习探究：
1.试一试
我们知道有理数都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点是否都表示有理数？无理数可以用数轴上的点来表示吗？
①探究：教材83页探究；自己动手操作，利用课前准备好的硬纸板圆片在自己画好的数轴上实践体会.
结论:每一个无理数都可以 .
②你能在数轴上画出坐标是的点吗？画一画，说说你的方法.
结论：在数从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的.即：每一个实数都可以 ；数轴上的每一个点都可以表示一 .
③深入探讨：平面直角坐标系中的点与有序实数对之间也存在着一一对应关系吗？
2.比一比
①问：利用数轴，我们怎样比较两个有理数的大小？在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大。这个结论在实数范围内也成立吗？答： .
②我们还有什么方法可以比较两个实数的大小吗？两个正实数的绝对值较大的值也 ；两个负实数的绝对值大的值反而 ；正数 零，负数 零，正数 负数.
3.算一算
①在数从有理数扩充到实数后，我们已学过哪些运算？
②有哪些规定吗？
除法运算中除数不能为 ，而且只有 可以进行开平方运算，任何一个 都可以进行开立方运算.
③有理数满足哪些运算律？
加法交换律：a+b=b+a
加法结合律： .
乘法交换律： .
乘法结合律： .
分配律： .
小结：在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
二、尝试应用（试一试，你一定能行！）
例1：比较下列各组是里两个数的大小：
（1） （2） （3）
例2：计算下列各式的值：（教材85页例2）
（1） （2）
例3：计算：(注意：在计算过程中要保留比最后要求多一位的近似数)
（1）（精确到0.01） （2）×（保留三个有效数字）
※例4、化简下列算术平方根
三、拓展提高：（更上一层楼！）
1．判断下列各式是否成立
2、计算：
(1) ； (2) ； (3) (2)2；
四、教学反思：
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1《实数章节练习2》教学案
学习目标：
1.了解算数平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数是平方根，会用 立方根运算求某些数的立方根。
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点是一一对应，有序实数对与平面上的点是一一对应的；了解数的范围由有理数扩大到实数后，概念运算等的一致性。
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围。
学习重点：平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算。
学习难点：平方根和实数的概念。
一．选择题：
1. 9的平方根是 （ ）
A．3 B.－3 C. 3 D. 81
2.下列都是无理数的为（ ）
(A)0.07，，； (B)0.，π，； (C)，，π； (D)0.1010101……101，π，
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 有理数只是有限小数 B. 无理数是无限小数 C. 无限小数是无理数 D. 是分数
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 1的平方根是1 B. –1的立方根是－1 C. 是2的平方根 D. –3是的平方根
5. 和数轴上的点一一对应的是（ ）
A 整数 B 有理数 C 无理数 D 实数
6. 下列说法正确的是（ ）
A.的立方根是0.4 B.的平方根是 C.16的立方根是 D.0.01的立方根是0.000001
7. 若和都有意义，则的值是（ ）
A. B. C. D.
8、下列等式正确的是（ ）
A： B： C： D：
9． =（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．不存在
10．若，则实数在数轴上的对应点一定在（ ）
A．原点左侧 B．原点右侧 C．原点或原点左侧 D．原点或原点右侧
11.下列说法中正确的是（ ）
A.实数是负数 B. C.一定是正数 D.实数的绝对值是
二. 填空题：
12. 9的算术平方根是 ；3的平方根是 ； 0的平方根是 ；－2的平方根 .
13. –1的立方根是 ,的立方根是 , 9的立方根是 .
14. 的相反数是 , 倒数是 , -的绝对值是 .
15. 比较大小: ; 2.35.(填“>”或“<”)
16. ； ； = .
17. 的相反数是 ； =
18．若和都是5的立方根，则= ，=
19、如果一个数的平方根是和，则这个数为 ；
20、大于－小于的整数是 ；
21．若y＝++10,则yx =
22.若，，则
三. 解答题：
22.求下列各式的值:
①; ②; ③ ;
23、计算
(1)、 （2）、－
（3）、 （4）、
24、求值：、
（1）、 （2）、
25.若，求的值。
26、已知，、互为倒数，、互为相反数，求3的值。
27、观察例题：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为。
请你观察上述的规律后试解下面的问题：
如果的小数部分为，的小数部分为，求的值
PAGE
3
