《方程的根与函数的零点》说课稿
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《方程的根与函数的零点》说课稿
参赛号：9号
校本研训特色：教学目标叙写、导学案
教学目标叙写：教学目标是教师要求学生达到的学习结果或最终行为的明确的阐述，这就要求每位教师以人的行为来陈述目标，注重目标的精确化、标准化、具体化、可评价化。
导学案：“导学案”实质上是教师用来帮助学生掌握教材内容、沟通“学”与“教”的桥梁,也是培养学生自主学习和建构知识能力的一种重要媒介,具有“导读、导听、导思、导做”的作用。根据学科特点和不同的课型，可以有多种形式。
一、教材分析
1．说内容
《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理，是一节概念课．
2．说地位
函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起．
本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．
因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．
3．说教学目标
根据新课程标准，结合以上的分析，我确定本节课的三维目标如下：
知识与技能
1．通过观察二次函数的图像，准确判断一元二次方程根的存在性及根的个数，描述函数的零点与方程的根的关系．
2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．
根据我校“有效教学”的策略——“教学目标叙写”，以上目标的设定符合以下要求：
①行为主体学生化。
②行为动词多样、合理、准确。
③描述行为发生通过的条件。
④目标在教学环节“动手探究，揭示定理”中得到落实。
过程与方法
通过研究具体的二次函数再到研究一般的函数，让学生经历“类比→归纳→应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法．
情感、态度与价值观
在函数与方程的联系中体验数形结合思想与转化思想的意义与价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．
4．说重点、难点
重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．
难点：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．
二、学情分析
高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图像已经有了一个比较系统的认识与理解．特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位．
三、教法、学法与教学手段
在教法上，本次课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。
在学法上，精心设置一个个问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，注重学生的学习体验，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台．
在教学手段上，我一是采取多媒体课件、多媒体投影仪、几何画板相结合，它既便于学生直观，节约时间，又能利用情境营造课堂氛围，引发学生的兴趣．二是配以我校特色的导学案，它能带动学生激活思维，又能有效提升从“已知”到“未知”的能力迁移，还能记录学生整堂课的思维过程．
四、教学过程
为了达到突出重点，突破难点的目的，在教学过程上，我设置了七个环节：
（一）以旧带新，引入课题（4分钟）
问题1 判断下列方程根的个数，并求解
（1） （2） （3）
问题2 分别作出下列函数的图形，并思考函数图象与问题1中方程的根有什么联系？
（1） （2） （3）
【说明】问题1与问题2旨在让学生观察分析得到方程的根就是对应函数与x轴的交点的横坐标，从而得到方程实数根与函数图像之间的关系．教学过程中教师初步提出零点的概念，让学生理解零点是连接函数与方程的结点．
问题3 上述关系对于一般的一元二次方程及其相应的二次函数是否也成立呢？
问题4 对于方程与函数是否也有类似的结论呢？
【说明】从问题1、2到问题3、4，由特殊到一般，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供了思考、创造、表现和成功的舞台．教学过程中，教师利用几何画板动态演示，让学生从动态的角度体会方程的根与函数的零点之间的关系，引出函数零点的定义．同时也能培养学生的归纳概括能力．
函数的零点：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点．
（二）技能演练，归纳推广（5分钟）
例1 求函数的零点．
变式练习：求下列函数的零点．
（1）
（2）
归纳：函数的零点就是方程的根，也就是函数的图象与轴交点的横坐标．所以
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
【说明】此环节的设置，是因为我在以前的教学过程中发现，学生经常将零点写成坐标点的形式，通过学生对这一环节的解决，加上老师及时进行点评和纠正，让学生从错误中加深对零点定义的理解．通过此环节，可以突出本课的重点，实现理解函数零点定义的教学目标．
（三）动手探究，揭示定理（10分钟）
已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且过点、，请在下列坐标系中作出的可能图象．
思考：函数满足什么条件，在区间上一定有零点？
【说明】在思考设置这一环节时，我注意到了教科书是利用二次函数进行的的探究，但结合以往的教学经验，课本上的探究只能达到揭示定理的目的，对于“定理的充分非必要性即函数在区间上有零点但不一定有端点函数值异号”这一难点却无法进行突破。因此我改为让学生动手实验和讨论，学生在动手实验过程中，可能出现图1和图2中可能有零点也可能无零点，图3、图4中一定有零点，但零点的个数可能是1个，也可能多个的现象，教师选择有代表性的探究结果进行展示和点评，引导学生归纳总结函数存在零点的条件，以及分析出现上述多种可能结果的原因，达到完成本节课的知识与技能目标的目的，同时也突出了重点，突破了难点．
定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根．
反馈练习：
1．已知函数的图象如下图：
则函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
1 2 3 4 5 6
136．136 15．552 -3．92 10．88 -52．488 -232．064
函数在那几个区间内有零点？
3．函数必有一个零点的区间是（ ）．
A．(-5， -4) B．(-4，3) C．(-1， 0) D．(0，2)
【说明】三个反馈练习，使学生初步运用定理来解决“找出函数零点所在区间”这一类问题，加深对函数在某一区间上存在零点的判定定理的理解，再次突出了本节课“函数零点存在性的判断”的重点．
（四）知识应用、解决疑难（7分钟）
例2 已知函数，试确定零点所在的区间？函数在此区间有几个零点？ 为什么？
归纳：由于函数与方程的特殊关系，所以讨论函数零点个数问题常用的方法是：（1）解方程；（2）画图象；（3）利用及函数的单调性．同时这些方法又是有机联系的．
【说明】本题是根据我校学生的特点，将课本的例1进行改编而来，降低了难度，但是更加符合我校的生源特点。教学过程中，我将利用几何画板作出函数的图象，让学生通过数形结合，确定函数零点所在区间，学生得出的不同答案，可以使学生意识到零点的区间是不唯一的，也为下一节二分法求方程的近似解奠定基础．
（五）题组训练，检验成果（8分钟）
题组1：①函数的零点是（ ）
A．（-1，0），（3，0） B．x=-1 C．x=3 D．-1和3
②判断函数的零点个数， 并指出其零点所在的大致区间．
题组2：已知．
（1）为何值时，函数有两个零点？
（2）若函数恰有一个零点在原点右侧，求的值．
【说明】立足教材，给学生提供一个完整的运用知识的平台，帮助学生进一步落实基本知识，提高基本能力．
（六）反思小结，培养能力（3分钟）
1．你通过本节课的学习，有什么收获？
（1）一个关系：函数零点与方程根的关系；
（2）两种思想：函数与方程思想，数形结合思想；
（3）三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间．
2．对于本节课学习的内容你还有什么疑问？
【说明】在学生谈收获，谈体验的过程中，教师将本节课的内容概括一个关系，两种思想，三种题型．进一步优化学生的认知结构，把课堂所学的知识与方法较快转化为学生的素质，也更进一步培养学生的归纳概括能力．
（七）布置作业，巩固提高
必做题：《学习与评价》第78页：第10、11题
选做题：思考如何确定函数零点的近似值
【说明】围绕课堂的重点，分层布置作业，帮助学生进一步理解相关的知识与方法，利于拓展学生的自主发展的空间．
五、评价分析
无论是问答式的提问，还是学生的课堂练习，或是学生的探究结果，都要给学生的答案一个肯定的评价，要求客观，真实，同时主要对学生给予激励。所以，本节课在评价方面主要采取激励性评价。
六、教学特色
本节课的设计，体现了我从教几年来，为了迎接新课改，走进新课程，在教师的教学行为和学生的学习方式进行的几点尝试：
1、重视对学生创新意识和实践能力的培养．给学生时间和空间，放手让学生实践．由性质的得出到课堂实验，教师始终关注每一位学生参与探究的全过程，完成教师角色的转变，教师真正成为学生活动的组织者、参与者、咨询者和合作者，只有完成这种角色的转变，才能更好的培养学生的创新意识和实践能力．
2、在数学活动中研究，在研究中体验，在体验中提高．数学教学是数学思维活动的教学．本节课力争让学生在数学活动中，独立探究，在探究中形成学习数学的亲身体验，进而内化为数学思想方法和数学观念．力求让学生“感悟到什么、经历到什么、体验到什么和收获到什么”这样一种理念，最终达到培养学生能力和提高学生素质的目的．
3、注重利用多媒体实物投影仪对学生的探究结果进行实时评价和反馈．
板书设计
§3．1．1 方程的根与函数的零点
一、函数的零点：不是一个点而是一个实数．二、 函数零点与方程根之间的三个等价关系．三、判定零点的存在性：1、函数是连续的．2、f(a)f(b)<0．3、至少有一个零点． 例1……例2 练习：（1）……（2）……
A·
B·
A·
B·
A·
B·
A·
B·
图1
图2
图3
图4
·
·
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多
媒
体
演
示
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《方程的根与函数的零点》说课稿
参赛号：9号
校本研训特色：教学目标叙写、导学案
教学目标叙写：教学目标是教师要求学生达到的学习结果或最终行为的明确的阐述，这就要求每位教师以人的行为来陈述目标，注重目标的精确化、标准化、具体化、可评价化。
导学案：“导学案”实质上是教师用来帮助学生掌握教材内容、沟通“学”与“教”的桥梁,也是培养学生自主学习和建构知识能力的一种重要媒介,具有“导读、导听、导思、导做”的作用。根据学科特点和不同的课型，可以有多种形式。
一、教材分析
1．说内容
《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理，是一节概念课．
2．说地位
函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起．
本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．
因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．
3．说教学目标
根据新课程标准，结合以上的分析，我确定本节课的三维目标如下：
知识与技能
1．通过观察二次函数的图像，准确判断一元二次方程根的存在性及根的个数，描述函数的零点与方程的根的关系．
2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．
根据我校“有效教学”的策略——“教学目标叙写”，以上目标的设定符合以下要求：
①行为主体学生化。
②行为动词多样、合理、准确。
③描述行为发生通过的条件。
④目标在教学环节“动手探究，揭示定理”中得到落实。
过程与方法
通过研究具体的二次函数再到研究一般的函数，让学生经历“类比→归纳→应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法．
情感、态度与价值观
在函数与方程的联系中体验数形结合思想与转化思想的意义与价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．
4．说重点、难点
重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．
难点：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．
二、学情分析
高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图像已经有了一个比较系统的认识与理解．特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位．
三、教法、学法与教学手段
在教法上，本次课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。
在学法上，精心设置一个个问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，注重学生的学习体验，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台．
在教学手段上，我一是采取多媒体课件、多媒体投影仪、几何画板相结合，它既便于学生直观，节约时间，又能利用情境营造课堂氛围，引发学生的兴趣．二是配以我校特色的导学案，它能带动学生激活思维，又能有效提升从“已知”到“未知”的能力迁移，还能记录学生整堂课的思维过程．
四、教学过程
为了达到突出重点，突破难点的目的，在教学过程上，我设置了七个环节：
（一）以旧带新，引入课题（4分钟）
问题1 判断下列方程根的个数，并求解
（1） （2） （3）
问题2 分别作出下列函数的图形，并思考函数图象与问题1中方程的根有什么联系？
（1） （2） （3）
【说明】问题1与问题2旨在让学生观察分析得到方程的根就是对应函数与x轴的交点的横坐标，从而得到方程实数根与函数图像之间的关系．教学过程中教师初步提出零点的概念，让学生理解零点是连接函数与方程的结点．
问题3 上述关系对于一般的一元二次方程及其相应的二次函数是否也成立呢？
问题4 对于方程与函数是否也有类似的结论呢？
【说明】从问题1、2到问题3、4，由特殊到一般，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供了思考、创造、表现和成功的舞台．教学过程中，教师利用几何画板动态演示，让学生从动态的角度体会方程的根与函数的零点之间的关系，引出函数零点的定义．同时也能培养学生的归纳概括能力．
函数的零点：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点．
（二）技能演练，归纳推广（5分钟）
例1 求函数的零点．
变式练习：求下列函数的零点．
（1）
（2）
归纳：函数的零点就是方程的根，也就是函数的图象与轴交点的横坐标．所以
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
【说明】此环节的设置，是因为我在以前的教学过程中发现，学生经常将零点写成坐标点的形式，通过学生对这一环节的解决，加上老师及时进行点评和纠正，让学生从错误中加深对零点定义的理解．通过此环节，可以突出本课的重点，实现理解函数零点定义的教学目标．
（三）动手探究，揭示定理（10分钟）
已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且过点、，请在下列坐标系中作出的可能图象．
思考：函数满足什么条件，在区间上一定有零点？
【说明】在思考设置这一环节时，我注意到了教科书是利用二次函数进行的的探究，但结合以往的教学经验，课本上的探究只能达到揭示定理的目的，对于“定理的充分非必要性即函数在区间上有零点但不一定有端点函数值异号”这一难点却无法进行突破。因此我改为让学生动手实验和讨论，学生在动手实验过程中，可能出现图1和图2中可能有零点也可能无零点，图3、图4中一定有零点，但零点的个数可能是1个，也可能多个的现象，教师选择有代表性的探究结果进行展示和点评，引导学生归纳总结函数存在零点的条件，以及分析出现上述多种可能结果的原因，达到完成本节课的知识与技能目标的目的，同时也突出了重点，突破了难点．
定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根．
反馈练习：
1．已知函数的图象如下图：
则函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
1 2 3 4 5 6
136．136 15．552 -3．92 10．88 -52．488 -232．064
函数在那几个区间内有零点？
3．函数必有一个零点的区间是（ ）．
A．(-5， -4) B．(-4，3) C．(-1， 0) D．(0，2)
【说明】三个反馈练习，使学生初步运用定理来解决“找出函数零点所在区间”这一类问题，加深对函数在某一区间上存在零点的判定定理的理解，再次突出了本节课“函数零点存在性的判断”的重点．
（四）知识应用、解决疑难（7分钟）
例2 已知函数，试确定零点所在的区间？函数在此区间有几个零点？ 为什么？
归纳：由于函数与方程的特殊关系，所以讨论函数零点个数问题常用的方法是：（1）解方程；（2）画图象；（3）利用及函数的单调性．同时这些方法又是有机联系的．
【说明】本题是根据我校学生的特点，将课本的例1进行改编而来，降低了难度，但是更加符合我校的生源特点。教学过程中，我将利用几何画板作出函数的图象，让学生通过数形结合，确定函数零点所在区间，学生得出的不同答案，可以使学生意识到零点的区间是不唯一的，也为下一节二分法求方程的近似解奠定基础．
（五）题组训练，检验成果（8分钟）
题组1：①函数的零点是（ ）
A．（-1，0），（3，0） B．x=-1 C．x=3 D．-1和3
②判断函数的零点个数， 并指出其零点所在的大致区间．
题组2：已知．
（1）为何值时，函数有两个零点？
（2）若函数恰有一个零点在原点右侧，求的值．
【说明】立足教材，给学生提供一个完整的运用知识的平台，帮助学生进一步落实基本知识，提高基本能力．
（六）反思小结，培养能力（3分钟）
1．你通过本节课的学习，有什么收获？
（1）一个关系：函数零点与方程根的关系；
（2）两种思想：函数与方程思想，数形结合思想；
（3）三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间．
2．对于本节课学习的内容你还有什么疑问？
【说明】在学生谈收获，谈体验的过程中，教师将本节课的内容概括一个关系，两种思想，三种题型．进一步优化学生的认知结构，把课堂所学的知识与方法较快转化为学生的素质，也更进一步培养学生的归纳概括能力．
（七）布置作业，巩固提高
必做题：《学习与评价》第78页：第10、11题
选做题：思考如何确定函数零点的近似值
【说明】围绕课堂的重点，分层布置作业，帮助学生进一步理解相关的知识与方法，利于拓展学生的自主发展的空间．
五、评价分析
无论是问答式的提问，还是学生的课堂练习，或是学生的探究结果，都要给学生的答案一个肯定的评价，要求客观，真实，同时主要对学生给予激励。所以，本节课在评价方面主要采取激励性评价。
六、教学特色
本节课的设计，体现了我从教几年来，为了迎接新课改，走进新课程，在教师的教学行为和学生的学习方式进行的几点尝试：
1、重视对学生创新意识和实践能力的培养．给学生时间和空间，放手让学生实践．由性质的得出到课堂实验，教师始终关注每一位学生参与探究的全过程，完成教师角色的转变，教师真正成为学生活动的组织者、参与者、咨询者和合作者，只有完成这种角色的转变，才能更好的培养学生的创新意识和实践能力．
2、在数学活动中研究，在研究中体验，在体验中提高．数学教学是数学思维活动的教学．本节课力争让学生在数学活动中，独立探究，在探究中形成学习数学的亲身体验，进而内化为数学思想方法和数学观念．力求让学生“感悟到什么、经历到什么、体验到什么和收获到什么”这样一种理念，最终达到培养学生能力和提高学生素质的目的．
3、注重利用多媒体实物投影仪对学生的探究结果进行实时评价和反馈．
板书设计
§3．1．1 方程的根与函数的零点
一、函数的零点：不是一个点而是一个实数．二、 函数零点与方程根之间的三个等价关系．三、判定零点的存在性：1、函数是连续的．2、f(a)f(b)<0．3、至少有一个零点． 例1……例2 练习：（1）……（2）……
A·
B·
A·
B·
A·
B·
A·
B·
图1
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图3
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