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§2.2.1 提公因式法
【学习目标】经历探索多项式各项公因式的过程，并在具体问题中，能确定多项式的公因式；会用提公因式法把多项式分解因式。
【重点】理解提公因式的依据，会用提公因式法分解因式。
【难点】准确地找出各项的公因式，理解分解因式的含义。
【学习过程】
1、 复习引入
1、下列从左到右的变化中，是因式分解的是（ ）
2、一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为，，，宽都是，求这块场地的面积.
2、 新知探究
1、公因式的概念．
⑴一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为a，b，c，宽都是m，用两个不同的代数式表示这块场地的面积.
⑵填空：
多项式有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因式。
有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因式。
有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因式。
※多项式各项都含有的 ，叫做这个多项式各项的公因式。
【例1】（1）的公因式是 （2）3mx－6nx的公因式是
(3) 的公因式是 (4) (a+b)x+(a+b)xy的公因式是
(5) 的公因式是 (6)的公因式是
2．提公因式法分解因式
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以 ，从而将多项式化成两个 的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
【例2】将下列各式分解因式：
（1）3x＋6； （2）7x2－21x； （3）8a3b2－12ab3c＋abc；
（4）－24x3－12x2＋28x． (5)
※确定公因式的一般步骤
（1）系数：若各项系数是整系数，取系数的 ；
（2）字母因数：一是取 的字母因式（也可是多项式因式）；二是取各相同字母因式的指数取次数 的．
※补例：利用分解因式计算：
（1）32004－32003; （2）（－2）101+（－2）100.
3、 成果巩固
1、 课本48页随堂练习第1题 课本49页数学理解第3题
4、 课堂检测
课本49页随堂练习第2题
五、作业
1、课本49页习题2.2第1、2题
※2、把下列各式分解因式：
⑴2a－4b; ⑵ax2+ax－4a; ⑶3ab2－3a2b; ⑷2x3+2x2－6x;
⑸7x2+7x+14; ⑹－12a2b+24ab2; ⑺xy－x2y2－x3y3; ⑻27x3+9x2y
【拓展训练】
1、单项式与的公因式是 。
2、把多项式分解因式：（n为大于1的正整数）
3、化简求值：已知，求的值。
【反思】课堂上一部分接收较快的学生掌握的较好，做起题来也比较得快，可以提前很多完成任务。学生对于首项是负的情况掌握的不太好，容易变错号，也不太理解，对于一部分学生只是要求他们记住这样做，还有提公因式时最后一项如果恰好是公因式的话，提完公因式有些学生容易漏项。确定公因式的一般步骤，让学生填空，但设计的有些让学生不好下手。
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十字相乘法
【学习目标】掌握用十字相乘法分解因式
【学习过程】
1、 复习引入：
1、计算：（1） （2）
（3） （4） （5）
2、把12分解成两个整数的积，有几种不同的结果？请写出所有不同的结果。
3、（1）已知两数之积为，和为2，则此两数为
※（2）已知，且，求的值
思考：1、在与相乘时，二次项、一次项、常数项分别是怎样产生的？是什么运算？
2、根据分解因式和乘法的互逆关系，你能把多项式分解因式吗？
二、新课学习
例1．把下列各式分解因式：
（1） （2） （3） （4）
三、方法总结：
将二次三项式分解因式，关键是选择和，使 ，
（1）为正数时，、 ，且与 同号；
（2）为负数时，、 ，其中绝对值 （填“较大”或“较小”）因数与同号；
（3）先把 分解成若干组两数之积，选择其中两数之和等于 的一组数。
练习：把下列各式分解因式：
（1） （2） （3） （4）
例2．把下列各式分解因式：
（1） （2） （3） （4）
练习：把下列各式分解因式：
（1） （2） （3） （4）
（5） （2） （3）
※例3．计算：（1） （2）
（3） （4）
你能用十字相乘法分解下列各式吗？
（1） （2） （3） （4）
六、解下列方程
（1） （2）
（3） （4）
七、求抛物线与直线的交点坐标
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2.3.1运用公式法
【学习目标】经历通过整式乘法的平方差公式逆向得出用公式分解因式的方法的过程，会用平方差公式分解因式。
【重点】掌握平方差公式分解因式。
【难点】将一些单项式化为平方形式，在用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力。
【学习过程】
一、复习引入
乘法公式的平方差公式：
反之，因式分解的平方差公式：
二、新知探究
1、把下列各式表示成整式的平方的形式.
⑴4x2=( )2 ⑵25a4=( )2 ⑶0.49b2=( )2 ⑷81n6=( )2
⑸=( )2 ⑹64x2y2=( )2 ⑺100p4q2=( )2 ⑻9(m+n)2=[ ]2
2、试一试：下列多项式可不可以用平方差公式来分解因式 如果不可以，说明为什么,如果可以，应分解成什么式子？
(1)x2+y2 (2)x2－y2 (3)－x2－y2 (4) －x2+y2
3、例题学习
例1 把下列各式分解因式.
(1)25－16x2 ⑵ (3)x2y2－z2 （4）－36x2+y2
例2、把下列各式分解因式.
(1) 9(m+n)2－(m－n)2 ※(2) (3m+2n)2－(m－n)2
例3、把下列各式分解因式.
(1)2x3－8x
(2)y4－1
三、成果巩固
1、课本55页随堂练习第1、2题
※2、补充练习：把下列各式分解因式：
（1）49x2－121y2 （2）－25a2+16b2 （3）144a2b2－0.81c2
（4）－36x2+y2 （5）（a－b）2－1 （6）9x2－（2y+z）2
（7）（2m－n）2－（m－2n）2 （8）49（2a－3b）2－9（a+b）2 ；
四、课堂检测
课本56页习题2.4第1题
五、作业
1、课本55页随堂练习第3题
2、课本56页习题2.4第2、3题
※3、把下列各式分解因式：
⑴ ⑵
【拓展训练】
1、小明在抄分解因式的题目时，不小心抄漏了x的指数，他只知道该数为不太于10的正整数，并且能用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是，则这个指数可能的结果共有 种。
2、已知a、b为正整数，且，求符合要求的a、b的值。
【反思】有前面填平方式的引入作为铺垫，学生理解了之后，对于今天的新课很有好处。学生对于新知探究中9(m+n)2=[ ]2这种形式掌握的不好，对于后面的较复杂的平方差公式就出现了较大的问题。像9(m+n)2=[ ]2这种形式应该反复的练习。
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§2.4 回顾与思考
【学习目标】1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式.2.熟悉本章的知识结构图.
【学习过程】
一、知识点巩固
1．分解因式与整式乘法的关系
分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形．如：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，从左到右是 ，从右到左是 ．
例1下列各式的变形中，哪些是因式分解 哪些不是 说明理由．
（1）x2＋3x＋4＝(x＋2)(x＋1)＋2； （2）6x2y3＝3xy·2xy2；（3）a2－4＝(a＋2)(a－2)（4）4ab＋2ac＝2a(2b＋c)； ⑸(3x－2)(2x＋1)＝6x2－x－2； ⑹
2、分解因式
※把一个 化成 的 的形式叫因式分解。
※ 分解因式注意：1、分解因式结果要以 的 的形式。2、分解后每个因式的次数要 （填“高”或“低”）于原来多项式的次数。3、必须分解到每个因式都不能分解为止。
分解因式常用的方法有
平方差公式：
和的完全平方公式： ，差的完全平方公式： 。
例2 将下列各式分解因式．
（1）； （2）；
（3）； （4）－x2+；
（5）9(x＋y)2－(x－y)2； （6）4x2－20xy＋25y2；
（7）4(2a＋b)2＋12(2a＋b)＋9． ⑻
例3 把下列各式分解因式：
⑴x7y3－x3y3； （2）x4－25x2y2； ⑶16x4－72x2y2＋81y4；
⑷ ⑸
※分解因式的一般步骤为：
（1）若多项式各项有公因式，则先提取公因式．
（2）若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式．
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止．
二、复习巩固：课本61页复习题
三、课堂检测
1．把下列各式分解因式
（1） （2）16a2－9b2；
（3）(x2＋4)2－(x＋3)2； （4）(x＋y)2＋25－10(x＋y)
⑸－4a2－9b2＋12ab；
五、作业：课本61页复习题
【拓展训练】
1．已知：a，b，c是三角形的三边，且满足．求证：这个三角形是等边三角形。
2．求证：当n为自然数时， 能被24整除．
【反思】这些题都是平时学生在学习过程中常错的题，拿过来放到导学稿上让学生再做一遍，希望学生能再次体会平常错误较多的地方。结果学生错误还有很多，一是错在有公因式没有先提公因式，二是错在分解因式分解的不完全。
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§2.2.2 提公因式法
【学习目标】进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法。 能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式。
【重点】会用提公因式法分解因式。
【难点】准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题。
【学习过程】
一、新知探究
1、做一做
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:
（1）2－a＝________(a－2)； （2）y－x＝________(x－y)；
（3）b＋a＝________(a＋b)； （4）(b－a)2＝________(a－b)2；
（5）－m－n＝________－(m＋n)； （6）－s2＋t2＝________(s2－t2)．
⑺= ⑻=
⑼ ※⑽= （n为自然数）
※⑾= （n为自然数）
2、例题学习
［例1］把下列各式分解因式:
（1）a（x－3）+2b（x－3） ⑵a(x－y)＋b(y－x)；
⑶ ⑷
⑸ ⑹6(m－n)3－12(n－m)2．
※⑺ ※⑻
二、成果巩固
1、课本53页问题解决第3题
※2、补充练习：把下列各式分解因式
⑴5(x－y)3＋10(y－x)2； ⑵m(a－b)－n(b－a)
⑶m(m－n)＋n(n－m)； ⑷m(m－n)－n(m－n)
⑸m(m－n)(p－q)－n(n－m)(p－q)； ⑹(b－a)2＋a(a－b)＋b(b－a)
三、课堂检测
课本51页随堂练习第1题
四、作业
1、课本52页习题2.3第1、2题
※2、活动与探究
把(a＋b－c)(a－b＋c)＋(b－a＋c) (b－a－c)分解因式．
※3、把下列各式分解因式：
⑴a(x－y)－b(y－x)＋c(x－y)； ⑵x2y－3xy2＋y3；
⑶2(x－y)2＋3(y－x)； ⑷5(m－n)2＋2(n－m)3．
※4、利用因式分解计算：21×3.14+62×3.14+17×3.14
【拓展训练】
1、若有公因式，则m= 。
2、已知，求的值。
3、不解方程组，求多项式
4、若，其中M，N表示多项式。⑴求M、N。⑵把多项式M+N+b分解因式。
【反思】有前面填符号的引入作为铺垫，学生理解了之后，对于今天的新课很有好处。但是有些学生对于什么时候该变号什么时候不变还是不很清楚。而且公因式为多项式时仍是问题比较多的地方。
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§2.1 分解因式
【学习目标】1、经历从分解因数到分解因式的类比过程. 2、了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的相互关系． 3、感受分解因式在解决相关问题中的作用．
【重点】理解分解因式的意义，准确的辨析整式乘法与分解因式这两个变形。
【难点】对分解因式与整式乘法关系的理解。
【学习过程】
一、复习引入
1、单项式与多项式相乘，就是用 去乘 的 ，再把所得的积相加。如：=
2、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 去乘另一个多项式的 ，再把所得的积相加。如：=
3、整式乘法的平方差公式：=
4、整式乘法的完全平方公式：= ，=
二、新知探究
1、做一做
（1）计算下列各式：
①(m＋4)(m－4)＝____ ______； ②(y－3)2＝________ __；
③3x(x－1)＝______ ____； ④m(a＋b＋c)＝______ ____；
⑤a(a＋1)(a－1)＝___ _______．
（2）根据上面的算式填空：
①m2－16＝( )( )； ②y2－6y＋9＝( )2；
③3x2－3x＝( )( )； ④ma＋mb＋mc＝( )( )；
⑤a3－a＝( )( )（ ）．
※（1）中由整式乘积的形式得到多项式的运算是 。（2）中由多项式得到整式乘积形式的变形是 。
分解因式：把一个 化成几个 的 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
2、例题
【例1】判断下列运算从左到右是整式乘法，还是分解因式
（1）（a＋b）（a－b）＝a2－b2 （2）x3－2x2＝x2（x－2）
【例2】 下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a(a＋2b)＝4a2＋8ab； （2）6ax－3ax2＝3ax(2－x)；
（3）a2－4＝(a＋2)(a－2)； （4）x2－3x＋2＝x(x－3)＋2．
⑸36 ⑹
※分解因式注意：1、分解因式结果要以 的 的形式。2、分解后每个因式的次数要 （填“高”或“低”）于原来多项式的次数。
※补例1:下列各式中，从等式左边到右边的变形，属因式分解的是 （填序号）
① ②
③ ④
⑤ ⑥
※补例2:若分解因式，则m的值为 。
※补例3:判断下列各式能否被4整除，并说明每一步的依据。
① ②
三、成果巩固
1、 课本45页随堂练习第1题、第2题 2、课本46页问题解决第4题
四、课堂检测
1、 课本45页习题2.1第1题、46页第2题
五、作业
1、课本46页习题2.1第3题
【拓展训练】1、（2008，泰安）已知，试求k的值。
2、比较大小:与0.
3、已知多项式（a、b、c均为常数），分解因式的结果是，求a、b、c的值。
4、如图，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a、b的小矩形拼接成矩形ABCD，则整个图形可以表达出一些有关多项式分解因式的等式。请写出其中任意三个等式。
【反思】本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形。学生对于例2的第5小题和补例1的第3、4、5小题掌握的不够好，课堂上时间有限没有处理拓展训练。
a
a
b
b
A
B
D
C
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第二章 《分解因式》测试卷
姓名： 班级： 成绩：
1、下列由左到右的变形，是因式分解的为（ ）
A、 B、
C、 D、
2、多项式的公因式是 。
3、分解因式为( )
A、 B、 C、 D、
4、分解因式的结果是( )
A、 B、
C、 D、
5、分解因式的结果是( )
A、 B、
C、 D、
6、下列各式中，能用平方差分解因式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
7、下列各式中是完全平方式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
8、多项式分解因式后其中的一个因式是（ ）
A、 B、 C、 D、
9、多项式 分解因式的结果是 。
10、（ ）（ ）
11、若是完全平方式；则t＝__________．
12、多项式有（ ）个因式
A .2 B. 3 C.4 D.5
13、若,则 （ ）
A.a=1,b=3 B.a=1,b=-3 C.a=-1,b=3 D.a=-1,b=-3
14、把多项式分解因式，结果正确的是 ( )
A． B．
C． D．
二、解答题：
15、 16、
17、 18、
19、 20、
21、已知，，求的值
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2.3.2运用公式法
【学习目标】经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出用公式分解因式的方法的过程，会用完全平方公式分解因式。
【重点】掌握用完全平方公式法分解因式。培养学生多步骤分解因式的能力。
【难点】综合恰当地应用提公因式，平方差公式，完全平方公式分解因式。
【学习过程】
一、复习引入
乘法公式：和的完全平方公式：
差的完全平方公式：
反之，因式分解：和的完全平方公式：
差的完全平方公式：
二、新知探究
1、议一议.：下列各式是不是完全平方式？如果是，可以分解成什么？如果不是，请说明理由。
（1）a2－4a＋4； （2）x2＋4x＋4y2； （3）4a2＋2ab＋b2；
（4）a2－ab＋b2； （5）x2－6x－9； （6）a2＋a＋0.25．
2.例题讲解
［例1］把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49; （2） ⑶（m+n）2－6（m +n）+9.
［例2］把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2; （2）－x2－4y2+4xy.
※⑶
※ 【补例】1、 +=（ ）2； +=（ ）2。
2、若是一个完全平方式，那么k= 。
三、成果巩固
1、课本58页随堂练习第1题
2、课本60页习题2.5第3题
※补充练习：把下列各式分解因式：
（1）4a2－4ab＋b2； （2）a2b2＋8abc＋16c2；
（3）(x＋y)2＋6(x＋y)＋9； （4）4(2a＋b)2－12(2a＋b)＋9；
（5）－＋n2； （6）x2y－x4－；
⑺－4xy－4x2－y2; ⑻2x3y2－16x2y+32x
四、课堂检测
课本58页随堂练习第2题
五、作业：课本60页习题2.5第1、2题
【拓展训练】
1、已知是完全平方式，则k的值是 。
2、已知，则 。
3、已知三角形三边长为a、b、c满足，试判断三角形的形状。
【反思】这份导学稿设计的感觉有点层次不很清晰，难易程度递进的不是很好，跨度有些大。一部分学生对于需要先提公因式的不知道该如何处理，要和学生反复强调分解因式时一定要先看是否能分解因式，然后在考虑其他方法。补例中的两个题是考试中常见的题型，要给学生多练习。
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