2010年长沙市一中高一数学第三次单元测试卷

长沙市一中高一第三次单元测试数学试卷
满分：120分 时间：120分
制卷人：高一数学备课组
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，把正确答案填在答题卷上）
1、下列三视图(依次为正视图、侧视图、俯视图)表示的几何体是（ ）
A．六棱柱 B．六棱锥 C．六棱台 D．六边形
2、若a∥b，b∥c，则直线a、c的位置关系是(　 　)
A．相交 B． 平行 C．异面 D．以上均有可能
3、如图将无盖正方体纸盒展开，直线AB与CD原来的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交且垂直 C．异面 D．相交成60°
4、三棱锥P-ABC的侧棱长相等，则点P在底面的射影O是△ABC的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
5、如图，点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与BD成90°，则四边形EFGH是（ ）
A．菱形 B．梯形 C．正方形 D．空间四边形
6、直线经过点(1，3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为6，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7、全面积是的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
8、下列五种说法：①过三点确定一个平面，
②垂直于同一条直线的两直线垂直，
③四边相等的四边形一定是菱形，
④三条直线两两相交则确定一个平面，
⑤过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直，
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9、一个圆台的上、下底面面积分别是1和49，一个平行底面的截面面积为25，则这个截面与上、下底面的距离之比是( )
A． :1 B． 3: 1 C． : 1 D．: 1
10、如右图所示，正三棱锥V－ABC中，点D，E，F分别是VC，VA，AC的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（　　　　）
A．45° 　B．60° 　C．90° 　D．随P点的变化而变化
二、填空题：（本大题共5小题，每题5分，共25分把正确答案填在答题卷上）
11、已知两条直线平行，利用斜二测画法得到的两条对应直线位置关系是 ．12、写出过点和的直线的斜截式方程 ．
13、如图，在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B-AD-C后，BC＝a，这时二面角B-AD-C的大小为 ．
14、半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 ．
15、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列五个说法：
①若直线m在平面α外，则m∥α；
②若直线m∥n，直线nα，则m∥α；
③若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
⑤若m、n是异面直线，mα，m∥β，nβ，n∥α，则α∥β．
其中正确的说法是 （填序号）
高一第三次单元测试数学答题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，请将正确选项填在答卷上）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题（共5题，每题5分，共25分，请将正确答案填在答卷上）
11. 12．
13. 14.
15．
三、解答题（本大题共5个小题，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16． （本小题满分8分）已知两条直线l1： x＋(1＋m)y＋m－2＝0 ，
l2： 2mx＋4y＋16＝0 ，当m为何值时直线l1与l2分别有下列关系？
(1) l1⊥l2 ； (2) l1∥l2 ．
17．（本小题满分 8 分）如图，在底面半径为2，母线长为 4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求此圆柱的表面积和体积．
18． （本小题满分 8 分）已知矩形，平面，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角．
19．（本小题满分 9 分）如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）ABC—A1B1C1中，F是A1C1的中点，
（1）求证：平面AFB1⊥平面ACC1A1；
（2）求证：BC1//平面AFB1．
20．（本小题满分12 分）
如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，
边长为，PD＝，PD⊥平面ABCD．
（1）求证： AC⊥PB ；
（2）求二面角A－PB－D的大小；
（3）求四棱锥外接球的半径；
（4）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径．
附加题：（本小题5分）
已知是两个整数，关于的方程有两个相异的且大于的负实根，求当取最小值时方程的两根．
长沙市一中高2010年第一学期第三次单元测试（答案）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，把正确答案填在答题卷上）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D B C A B A A C
二、填空题（共5题，每题5分，共25分，请将正确答案填在答卷上）
11. 平行 ； 12． ；
13. 90° ； 14. ；
15． ③⑤ 。
三、解答题（本大题共5个小题，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16． （本小题满分8分）
解：(1)
(2) ,
检验得，时l1与l2重合，故
17．（本小题满分 8 分）
解：如图，在
18． （本小题满分 8 分）
证明：在中，，
平面，平面，
又，平面
（2）为与平面所成的角，
在，，在中，
在中，，
19．（本小题满分 9 分）
证明：（1）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，
又∵B1F平面A1B1C 1 ，
∴AA1⊥B1F，
又∵在正三角形A1B1C 1中，B1F⊥A1C 1，
AA1∩ A1C 1＝ A1 ，∴B1F⊥平面ACC1A1 ，
又∵B1F平面A F B1，
∴平面AFB1⊥平面ACC1A1．
（2）连结A1B交AB1于G点，连结FG ，
∵四边形ABB1A1为平行四边形， ∴A1G＝BG
又∵A1F＝C1F， ∴FG// BC1，又∵FG平面AFB1 BC1平面AFB1
∴BC1//平面AFB1
20．（本小题满分12 分）
(1)证明：连结BD，AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC ∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥AC
∵PD∩BD＝D ∴AC⊥平面PDB∵PB平面PDB ∴AC⊥PB
(2)解：设AC∩BD＝O，过A作AE⊥PB于E，连结OE
∵AO⊥平面PBD ∴OA⊥PB，
又∵PB⊥AE， ∴PB⊥面AEO， 而∵EO面AEO， ∴EO⊥PB
∴∠AEO为二面角 A－PB－D的平面角，∵PD⊥平面ABCD，AD⊥AB
∴PA⊥AB在Rt△PDB中，，在Rt△PAB中，
∵∴，
在Rt△AOE中，，∴∠AEO＝60°
∴二面角A－PB－D的大小为60°．
(3)解：设PB的中点为F，∵在Rt△PDB中：FP＝FB＝FD
在Rt△PAB中：FA＝FP＝FB，在Rt△PBC中：FP＝FB＝FC
∴FP＝FB＝FA＝FC＝FD ∴F为四棱锥外接球的球心
则FP为外接球的半径 ∵FP＝ ∴
∴四棱锥外接球的半径为 ．
（另法：可补成正方体求解）
(4) 设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R
∵
∴ ∴
∴球的最大半径为.
附加题：（本小题5分）
解：设方程的两个相异的负实根分别为，则有：
；易知；而是两个整数，故是两个正整数；
又设，则此抛物线开口向上，与轴有两个不同的交点，
并且当时，；所以：
；
因为，所以，从而，故的最小值是7；
当时，代入上述（1）和（2）中可得，从而原方程的两根分别为．
D
C
A
B
F
G
H
E
C
B
A
D
A
B
C
V
E
D
F
P
D
A
B
C
学校 班级 考室号 座位号 姓名_______________
装 订 线
P
A
B
M
N
C
D
E
F
B
A
C
B1
A1
C1
F
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｐ
P
A
B
M
N
C
D
E
F
B
A
C
B1
A1
C1
F
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｐ