课件31张PPT。三角函数复习课课题扶风县法门高中姚连省制作北师大版高中数学必修41三、例题分析宏观思路微观直觉四、基础练习一、知识网络二、学法指导三角函数复习课五、小结及作业一、知识网络一、知识网络一、知识网络一、知识网络一、知识网络一、知识网络上页1重点：让学生掌握三角函数的 图象；在理解各组三角 公式的基础上掌握并熟 练运用三角公式。
难点：两个变换，“图象变换” 和“三角变换”下页1图象性质本章知识网络图定义同角三角函数的基本关系单位圆与三角函数线诱导公式Cα±β
Sα±β、T α±β y=asinα+bcosα的最值形如y=Asin(ωx+φ)+B图象万能公式和差化积公式积化和差公式Sα/2=
Cα/2=
Tα/2=S2α=
C2α=
T2α=正弦定理、
余弦定理、
面积公式降幂公式图象与性质1一、同角三角函数的八大关系返回1.倒数关系2.商的关系3.平方关系1二、两组诱导公式: ①2kπ±α,π±α的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上把α看成锐角时原函数的符号.
②π/2±α,3π/2±α的三角函数值等于α的余角的三角函数值，前面加上把α看成锐角时原函数的符号.返回1三、一般函数图象变换基本变换位移变换伸缩变换上下平移左右平移上下伸缩左右伸缩y=f(x)
图 象y=f(x)+b图象y=f(x+φ)
图 象y=A f(x)图象 y=f(ωx)图象向上(b>0)或向下(b<0)移︱b︱单位向左(φ>0)或向右(φ<0)移︱φ︱单位点的横坐标变为原来的1/ω倍
纵坐标不变点的纵坐标变为原来的A倍
横坐标不变
返回例3返小结1 正弦、余弦函数的图象 余弦函数的图象 正弦函数的图象 余弦曲线(0,1)( ? ,-1)( 2? ,1)正弦曲线形状完全一样只是位置不同1四、记住下列三角公式:天哪 !1 ⑥和差化积与积化和差公式不需记但要会用.记住啊
!返回例51三角解题常规宏观思路分析差异寻找联系促进转化指角的、函数的、运算的差异利用有关公式，建立差异间关系活用公式，差异转化，矛盾统一返回返小结11、以变角为主线，注意配凑和转化；
2、见切割，想化弦；个别情况弦化切；
3、见和差，想化积；见乘积，化和差；
4、见分式，想通分，使分母最简；
5、见平方想降幂，见“1±cosα”想升幂；
6、见sin2α，想拆成2sinαcosα；
7、见sinα±cosα或
想两边平方或和差化积8、见a sinα+b cosα，想化为9、见cosα·cosβ·cosθ····，先若不行，则化和差微观直觉10、见cosα+cos(α+β)
+cos(α+2 β )····， 想乘
sinα+sinβ=p
cosα+cosβ=q返回返小结1高考试题精选及分析C点评:
本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的余弦符号确定结论.返回1思路:函数y=sin2x+acos2x可化为要使它的图象关于直线x= -π/8对称,则图象在该处必是处于波峰或波谷.即函数在x=-π/8时取得最大、小值.1解题步骤: 3.指出变换过程:复习1答案:tan(α－2β)=7/24.1基本思路: 最后结果:复习1返回1基础练习
1、若A=21°，B=24°，则(1+tanA)(1+tanB)
的值是( )
(A)1 (B)2 (C)1+ (D)2(tanA+tanB)
2、若270°<α<360°，则
等于（ ）
(A)-cos(α/2) (B) cos(α/2)
(C) sin(α/2) (D) -sin(α/2)BA返回C1二、填空题:4-31 1、已知α、β为锐角，且， cos(α+β)= ，求β。三、解答题:β为锐角，故?=?/31返回1高考题精选1.（上海理）．如果 ，且 是第
四象限的角，那么 ________．
2.（江西）函数
的最小正周期为（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． B1高考题精选3．(全国理)函数 的单调增区间为 ( )
Ａ． Ｂ． ，
Ｃ． Ｄ．
D4.(辽宁)已知函数 ,
则 的值域是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
D1高考题精选8．已知函数 （ ， 为常数， ， ）在 处取得最小值，则函数
是（ ）
Ａ．偶函数且它的图象关于点 对称
Ｂ．偶函数且它的图象关于点 对称
Ｃ．奇函数且它的图象关于点 对称
Ｄ．奇函数且它的图象关于点 对称
C106 7年高考题精选1.（上海理17）求函数的值域和最小正周期。解：的值域是 ，最小正周期是 ． 1高考题精选2.（江西）（本小题满分12分）
在 锐角中，角 所对的边分别为 ，已知，
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的值（不做）．
解：因为锐角 中， ， ，所 以
则
．
1高考题精选 3．（辽宁）（本小题满分12分）
已知函数 ， 求
（Ⅰ）函数 的最大值及取得最大值的自变量
的集合；（Ⅱ）函数 的单调增区间．
解：1高考题精选4．如图，函数 (其中 )的图象与 轴交于点 （Ⅰ)求 的值； （Ⅱ）设 是图象上的最高点， 是图象与 轴的交点，求 与 的夹角． （全国理）1本课小结：由学生先根据自己所掌握的口述，然后再由教师总结:作业： 略
1、三角函数的图象变换2、三角变换的使用技巧1再见！祝同学们
学习进步路 漫 漫 其 修 远 兮吾 将 上 下 而 求 索1课件17张PPT。第三章 三角恒等变形三角函数的求值、化简北师大版高中数学必修4法门高中姚连省制作激活思维D激活思维B激活思维B激活思维B激活思维 要点梳理1、三角函数式的化简(1)化简三角函数式的要求是什么?(2)化简三角函数式的方法有哪些? 要点梳理2、三角函数的求值求值的类型典例分析 典例分析 典例分析 典例分析 典例分析典例分析解：由已知 课堂小结：1、三角函数式的化简(1)化简三角函数式的要求是什么?(2)化简三角函数式的方法有哪些?2、三角函数的求值的类型及解法。作业布置：见练习册教后反思：课件40张PPT。三角函数的积化和差与和差化积北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》法门高中姚连省制作1三角函数的积化和差与和差化积
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．三角函数的积化和差．
2．三角函数的和差化积．
1(二)能力训练点
1．三角函数的积化和差与和差化积，这两种互化，对于求三角函数的值、化商三角函数式及三角函数式的恒等变形，都有重要的作用，它们的作用和地位在三角函数值的变形中是十分重要的．
2．积化和差与和差化积公式的推导过程本身也运用了许多重要的教学思想和方法，在课堂教学中应作为重要一环给予足够的重视．
(三)德育渗透点
数学学习中，处处充满辩证法，和差化积与积化和差看似是一对矛盾，但它们又处在对立统一体中，这些公式中，从左到右为积化和差，而从右到左则成为和差化积．在实际应用，他们又是相辅相成的，通过这一内容的教学，使学生受到一次辩证法实例的教育，不失为一个好时机．
1二、教学重点、难点
1．教学重点：理顺三角公式变换的相互关系，掌握积化和差与和差化积公式的推导过程， 并能用它们解决一些实际问题， 以及用好用活
2．教学难点：
(1)公式的推导．
(2)公式的应用．
(3)三角式的恒等变换的一般规律．
三、课时安排：4课时
四、教与学过程的设计
1第一课时 三角函数的积化和差
(一)复习和、差角的正弦与余弦公式
师：前阶段我们已学习了和差、倍、半角的三角函数的公式，请问学生回忆一下这些三角公式的推导，变换过程．
生：所有这些三角公式都是从一个公式演化而来的，主要是证明了两角和的余弦函数公式．之后，利用换元法以及诱导公式，同角三角函数之间的关系等而导出一系列公式来，他们相互之间是有紧密关系的．
师：和、差、倍、半角的三角函数是一组十分重要的公式，它们在解决三角恒等变换等方面有许多重要应用．但是，光是这些关系还不足以解决问题，今天我们还要进一步把握它们的内在联系，寻求新的关系式．
(二)引入新课
请学生说出正、余弦的和差角公式(板书)
1sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(1)
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsingβ(2)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(3)
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(4)
师：请同学们注意观察这四个公式，考虑一下能否利用这些公式得出一些新关系来．
生1：把(1)式与(2)式相加可得
sin(α+β)+sin(α-β)=αsinαcosβ．
生2：把(1)式与(2)式相减可得
sin(α+β)-sin(α-β)=αcosαsinβ．
师：(3)、(4)两式作类似的加、减还可以得到：
cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ，
cos(α+β)- cos( α-β)=-2sinαsinβ．
师：若把这四个关系式整理一下，即可得到
1以上这四个公式的特征是把三角函数的积的形式转化为三角函数的和、差的形式，我们把上述公式称为三角函数的积化和差公式．
积化和差公式的功能可以把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式)，这种转化可以使得一些我们无法解决的问题变成可能解决的问题，它们在三角式的变换中有很重要的作用．现在请同学们先翻开课本P．227，先看看这段课文，特别是注意公式的函数，函数名、角的形式等特征，记好这四个公式(五分钟阅读，让学生记忆)．
1师：现在暂停读书，这几个公式形式比我们过去学过的其他三角公式要复杂一些，记好用好这些公式得有一段过程，当然，千万不要死记硬背，适当做一些练习，掌握这些公式的实际应用，是可以逐步掌握它们的．让我们看看以下的例题．
例题 求sin75°·cos15°的值．
请同学们想想有什么办法可以解决这个问题？
生1：考虑到75°±15°都是特殊角，所以想到使用积化和差公式解决之．
师：很好，用我们刚刚学过的积化和差公式可以很方便地解决这个问题，请大家想想是否还有其他解法？
生2：由于75°与15°互为余角，所以可以采用以下的解法．
1生3：由于75°与15°可以由45°与30°组合而成，所以只要用到和差角的三角函数公式就可以解决了．
师：从这个例题的几种解法，我们可以看出，三角函数求值或恒等变换，往往可以从不同角度考虑，进而使用不同的三角公式，获得问题的解决，可谓殊途同归，但是我们考虑问题时，一定要根据条件及结论、选择适当的方法，以求问题的解决．现在，请同学们取出课堂练习本，完成以下的几个练习．
(三)课堂练习
1．求sin20°·cos70°+sin10°·sin50°的值，
2．求cos37.5°·cos22.5°的值，
1学生练习、教师巡视、答疑，对一些有困难的学生作些提示，适当时候，安排几个学生作板演．
练习题解法：
1．sin20·cos70°+sin10°·sin50°
2． cos37.5°·cos22.5°
1而sin20°·sin40°·sin80°
1(四)课堂小结
本节课，我们学习了三角函数的积化和差公式，虽然这些公式是新出现的，但它和过去学习的一些三角公式有密切的关系，所以首先应理清他们的内在联系，这组公式的功能可以把三角函数的积的形式转化为和差的形式，通过例解及课堂练习，同学们也开始发现这组公式的作用，希望同学们在今后的学习中记好、用好这一组公式
五、作业
P．231中3；P．236中1、2．
六、教后反思：
1第二课时 三角函数的和差化积
一、教与学过程设计
(一)复习积化和差公式
1．请学生复述积化和差公式，教师板书
2．部分作业选讲
① 证明 cos2αcosα—sin5αsin2α=cos4α·cos3α．
利用积化和差公式，可得
1② 求cos20°、cos40°、cos80°的值．
解法一
1师：我们知道，每个数学公式都有两方面的应用，即正用与逆用．积化和差公式也不例外，那么，积化和差公式的逆用应怎么称呼呢？
生：应称为三角函数的和差化积公式．
师：确实如此，这节课，我们就来学习三角函数的和差化积公式．
(二)引入新课
由三角函数的积化和差公式的逆用，我们可得以下几个公式：
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ；
sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ；
cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ；
cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ．
为了突出这组公式是三角函数的和差化积公式并能方便地记忆，可作如下的换元：
1这样我们就得到如下的三角函数的积化和差公式
和差化积公式与积化和差公式相反，它可以把三角函数的和差的形式转化为积的形式，从而获得问题的解决．
如前面评讲的作业，也可以一直由等式的左边一直推到等式的右边．
1例1 求sin42°-cos12°+sin54°的值．
分析：这是三角中常遇到的问题，由于原题是三个三角函数的和差形式，自然想到要使用和差化积公式，由于上述问题中现成的同名角函数为sin42°、sin54°，因而一般做法是将这二个函数做和差化积(稍停顿)．但本题若采用此法则无后续手段，问题的解决将十分困难．应该说这种思考的方向是正确的，但我们不是为和差化积而和差化积，而是为问题的解决而和差化积的，一般地说出现多个三角函数的和差时，应选择能出现特殊角的一组进行．鉴于此，本题应采取下面的解法．
解：原式=sin42°-sin78°+sin54°
=-2cos60°sin18°+sin54°
=cos54°-sin18°
=2sin36°sin18°．
1师：进行到此，本题的化简能进行下去吗？
生：可试着使用正弦函数的倍角公式化简．
2cos36°sin18°
师：本题与前面的例题形式上是差不多的，请大家想一想该怎么解？
生：(议论)用和差化积公式化简应是可行的，由于本题三个函数都是余弦，而任两角的和、差都不为特殊角，所以可任选其中的两个先作和差化积． 1提问一个学生，可得如下变形
师：到此，下一步比较关键(指导学生讨论)，逐步统一到如下解法： 1师：本题对初学和积互化的关系式中是比较困难的，采用同样的方法也可以对1、3两项或2、3两项先使用和差化积公式，再利用余弦的倍角进一步完成本题．
本题还可以采用积化和差的办法解决之．
1(三)小结
和差化积公式的左边全是同名函数的和或差，只有负数绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一余弦的和或差必须先用诱导公式化成同名函数后，再运用积化和差公式化成积的形式．
无论是和差化积还是积化和差中的“和差”与“积”，都是指得三角函数间的关系，并不是角的关系，这是必须十分清楚的．
三角函数的和差化积所要求的最后结果，只要是三角函数的积的形式就可以了，不求形式上的一致．
1遇到三个或三个以上的三角函数的和差化积或积化和差，可以先在其中的二个函数中进行(遇到这种情况多半会组合出特殊角)，然后再与其他的三角函数继续进行下去．今天课上例2的第二种解法主要适用于三角函数式中的角是等差的，通常分子分母上同乘以公差一半的正弦．
二、板书设计
1第三课时 习题课
三角函数是中学数学的一个很重要的学习内容，这二章(第三章与第四章)从介绍三角函数的定义、性质、图象开始逐步深入，学习的进程高潮迭起，特别是从和、差、倍、半角的三角函数直到三角函数的和差化积与积化和差，既充分揭示了三角函数的内在关系，且每组公式又都有它自身的使用范围，另外三角函数这块内容又是学习其他数学分支的重要工具，在函数研究、立体几何、代数及解析几何中都有广泛的应用，学好三角函数是学好其他数学分支的重要基础．由于三角公式相当多，所以记忆和应用就显得十分重要，安排两节习题课的目的，就是希望通过练习及比较，使学生能熟练掌握进行三角恒等变换的一般方法．
(一)复习和差化积与积化和差公式
(二)作业评讲
1．求cos20°+cos100°+cos140°．
1=cos40°+cos140°
=0．
2．△ABC中，求证cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC．
证明：∵A、B、C为△ABC的三内角．
∴A+B+C=π，即C=π-(A+B)．
∴原式左边=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1
=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1
=2cos(A+B)[cos(A+B)+cos(A-B)]-1
=4cos(A+B)cosAcosC-1
=-1-4cosAcosBcosC．
(三)范例选解
例1 求sin220°+cos250°+sin20°·cos50°的值．
分析：本题有两个平方式，遇到三角函数的平方式(包含三次，四次式等)，常利用余弦的倍角公式作降次处理．
1(当然也可以把它们视为二个三角函数的积做积化和差．)
作了如下处理后，即成为三角函数一次式的和差了，自然做和差化积．
若又注意到本题的结构，以下解法也是可以考虑的．
原式=(sin20°+sin40°)2-sin20°·cos50°
=[2sin30°cos10°]2-sin20°·cos50°
1当然，也可以这样配方
原式= (sin20°-sin40°)2+3sin20°cos50°
例题2 求ctg70°+4cos70°的值．
分析：由于本题余切函数与余弦函数共存，∴首先应化切为弦，接着自然是要做通分，最后再考虑分子的化简，由于分子的三角函数的系数不同，一拆为二就是必然的了．
1习题课上，教师主要讲以上二例，虽为例解，但应注意调动学生积极思考，注意学生提出的问题以及学生提出的处理方法，若方向对头应予以肯定，若方法不当也应帮助分析原因．
以下几个练习主要由学生完成，练习题预先写在幻灯片上，适时安排学生板演，习题课的形式是讲讲、议议、练练．
(四)练习题
13．tg10°+sec50°
课堂练习题分析及解法：
2．类似本题的条件，有两条路可供选择，其一是将两式两边分别平方后再相加，但这样处理所能得到的是cos(α-β)的值，但采用这样的办法于事无补．另一条路是把两个某式左边的三角函数分别作和差化积可得到如下关系：
13．本题若只是简单处理，可能会做不下去．
到此或许许多人就束手无策了，当然，这样做如果处理得法，还是会最后得到正确结果的，但是计算太大了．
若注意到10°、50°分别与80°、40°互为余角，利用诱导公式可得如下解法．
1(四)小结
三角函数的恒等变换，由于三角公式较多、用起来也较活，所以应当掌握变形的一般规律，而一般规律的获得主要靠自己的实践以及理性上的升华。通过一个阶段的学习与练习，应是有一定体会的．一般说三角变换问题，首先要关注问题中的角，特别是角的和、差、倍、半关系，当然这些关系也不是一成不变的，如适当时候，我们也可以把α看作是
1说三角函数的恒等变换常用的规则是：化繁为简、化高为低(降次)，化复合角为单角(和差角公式)，化切割为弦，化大角为小角，和差化积，积化和差。所有这些希望同学们通过自己的实践慢慢揣摸．
，它的功能可以把任意函数而同角的正、余弦函数转化为只含有一个函数的形状，这个变换对于函数三角函数的性质，诸如确定三角函数的周期、最值、划分单调区间等都是十分有用的，掌握好这个公式在一些看似困难的问题都能巧妙地解决，所以课本P．234中例12的内容单独安排一节课．
思考：把下列各式化为只含有一个三角函数的形式．
1(ii)-sinx+cosx，
(iii)asinx+bcosx．
∴原式=cos60°sinx-sin60°cosx
=sin(x-60°)．
师：很好，象这样的问题只要运用三角函数的和差角公式即可了，
和正弦，那么函数能分别看作正弦、余弦的应具备什么条件？
生：函数的平方和必须为1．
师：那么，函数的平方和不是1的情况应怎样操作？后面的练习将
1这样这道题也可以这样处理：
原式=sin30°sinx-cos30°cosx
=-(cos30°cosx-sin30°sinx)
=-cos(x+30°)．
虽然这两种做法的最后结果形式也有差异，但它们实质也是相等的，这两种解法的结论都符合题意．
弦．由于余弦值为正号、正弦值为负号，这样的角终边位置在第四象限．∴ 1∴原式=sinxcos300°-cosxsin300°
=sin(x+300°)．
最后提及的处理方法是解决此类问题的通法，请同学们观察这种解法的几何特征，希望大家在处理同类问题时统一地用这种解法．
现在再请一位同学提出第二题的处理办法．
生2：由于本题函数的平方和不为1，为了能将它们转化为正、余弦值，应考虑到(-1)2+12=2
∴可以这样解决之
师：很好，应该说你们已揣摸出解这类题的真谛了，现在看看更一般的形式，即练习3(继续请学生回答问题)．
生3：模仿练习二的作法．
11本，做以下几个练习，巩固公式的变形，体会这个公式的应用．
练习题：
学生做练习，教师巡视、答疑、提示，用时约15分钟，并请一些学生板演．
练习题解答
1特殊角的一次换式，很快可获得原题的解答．
2．求y=(1+sinx)(1+cosx)的值域．
分析：首先去括号是必然的，注意到
(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx．∴原式可作如下转化，
y=1+(sinx+cosx)+sinxcosx．
令sinx+cosx=t
1t2(1+3y)+2t+1-y=0．
∵t∈R，∴△=4-4(1-y)(1+3y)≥0．
可得3y2-2y≥0
1另一种解法则是利用一次换式，简捷地解决问题
解：由已知得
2ycosx-y=sinx+1，
∴sinx-2ycosx=-y-1．
∴y2+2y+1≤1+4y2．
得 3y2-2y≤0，
1(三)作业
1．读书P．234中例12——P．236．
2．书面作业
P．236中．4，P．238中．7．
补充作业
(3)半圆O的直径为2，A是直径延长线上一点，OA=2，B是半圆上任一点，以AB为一边作正三角形ABC．设∠AOB=θ，四边形OACB面积为S(θ)，(1)求S(θ)的解析式(2)问B在什么位置时，四边形OACB的面积最大并求最大面积．
教学反思：1课件36张PPT。三角函数的简单应用北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》法门高中姚连省制作1例一：根据图象建立解析式
(研究温度随时间呈周期性变化的问题);
例二：根据解析式作出图象
(研究与正弦函数有关的简单函数y=|sinx|的图象及其周期)；
例三：将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型
(研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题)；
例四：利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数
拟合，从而得到函数模型
(研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题)。
目的：加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习。1三角函数模型的简单应用（1） 备注：
①三角函数模型——三角函数关系
②简单应用——学以致用，解决生活中的实际问题
1教学目标:
1、知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；c体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
2、能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．
3、情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。
教学重点：根据已知图象求解析式；将实际问题抽象为三角函数模型。
教学难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．
1函数模型的应用示例
2、心理、生理现象—— ①情绪的波动
②智力变化状况
③血压变化状况
3、地理情景——
①气温变化规律
②月圆与月缺
4、日常生活现象—— ①涨潮与退潮
②车轮转动
③峰谷电
…………
正弦函数y=sinx
余弦函数y=cosx
1、物理情景——
①简单和谐运动
②星体的环绕运动
1如果在宁波地区（纬度数约是北纬30o）的一幢高为ho的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？例题2分析：根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为——南，北回归线之间的地带。画出图形如下，由画图易知A B Ch01解：图中Ａ、Ｂ、Ｃ分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于ＰＣ。
根据太阳高度角的定义有
A B Ch0P11太阳高度角的定义如图，设地球表面某地纬度值为 ，
正午太阳高度角为 ，此时太阳直射纬度为
那么这三个量之间的关系是
当地夏半年 取正值，冬半年 取负值。太阳光地心北半球南半球1太阳光直射南半球太阳光地心1解：图中Ａ、Ｂ、Ｃ分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于ＰＣ。
根据太阳高度角的定义有
所以 即在盖楼时，
为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当与楼高1.35倍的间距。 A B Ch0P11 一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时开始计算时间。
（1）将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？例题31即点P第一次到达最高点大约要5.5S.
1小结:1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角函数模型来解决实际问题,如天气预报,地震预测,等等.2.建立三角函数模型的一般步聚:1三角函数离我们有多近？1、你能一刀削出一条正弦曲线吗？ 提示：把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈，用刀斜着将纸筒削断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线。你知道吗？
这条曲线就是正弦曲线！2、你能试着针对周围一些呈周期性变化的现象编拟一道能用三角函数模型解决它的题吗？1三角函数模型的简单应用(二)1教学目标：
1、知识目标：能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴涵的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据。
2、能力目标：体会由现实问题选择数学模型、研究数学模型、解决现实问题的数学建模学习过程，使学生逐步养成运用信息技术工具解决实际问题的意识和习惯； 使学生进一步提升对函数概念的完整认识，培养用函数观点综合运用知识解决问题的能力.
3、情感目标：体验探索和创造过程，从中获得成功的快乐，体会学习数学知识的重要性，激发对数学的兴趣和树立自信心，渗透数学与现实统一和谐之美。
教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化的规律，用函数思想解决具有周期变化规律的实际问题。
教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题。
1一、设置情境，呈现问题
二、探索实践，寻找模型
1、初步认识
2、深入探索
三、回归现实,提出问题
四、练习反馈,提高能力
五、总结提炼,延时探究
教学过程：1法国圣米切尔山 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。（一）设置情境，呈现问题 1依据规定,当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放。1 宁波港地处我国大陆海岸线中部，南北和长江“ T ”型结构的交汇点上，地理位置适中，是中国大陆著名的深水良港，分成宁波老港区、镇海港区、北仑港区，宁波港水深流顺风浪小。进港航道水深在 18.2 米 以上，20 万吨以下船舶自由进港，25 万吨 30 万吨船舶可候潮进出港。
11.依据规定,当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放,请设计一天内从上午到晚上之间,开放冲浪场所的具体时间段，有多少时间可供冲浪者进行活动? 2.按安全条例规定，船何时安全进出港 上述的变化过程中，哪些量在发生变化？哪个是自变量？哪个是因变量？ (潮汐对轮船进出港口产生什么影响？)1 某港口在某季节每天的时间与水深关系表：(1)试着用图形描述这个港口从0时到24时水深的变化情况。（作出这些数据的散点图,并用平滑曲线连接） 问题一：二、探索实践，寻找模型 1、初步认识（2）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到0.001）.
111问题二：一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？2、深入探索 1在问题二的条件下，若货船在港口停留8小时以上，则货船的吃水深度至多是多少？试试看11问题三：若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域。在货船的安全水深正好与港口水深相等时，停止卸货吗？(三)回归现实,提出问题 1 现在该港口提高卸货效率，使得货轮的吃水深度以每小时1米的速度减小，问该港口能否一次性接卸吃水深度为6米的大货轮？（注：该货轮空载时的吃水深度为1米）练一练
嘿，有挑战性! (四)练习反馈,提高能力 1练习：某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下表是测得的某日各时的浪高数据： 依据规定,当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放,请设计一天内从上午到晚上(8:00—20:00）之间,开放冲浪场所的具体时间段，有多少时间可供冲浪者进行活动? 1小结反思:1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角函数模型来解决实际问题,如天气预报,地震预测,等等.2.建立三角函数模型的一般步聚:搜集数据利用计算机作出相应的散点图进行函数拟合得出函数模型利用函数模型解决实际问题 (五)总结提炼,延时探究 1作业巩固 （一）阅读作业：通读教材，复习巩固，思考对具有周期性实际问题函数处理的方法和手段（二）书面作业：（三）实践探究性作业：①宁波港与潮汐②天安门广场国旗升降时间1 宁波港地处我国大陆海岸线中部，南北和长江“ T ”型结构的交汇点上，地理位置适中，是中国大陆著名的深水良港，分成宁波老港区、镇海港区、北仑港区，宁波港水深流顺风浪小。进港航道水深在 18.2 米 以上，20 万吨以下船舶自由进港，25 万吨 30 万吨船舶可候潮进出港。 （1） 请查阅宁波港的2006年12月潮汐表，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找出函数模型。（2）请查阅各式货轮的吃水深，北仑港的航道水深及潮汐表，考察30万吨以上“海上巨无霸”型货轮候潮进港的可能性？我国主要港口2006年12月潮汐预报
http://www.coi.gov.cn/products/hyhj/tide/yubao.htm 1 天安门广场国旗的升降时间，是根据北京的日出日落时间确定的，具体时间是由北京天文台的天文学家林亨专门计算的。早晨，当太阳的上缘与天安门广场所见地平线相平到下缘离开地平线（共2 分零 7 秒）为升旗时间，下缘落入地平线开始至上缘消失为降旗时间。中华人民共和国国旗网-天安门广场国旗升降时间表天安门广场国旗的升降时间http://www.chinaflag.org.cn/gqb/gqb_5.htm 由于日期不同，日出、日落也不同，这样国旗的升降时间也有所差异。1课件15张PPT。法门高中姚连省制作北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》两角和与差的余弦公式1（一）教学目标：1、知识目标：（1）利用向量的数量积去发现两角差的余弦公式；2）灵活正反运用两角差的余弦。
2、能力目标：（1）通过求两个向量的夹角，发现两角差的余弦，培养学生融会贯通的能力。（2）培养学生注重知识的形成过程。3、情感目标：通过公式的推导，更进一步发现“向量”的强大作用。
（二）教学重点、难点
重点： （1）两角差的余弦；（2）灵活应用两角差的公式解决问题
难点： （1）两角差的余弦的推导；（2）两角差的余弦的灵活应用
（三）教学方法：本节主要是采用数形结合的思路，由代数的精密推导和几何的直观性，推导出两角差的余弦，使学生养成数形结合的习惯；另外，整体上是由特殊到一般，再由一般回归特殊应用的辩证唯物思想的方法。这样学生易接受。
（四）教学过程1不查表，求cos（ –375°） 的值. 解：cos(–375 ° ) =cos375 °
=cos(360 ° +15 °)=cos15 °
1. 15 °能否写成两个特殊角的和或差的形式?
2. cos15 ° =cos(45 °-30 °)=cos45 °-cos30 °
成立吗?
3. 究竟cos15 ° =?
创设情景，揭示课题1 两角和与差的余弦公式 4. cos (45 °-30 °)能否用45 °和30 °的角的
三角函数来表示?
5. 如果能,那么一般地cos(α-β)能否用α 、β的
角的三角函数来表示?
1 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 公式的结构特征:
左边是复角α-β 的余弦,右边是单角α、β
的余弦积与正弦积的和. cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 1cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 公式的结构特征:
左边是复角α+β的余弦,右边是单角α、β 的余弦积与正弦积的差.1 例1.不查表,求cos(–435°)的值.
解:cos(– 435 °)=cos75 ° =cos(45 ° +30 °)
=cos45 °?cos30 ° –sin45 °?sin30 °应用举例1不查表,求cos105 °和cos15 °的值.练习11例3.已知cos(α–30 °)=15/17, α为大于30 °的锐角,求cos α的值. 分析： α=(α– 30 °)+ 30 °
解：∵ 30 °＜ α ＜90 ° ,
∴ 0 ° ＜ α – 30 ° ＜60 °,
由cos(α – 30 ° )=15／17,得sin (α – 30 ° )=8／17,
∴cos α=cos[(α – 30 ° )+ 30 °]
= cos(α – 30 ° )cos 30 ° – sin (α – 30 ° )sin 30 °
= 15／17 × √3／2 – 8／17 × 1／2
=（15 √3 – 8）／34.
1例4.在△ABC中,cosA=3／5,cosB=5／13,则cosC的值为_________. 分析: ∵C=180 °–(A+B)
∴cosC=–cos(A+B)= –cosAcosB+sinAsinB
已知cosA=3／5 ,cosB=5／13,尚需求sinA,sinB的值.
∵sinA= 4／5 , sinB=12／13,
∴cosC=–3／5 × 5／13 + 4／5 × 12／13=33／65.33／651例5.cos25 °cos35 °– cos65 °cos55 ° 的值等于( ). (A) 0 (B) 1／2 (C) √3／2 (D)–1／2解: 原式=cos25 °cos35 °–sin25 ° sin35 °
=cos(25 ° +35 °)
=cos60 °
=1／2.
故选: ( )B1
1.已知cosθ=–5／13, θ∈(π,3π／2)求cos(θ+π／6)的值.
2.cos 215 °–sin215 °= ----------。
3.在△ABC中,若sinAsinB=cosAcosB,则△ABC是 ( ).
(A)直角三角形 (B)钝角三角形
(C)锐角三角形 (D)不确定.(12–5√3) ／26√3 ／2A答案:
1.( ) ;
2. ( ) ;
3. ( ).
课堂练习11.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β
cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β
2.利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角函数式和证明三角恒等式。使用公式时要灵活使用，并要注意公式的逆向使用.小 结1作 业P140 1， 3.教学反思：1课件22张PPT。北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》两角和与差的正弦、正切法门高中姚连省制作勤奋刻苦1一.教学目标
1.知识与技能： （1）能够利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式，两角和与差的正切公式；
（3）能够运用两角和与差的正、余弦公式及两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明；（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（5）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.
2.过程与方法：通过创设情境：通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数，然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式、两角和与差的正切公式；讲解例题，总结方法，巩固练习.
3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.
二.教学重、难点 ：重点: 公式的应用. 难点: 公式的推导.
三.学法与教法
教法与学法：(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.(2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.(3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程1一、复习：cos（? +? ）=cos? cos? – sin? sin?cos (? –? ）=cos? cos? + sin?sin?111两角和与差的正弦公式1、两角和的余弦公式2、两角差的余弦公式1两角和的正切公式：1上式中以??代?得 1注意： 1?必须在定义域范围内使用上述公式。 2?注意公式的结构，尤其是符号。两角和与差的正切公式1111 1: 求tan15?和tan75?的值：解： tan15?= tan(45??30?)= tan75?= tan(45?+30?)= 四、练习；1答案: 答案: (1) 1(2) -11变形：1求下列各式的值： (2) tan17?+tan28?+tan17?tan28? 解：1?原式= 2? ∵ ∴tan17?+tan28?=tan(17?+28?)(1?tan17? tan28?)=1? tan17?tan28?∴原式=1? tan17?tan28?+ tan17?tan28?=1 1引例把下列各式化为一个角的三角函数形式1令1练习把下列各式化为一个角的三角函数形式1典型例题1、化简：3、化简：1典型例题1作业： 习题3.1 A组第2,3题． 习题3.1 A组第4、7、8题． 教学反思：1课件16张PPT。北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》二倍角的正弦、
余弦、正切法门高中姚连省制作1二倍角的正弦、余弦、正切1一.教学目标：1.知识与技能：（1）能够由和角公式而导出倍角公式；（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；（3）能推导和理解半角公式；（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.
2.过程与方法：让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.
二.教学重、难点 ：重点:倍角公式的应用.难点:公式的推导.
三.学法与教法：教法与学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程1sin2x=2sinxcosx一、问题提出比较sin2x与sinx·cosx的值,猜想sin2x的公式上面公式成立吗? 怎样证明?1 二、知识回顾：
1．写出两角和的正弦、余弦、正切公式是 什么？1三、探析新课
学生练习：在两角和的正弦、余弦、正切和角公式中令 可得到什么结果？倍角公式Sin2α=2sinα·cosα1公式的变形观察特点?升幂 ?倍角化单角?少项 ?函数名不变=(cosa-sina)(cosa+sina)观察特点?升幂 ?倍角化单角?少项 ?函数名变1老师分析，学生完成（倍角公式的直接运用）1分析：
1、在题中要求的问题看：显然要写出
倍角公式。2、分析可知,，要通过正弦函数来求余弦。3、重点是要确定余弦的
正、负号的问题。
一定要根据角终边所在的
的象限来确定。112、对公式我们不仅要会直接的运用，还要会逆用、还要会变形用，还要会与其它的公式一起灵活的运用。 1例题2、求下列各式的值。1提高性题目1、已知α为第二象限角，并且（2）求sin2α+cos2α的值题2、1提高性题已知(2sinx+cosx)(sinx+2cosx-3)=01四、学习小结1．公式的特点要嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如： 是 的倍角.2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）.
3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形。4.半角公式左边是平方形式，只要知道 角终边所在象限，就可以开平方；公式的“本质”是用 ?角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切. 5．注意公式的结构，尤其是符号.1五、作业布置：习题3.2 A组第1、2、3、4题．
六、教学反思： 谢谢观看!1课件14张PPT。半角的正弦、余弦和正切北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》法门高中姚连省制作12、通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力。公式中根号前的正负号的选择
1、掌握半角的正弦、余弦及正切公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数式的化简，求值与证明。
1课题：半角的正弦、余弦和正切1 探析新课 ( s a/2 )1 二、余弦的半角公式 请同学们自己推导同理 由cos2a = 2cos2a – 1 得
cos a = 2cos2(a/2) -1
即 cos2(a/2) =
1
解：
∵ 270°< β < 360°
∴ 135°< β < 180°
即 β /2 是第二象限上的角。
∴ sin β /2 = √（1 - cos β ）/ 2 = 1/2
∴ cos β /2 = √（1 + cos β ）/ 2 = -√3 / 2
例题 1利用半角公式求三角函数值
已知 cos β = 1/2，并且270°< β < 360°， 求 sin β /2 , cos β /2 .1将半角的正弦公式 、余弦公式的左边、右边分别相除， 可得到：tg (a/2) = √( 1 – cos a ) / ( 1+ cos a )同时，必须指出 tg (a/2) 可以用 的不带根号的式子来表示：
三、正切的半角公式 = + 我们将得到什么结果呢？1sin ( a / 2 )*2*cos ( a / 2 )
tg ( a / 2 ) = sin ( a / 2 )
cos ( a / 2 )
sin ( a / 2 )*2*cos ( a / 2 )sin ( a / 2 )*2*sin ( a / 2 )== 1 – cos asin a1 四、恒等式的证明方法1、从一边开始证明它等于另一边，由繁到简。
2、从另一边式子成立从而推出原式成立。这“另一式子”可考虑选取与原式等价的式子。
3、证明左，右两边等于同一式子。
1求证：1 / 4 *sin 2a例题 21 证法一1 cos2actg ( a / 2 ) – tg ( a / 2 )=
cos2a * tg ( a / 2 )
1 - tg2( a / 2 )= ? cos2a*tg a
=?sin a *cos a= sin 2a
?证法二1练习：教材P145练习第1、2、3题.
五、小结：（1）能推导和理解半角公式；（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力。
六、作业布置：习题3.3 A组第1、2、3、4题．
七、教学反思：1 谢谢，再见！1
