冀教版数学新课标八年级上册全册学案
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文档简介
冀教版八年级上 新课标学案
第十三章 一元一次不等式和一元一次不等式组
第一节 不等式
学习目标
1.经历从具体问题情景中建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感.
2.了解不等式的意义，认识到不等式是表示同类量之间关系的重要数学模型.
3.体会现实生活中存在着大量的不等关系，学习不等式的有关知识是生活和工作的需要.
课前预习方案
自主学习
1.用等号或不等号填空：
⑴0_____-32；⑵ 3.3_____；
⑶ a2_____0；⑷﹙3-x﹚2_____﹙x-3﹚2．
2.某种零件的长度表明为L=50±0.3,则此
零件长度L的范围是________________.
知识链接
1.不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠．
2.不等号的读法；例如：“＞”读作大于．
3.不等号的意义：例如：“＞”表明左边的
量大于右边的量.
课堂学习方案
知识结构
1.不等式的定义：用不等号连接而成的式子
叫做不等式.
2.列不等式：依据题目中的不等关系列出相
应的不等式的过程叫做列不等式.
3.判断使不等式成立的值的方法：
将数值代入不等式的左、右两边，如果合
不等号所表示的不等关系，则数值就为所
要求的数值；反之，不是.
典型例题
例1.在下列表达式中： (1)-2＜0, (2)x-3y≥1, (3)5a+1=0, (4)7x+3≠y,(5)a2+2ab-b2是不等式的________________________(只填序号).
点拨：要看一个表达式是否是不等式，就是要看式子中是否含有不等号，因此答案是（1）（2）（4）.
例2.列不等式：
（1）x的3倍与x的的差是非正数.
（2）a的2倍与b的差不小于4.
（3）x与y两数的平方和不可能小于5.
（4）小红家有3口人，人均住房面积不足20平方米，则她家的住房面积x平方米可表示为.
点拨：不等式反映的是代数式之间的不等关系，解决这类问题的重点是抓住关键词，弄清不等关系.
解：（1）3x-x≤0；(2)2a-b≥4；
（3）x2+y2≥5； （4）＜20.
例3.用A、B两种原料配置成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表： A种原料 A种原料
维生素C(单位/千克) 500 200
原料价格(元/千克) 7 3
现配制成此饮料12千克，至少含有4000单位的维生素C，试写出所需A种原料的质量x(千克)应满足的不等式为___________；若购买A、B两种原料D的费用不超过70元，则x(千克)应满足的另一个不等式为____________.
点拨：此题为图表信息的应用题，仔细阅读图表提供的信息，结合题中的已知条件即可得到关系式.
解：500x+200(12-x)≥4000,
7x+3(12-x)≤70.
限时课堂训练
基本练习
1.下列各式(1)a＋3,(2),(3)5a－2b=7,(4)m≥0,(5)y≠3,(6)＜3,属于不等式的有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.当x取2时，下列不等式成立的是（ ）
A.x＋2＞0 B.x＋2＜0
C.x－2＞0 D.x－5＞0
3.用不等式表示“7与m的3倍的和是正数”就是_________________．
4.如图，天平右盘中的每个砝码的质量都1g，则物体A的质量 mg 的取值范围为_______．
5.(09.舟山)日常生活中，“老人”是一个模糊概念，有人想用“老人系数”来表示一个人的老年程度，其中一个人的“老人系数”计算方法如下表：
人的年龄(x)岁 x≤60 60＜x＜80 x≥80
该人的老人系数 0 1
按这样的规定，一个年龄为70岁的人，他的“老人系数”为_____________.
6.请你写出一个整数x,使不等式成立，这个数是____________.
7.用“＜”号表示-(-3)2,的大小关系：_________________________.
8.若a+b＜0,且︱a︱＞︱b︱,a,-a,b,-b的大小关系是_______________________.
9.若实数a＞1,则实数 M=a, N=,
P=的大小关系是__________.
10.某市化工厂现有甲种原料290千克、乙种原料212千克，计划利用这两种原料生产产品共80件，生产一件A产品需要甲种原料5千克、乙种原料1.5千克，生产一件B产品需要甲种原料2.5千克、乙种原料3.5千克，若该化工厂现有的原料能保证生产，试写出满足生产A产品x件的关系式.
拓展思维
比较下面两列算式结果的大小：
52+42______2×5×4,
(-2)2+()2_________2×(-2)×,
32+32__________2×3×3,….
通过观察，归纳比较
20092+20102_________2×2009×2010,写出能反映这种规律的一般结论，并证明你结论的正确性.
第二节 不等式的基本性质
学习目标
1.经历不等式基本性质的探究过程，体会不
等式变形和等式变形的区别和联系．
2.掌握不等式的基本性质．
3.通过对不等式性质的探索，培养大家的钻
研精神，同时加强同学间的合作与交流．
课前预习方案
自主学习
1.设a＜b,请用“＞”或“＜”填空.
(1)a+5______b+5, (2)a-3______b-3,
(3)4a_______4b, (4)-5a_______-5b．
2．将下列不等式化为x＞a或x＜a的形式：
(1)x+2＞3, (2)5y-4≤2．
知识链接
等式的基本性质：
1.等式两边同时乘同一个数，等式仍成立．
2.等式两边同时除以同一个数（除数不能为0），等式仍然成立．
课堂学习方案
知识结构
1.不等式的三条基本性质：
基本性质1：如果a＞b,那么a＋c＞b＋c,a－c＞b－c.
基本性质2：如果a＞b,并且c＞0,那么ac＞bc.
基本性质3：如果a＞b,并且c＜0,那么ac＜bc.
2.对基本性质的理解：
(1)对于性质1，须注意的是“c既可以代表数，也可以代表整式”．
(2)对于性质2、3，须注意的是“c的正负性”,如果c为正数，不等号的方向不改变；反之，变号.如果c为0时，不等式两边都乘0时，变为等式；若除以0，则无意义.
典型例题
例1.用不等号填空：
(1)若a＜b,则a-3_________b-3,
(2)若a＞b,则2a__________a+b,
(3)若a＜b,则-1+5a________-1+5b,
(4)若a≥b,则_________,
(5)若a＞b,则-ac2__________-bc2.
点拨：解此类题的关键是先观察不等号的左、右两边是由原不等式进行了怎样的变形得到的，然后依据不等式的三条基本性质决定不等号是否要变向.注意c可能为0的情形.
答案：(1)＜ (2)＞ (3)＜
(4)≤ (5)≤
例2.依据不等式的基本性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式：
(1)-3x+1≤2x, (2)2(y+3)≥10．
点拨：在不等式变形的过程中，要严格按照不等式的基本性质进行变形，应先观察不等式的特点，再根据其特点选用相应的不等式的基本性质进行变形.
解：（1）-3x+1≤2x
-3x+1-1≤2x-1(不等式基本性质1)
-3x≤2x-1
-3x-2x≤2x-1-2x(不等式基本性质1)
-5x≤-1
≥(不等式基本性质3)
x≥
(2) 2(y+3)≥10
2(y+3)÷2≥10÷2(不等式基本性质2)
y+3≥5
y+3-3≥5-3(不等式基本性质1)
y≥2
例3.小明与小刚讨论一个关于不等式的问题，小明说：当每个梨的大小一样时，5个梨的质量大于4个梨的质量，设每个梨的质量为x，则有5x＞4x, 小刚说：这肯定正确. 小明又说：那如果a为有理数，则5a一定大于4a,这对吗？小刚说：这与5x＞4x不是一回事吗？自然对.请问：小刚说的对吗？试说明理由.
点拨：要判断5a与4a的大小关系，与前面5x＞4x是不同的，因为题中很明确x＞0,而a的取值情况不能确定，因此必须分情况讨论.
解：小刚回答不正确，5a不一定大于4a，因为a的取值不确定，应分三种情况讨论.当a＞0时，由不等式基本性质2，得5a＞4a；当a＜0时，由不等式基本性质3，得5a＜4a；当a=0时，5a=4a=0.
限时课堂训练
基本练习
1.若m＜n，比较下列各式的大小：
(1)m-3__________n-3；
(2)-5m__________-5n；
(3)；
(4)3-m__________2-n；
(5)0____________m-n；
(6) _____.
2.x＜y得到ax＞ay的条件应是__________.
3.满足－2x＞－12的非负整数有________________________.
4.如果m＜n＜0,那么下列结论中错误（ ）
A．m－9＜n－9 B．－m＞－n
C． HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 D．
5．若a－b＜0，则下列各式中一定正确（ ）
A．a＞b B．ab＞0
C． D．－a＞－b
6.已知有理数a、b、c在数轴上的位置如
图所示，则下列式子正确的是 （ ）
A．cb＞ab B．ac＞ab
C．cb＜ab D．c＋b＞a＋b
7.2a与3a的大小关系 （ ）
A．2a＜3a B．2a＞3a
C．2a＝3a D．不能确定
8.a为有理数，下列给出的结论正确的是
A.a2＞0 ( )
B.若a＜0,则a2＞0
C.若a＜1,则a2＜1
D.若a＞0,则a2＞a
9.已知x≥4,化简：
拓展思维
⑴ 2＞1＞0，4＞3＞0，2×4____3×1；
⑵8＞＞0,3＞＞0,8×3____；
你从中发现的数学规律是什么？请试举几例验证一下.
第三节 一元一次不等式
第一课时 一元一次不等式的解法
学习目标
1.使学生正确理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法．
2.会解简单的一元一次不等式，并能和解一元一次方程的过程进行类比，发现异同．
3.培养学生观察、分析、比较的能力，并初步掌握对比的思想方法.
课前预习方案
自主学习
1.下列说法正确的是 ( )
A.不等式x＜5的整数解有无数多个
B.不等式x＜5的正整数解有无数多个
C.不等式-2x＞8的解集为x＞-4
D.-40是不等式2x＜8的一个解．
2.下列不等式是一元一次不等式的是( )
A.x(2-x)≥1 B.
C.2x-5y+2＜0 D.3(1-y)>4y+2
3.解下列不等式：
(1)x-2＜5 (2)2x≥x+6．
知识链接
一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
课堂学习方案
知识结构
1.明确几个基本概念：
(1)不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
判断某个未知数是不是不等式的解，可以直接将其代入到不等式中，然后看不等式是否成立，如果成立则是不等式的解；反之，则不是不等式的解．
(2) 不等式的解集：
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合.简称为这个不等式的解集．
不等式一般有无限多个解．
(3) 解不等式
求不等式的解集的过程，叫做解不等式.
2.解集在数轴上的表示方法：
理解“两定”：一是定边界点，二是定方向；
口诀记忆：大于向右，小于向左，有等号的画实心，无等号的画圆圈.
3.一元一次不等式的概念:
只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫一元一次不等式.
典型例题
例1.下列不等式是一元一次不等式吗？
（1）2x－2.5≥15；（2）5x+3y＞240；
（3）x＜－4；（4）＞1.(5)x2-2x-1≤0；
(6)2(1-y)+y＞4y+2．
思路分析：要判断一个不等式是否是一元一次不等式，不能只看形式，要看化简以后的结果，而且含有未知数的式子都是整式.答案是(1)(3) (6).
例2.解不等式3－x＜2x+6，并把它的解集表示在数轴上.
点拨：类比解一元一次方程的过程，运用不等式的基本性质解次不等式.
解：两边都加上x，得
3－x+x＜2x+6+x
合并同类项，得3＜3x+6
两边都加上－6,得3－6＜3x+6－6
合并同类项，得－3＜3x
两边都除以3，得－1＜x
即x＞－1.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
例3.解不等式(k+2)x＞5.
点拨：当未知数的系数不确定正、负时，需对其进行讨论.
解：若k+2＞0,则,
若k+2＜0,则,
若k+2=0,则不论x为何值时，
(k+2)x＞5都不成立.
限时课堂训练
基本练习
1.不等式x+4≥6的解集是 ( )
A.x=2 B.x≥2 C.x≤2 D.无解
2.下列四个结论：（1）4是不等式x+3＞6
的解；（2）3是不等式x+2＞5的解；（3）
不等式x+1＜2的解有无数多个；（4）不
等式x+1＜4的的解集是x＜2；（5）不等
式x+2＞1的解集是x＞-1,其中正确的个
数是 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列不等式中不是一元一次不等式的是
A.-x+1≥5 B.2x+3y＜0
C. D.4x＜5 ( )
4.已知a<0,则关于x的不等式ax<5的解为________;5x5.写出一个解为的一元一次不等式
____________________________.
6.能使不等式3x+5≥x-2成立的负整数有
________________________.
7.当x_________时，代数式x+3的值是正数，当x_________时，代数式4-x的值是负数.
8.已知关于x的不等式x-a＞1的解集如下图所示，则a的值是_____________.
9.解下列不等式，并把解表示在数轴上：
(1)1-x＞2 (2)
(3)7x-2≤9x+3
(4)
拓展思维
已知不等式和不等式
都是关于x的一元一次不等式，求代数式3m+2n的值．
第二课时 一元一次不等式的解法
学习目标
1.通过具体实例，归纳解一元一次不等式的基本步骤．
2.能利用一元一次不等式的知识解决数学中的具体问题．
3.进一步体会类比的数学思想，并培养学生的合情推理意识，主动探究的习惯.
课前预习方案
自主学习
1.解不等式(1)3－x＜2(x+6),
(2)．
2.2x-4≤0的非负整数为______________.
3.7a与3差不大于1，则a的取值范围是___.
知识链接
非负整数：大于或等于0的正整数如0，1，2，3，…．
非正整数：小于或等于0的负整数如0，-1，-2，-3，…．
方程组的常用解法：代入消元法、加减消元法.
课堂学习方案
知识结构
1.解一元一次不等式须注意的：
理论依据：不等式的基本性质；
数学思想：类比思想，数形结合思想
基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
2.一元一次不等式的纯数学应用问题.
典型例题
例1.解下列不等式，并把它们的解集分别在数轴上表示出来：≥3+
点拨：利用解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1. 注意“去分母、去括号”时不要漏乘，分子是多项式时须加括号，“系数化为1”时须注意未知数的系数的正、负性，决定是否改变不等号的方向.
解：去分母，得2x≥30+5（x－2）,
去括号，得2x≥30+5x－10,
移项、合并同类项，得3x≤－20,
两边都除以3，得x≤－.
不等式的解集在数轴上表示如下：
例2.已知关于x、y的方程组的解满足0＜x+y＜1,求k的取值范围.
点拨：此类问题的解法：注意不等式与方程（组）的综合应用.首先是用含待定系数的代数式表示出方程（组）的解x、y,随后根据题目中的条件列出一元一次不等式，从而求出方程（组）中未知的字母系数的取值范围.
解：(1)+(2)得：4x+4y=k+3,
即，
∵0＜x+y＜1，
∴，
可得m=3．
限时课堂训练
基本练习
１.解下列一元一次不等式：
(1)＜
(2)
(3) －2≤＜1
２.关于 x 的方程 3x＋k＝4 的解是正数，则 k____________.
3.三角形的三边长分别是 6、9、x，则 x 的
取值范围是____________.
4.不等式－3≤5－2x＜3的正整数解集是_____________.
5.某商品原价 5 元，如果跌价 x% 后，仍
不低于 4 元，那么 x 的取值范围为
____________.
6.如果不等式3x-m≤0的正整数解为1，2，
3，求m的取值范围.
7.已知关于x，y 的方程组 的解都是正数，求 a 的取值范围.
拓展思维
已知: ,,
, ,
,
根据上面式子的规律，求不等式
的解集.
第三课时 一元一次不等式的应用
学习目标
1.经历从具体问题中抽象出不等式模型的过程.
2.会将具体问题转化为数学问题并求解.
3.熟练掌握一元一次不等式应用题的解题步骤.
课前预习方案
自主学习
1.利用不等式解决问题的关键是寻找 关
系,列出 ,并注意根据问题的实际
意义对解集进行 ,最后确定问题的
解.
2.一次环保知识竞赛共有25道题,规定答
对一道题得4分,答错或不答一道题扣1
分,在这次竞赛中,小明被评为优秀（85
分或85分以上）,小明可能答对了 道
题,至少答对了 道题.
知识链接
一元一次方程应用题的解题步骤：审题、找等量关系、设未知数、列方程、解方程.
课堂学习方案
知识结构
同类量之间的不等关系,可以用数学中的不等式来表示,要把实际问题中的不等关系抽象为不等式,需把握以下两点：
①明确问题中常用的表示不等关系词语的意义.如“大于”“超过”“还多”“高于”等抽象为“＞”,“小于”“不足”“还少”“低于”等抽象为“＜”,而“不大于”“最多”对应“≤”,“不小于”“至少”对应“≥”.
②隐含不等关系在具体情境中,如买东西,花去的钱应不超过原有的钱；汽车运货物质量应不超过汽车规定的载重量；“用”和“运”的区分等等.
典型例题：
例1.小颖准备用21元钱买笔和本,已知每只笔三元,每个笔记本2.2元,她买了2个笔记本.请你帮她算一算,她还可能买几枝笔
分析：①隐含不等关系：用21元钱买
笔和笔记本可抽象为不等关系≤21
②若设可买n枝笔,则本题中n只能
取正整数.
解：设她还可买n枝笔,由题意,得
3n + 2.2×2≤21
解这个不等式,得
n≤
∵n为正整数
∴小颖还可能买1枝、2枝、3枝、4枝或5枝笔.
总结：①通过类比数学思想,类比一元一次方程解应用题的方法,能够运用一元一次不等式解决实际问题.②一元一次不等式应用题的解题步骤：审题、找不等关系、设未知数、列不等式、解不等式、对实际问题进行检验、下结论.
例2.某座楼电梯的最大承载量为1000kg,在电梯里装上700kg的装修材料后,5名装修工人走进了电梯,这时,电梯的警示铃响了,这说明已超过了电梯的最大承载量.这5名工人的平均体重超过了多少千克？
分析：关键语句：电梯的警示铃响了,这说明已超过了电梯的最大承载量,点明本题的不等关系.
解：设这5名工人的平均体重为x千克,由题意,得
5x + 700＞1000
解这个不等式,得
x＞60
答：这5名工人的平均体重超过了60千克.
限时课堂训练
基本练习
1.某商品进价是1000元,售价为1500元．为促销,商店决定降价出售,但保证利润率不低于,则商店最多降 元出售商品．
2.一个两位数,十位数字与个位数字的和为
6,且这个两位数不大于42,则这样的两
位数有 ______个．
3.采石厂工人爆破时,为了确保安全,点燃炸药导火线后要在炸药爆破前转移到400米以外的安全区域.导火线燃烧速度是1厘米/秒,人离开的速度是5米/秒,至少需要导火线的长度是（ ）
A.70厘米 B.75厘米
C.79厘米 D.80厘米
4.某商店在一次促销活动中规定：消费者消
费满200元或200元以上就可享受打折优
惠,一名同学为班级买奖品,准备买6本影
集和若干支钢笔.已知影集每本15元,钢
笔每支8元,问他至少买多少支钢笔才能
打折？
5.某城市平均每天产生垃圾500吨,由甲、
乙两个垃圾处理厂处理.已知甲厂每小时
可处理垃圾35吨,需费用350元；乙厂
每小时可处理垃圾15吨,需费用180元.
⑴甲、乙两厂同时处理该城市的垃圾,每天
需几小时完成？
⑵如是规定该城市每天用于处理垃圾的费
用不超过5400元,甲厂每天处理垃圾至少
需要多少小时
拓展思维
(2003年甘肃省)某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为1万元,其原材料成本价(含设备损耗等)为0.55万元,同时在生产过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产生.为达到国家环保要求,需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理.现有两种方案可供选择.
方案一：由工厂对废渣直接进行处理,每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元,并且每月设备维护及损耗费为20万元.
方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理.每处理1吨废渣需付0.1万元的处理费.
⑴设工厂每月生产x件产品,每月利润为y万元,分别求出用方案一和方案二处理废渣时,用含x的代数式表示y(利润=总收入-总支出)；
⑵如果你作为工厂负责人,那么如何根据月生产量选择处理方案,既可达到环保要求又最合算.
第四节 一元一次不等式组
第一课时 一元一次不等式组解法
学习目标
1.了解一元一次不等式组及解集的概念.
2.会解一元一次不等式组并能把解集在数轴上表示.
3.掌握类比方法,在学习的过程中体会数形结合的思想,提升直觉思维能力.
课前预习方案
自主学习
1.下列不等式组中,是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C. D.
2.某校冬季烧煤取暖时间为4个月,设该校计划每月烧煤x吨,如果每月比计划多烧5吨煤,那么取暖用煤总量将超过100吨,则可列不等式为 ；如果每月比计划少烧5吨煤,那么取暖用煤总量将不足68吨,则可列不等式为 ；该校计划每月烧煤 吨.（列不等式表示）
知识链接
1.数轴 2.如何解一元一次不等式
课堂学习方案
知识结构
1.不等式组定义： 关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起就组成一元一次不等式组.
2.解不等式组的一般步骤：
①求出不等式组中各个不等式的解集.
②利用数轴,找出这些不等式解集的公共部分.
③表示出这个不等式组的解集.
3.数轴上表示不等式的解集：①注意方向.②注意实心与空心的区别.
典型例题：
例1.下列说法正确的是（ ）
A.不等式组 ( http: / / )的解集是5B.的解集是－3C. 的解集是x=2
D.的解集是x≠3
思路分析：关键在数轴上会找公共部分.答案是C.
例2.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( ).
A.
B.
C.
D.
思路分析：考查学生用数轴表示不等式
的解集及不等式组的解集的求法.
分析:分别求出每个不等式的解集.
解不等式,得x<-3;
解不等式,得x≤2.
原不等式的解集为x<-3. 选C.
例3.解不等式组
并把它的解集在数轴上表示出来.
分析：先分别求出不等式组中各个不等式的解集,然后再确定它们的公共部分.
解：解不等式①,得x≤2
解不等式②,得,x＞-2
∴原不等式组的解集是：-2＜x≤2
在数轴上表示如下图：
总结：由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．
不等式组（其中ax＞b 同大取大
x＜a 同小取小
A＜x＜b 大小、小大取中间
空集 小小、大大空无解
限时课堂训练
基本练习
1.写出下列数轴表示的解集
解集是____________________
解集是____________________
2.不等式组的解集是 ；
3.解下列不等式(组),并把解集表示在数轴上.
⑴
⑵
拓展思维
先阅读理解下列题,再按要求完成问题：
例题：解一元二次不等式
解：把分解因式得：
∵
∴
由有理数乘法法则“两数相乘,同号得正”,有
⑴或 ⑵,
解不等式组⑴,得
解不等式组⑵,得
∴一元二次不等式的解集为或；
问题；根据阅读解不等式：
第二课时 一元一次不等式组解法
学习目标
1.会解一元一次不等式组并能把解集在数轴上表示.
2.会利用一元一次不等式组的解集确定满足条件的解.
3.会充分利用数轴确定不等式组的解集.
课前预习方案
自主学习
1.解不等式组：
2.如果不等式组的解集是x>a.那么a____3（填“>”“<”“≤”或“≥”
知识链接
1.一元一次不等式组的解法.
2.与绝对值有关的整数解等问题.如：绝对值不大于3的负整数有 .
课堂学习方案
1.区分不等式的解和解集：是 的解,不等式的解集是.
2.已知不等式的解集确定某一字母的取值范围时,一定要将字母所在位置进行分段讨论.
典型例题：
例1.求不等式组的整数解.
提示：先利用解一元一次不等式组的步骤,求出不等式组的解集,再从解集中找出整数解.
说明：求满足一定条件的一元一次不等式组的特殊解,应先求出不等式组的解,再从中找出满足条件的特殊解.
例2
解不等式1＜2－3x≤5
提示： 解该不等式既可按不等式的性质、变形、求解,也可以将原不等式化成不等式组求解
限时课堂训练
基本练习
1.不等式组无解,则（ ）
A. B. C. D.
2.不等式组的整数解的和是（ ）
A.－2 B.－1 C.0 D.1
3.不等式组的整数解的个数
是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.若不等式组无解,则 ( )
A. B.m≥3 C. D.m≤3
5.若方程组中,若未知数x、y满足x+y>0,则m的取值范围是( )
A.m＞-4 B.m≥-4 C.m＜-4 D.m≤-4
6.求不等式组的正整数解.
拓展思维
1.若不等式组的整数解是关于x的方程2x – 4= ax的根,求a的值.
2.已知方程组的解x,y满足2x+y≥0,求m的取值范围.
第三课时 一元一次不等式组应用
学习目标
1.根据实际问题列出一元一次不等式组解决简单的实际问题．
2.提高分析问题,解决问题的能力．
3.渗透“数学建模”思想,最优化理论．
课前预习方案
自主学习
1.长度分别为3cm,7cm,xcm的三根木棒围成一个三角形,则x的取值范围是_______．
2.（2008,苏州）2008年6月1日起,某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋,每只售价分别为1元,2元和3元,这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3kg,5kg和8kg．6月7日,小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20kg散装大米,他们选购的3只环保购物袋至少应付给超市_______元．
知识链接
1.类比二元一次方程组应用题的解题方法思考一元一次不等式组应用题的解题方法.
2.列一元一次不等式组解决实际问题是中考要考查的一个重要内容,在列不等式解决实际问题时,应掌握以下三个步骤：
①找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来解决）,设出未知数,列出不等式组（或不等式与方程的混合组）；②解不等式组；③从不等式组（或不等式与方程的混合组）的解集中求出符合题意的答案．
课堂学习方案
知识结构
1.同类量之间的不等关系,可以用数学中的不等式来表示,要把实际问题中的不等关系抽象为不等式,需把握以下两点：
①明确问题中常用的表示不等关系词语的意义.如“大于”“超过”“还多”“高于”等抽象为“＞”,“小于”“不足”“还少”“低于”等抽象为“＜”,而“不大于”“最多”对应“≤”,“不小于”“至少”对应“≥”.
②隐含不等关系在具体情境中,如买东西,花去的钱应不超过原有的钱；汽车运货物质量应不超过汽车规定的载重量；“用”和“运”的区分等等.
2.注意“空”与“非空”、“满”与“不满”对应的不等关系.
典型例题：
例1.某校安排寄宿时,如果每间宿舍住7人,那么有1间虽有人住,但没住满.如果每间宿舍住4人,那么有100名学生住不下.问该校有多少寄宿生？有多少间宿舍？
分析：①学生找到本题中的两个不等关系即不满也不空.②学生人数,宿舍间数都为整数.
解：设有x间宿舍,则有学生(4x+100)人,根据题意,得
这个不等式组的解集是
∵宿舍和学生人数都为整数
∴x=34或x=35 .
当x=34时,4x+100=236
当x=35时,4x+100=240
答：该校有寄宿生236人,宿舍34间；或者有寄宿生240人,宿舍35间.
总结：列一元一次不等式组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题；
（2）找不等量关系列不等式；
（3）根据不等关系列不等式组；
（4）解不等式组；
（5）检验并作答.
例2.已知利民服装厂现有A种布料70米,B种布料52米,现计划用这两种布料生产M,N两种型号的时装共80套,已知做一套M型号时装需A种布料0.6米,B种布料0.9米,做一套N型号时装需用A种布料1.1米,B种布料0.4米,若设生产N型号的时装套数为x,用这批布料生产这两种型号的时装有几种方案？
分析：本题中“用”对应的不等关系为“≤”
解：生产N型号的时装套数为x时,则生产M型号的时装套数为（80－x）,根据题意,得
解不等式组,得
40≤x≤44
因为x是整数,所以x的取值为40,41,42,43,44.
因此,生产方案有五种.
（1）生产M型40套,N型40套；
（2）生产M型39套,N型41套；
（3）生产M型38套,N型42套；
（4）生产M型37套,N型43套；
（5）生产M型36套,N型44套.
例3. 火车站有某公司待运的甲种货物1530吨,乙种货物1150吨,现计划用50节A、B两种型号的车厢将这批货物运至北京,已知每节A型货厢的运费是0.5万元,每节B节货厢的运费是0.8万元；甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢,甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢,按此要求安排A、B两种货厢的节数,共有哪几种方案？请你设计出来；并说明哪种方案的运费最少？
分析：本题中“运”对应的不等关系为“≥”
解：设A型货厢用x节,则B型货厢用（50－x）节,根据题意,得
解不等式组,得
28≤x≤30
因为x为整数,所以x取28,29,30.
因此运送方案有三种.
（1）A型货厢28节,B型货厢22节；
（2）A型货厢29节,B型货厢21节；
（3）A型货厢30节,B型货厢20节；
设运费为y万元,则
y=0.5x+0.8（50－x）=40－0.3x
当x=28时,y=31.6
当x=29时,y=31.3
当x=30时,y=31
∴选第三种方案,即A型货厢30节,B型货厢20节时运费最省.
限时课堂训练
基本练习
1.一堆玩具分给若干个小朋友,若每人分2件,则剩余3件；若前面每人分3件,则最后一个人得到的玩具数不足2件.求小朋友的人数与玩具数.
2.某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件,已知生产一件A种产品用甲种原料9千克,乙种原料3千克,可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料4千克,乙种原料10千克,可获利1200元.
⑴ 按要求安排A、B两种产品的生产件数,有哪几种方案？请你设计出来；
2 设生产A、B两种产品总利润为元,其中甲种产品生产件数为件,试用含x的代数式表示,求那种方案获利最大？最大利润是多少？
拓展思维
1.仔细观察图,认真阅读对话：
根据对话内容,试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？
2.（2004,湖北省）如图所示,一筐橘子分给若干个儿童,如果每人分4个,则剩下9个；如果每人分6个,则最后一个儿童分得的橘子数少于3个,问共有几个儿童,分了多少个橘子？
3.(2007湖南怀化）2007年我市某县筹备20周年县庆,园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．
⑴某校九年级⑴班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．
⑵若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明⑴中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
第十四章 分式
第一节 分式
第一课时 分式的概念及分式的基本性质
学习目标
1.使学生理解分式的意义,会求使分式有意义的条件.
2.通过类比思想掌握分式的基本性质.
3.能用分式的基本性质将分式变形.
课前预习方案
自主学习
1.代数式,
中,分式共有（ ）个.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.对于分式,分式无意义的条件是 ,分式有意义的条件是 ,分式的值为零的条件是 .
3.分式的基本性质是 .
知识链接
1.代数式,, ,,
有何共同特征？
2.分数,,相等吗？
课堂学习方案
知识结构
1.分式定义、分式有无意义的条件.
2.分式的基本性质,用式子表示是：
（其中M是不等于零的整式）
典型例题
例1．当x是什么数时,分式①值是零 ②有意义 ③无意义？
解：①由分子x+2=0,得x=-2.而当x=-2时,分母2x-5=-4-5≠0,所以当x=-2时,分式的值是零.
②∵2x-5≠0
∴x≠
∴当x≠时,分式有意义.
③∵2x-5=0
∴x=
∴当x=时,分式无意义.
例2.填空：
⑴ ⑵.
解：⑴∵a≠0
∴
即填a2+ab.
⑵∵x≠0
∴,即填x.
总结：仔细观察分母（分子）的变化
利用分式的基本性质来解题.
例3.不改变分式的值,把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数.
⑴； ⑵.
解：⑴
.
⑵
限时课堂训练
基本练习
1.下列各式中,是分式的是( )毛
A.2x B. x2 C. ( http: / / )D.
2.(2006年宁波)使式子有意义的x的取值范围为（ ）
A.x＞0 B.x≠1 C.x≠－1 D.x≠±1
3.(2006年湖州）下列各式从左到右的变形
正确的是（ ）
A. ( http: / / )
B. ( http: / / )
C.
D.
4.使式子的值为零的x的取值范围为
（ ）
A.x=0 B.x=1 C.x=－1 D.x=±1
5.如果把分式中的x 和y 都扩大10倍,那么分式的值（ ）
A.扩大10倍 B.缩小10倍
C.是原来的 D.不变
拓展思维
对于分式,当x=1时,分式无意义；当x=4时,分式的值为0,求a+b的值.
第二课时 分式的约分
学习目标
1.掌握分式约分方法,熟练进行约分,并了解最简分式的意义.
2.能通过回忆分数的约分,类比地探索分式的约分,渗透数学中的类比数学思想.
课前预习方案
自主学习
1.把下列分数化为最简分数：=_____； =______； =______．
2.类比分数的约分,我们利用分式的基本性
质,约去的分子分母中的公因式a不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的_____,其中约去的a叫做________,同理分式中的公因式是__________,因此约分的步骤为：________________.
3.若分子分母都是单项式时,如何找公因式？当分子分母都是多项式时,又如何找公因式？
知识链接
1.什么叫公因式
2.因式分解.
课堂学习方案
知识结构
1.约分：把分式中分子、分母的公因式约去,叫做分式的约分.
2.分式的约分运算,用到的知识:(1)因式分解;(2)分式基本性质;(3)分式中符号变换规律;约分的结果是,一般要求分、分母不含“－”.
典型例题
例1.找出下列分式中分子分母的公因式
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸
解:⑴4c ⑵3ac ⑶y ⑷x+y ⑸x-y
例2.在化简分式时,小颖和小明的
做法出现了分歧：
小颖：
小明：
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
解:小颖没有彻底约分,小明的做法对.
小结:一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式,彻底约分后的分式叫最简分式.
例3.约分
(1)
解：
=
(2)
解：
=
=
小结:约分的方法:若分子和分母都是多项式,则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式）,然后才能进行约分.约分后,分子与分母不再有公因式,我们把这样的分式称为最简分式.
限时课堂训练
基本练习
1.下列各式中,正确的是（ ）
A. B. =0
C. D．
2.下列约分正确的是（ ）
A. B. ( http: / / www.1230.org )
C. D.
3.化简的结果是（ ）.
A. B.
C. D.
4.约分：⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸ ( http: / / www.1230.org ) ⑹
拓展思维
如果∣a2-6a+9∣＋(a-b-1)2=0,求
的值.
第二节 分式的乘除
第一课时 分式的乘法
学习目标
1.经历探索分式的乘法运算法则的过程,并能结合具体情境说明其合理性.
2.会进行简单分式的乘法运算,具有一定的代数化归能力,能解决一些实际问题.
课前预习方案
自主学习
1. ·=
2. =
知识链接
1.分数相乘：
2.类比分数相乘猜测分式相乘：
==（记住要约分）
课堂学习方案
知识结构
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分
子,把分母相乘的积作为积的分母.
公式表示：
典型例题
例.计算
⑴ ⑵
⑶
分析：分式与分式相乘,若能分解因式的先分解因式,再约分,最后相乘,运算过程比较简单.
解:⑴
=－
=
⑵
=1
(3)
=
=
=
总结：分子或分母是多项式的分式乘法的解题步骤是：
⑴将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂)排列；在相乘过程中遇到整式则视其为分母为1,分子为这个整式的分式.
⑵把各分式中分子或分母里的多项式分解因式.
⑶应用分式乘法法则进行运算得到积的分式.
⑷应用分式约分法则使积化成最简分式或整式．
限时课堂训练
基本练习
1.计算⑴= .
⑵= .
2.化简：= .
3.= .
4.计算：⑴
⑵
拓展思维
如果a2-6a+9＋(a-b-1)2=0,求
的值.
第二课时 分式的除法
学习目标
1.经历探索分式的除法运算法则的过程,并能结合具体情境说明其合理性.
2.会进行简单分式的除运算,具有一定的代数化归能力,能解决一些实际问题.
课前预习方案
自主学习
1.分式的乘除法是同一级运算应按照 的
顺序依次进行,有括号的要 .
2.计算= .
知识链接
1.分数的除法:
2.类比分数的除法,你会计算吗？
课堂学习方案
知识结构
分式除以分式,将除式的分子和分母颠倒位
置后,再与被除式相乘.
典型例题
例.计算：
⑴
⑵
⑶
解：⑴
⑵
⑶
总结：分子或分母是多项式的分式除法的解题步骤是：
⑴将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂)排列；在相除过程中遇到整式则视其为分母为1,分子为这个整式的分式.
⑵把各分式中分子或分母里的多项式分解因式.
⑶应用分式除法法则进行运算得到积的分式.
⑷应用分式约分法则使积化成最简分式或整式.
限时课堂训练
基本练习
计算：1.
2.
3.
拓展思维
在解题目:当m=2010时,求代数式
的值,小明认为m任取一个使原式有意义的值带入都有相同结果.你认为对吗
第三节 分式的加减
第一课时 同分母分式的加减
学习目标
1.会进行同分母分式的加减运算,并能类比分数的加减运算,得出同分母分式的加减法的运算法则.
2.会将互为相反数的分母化为同分母,发展符号感.
课前预习方案
自主学习
1. .
2.你认为应等于什么？
3.猜一猜,同分母的分式应该如何加减？
(让学生相互交流,引导学生通过与分数类比,大胆猜想同分母分式的加减运算法则.并让学生说明其合理性.培养学生的探索能力.）
知识链接
1.同分母的分数如何加减？
2. = .
课堂学习方案
知识结构
同分母的分式加减法的法则:
同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
用式子表示：
±=（其中a、b既可以是数,也可以是整式,c是含有字母的非零的整式）.
典型例题
例.1．
2.
解:1．
=
=
=
=
2.
=
=
=
=
=
总结:
1.互为相反数的分母化为同分母时应提负号.
2.分数线的两个作用⑴除号⑵括号.
3.注意约分时的符号问题.
限时课堂训练
基本练习
1.填空
⑴.= .
⑵. = .
⑶. = .
⑷.= .
⑸.= .
⑹.= .
2.计算
⑴.
⑵.
⑶.
拓展思维
计算
（其中x=－2,y=－3）
第二课时 异分母分式的加减
学习目标
1.会进行异分母分式的加减运算,并能类比分数的加减运算,得出异分母分式的加减法的运算法则.
2.分式的通分.
3.经历异分母分式的加减运算和通分的过程,训练学生的分式运算能力,培养教学学习中转化未知问题为已知问题的能力.
4.进一步通过实例发展学生的符号感.
课前预习方案
自主学习
1. = .
2.你认为异分母的分式应该如何加减？比如= .
(鼓励学生在同分母分式加减的基础上,思考异分母分式的加减.)
知识链接
异分母的分数如何加减.
课堂学习方案
知识结构
1.把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.
2.异分母的分式加减法的法则:
异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
典型例题
例1 通分：
⑴
解： ∵最简公分母是10a2b2c2,
⑵
∵x2-4＝(x+2)(x-2)
4-2x＝-2(x-2)
∴最简公分母为2(x+2)(x-2)
总结:1.通分的依据:分式的基本性质.
2.通分的关键:确定几个分式的公分母.公分母不唯一,通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母,当分母是多项式时,应先分解因式.
限时课堂训练
基本练习
1. 填空
⑴ .⑵ .
⑶ .
⑷= .
⑸一条小船顺流航行50km后,又立即返回原地.如果船在静水中的速度为akm/h水流速度为8km/h,那么顺流航行比逆流航行少用 小时.
2.计算
⑴
⑵
⑶
拓展思维
已知x=－2求
的值.
第十五章 轴对称
第一节 生活中的轴对称
学习目标
1.通过生活中的具体实例认识轴对称,掌握轴对称图形概念.
2.总结出轴对称图形的特点.
3.能准确判断哪些事物是轴对称图形,并会找、会画出轴对称图形的对称轴、对称点.
4.体会数学的对称美在生活中的广泛应用和体现.
课前预习方案
自主学习
1.下列这些图形好看吗？你能说说这些图形有一个怎样的共同特征吗？
2.预习轴对称图形、对称轴、对称点的概念.
知识链接
1.对折矩形纸张有几条折痕？
2.有几个英文字母能对折？
课堂学习方案
知识结构
典型例题
例1.“轴对称”与“轴对称图形”的区别与联系:
轴对称图形 轴对称
一分为二
合二为一
区别： 一 个图形 两个图形
联系：如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成2个图形,那么这两部分成轴对称.
如果把成轴对称的2个图形看成一个整体,那么这个整体就是一个轴对称图形.
例2.下列图形是否是轴对称图形,找出轴对称图形的所有对称轴.
思考：正三角形有 3 条对称轴
正四边形有 4 条对称轴
正五边形有 5 条对称轴
正六边形有 6 条对称轴
正n边形有 n 条对称轴
当n越来越大时,正多边形接近于什么图形？它有多少条对称轴？
解：圆，无数条
总结：一个轴对称图形的对称轴的条数不一定是一条.
限时课堂训练
基本练习
1.请在下面这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律,然后在横线上的空白处填上恰当的图形．
2.(2004年吉林省中考)以下四个图形中,对称轴条数最多的一个图形是( ).
A B C D
3.如图15-1-2,观察(1)～(9)所示的图案,其中图案__________是轴对称图形；图案___________中的两个图形成轴对称．
4.如图15-1-3,标出点A、B、C关于直线l 的对称点、、．
拓展思维
如图,由4个全等的正方形组成L形图案,请你在图案中改变1个正方形的位置,使它变成轴对称图案,有几种方法.
第二节 简单的轴对称图形
学习目标
1.通过折叠,验证线段和角是轴对称图形.
2.理解线段的垂直平分线(或中垂线)的概念；了解“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”、“角平分线上的点到角的两边距离相等”这两个结论.
3.通过积极思考、自主探索与合作交流,让学生经历“提出猜想一验证猜想一应用与拓展”的过程,以获得知识,形成能力,发展思维.
课前预习方案
自主学习
问题一
1.在纸上画一条线段AB,对折AB,使得点A、B重合,折痕与AB 的交点为O.
2.在折痕上任取一点C,沿CA将纸折叠；
3.把纸展开,得到折痕CA和CB.
观察自己手中的图形,回答下列问题：
⑴CO与AB 有什么样的位置关系
⑵AO与OB相等吗 CA与CB 呢 能说明你的理由吗
⑶在折痕上另取一点 ,再试一试,你又有什么发现
问题二
1.在纸上画一个△AOB,把角A对折,使得这个角的两边重合.
2.在折痕（即角平分线）上任意找一点C,
过点C折OA边的垂线,得到新的折痕CD,其中,点D是折痕与OA的交点,即垂足.
3.将纸打开,新的折痕与OB边交点为E.
⑴通过第一步我们能发现什么结论
⑵在上述的操作过程中,你发现了哪些相等的线段 说明你的理由,在角平分线上在另找一点试一试.是否也有同样的发现
知识链接
学过的一些基本的平面图形（如三角形、四边形、线段、角等）,这些平面图形中有没有轴对称图形呢
课堂学习方案
知识结构
1.垂直平分线两个条件既垂直又平分,简称中垂线,是线段对称轴.
2.线段是轴对称图形,它的一条对称轴垂直于这条线段并且平分它.（唯一性）
3.线段垂直平分线性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
4.角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.
5.角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.
典型例题
例1.△ABC中,BC=10,边BC的垂直平分线分别交AB,BC于点E、D,BE=6,求△BCE的周长．
解：∵DE是线段BC的垂直平分线
∴EB=EC=6
∴△BCE的周长=EB+EC+BC=6+6+10=22．
例2.如图,△ABC中,∠C=90 ,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=32,且BD∶CD=9∶7,求点D到AB的距离DE．
解：∵BD∶CD = 9∶7,BC=32
∴CD = = 14
∵∠C=90
∴CD⊥AC
∵AD平分∠BAC DE⊥AB
∴DE=CD=14
限时课堂训练
基本练习
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,CD=5cm,则点D到AB的距离为_____cm.
2.如图所示,若AC是BD的垂直平分线,AB＝5cm,BC＝3cm,四边形ABCD的周长为 .
3.如图,在ΔABC中,AB＝AC＝15,DE垂直平分AB.
（1）当AE＝12时,BE等于多少
（2）当ΔBEC的周长为25时,BC为多少
（3）当BC＝14时,ΔBEC的周长为多少
拓展思维
如图,两个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动,现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应站P,使P到两条道路的距离相等且使PM=PN,P点应该设在何处
第三节 轴对称的性质
学习目标
1.掌握轴对称性质.
2.会利用轴对称的性质,作对称点,对称图形等.
3.经历探索轴对称性质的活动过程,积累数学活动经验,进一步发展空间观念和有条理的思考和表达能力.
课前预习方案
自主学习
将一张矩形纸沿虚线对折（图1）,然后用
笔尖扎出一个三角形ABC（图2）,将纸
打开后铺平就得到了（图3）
图1 图2 图3
⑴图2③中的两个三角形有什么关系？
⑵在扎三角形的过程中,点A与点A′重合,点B与点B′重合,点C与点C′重合.设折痕所在直线为l,连接点A与点A′的线段与l有什么关系？点B与点B′呢？
⑶线段AB与线段A′B′有什么关系？线段
BC与线段B′C′呢？
⑷∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？
知识链接
画出下列各图的对称轴.
课堂学习方案
知识结构
轴对称的性质：
如果两个图形关于某一条直线对称,那么对应线段相等,对应角相等,对应点所连的线段被对称轴垂直平分.
典型例题
例1 用笔尖扎重叠的纸,展开后可以得到下面成轴对称的两个图案（如图1）.
⑴找出它的两对对应点、两条对应线段和两
个对应角.
⑵连接OO′,判断OO′与MN的关系.
⑶所扎的图案“w”（如图2）是轴对称图形吗？若是,请画出它的对称轴.
解：⑴对应点有：点J与J′点,点C与C′点；对应线段有：线段AB与线段A′B′,线段OC与线段OC′；对应角有：∠A与∠A′,∠K与∠K′.
⑵直线MN垂直平分线段OO′.
⑶是轴对称图形,对称轴的位置如图5中直线l.
点拨：⑴图1中共有13个对应点,13条对应线段,13个对应角,按要求写出两对即可.答案不是唯一的.
⑵可以利用轴对称的性质或测量的方法得出结论.
⑶可利用折叠的方法或测量的方法判断；
例2.图1是在方格纸中画出的树的图形的一半,请你以树干为对称轴在图2中画出图形的另一半.
例2图1 例2 图2
点拨：利用轴对称图形的基本性质作图,找准对应点的位置再连线.
限时课堂训练
基本练习
1.(2007年·天水市）如图,直线是四边形ABCD的对称轴.若AD∥BC,则下列结论:①AB=CD；②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC.其中正确的是（ ）.
A．①②③ B．①③④
C．①②④ D．①②③④
2.(2007年·河南）如图,△ABC与 关于直线对称,则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.(2007年·广州市）观察下列四个图案,其中为轴对称图形的是（ ）．
A B C D
拓展思维
下图是在方格纸上划出的一个零件图形一半,请你以点M、N所在的直线EF为对称轴画出另一半,并指出三对对应点、对应线段和对应角.
第四节 利用轴对称设计图案
学习目标
1.经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图过程,掌握有关画图的操作技能,发展初步审美能力,增强对图形欣赏的意识.
2.能按要求把所给出的图形补成以某直线为轴的轴对称图形,能依据图形的轴对称关系设计轴对称图形.
课前预习方案
自主学习
如图：给出了一个图案的一半,其中的虚线是这个图案的对称轴.
你能画出这个图案的另一半吗？
知识链接
1.如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相________,那么这个图形叫做________________,这条直线叫做_____________.
2.轴对称的三个重要性质.
课堂学习方案
知识结构
补全轴对称图形和设计一些创意独特的轴对称图案.
典型例题
用四块如图⑴所示的黑白两色正方形瓷砖拼成一个新的正方形,使拼成轴对称图
案,请至少给出三种不同的拼法：
限时课堂训练
基本练习
1.将一张矩形纸对折,然后用笔尖在上面扎出B,再把它铺平,你可见到( )
A. B.
C. D.
2.将圆形纸片对折后再对折,得到图(a),然后沿着图中的虚线剪开,得到两部分,其中一部分展开后的平面图形是( )
拓展思维
为了美化环境,在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草,现将这块空地按下列要求分成四块：⑴分割后的整个图形必须是轴对称图形;⑵四块图形形状相同;⑶四块图形面积相等.现已有两种不同的分法：⑴分别作两条对角线（图1）⑵过一条边的三等
分点作这边的垂线段（图2）（图2中两个图形的分割看作同一方法）
请你按照上述三个要求,分别在下面三个正方形中给出另外三种不同的分割方法.（只要求正确画图,不写画法）.
第5节 等腰三角形
第一课时 等腰三角形的概念和性质
学习目标
1.通过操作和思考,掌握等腰三角形的相关概念.
2.经历作（画）出等腰三角形的过程,从轴对称的角度去体会等腰三角形的性质．
3.自主、互动探究 演示 推理得等腰三角形的性质,培观察、猜想、推理能力.
课前预习方案
自主学习
1.活动A:把一张长方形纸对折,在折痕处剪去一个直角,再把它展开,得到一个三角形,此三角形有何特点
活动B:画一画,量一量
(1)作一条直线L,在L上取点A,在L外取点B,作出点B关于直线L的对称点C,连结AB、BC、CA,则可得到一个△ABC．
(2)用刻度尺量一量三角形的两边AB、AC,看它们的长度有何关系
2.等腰三角形的性质
问题1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
问题2．折叠或测量,看看等腰三角形的两底角有什么关系？
问题3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
问题4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？
知识链接
1.三角形是轴对称图形吗
2.什么样的三角形是轴对称图形
课堂学习方案
知识结构
1.与等腰三角形有关的概念.
2.等腰三角形的性质：
⑴等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
⑵等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
⑶等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于600.
典型例题
1.等腰三角形的两边分别为3、4,则周长为 10或11 .
2.等腰三角形一个角为50°,则顶角为50°或80°.
3.在我校开展“赈灾募捐,帮助灾区人民重建家园”的活动 中,需要一批“三角测平架”：如图,AB=AC,在BC的中点D挂一个重锤,自然下垂.调整架身,使点A恰好在重锤线上,这时BC处于水平位置,为什么？
解:∵AB=AC,D为BC中点
∴AD⊥BC
∵AD自然下垂
∴AD垂直水平面
∴BC与水平面平行
即BC处于水平位置
限时课堂训练
基本练习
1.等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是 .
2.等腰三角形两边为3cm、8cm,则它的周长是 .
3.等腰三角形顶角为65°,它的另外两个角为 .
4.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 .
5.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为 .
6.已知AD是等边△ABC的高,BE是AC边的中线,AD与BE交与点F,则∠AFE= .
7.已知：如图, ∠A= 36°, AD=BD=BC.
求∠ABD、∠BDC的度数.
拓展思维
如图所示,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC.
求证:AO⊥BC
第二课时 等腰三角形的识别
学习目标
1.掌握等腰三角形的判定方法和数学的转化思想.
2.理解等腰三角形的判定和性质的联系与区别.
课前预习方案
自主学习
如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,不小心被墨水涂没了一部分,只留下一条边BC和一底角∠C.你有没有办法把原来的等腰三角形ABC重新画出来 画完后请用折纸的方法检验你画的是否正确.并想想,由此你发现了什么结论？与你的同伴讨论一下.
知识链接
作一个角等于已知角.
课堂学习方案
知识结构
1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.(简称“等角对等边”)
2.三个角都相等的三角形是等边三角形.
3.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
典型例题
例1.已知,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D,过D作DE//BC交AC与F,交AB于E,求证:EF=BE-CF.
分析:对于三个线段间关系,尽量转化为等量关系,由于本题有两个角平分线和平行线,可以通过角找边的关系,BE=DE,DF=CF即可证明结论.
证明： DE//BC（已知）
∴∠DBC=∠BDE(两直线平行内错角相等)
∵BD平分∠ABC(已知)
∴ ∠ABD=∠DBC(角平分线定义)
∴∠ABD=∠BDE
∴BE=DE(等角对等边)
同理DF=CF.
∵ EF=DE-DF
∴EF=BE-CF(等量代换)
引申:如果为两内角平分线,其他条件不变,结论是否改变.如果为一内角平分线和一外角平分线,其他条件不变,结论是否改变.
例2.如图,将长方形ABCD沿对角线BD对折,使AB与CD相交于点F,问重叠的△BDF是什么形状？为什么？
分析:要判断△BDF的形状,就要得到边长的大小关系,先判断FD是否等于FB,又由于FD、FB分别在△DEF、△BCF中,问题转化为判断△DEF和△BCF是否全等.判断这两个三角形全等的不足条件从哪里来呢 注意,长方形ABCD沿对角线BD折叠,折叠前后的△BAD和△BED是全等的,通过这两个三角形全等为判定△DEF和△BCF全等创造条件.
解：△BDF是等腰三角形.
理由如下:
∵长方形ABCD沿对角线BD对折
∴△BAD≌△BED
∴ DE=DA,∠E=∠A（全等三角形的对应边相
等,对应角相等）
∵四边形ABCD为长方形
∴AD=BC,∠C=90°（长方形的对边相等,四
个角都是直角）
∴DE=BC,∠E=∠C=90°（等量代换）
在△DEF和△BCF中
∴△DEF≌△BCF（AAS）
∴DF=BF（全等三角形的对应边相等）
∴△BDF是等腰三角形
总结：⑴抓住图形变换前后的“不变量”,是解这类题目的关键.
⑵等腰三角形的识别方法:1.等腰三角形定义. 2. 等腰三角形的判定定理:等角对等边.
限时课堂训练
基本练习
1.如图,在△ABC中,∠A＝70°,且三边AB、BC、AC的长分别是12cm、10cm、6cm,O是△ABC中∠ABC、∠ACB的平分线的交点,OE//AB,OF//AC,则∠BOC＝ ,
∠EOF＝ ,△OEF的周长为 .
2.如图,在△ABC中,∠A=36 ,∠ACB=72,BD平分∠ABC,则图中有 等腰三角形.
3.△ABC中,AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F,若∠BAC＝115°,则∠EAF＝___________.
4.如图,△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件:①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC
⑴上述四个条件中,哪两 个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情况）⑵选择第⑴小题中的一种情形,
证△ABC是等腰三角形.
5.如图,△ABC是等边三角形,BD、CE是中线,求∠CBD,∠BOE,∠BOC的度数．
拓展思维
已知：△ABC中,AB=AC,∠A=36°,请你设计三种以上不同分法,将△ABC分割成3个三角形,使得每个三角形都是等腰三角形.不要求写出画法,请指出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数.
第三课时 含有300角的直角三角形的性质
学习目标
1.了解含角的直角三角形的性质,并理解其实际运用价值.
2.经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,在具体的折纸情景中,获得角的直角三角形的一些性质,并通过从对折联想对称,从角的对折联想角的平分、从边的对折联想线段的平分等发展合情推理能力以及应用.
课前预习方案
自主学习
在纸上画一个等边三角形ABC,把等边三角形沿它的一条对称轴AD剪开,得到△ABD和△ACD.体会等边三角形的轴对称性.
自主探究
1.△ABD和△ACD全等吗 为什么
2.在△ABD中,∠ADB和∠BAD分别是多少度 为什么
3.在Rt△ABD中,斜边AB和∠BAD所对的直角边BD的长有什么关系 请你说明理由.
4.你能用两个同样大小的三角尺（含30°和60°的角）拼接起来验证上述结论.
知识链接
1.什么是等边三角形 它有哪些性质
2.等边三角形的轴对称性.
课堂学习方案
知识结构
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
典型例题
例.如图,已知△ABC的三个内角之比为∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3,BC=2 ,求AB的长.
解:设∠A=x°,则∠B=2x°,∠C=3x°
∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理)
∴x+2x+3x=180(等量代换)
∴x=30
即∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°
在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=2.
∴ AB=2BC=4(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.)
限时课堂训练
基本练习
1.等腰三角形ABC的顶角为120°,腰长为10,则底边上的高AD= .
2.△ABC中,∠C＝90°,∠B＝30°,AD平分∠BAC,交BC于D,则BD:DC= .
3.在Rt△ABC中,∠A＝30°,∠C＝90°,D是斜边AB的中点,DE⊥AC,垂足为C,且DE＝6cm,求BC的长.
4.已知：在△ABC中AB=AC=2a, CD是腰AB上的高,∠ABC=∠ACB=15°,求CD的长.
拓展思维
一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶渔群,在A处看见小岛C在船北偏东 60°,40分钟后,渔船行至 B处,此时看见小岛 C在船的北偏东30°,已知小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区,问这艘渔船继续航行（追赶鱼群）,是否有进入危险区的可能？
第十六章 勾股定理
第一节 勾股定理
学习目标
1.掌握勾股定理.
2.学会利用勾股定理进行计算、证明.
3.了解有关勾股定理的历史.
4.在定理的证明中培养学生的拼图能力.
课前预习方案
自主学习
相传2500年前,毕达哥拉斯在朋友家做客时,发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.我们只看到了地砖的装饰效果,数学家却看到了这样一个图1,他发现了这样一个图形,并从这一图形发现了等腰直角三角形三边的关系.你能根据图2观察分析三个正方形的面积SA、SB、SC有什么关系 中间的等腰直角三角形三边有什么关系？你能用毕达哥拉斯的方法探究一般直角三角形的三边是否也有这样关系吗
知识链接
正方形的面积.
拼图技巧.
课堂学习方案
知识结构
1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方.
a2+b2=c2
2.勾:最短的直角边.股:较长的直角边.
弦:斜边.
典型例题
例.如图,将矩形ABCD（AB＜AD）沿BD折叠后,点C落在点E处,且BE交AD于F,若AB=4,BC=8,求DF的长.（03年泰州）
分析:折叠问题是学生感兴趣的问题,如何用数学知识解决折叠中的计算问题,也是我们必须思考的问题.
由折叠知:△BDE≌△BDC
故∠1＝∠2
又ABCD是矩形
所以AD∥BC
所以∠1＝∠3
即∠2＝∠3
故FD＝FB
设FD=FB=x,则AF=8-x
在Rt△ABF中,
解得
即DF的长为5.
限时课堂训练
基本练习
1.在Rt△ABC中,∠Ｃ=90°
⑴已知:a=6,ｂ=8,则c= .
⑵已知:a=40,c=41则b= .
⑶已知:c=13,b=5,则a= .
2.如图,直线上有三个正方形a、b、c,若a、c 的面积分别为5和11,则b的面积为（ ）
A.4 B.6 C.16 D.55
3.有两棵树,一棵高6米,另一棵高3米,两树相距4米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了 米．
4.人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时,发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只,正以24海里/小时的速度向正东方向航行,为迅速实施检查,巡逻艇调整好航向,以26海里/小时的速度追赶,在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下,问需要几小时才能追上？（2003年青岛）
拓展思维
如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少
第二节 由边的数量关系识别直角三角形
学习目标
1.掌握直角三角形的判别条件.
2.熟记一些勾股数．
3.掌握勾股定理的逆定理的探究方法．
课前预习方案
自主学习
问题:据说古埃及人用下图的方法画直角:把一根长蝇打上等距离的13个结,然后以3个结,4个结、5个结的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角.
这个问题意味着,如果围成的三角形的三边分别为3、4、5,有下面的关系“32＋42＝52”,那么围成的三角形是直角三角形.
画画看:如果三角形的三边分别为2.5cm,6cm,6.5cm,有下面的关系,“2.52＋62＝6.52,画出的三角形是直角三角形吗 换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm.再试一试．
按照特殊到一般思路,你能归纳猜想出“如果三角形三边a,b,c满足a2＋b2＝c2,那么这个三角形就为直角三角形的结论吗？
知识链接
直角三角形有如下性质:⑴有一个角是直角⑵两个锐角互余⑶两直角边的平方和等于斜边的平方⑷在含30°角的直角三角形中,30°的角所对的直角边是斜边的一半.
课堂学习方案
知识结构
如果三角形的三边长a,b,c满足a2＋b2＝c2那么这个三角形是直角三角形.
典型例题
例.四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,
CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.
解:
连结AC
∵∠B=90°,AB=3,BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）
∴AC=5
∵AC2+CD2=169,AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36
限时课堂训练
基本练习
1.以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是（ ）
A. 8,15,17 B. 4,5,6
C. 5,8,10 D. 8,39,40
2.△ABC中,如果,则△ABC是 三角形,且∠ =90°.
3.如图,ABCD是正方形,AE=AB,BF=BC,
求证：DE⊥EF
拓展思维
如图,三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1,S2,S3,且S1+S2=S3,试判定这个三角形是什么三角形．
第三节 勾股定理的应用
学习目标
1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题.
2.培养从“形”到“数”和从“数”到“形”转化、推理能力.
课前预习方案
自主学习
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,这个问题的意思是：有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
知识链接
线段中垂线定理;利用轴对称确定最短距离
课堂学习方案
知识结构
1.△ABC为Rt△且∠C=90°
2.利用勾股定理的逆定理,可以判定一个角为直角,从而判定直角三角形,也可以用来判定两直线互相垂直.
典型例题
例.折叠长方形一边AD,点D落在BC边的点F处,BC＝10cm,AB＝8cm,求:⑴FC的长.⑵EF的长．
解:(1)在Rt△ABC中
由勾股定理得AF2＝AB2+BF2
∴ 102＝82+BF2
∴BF＝6
FC＝BC-BF=4(cm)
(2)在Rt△ABC中
由勾股定理得EF2＝FC2+(8－EF)2
∴EF2＝42+(8－EF)2
∴EF＝5(cm)
限时课堂训练
基本练习
1.在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,东南方向24m处有一建筑工地B,在AB间建一条直水管,则水管的长为( ）
A.45cm B.40cm C.50cm D.56cm
2.两只小鼹鼠在地下打洞,一只朝前方挖,每分钟挖8cm,另一只朝左挖,每分钟挖6cm,10分钟之后两只小鼹鼠相距( )
A.50cm B.100cm C.140cm D.80cm
3.如图,下列三角形中是直角三角形的是( )
4.如图,小李准备建一个蔬菜大棚,棚宽4m,
高3m,长20m,棚的斜面用塑料薄膜遮盖,
不计墙的厚度,请计算阳光透过的最大面
积为 .
5.为了丰富少年儿童的业余生活,某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室,本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,已知AB＝25km,CA＝15km,DB＝10km,试问：图书室E应该建在距点A多少km处,才能使它到两所学校的距离相等
拓展思维
如图,A城气象台测得台风中心在A城正西
方向320km的B处,以每小时40km的速度
向北偏东60°的BF方向移动,距离台风中
心200km的范围内是受台风影响的区域.
⑴A城是否受到这次台风的影响 为什么
⑵若A城受到这次台风影响,那么A城遭受这次台风影响有多长时间
第十七章 实数
第1节 平方根
第一课时 平方根的认识
学习目标
1.了解数的平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根．
2.了解开平方与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根．
3.通过学习算术平方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维．
课前预习方案
自主学习
1.25的平方根的是_________；的平方根是________；0的平方根是________．
2.．
课堂学习方案
知识结构
1.平方根：
(1)平方根的定义：一般地，如果一个数x 的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
(2)平方根的表示方法：一个正数a的正的平方根，记做，读作“根号a”,其中a叫做被开方数，正数a的负的平方根，记做-，读作“负根号a”．这两个平方根可记为．
(3) 平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
2.开平方运算：
(1)开平方的定义：求一个数的平方根的运算．
（2）与平方运算的关系：互为逆运算．可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确．
典型例题
例1.求下列各数的平方根：
(1)144 (2) (3)0 (4)
点拨：求一个数的平方根，可通过平方运算来解答，如果求一个带分数的平方根，要先化为假分数，再求其平方根．
解：(1)∵(±12)2=144,
∴144的平方根是±12；
(2)∵,
∴的平方根是；
(3)∵02=0,
∴0的平方根是0；
(4)∵=，，
∴的平方根是．
例2.如果一个正数的平方根是2x-3和5-3x，求这个正数．
点拨：解决此类问题的关键是利用一个正数有两个平方根，它们互为相反数这个特性．
解：由正数的平方根性质可知，
2x-3和5-3x互为相反数，
即(2x-3)+(5-3x)=0,2-x=0,x=2,
所以这个正数是1．
限时课堂训练
基本练习
1．下列说法正确的有 （ ）
①1的平方根是1
②9是(-9)2的平方根
③-9的平方根是±3
④0没有平方根
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.下列各式计算正确的是 ( )
A. B.
C. D.
3.如果x2=25,那么6-x的值是 （ ）
A.±1 B.±5
C.1或11 D.1或4
4.填空：.
(1)81的平方根是 ,
(2)0．16的正的平方根是 ,
(3)(-3)2的平方根是 ,
(4)2-2的负的平方根是 ,
(5)，
(6)．
5.已知一个正数的一个平方根是0.3,则这
个正数的另一个平方根是________．
6.若4a+1的一个平方根是0.5，则
a_______.
7.的平方根是________．
8.若3x-5有两个平方根，则x的取值范围
是______________．
9.若一个正数的平方根是3x-5和2x-10，则
这个正数是___________.
10.在两个连续整数a和b之间,此时a,b的值分别是____________.
11.学校要种一块面积为28.26㎡的圆形花坛，它的半径应为多少米？(取3.14)
12.小明卧室的面积为16平方米，计划用100块相同的正方形地板砖铺地面，那么所需要正方形地板砖的边长应是多少？
拓展思维
观察下列各等式，再回答下列问题：
①；
②；
③；…
(1) 请你根据上面三个等式提供的信息猜想
的结果；
(2)请你按上面的各式反映的规律写出含n的式子表示的等式（n为正整数）．
第二课时 算术平方根的认识
学习目标
1.理解算术平方根的概念、表示法以及
≥0（a≥0）的性质．
2.明确平方根、算术平方根的区别、联系．
3.会求一个非负数的算术平方根．
课前预习方案
自主学习
1.81的平方根是_____,算术平方根是_____.
2.
． 知识链接
1.平方根的特征．
2.平方根的表示方法．
课堂学习方案
知识结构
1.算术平方根的概念及表示法：
概念：一个正数的正的平方根，叫做这个数的算术平方根．规定：0的算术平方根是0．
表示法：正数a的算术平方根记为，读作“根号a”． 强调：书写时根号一定要把被开方数盖住．
2.算术平方根的性质：
算术平方根具有双重非负性：
①被开方数a是非负数，即a≥0；
②算术平方根本身是非负数，即
≥0．也就是说，正数的算术平方根是一个正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．
3.平方根、算术平方根的区别、联系：
区别：①定义不同 ②表示方法不同；
③个数不同 ④取值范围不同；
联系：①平方根包含着算术平方根；
②取值条件相同：条件为非负数．
典型例题
例1.求下列各数的算术平方根
2．25； 121； (-3)2
点拨：依据算术平方根的定义对其求值，如果被开放数为小数、分数则一般先化为假分数,须注意符号．
解：⑴∵2．25=，，
∴2．25的算术平方根是，即；
⑵∵112=121,∴121的算术平方根是11,
即；
⑶∵(-3)2=32，∴(-3)2的算术平方根是3，
即．
例2.已知a、b为有理数，求a、b的值．
点拨：利用算术平方根所具有的非负性，即被开方数是非负数，组成不等式组即可．
解：根据算术平方根的性质，得：
所以即a=5.
当a=5时，变为，
即b+4=0,解得b=-4. ∴a=5,b=-4.
限时课堂训练
基本练习
1.下列说法正确的是 ( )
A.4是2的平方根
B.2是4的算术平方根
C.0的算术平方根不存在
D.-1是-1的算术平方根
2.的算术平方根是 ( )
A．4 B.±4 C.2 D.±2
3.(2009,武汉)的值是 ( )
A.-3 B.±3 C.9 D.3
4.(2009,天津) 若x,y为有理数，且满足
则的值为
( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
5.若=25,=3,则a+b为 ( )
A.-8 B.±8 C.±2 D.±8或±2
6.若一个数的算术平方根为3，那么这个数
的平方根是______,这个数的平方是 ______．
7.的算术平方根是________，的平方根是________．
8． ____的算术平方根等于它本身,
___的平方根等于它本身．
9.若成立，则
代数式=________．
10.(2008,长沙)已知a,b为两个连续整数，
且a＜＜b,则a+b=________.
12.求下列各式中的x的值：
⑴2x2=288 ⑵(3x-2)2-1=8
⑶
13.在直角三角形中，a,b是两条直角边，c 是斜边.
(1)已知a=3,b=4,求c边.
(2)已知b=,c=1,求a边.
拓展思维
已知x+2y+3z=18,4x+3y+2z=27,试求x+y+z的平方根和算术平方根.
11.当一个数n为_______时，有两平
方根，平方根是______.（在横线上填一
个你认为合适的值）
第2节 立方根
学习目标
1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数
的立方根，了解开立方与立方互为逆运
算，能用立方运算求一些数的立方根．
2.能用立方根解决一些简单的实际问题．
3.在一定的情境下，理解立方根的概念，使
学生不断获得解决问题的经验，提高思维
水平，学习中要注意感悟“类比”在知识产生和发展过程中的作用．
课前预习方案
自主学习
1.的立方根是______；-64的立方根是
_______.
2.．
知识链接
1.平方根、算术平方根的定义．
2.开平方运算．.
课堂学习方案
知识结构
1.立方根：
(1)立方根的定义：一般地，如果一个数x 的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根；
(2)立方根的表示方法：任何一个数都有立方根，记做，读作“三次根号a”,其中a叫做被开方数，3叫做根指数，写在的左上角，不能省略不写；
(3)立方根的性质：一个正数有一个正的立方根；；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0.
2.开立方运算：
(1)开立方的定义：求一个数的立方根的运算；
(2)与立方运算的关系：互为逆运算．可以用立方运算来检验开立方的结果是否正确．
3.两个公式：
⑴
⑵．
典型例题
例1.求下列各数的立方根:
⑴－8； ⑵0.027； ⑶.
思路分析：依据立方根的定义求立方根.
解：⑴∵
∴-8的立方根是-2,即；
⑵∵
∴0.027的立方根是0.3,即
⑶∵
∴的立方根是,即.
例2.已知x-2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的平方根.
点拨：解决此题的方法是依据开立方与立方是互为逆运算的，开平方与平方是互为逆运算的．
解：因为x-2的平方根是±2，所以x-2=4
解得x=6.
因为2x+y+7的立方根是3,所以2x+y+7=27
又因为x=6，所以y=8.所以x2+y2=62+82=100
所以x2+y2的平方根是.
限时课堂训练
基本练习
1.下列说法正确的是 （ ）
Ａ.任意数a的平方根有２个，它们互为相反数
Ｂ.任意数a的立方根有１个
Ｃ.－３是２７的负的立方根
Ｄ.（－１）的立方根是－１
2.下列判断正确的是 （ ）
Ａ.６４的立方根是４
Ｂ.（－１）的立方根是１
Ｃ.的立方根是２
Ｄ.如果＝a，则a＝０
3.的立方根是 （ ）
Ａ．±4 Ｂ．±2 Ｃ．Ｄ．
4.一个数的算术平方根与它的立方根的值
相同，则这个数是 ( )
A．1 B．0或1
C．0 D．非负数
5.要使成立，则a的取值
范围是 （ ）
A.a≤3 B.-a≤4
C.a≥4 D.一切实数
6.如果a＜0,那么a的立方根是 ( )
A. B.
C. D.
7.若，则＝_____．
8.立方根是－8的数是_______， 的立
方根是________．
9.若，则x＝_______；，
则x＝________，若，则x＝____．
10.当x＜7时，＝_________．
11.－27的立方根与的平方根之和是
__________．
12.求下列各式的x：
⑴ ⑵
拓展思维
已知A＝是n－m＋3的算术平方根，B＝是m＋2n的立方根，求B－A的立方根．
第三节 实数
第一课时 实数的分类
学习目标
1.知道什么是无理数．
2.了解实数的意义，了解实数的分类．
3.理解实数的相反数、倒数和绝对值的意义．
4.会有理数估计一个无理数的范围．
课前预习方案
自主学习
1.在2，-0.3,，，中是无理数的有________.
2.的相反数是_____,的绝对值是_______,的倒数是_______.
知识链接
1.正方形的面积公式：．
2.有理数的概念、分类．
3.在有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义.
课堂学习方案
知识结构
1.无理数的概念：无限不循环的小数；
2.常见的无理数：⑴圆周率及含的数
⑵所有开方开不尽的数，如：，；
⑶看似循环但不循环的小数，如：
0.121221222122221…；
⑷易出错的分数，如：；
3.实数的概念：有理数与无理数统称为实数；
4.实数的分类：
⑴按实数的定义分类：
⑵按实数的性质分类：
5.实数a的相反数是-a；
实数a(a≠0)的倒数是；
实数a的绝对值：
6.有理数估计一个无理数的范围的方法：估
算法
典型例题
例1.把下列各数填入相应的集合内：-5，3.7，
填入相应的集合里．
有理数集合_______________,无理数集合_____________________,
正实数集合_______________,负实数集合_____________________.
点拨:利用无理数的定义及常见的几种无理数进行判断．
解:有理数：-5,3.7,,,,
无理数：，
正实数：3.7,,，，，，
负实数：-5，，．
例2.设的整数部分是m,小数部分为n,求n2-2m的值.
点拨：解决此类问题的关键是确定m与n的值，先用估算法求出的整数部分m的值，再由m+n=,求出n的值．
解：因为4＜6＜9，所以，
即2＜＜3，所以的整数部分为2，
即m=2,而小数部分为n,则n=－2．所以
n2-2m=(-2)2－2×2
=()2－4+4－4=6－4．
限时课堂训练
基本练习
1.下列实数，，0.1414， , 中，无理数的个数是 ( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2.下列语句中正确的是 ( )
A．带根号的数是无理数
B．不带根号的数一定是有理数
C．无理数一定是无限不循环的小数
D．无限小数都是无理数
3.下列各组数中互为相反数的是 ( )
Ａ．和 Ｂ．和
Ｃ．和 Ｄ．和
4. (2005,陕西)点A为数轴上表示-1的点，将A在数轴平移3个单位到点B，则点B表示的实数为 ( )
A．3 B．2
C．-4 D．2或-4
5．面积为13的正方形的边长为_________．
6.写出和为5的两个无理数 ____．
7.，则．
8．观察下列各式：＝2，＝3，＝4，……，请你将猜想到的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表示出来是 ．
9.已知m是的整数部分，n是的小
数部分，求m－n的值.
拓展思维
如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连结这些小正方形的顶点，可得到一些线段.请在图中画出这样的线段.
第二课时 实数与数轴的关系
学习目标
1.掌握实数与数轴上的点是一一对应的．
2.了解有理数运算律在实数范围内仍然适用．
3.能够对实数的大小进行比较．
课前预习方案
自主学习
比较大小：(1)3 ；
(2)π 3.142；
(3)－ －．
知识链接
1.有理数与数轴上点的关系：有理数可以用数轴上的点来表示．
2.两个比较大小常用的方法：作差法、作商法、数轴法、赋值法.
课堂学习方案
知识结构
1.实数与数轴上的点是一一对应的．
2.实数范围内的大小比较：常用的方法：
①作差法：如果a-b＞0，则a＞b,如果a-b＜0,则a＜b；
②数轴法：正数大于负数，两个负数，绝对值小的反而大，数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；
③赋值法④作商法⑤平方法⑥放缩法.
典型例题
例1.比较下列各组数的大小：
⑴5和；
⑵；
⑶ ．
思路分析:实数大小的比较，可根据不同的题目选择不同的方法，选择的依据是选择合理，快捷的方法．
解：⑴因为52=25,,
而25＞24，
所以．
⑵因为，
，
而，
所以，所以．
⑶因为，
而，
所以，
所以．
例2.实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．2a+b B．b C．2a-b D．b
点拨:由于实数与数轴上的点是一一对应的，因而利用数轴可以清晰地反映出两个实数的大小情况，为解决问题提供形象直观的 方法．
解：由图可知：a＜0＜b,
所以，， ，
故正确答案是B.
限时课堂训练
基本练习
1.下列说法错误的： ( )
A.每一个整数都对应着数轴上的一个点
B.每一个无理数都对应着数轴上的一个点
C.有理数与数轴上的点是一一对应
D.数轴上的每一个点都对应着一个实数
2. (2009,宁波)下列四个数中，比0小的数是 ( )
A． B． C． D．
3.（2009，台州）如图所示，数轴上表示的对应点分别为C、B，点C是
AB的中点，则点A表示的数是 ( )
A． B．
C． D．
(第3题)
4. (2009,江苏省)如图，数轴上两点分别对应实数，则下列结论正确的是
( )
A． B．
C． D．
5.设，，，，则按由小到大的顺序排列正确的是 ( )
A． B．
C． D．
6.已知0＜x＜1，那么在x，，，x2
中最大的是 （ ）
A．x B． C． D．x2
7.估算在____．
8.若0≤x≤1,则．
9.与是接近的整数是________．
10.实数a在数轴上的位置如图1所示，则 ．
11.如果 ( http: / / www. / )＝5, ( http: / / www. / )＝3，比较大小：
( http: / / www. / )_______ ( http: / / www. / )
拓展思维
已知实数a满足
求
的 值．
第四节 用计算器开平(立)方
学习目标
1.会用计算器求一个数的平方根和立方根．
2.体会和感受用计算器开方运算的优越性和使用计算器的程序化思想．
课前预习方案
自主学习
用计算器比较大小：；
； ．
知识链接
1.用计算器进行有理数运算的方法．
2.平方根的意义．
3.立方根的意义．
课堂学习方案
知识结构
1.会用计算器求一个数的平方根．
2.会用计算器求一个数的立方根．
3.用计算器进行开方运算时，一般是按从左到右依次输入，但遇到被开方数是分数时，要将其加上括号；遇到被开方数是负数时，要将“－”加上括号．
典型例题
例：（1）任意找一个你认为很大的正数，
利用计算器对它进行开平方运算，
对所得的结果再进行开平方运算……
随着开方次数的增加，你发现了什么？
（2）改用另一个小于1的正数试一试，
看看是否仍有类似的规律．
思路分析：通过计算器的操作，提高了同学们的动手操作能力，同时也培养了同学们分析问题的能力．
解：无论被开方数是大于1还是小于1的正数，按要求用计算器算出的最终结果都是1．
限时课堂训练
基本练习
1.利用计算器求下列各式的值：
（结果保留4个有效数字）
（1） （2）
（3） （4）
2.任意给定一个负数，利用计算器不断进行
开立方运算，随着开立方次数增加，结果
越来越趋向 （ ）
A.0 B.1 C.－1 D.无法确定
3.如图，若数轴上的点A、B、C、D，分别表
示数－1,0，2,3，则表示的点应
在线段 （ ）
A．AB之间 B. BC之间
C. CD之间 D. BD之间
拓展思维
已知按一定规律排列的一组数：1，，
．请你从中选取若干个数设计一种方案，使它们的和大于3．
第五节 实数的运算
第一课时 二次根式
学习目标
1.使学生了解有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
2.掌握二次根式和最简二次根式的概念．
3.会熟练的进行二次根式的化简及乘法和除法的一般运算．
课前预习方案
自主学习
1.计算：，．
2.在，，中最简二次根式是
________．
3.,.
知识链接
1.有理数的运算法则和运算律；
1 加法交换律； ②加法结合律；
③ 乘法交换律； ④乘法分配律．
2.平方根的定义．
3.立方根的定义．
课堂学习方案
知识结构
1.二次根式的定义：一般地，把形如的式子叫做二次根式．
须注意的要点：①“a≥0”是定义中的一个重要组成部分，不可省略；②a可以为数也可为代数式；③二次根式有意义的条件 是：a≥0．
2.二次根式的基本性质：
①；
②；
③
4.最简二次根式的概念：
(1)被开方数中的因数是整数，因式是整式；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因式或因数；我们把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
5.二次根式的化简的基本步骤：
一观察，二变形，三开方．
6.两个重要性质公式：
积的算术平方根与商的算术平方根：
；
．
典型例题
例1.把下列各式化成最简二次根式：
(1)； (2) 4； (3)
思路分析：化简时，往往需要把被开方数分解因式或分解因数，把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外．
解: (1)==2；
(2) 4=4=
===2； (3) ==3a．
例2.已知a+b=-3，ab=2．计算+的值．
解：+=
==-．
我们知道，当a≥0时，≥0，所以≥0，≥0，其和必然不小于零，而题中结果却是负数，说明计算过程有错误，请你指出错在哪一步，错的原因是什么，正确解法又该怎样？
点拨：解决这类题应注意挖掘题目中的隐含条件，题目中错解的原因就在于没有根据实数的运算法则分析清楚字母a，b的取值均为负，而造成了解题失误，如果题目中确实无法搞清字母的符号，那么就应该分类讨论，不能想当然．
解：题目错在第一步：≠
正确的解法是：因为a+b=-3，ab=2，所以a<0，b<0，
+=+
=+
=--
=-·=．
限时课堂训练
基本练习
1.在中字母x的取值范围( )
A．x≥3 B.x>3 C.x<3 D.x≤3
2.下列根式中，最简二次根式的是( )
A. B.
C. D.
3.化简的结果是 ( )
A. B. C. D.
4.长方形长为，宽为，则面
积为 cm2．
5.计算=___________．
6.计算×÷=_________．
7.已知一个自然数的算术平方根为a，则比
这个自然数小5的数是_________．
8.已知直角三角形两直角边x,y的长满足
，则第三边的
长度为____________.
9.化简得_____________．
拓展思维
用长为3cm，宽为2.5cm的矩形纸牌30张摆成一个正方形，你怎样摆，试着摆一下．拓展：请同学们把纸牌的数量改变，如120张，又该怎样摆呢？
第二课时 同类二次根式
学习目标
1.掌握同类二次根式的概念．
2.会熟练的进行二次根式的加减运算及混合运算．
3.体会类比的数学思想在数学中的应用．
课前预习方案
自主学习
1.计算：．
2.在，，中同类二次根式是
________．
3.计算：.
知识链接
1.实数的运算法则、运算律和乘法公式:
1 加法交换律； ②加法结合律；
③ 乘法交换律； ④乘法分配律．
乘法公式：平方差公式，完全平方公式．
2.最简二次根式的化简．
课堂学习方案
知识结构
1.同类二次根式的概念：几个二次根式化为
最简二次根式后，如果被开方数相同，那
么这几个二次根式叫做同类二次根式．
2.判断是同类二次根式的方法：定义法．
3.二次根式的加减运算：
一般步骤：⑴将每个二次根式化简 ⑵找出同类二次根式 ⑶合并同类二次根式．
4.二次根式的混合运算：
⑴运算顺序：同实数先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；
⑵运算律、运算法则、乘法公式同样适用．
典型例题
例1.判断下列各式哪些是同类二次根式：
．
思路分析：将每个根式应先化为最简二次根式，再依据定义进行判断．
解：因为==2；
；
；
，
所以
．
例2.计算：
⑴；
(2)
点拨：解决此类题能用公式时就利用公式，可使运算简便．
解：⑴
=
=
=4．
⑵
=
==9
例3.①=．
验证：=
=
②3=．
验证：3=
=．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．
点拨：解决阅读题的关键是看懂题目所给的阅读材料，此题属类比型总计题，用题目中所给的信息验证所给的问题，要通过题目中每一步变形的情况，类比出自己进行验证时所采取的措施．联系本题，第一步，先把根号外的因式平方后移到根号内；第二步，在被开方数的分子上配上一个常数，进行分解变形；第三步，整理结果．
解：（1）4=
（2）反映的规律：
n=
证明：
n=
=
=
限时课堂训练
基本练习
1.计算下列各式：
⑴
⑵
⑶
拓展思维
在一节数学探究课上，张老师出示了下列命题：
已知正数a和b，①若a+b=2，则有≤1；②若a+b=3，则有≤；
③若a+b=6，则有≤3．
读完上述三个命题后，老师告诉同学们上述命题均为真命题．
试猜想，若a+b=7，则≤________．
若a+b=n
第十三章 一元一次不等式和一元一次不等式组
第一节 不等式
学习目标
1.经历从具体问题情景中建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感.
2.了解不等式的意义，认识到不等式是表示同类量之间关系的重要数学模型.
3.体会现实生活中存在着大量的不等关系，学习不等式的有关知识是生活和工作的需要.
课前预习方案
自主学习
1.用等号或不等号填空：
⑴0_____-32；⑵ 3.3_____；
⑶ a2_____0；⑷﹙3-x﹚2_____﹙x-3﹚2．
2.某种零件的长度表明为L=50±0.3,则此
零件长度L的范围是________________.
知识链接
1.不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠．
2.不等号的读法；例如：“＞”读作大于．
3.不等号的意义：例如：“＞”表明左边的
量大于右边的量.
课堂学习方案
知识结构
1.不等式的定义：用不等号连接而成的式子
叫做不等式.
2.列不等式：依据题目中的不等关系列出相
应的不等式的过程叫做列不等式.
3.判断使不等式成立的值的方法：
将数值代入不等式的左、右两边，如果合
不等号所表示的不等关系，则数值就为所
要求的数值；反之，不是.
典型例题
例1.在下列表达式中： (1)-2＜0, (2)x-3y≥1, (3)5a+1=0, (4)7x+3≠y,(5)a2+2ab-b2是不等式的________________________(只填序号).
点拨：要看一个表达式是否是不等式，就是要看式子中是否含有不等号，因此答案是（1）（2）（4）.
例2.列不等式：
（1）x的3倍与x的的差是非正数.
（2）a的2倍与b的差不小于4.
（3）x与y两数的平方和不可能小于5.
（4）小红家有3口人，人均住房面积不足20平方米，则她家的住房面积x平方米可表示为.
点拨：不等式反映的是代数式之间的不等关系，解决这类问题的重点是抓住关键词，弄清不等关系.
解：（1）3x-x≤0；(2)2a-b≥4；
（3）x2+y2≥5； （4）＜20.
例3.用A、B两种原料配置成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表： A种原料 A种原料
维生素C(单位/千克) 500 200
原料价格(元/千克) 7 3
现配制成此饮料12千克，至少含有4000单位的维生素C，试写出所需A种原料的质量x(千克)应满足的不等式为___________；若购买A、B两种原料D的费用不超过70元，则x(千克)应满足的另一个不等式为____________.
点拨：此题为图表信息的应用题，仔细阅读图表提供的信息，结合题中的已知条件即可得到关系式.
解：500x+200(12-x)≥4000,
7x+3(12-x)≤70.
限时课堂训练
基本练习
1.下列各式(1)a＋3,(2),(3)5a－2b=7,(4)m≥0,(5)y≠3,(6)＜3,属于不等式的有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.当x取2时，下列不等式成立的是（ ）
A.x＋2＞0 B.x＋2＜0
C.x－2＞0 D.x－5＞0
3.用不等式表示“7与m的3倍的和是正数”就是_________________．
4.如图，天平右盘中的每个砝码的质量都1g，则物体A的质量 mg 的取值范围为_______．
5.(09.舟山)日常生活中，“老人”是一个模糊概念，有人想用“老人系数”来表示一个人的老年程度，其中一个人的“老人系数”计算方法如下表：
人的年龄(x)岁 x≤60 60＜x＜80 x≥80
该人的老人系数 0 1
按这样的规定，一个年龄为70岁的人，他的“老人系数”为_____________.
6.请你写出一个整数x,使不等式成立，这个数是____________.
7.用“＜”号表示-(-3)2,的大小关系：_________________________.
8.若a+b＜0,且︱a︱＞︱b︱,a,-a,b,-b的大小关系是_______________________.
9.若实数a＞1,则实数 M=a, N=,
P=的大小关系是__________.
10.某市化工厂现有甲种原料290千克、乙种原料212千克，计划利用这两种原料生产产品共80件，生产一件A产品需要甲种原料5千克、乙种原料1.5千克，生产一件B产品需要甲种原料2.5千克、乙种原料3.5千克，若该化工厂现有的原料能保证生产，试写出满足生产A产品x件的关系式.
拓展思维
比较下面两列算式结果的大小：
52+42______2×5×4,
(-2)2+()2_________2×(-2)×,
32+32__________2×3×3,….
通过观察，归纳比较
20092+20102_________2×2009×2010,写出能反映这种规律的一般结论，并证明你结论的正确性.
第二节 不等式的基本性质
学习目标
1.经历不等式基本性质的探究过程，体会不
等式变形和等式变形的区别和联系．
2.掌握不等式的基本性质．
3.通过对不等式性质的探索，培养大家的钻
研精神，同时加强同学间的合作与交流．
课前预习方案
自主学习
1.设a＜b,请用“＞”或“＜”填空.
(1)a+5______b+5, (2)a-3______b-3,
(3)4a_______4b, (4)-5a_______-5b．
2．将下列不等式化为x＞a或x＜a的形式：
(1)x+2＞3, (2)5y-4≤2．
知识链接
等式的基本性质：
1.等式两边同时乘同一个数，等式仍成立．
2.等式两边同时除以同一个数（除数不能为0），等式仍然成立．
课堂学习方案
知识结构
1.不等式的三条基本性质：
基本性质1：如果a＞b,那么a＋c＞b＋c,a－c＞b－c.
基本性质2：如果a＞b,并且c＞0,那么ac＞bc.
基本性质3：如果a＞b,并且c＜0,那么ac＜bc.
2.对基本性质的理解：
(1)对于性质1，须注意的是“c既可以代表数，也可以代表整式”．
(2)对于性质2、3，须注意的是“c的正负性”,如果c为正数，不等号的方向不改变；反之，变号.如果c为0时，不等式两边都乘0时，变为等式；若除以0，则无意义.
典型例题
例1.用不等号填空：
(1)若a＜b,则a-3_________b-3,
(2)若a＞b,则2a__________a+b,
(3)若a＜b,则-1+5a________-1+5b,
(4)若a≥b,则_________,
(5)若a＞b,则-ac2__________-bc2.
点拨：解此类题的关键是先观察不等号的左、右两边是由原不等式进行了怎样的变形得到的，然后依据不等式的三条基本性质决定不等号是否要变向.注意c可能为0的情形.
答案：(1)＜ (2)＞ (3)＜
(4)≤ (5)≤
例2.依据不等式的基本性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式：
(1)-3x+1≤2x, (2)2(y+3)≥10．
点拨：在不等式变形的过程中，要严格按照不等式的基本性质进行变形，应先观察不等式的特点，再根据其特点选用相应的不等式的基本性质进行变形.
解：（1）-3x+1≤2x
-3x+1-1≤2x-1(不等式基本性质1)
-3x≤2x-1
-3x-2x≤2x-1-2x(不等式基本性质1)
-5x≤-1
≥(不等式基本性质3)
x≥
(2) 2(y+3)≥10
2(y+3)÷2≥10÷2(不等式基本性质2)
y+3≥5
y+3-3≥5-3(不等式基本性质1)
y≥2
例3.小明与小刚讨论一个关于不等式的问题，小明说：当每个梨的大小一样时，5个梨的质量大于4个梨的质量，设每个梨的质量为x，则有5x＞4x, 小刚说：这肯定正确. 小明又说：那如果a为有理数，则5a一定大于4a,这对吗？小刚说：这与5x＞4x不是一回事吗？自然对.请问：小刚说的对吗？试说明理由.
点拨：要判断5a与4a的大小关系，与前面5x＞4x是不同的，因为题中很明确x＞0,而a的取值情况不能确定，因此必须分情况讨论.
解：小刚回答不正确，5a不一定大于4a，因为a的取值不确定，应分三种情况讨论.当a＞0时，由不等式基本性质2，得5a＞4a；当a＜0时，由不等式基本性质3，得5a＜4a；当a=0时，5a=4a=0.
限时课堂训练
基本练习
1.若m＜n，比较下列各式的大小：
(1)m-3__________n-3；
(2)-5m__________-5n；
(3)；
(4)3-m__________2-n；
(5)0____________m-n；
(6) _____.
2.x＜y得到ax＞ay的条件应是__________.
3.满足－2x＞－12的非负整数有________________________.
4.如果m＜n＜0,那么下列结论中错误（ ）
A．m－9＜n－9 B．－m＞－n
C． HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 D．
5．若a－b＜0，则下列各式中一定正确（ ）
A．a＞b B．ab＞0
C． D．－a＞－b
6.已知有理数a、b、c在数轴上的位置如
图所示，则下列式子正确的是 （ ）
A．cb＞ab B．ac＞ab
C．cb＜ab D．c＋b＞a＋b
7.2a与3a的大小关系 （ ）
A．2a＜3a B．2a＞3a
C．2a＝3a D．不能确定
8.a为有理数，下列给出的结论正确的是
A.a2＞0 ( )
B.若a＜0,则a2＞0
C.若a＜1,则a2＜1
D.若a＞0,则a2＞a
9.已知x≥4,化简：
拓展思维
⑴ 2＞1＞0，4＞3＞0，2×4____3×1；
⑵8＞＞0,3＞＞0,8×3____；
你从中发现的数学规律是什么？请试举几例验证一下.
第三节 一元一次不等式
第一课时 一元一次不等式的解法
学习目标
1.使学生正确理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法．
2.会解简单的一元一次不等式，并能和解一元一次方程的过程进行类比，发现异同．
3.培养学生观察、分析、比较的能力，并初步掌握对比的思想方法.
课前预习方案
自主学习
1.下列说法正确的是 ( )
A.不等式x＜5的整数解有无数多个
B.不等式x＜5的正整数解有无数多个
C.不等式-2x＞8的解集为x＞-4
D.-40是不等式2x＜8的一个解．
2.下列不等式是一元一次不等式的是( )
A.x(2-x)≥1 B.
C.2x-5y+2＜0 D.3(1-y)>4y+2
3.解下列不等式：
(1)x-2＜5 (2)2x≥x+6．
知识链接
一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
课堂学习方案
知识结构
1.明确几个基本概念：
(1)不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
判断某个未知数是不是不等式的解，可以直接将其代入到不等式中，然后看不等式是否成立，如果成立则是不等式的解；反之，则不是不等式的解．
(2) 不等式的解集：
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合.简称为这个不等式的解集．
不等式一般有无限多个解．
(3) 解不等式
求不等式的解集的过程，叫做解不等式.
2.解集在数轴上的表示方法：
理解“两定”：一是定边界点，二是定方向；
口诀记忆：大于向右，小于向左，有等号的画实心，无等号的画圆圈.
3.一元一次不等式的概念:
只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫一元一次不等式.
典型例题
例1.下列不等式是一元一次不等式吗？
（1）2x－2.5≥15；（2）5x+3y＞240；
（3）x＜－4；（4）＞1.(5)x2-2x-1≤0；
(6)2(1-y)+y＞4y+2．
思路分析：要判断一个不等式是否是一元一次不等式，不能只看形式，要看化简以后的结果，而且含有未知数的式子都是整式.答案是(1)(3) (6).
例2.解不等式3－x＜2x+6，并把它的解集表示在数轴上.
点拨：类比解一元一次方程的过程，运用不等式的基本性质解次不等式.
解：两边都加上x，得
3－x+x＜2x+6+x
合并同类项，得3＜3x+6
两边都加上－6,得3－6＜3x+6－6
合并同类项，得－3＜3x
两边都除以3，得－1＜x
即x＞－1.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
例3.解不等式(k+2)x＞5.
点拨：当未知数的系数不确定正、负时，需对其进行讨论.
解：若k+2＞0,则,
若k+2＜0,则,
若k+2=0,则不论x为何值时，
(k+2)x＞5都不成立.
限时课堂训练
基本练习
1.不等式x+4≥6的解集是 ( )
A.x=2 B.x≥2 C.x≤2 D.无解
2.下列四个结论：（1）4是不等式x+3＞6
的解；（2）3是不等式x+2＞5的解；（3）
不等式x+1＜2的解有无数多个；（4）不
等式x+1＜4的的解集是x＜2；（5）不等
式x+2＞1的解集是x＞-1,其中正确的个
数是 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列不等式中不是一元一次不等式的是
A.-x+1≥5 B.2x+3y＜0
C. D.4x＜5 ( )
4.已知a<0,则关于x的不等式ax<5的解为________;5x
____________________________.
6.能使不等式3x+5≥x-2成立的负整数有
________________________.
7.当x_________时，代数式x+3的值是正数，当x_________时，代数式4-x的值是负数.
8.已知关于x的不等式x-a＞1的解集如下图所示，则a的值是_____________.
9.解下列不等式，并把解表示在数轴上：
(1)1-x＞2 (2)
(3)7x-2≤9x+3
(4)
拓展思维
已知不等式和不等式
都是关于x的一元一次不等式，求代数式3m+2n的值．
第二课时 一元一次不等式的解法
学习目标
1.通过具体实例，归纳解一元一次不等式的基本步骤．
2.能利用一元一次不等式的知识解决数学中的具体问题．
3.进一步体会类比的数学思想，并培养学生的合情推理意识，主动探究的习惯.
课前预习方案
自主学习
1.解不等式(1)3－x＜2(x+6),
(2)．
2.2x-4≤0的非负整数为______________.
3.7a与3差不大于1，则a的取值范围是___.
知识链接
非负整数：大于或等于0的正整数如0，1，2，3，…．
非正整数：小于或等于0的负整数如0，-1，-2，-3，…．
方程组的常用解法：代入消元法、加减消元法.
课堂学习方案
知识结构
1.解一元一次不等式须注意的：
理论依据：不等式的基本性质；
数学思想：类比思想，数形结合思想
基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
2.一元一次不等式的纯数学应用问题.
典型例题
例1.解下列不等式，并把它们的解集分别在数轴上表示出来：≥3+
点拨：利用解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1. 注意“去分母、去括号”时不要漏乘，分子是多项式时须加括号，“系数化为1”时须注意未知数的系数的正、负性，决定是否改变不等号的方向.
解：去分母，得2x≥30+5（x－2）,
去括号，得2x≥30+5x－10,
移项、合并同类项，得3x≤－20,
两边都除以3，得x≤－.
不等式的解集在数轴上表示如下：
例2.已知关于x、y的方程组的解满足0＜x+y＜1,求k的取值范围.
点拨：此类问题的解法：注意不等式与方程（组）的综合应用.首先是用含待定系数的代数式表示出方程（组）的解x、y,随后根据题目中的条件列出一元一次不等式，从而求出方程（组）中未知的字母系数的取值范围.
解：(1)+(2)得：4x+4y=k+3,
即，
∵0＜x+y＜1，
∴，
可得m=3．
限时课堂训练
基本练习
１.解下列一元一次不等式：
(1)＜
(2)
(3) －2≤＜1
２.关于 x 的方程 3x＋k＝4 的解是正数，则 k____________.
3.三角形的三边长分别是 6、9、x，则 x 的
取值范围是____________.
4.不等式－3≤5－2x＜3的正整数解集是_____________.
5.某商品原价 5 元，如果跌价 x% 后，仍
不低于 4 元，那么 x 的取值范围为
____________.
6.如果不等式3x-m≤0的正整数解为1，2，
3，求m的取值范围.
7.已知关于x，y 的方程组 的解都是正数，求 a 的取值范围.
拓展思维
已知: ,,
, ,
,
根据上面式子的规律，求不等式
的解集.
第三课时 一元一次不等式的应用
学习目标
1.经历从具体问题中抽象出不等式模型的过程.
2.会将具体问题转化为数学问题并求解.
3.熟练掌握一元一次不等式应用题的解题步骤.
课前预习方案
自主学习
1.利用不等式解决问题的关键是寻找 关
系,列出 ,并注意根据问题的实际
意义对解集进行 ,最后确定问题的
解.
2.一次环保知识竞赛共有25道题,规定答
对一道题得4分,答错或不答一道题扣1
分,在这次竞赛中,小明被评为优秀（85
分或85分以上）,小明可能答对了 道
题,至少答对了 道题.
知识链接
一元一次方程应用题的解题步骤：审题、找等量关系、设未知数、列方程、解方程.
课堂学习方案
知识结构
同类量之间的不等关系,可以用数学中的不等式来表示,要把实际问题中的不等关系抽象为不等式,需把握以下两点：
①明确问题中常用的表示不等关系词语的意义.如“大于”“超过”“还多”“高于”等抽象为“＞”,“小于”“不足”“还少”“低于”等抽象为“＜”,而“不大于”“最多”对应“≤”,“不小于”“至少”对应“≥”.
②隐含不等关系在具体情境中,如买东西,花去的钱应不超过原有的钱；汽车运货物质量应不超过汽车规定的载重量；“用”和“运”的区分等等.
典型例题：
例1.小颖准备用21元钱买笔和本,已知每只笔三元,每个笔记本2.2元,她买了2个笔记本.请你帮她算一算,她还可能买几枝笔
分析：①隐含不等关系：用21元钱买
笔和笔记本可抽象为不等关系≤21
②若设可买n枝笔,则本题中n只能
取正整数.
解：设她还可买n枝笔,由题意,得
3n + 2.2×2≤21
解这个不等式,得
n≤
∵n为正整数
∴小颖还可能买1枝、2枝、3枝、4枝或5枝笔.
总结：①通过类比数学思想,类比一元一次方程解应用题的方法,能够运用一元一次不等式解决实际问题.②一元一次不等式应用题的解题步骤：审题、找不等关系、设未知数、列不等式、解不等式、对实际问题进行检验、下结论.
例2.某座楼电梯的最大承载量为1000kg,在电梯里装上700kg的装修材料后,5名装修工人走进了电梯,这时,电梯的警示铃响了,这说明已超过了电梯的最大承载量.这5名工人的平均体重超过了多少千克？
分析：关键语句：电梯的警示铃响了,这说明已超过了电梯的最大承载量,点明本题的不等关系.
解：设这5名工人的平均体重为x千克,由题意,得
5x + 700＞1000
解这个不等式,得
x＞60
答：这5名工人的平均体重超过了60千克.
限时课堂训练
基本练习
1.某商品进价是1000元,售价为1500元．为促销,商店决定降价出售,但保证利润率不低于,则商店最多降 元出售商品．
2.一个两位数,十位数字与个位数字的和为
6,且这个两位数不大于42,则这样的两
位数有 ______个．
3.采石厂工人爆破时,为了确保安全,点燃炸药导火线后要在炸药爆破前转移到400米以外的安全区域.导火线燃烧速度是1厘米/秒,人离开的速度是5米/秒,至少需要导火线的长度是（ ）
A.70厘米 B.75厘米
C.79厘米 D.80厘米
4.某商店在一次促销活动中规定：消费者消
费满200元或200元以上就可享受打折优
惠,一名同学为班级买奖品,准备买6本影
集和若干支钢笔.已知影集每本15元,钢
笔每支8元,问他至少买多少支钢笔才能
打折？
5.某城市平均每天产生垃圾500吨,由甲、
乙两个垃圾处理厂处理.已知甲厂每小时
可处理垃圾35吨,需费用350元；乙厂
每小时可处理垃圾15吨,需费用180元.
⑴甲、乙两厂同时处理该城市的垃圾,每天
需几小时完成？
⑵如是规定该城市每天用于处理垃圾的费
用不超过5400元,甲厂每天处理垃圾至少
需要多少小时
拓展思维
(2003年甘肃省)某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为1万元,其原材料成本价(含设备损耗等)为0.55万元,同时在生产过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产生.为达到国家环保要求,需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理.现有两种方案可供选择.
方案一：由工厂对废渣直接进行处理,每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元,并且每月设备维护及损耗费为20万元.
方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理.每处理1吨废渣需付0.1万元的处理费.
⑴设工厂每月生产x件产品,每月利润为y万元,分别求出用方案一和方案二处理废渣时,用含x的代数式表示y(利润=总收入-总支出)；
⑵如果你作为工厂负责人,那么如何根据月生产量选择处理方案,既可达到环保要求又最合算.
第四节 一元一次不等式组
第一课时 一元一次不等式组解法
学习目标
1.了解一元一次不等式组及解集的概念.
2.会解一元一次不等式组并能把解集在数轴上表示.
3.掌握类比方法,在学习的过程中体会数形结合的思想,提升直觉思维能力.
课前预习方案
自主学习
1.下列不等式组中,是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C. D.
2.某校冬季烧煤取暖时间为4个月,设该校计划每月烧煤x吨,如果每月比计划多烧5吨煤,那么取暖用煤总量将超过100吨,则可列不等式为 ；如果每月比计划少烧5吨煤,那么取暖用煤总量将不足68吨,则可列不等式为 ；该校计划每月烧煤 吨.（列不等式表示）
知识链接
1.数轴 2.如何解一元一次不等式
课堂学习方案
知识结构
1.不等式组定义： 关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起就组成一元一次不等式组.
2.解不等式组的一般步骤：
①求出不等式组中各个不等式的解集.
②利用数轴,找出这些不等式解集的公共部分.
③表示出这个不等式组的解集.
3.数轴上表示不等式的解集：①注意方向.②注意实心与空心的区别.
典型例题：
例1.下列说法正确的是（ ）
A.不等式组 ( http: / / )的解集是5
D.的解集是x≠3
思路分析：关键在数轴上会找公共部分.答案是C.
例2.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( ).
A.
B.
C.
D.
思路分析：考查学生用数轴表示不等式
的解集及不等式组的解集的求法.
分析:分别求出每个不等式的解集.
解不等式,得x<-3;
解不等式,得x≤2.
原不等式的解集为x<-3. 选C.
例3.解不等式组
并把它的解集在数轴上表示出来.
分析：先分别求出不等式组中各个不等式的解集,然后再确定它们的公共部分.
解：解不等式①,得x≤2
解不等式②,得,x＞-2
∴原不等式组的解集是：-2＜x≤2
在数轴上表示如下图：
总结：由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．
不等式组（其中a
x＜a 同小取小
A＜x＜b 大小、小大取中间
空集 小小、大大空无解
限时课堂训练
基本练习
1.写出下列数轴表示的解集
解集是____________________
解集是____________________
2.不等式组的解集是 ；
3.解下列不等式(组),并把解集表示在数轴上.
⑴
⑵
拓展思维
先阅读理解下列题,再按要求完成问题：
例题：解一元二次不等式
解：把分解因式得：
∵
∴
由有理数乘法法则“两数相乘,同号得正”,有
⑴或 ⑵,
解不等式组⑴,得
解不等式组⑵,得
∴一元二次不等式的解集为或；
问题；根据阅读解不等式：
第二课时 一元一次不等式组解法
学习目标
1.会解一元一次不等式组并能把解集在数轴上表示.
2.会利用一元一次不等式组的解集确定满足条件的解.
3.会充分利用数轴确定不等式组的解集.
课前预习方案
自主学习
1.解不等式组：
2.如果不等式组的解集是x>a.那么a____3（填“>”“<”“≤”或“≥”
知识链接
1.一元一次不等式组的解法.
2.与绝对值有关的整数解等问题.如：绝对值不大于3的负整数有 .
课堂学习方案
1.区分不等式的解和解集：是 的解,不等式的解集是.
2.已知不等式的解集确定某一字母的取值范围时,一定要将字母所在位置进行分段讨论.
典型例题：
例1.求不等式组的整数解.
提示：先利用解一元一次不等式组的步骤,求出不等式组的解集,再从解集中找出整数解.
说明：求满足一定条件的一元一次不等式组的特殊解,应先求出不等式组的解,再从中找出满足条件的特殊解.
例2
解不等式1＜2－3x≤5
提示： 解该不等式既可按不等式的性质、变形、求解,也可以将原不等式化成不等式组求解
限时课堂训练
基本练习
1.不等式组无解,则（ ）
A. B. C. D.
2.不等式组的整数解的和是（ ）
A.－2 B.－1 C.0 D.1
3.不等式组的整数解的个数
是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.若不等式组无解,则 ( )
A. B.m≥3 C. D.m≤3
5.若方程组中,若未知数x、y满足x+y>0,则m的取值范围是( )
A.m＞-4 B.m≥-4 C.m＜-4 D.m≤-4
6.求不等式组的正整数解.
拓展思维
1.若不等式组的整数解是关于x的方程2x – 4= ax的根,求a的值.
2.已知方程组的解x,y满足2x+y≥0,求m的取值范围.
第三课时 一元一次不等式组应用
学习目标
1.根据实际问题列出一元一次不等式组解决简单的实际问题．
2.提高分析问题,解决问题的能力．
3.渗透“数学建模”思想,最优化理论．
课前预习方案
自主学习
1.长度分别为3cm,7cm,xcm的三根木棒围成一个三角形,则x的取值范围是_______．
2.（2008,苏州）2008年6月1日起,某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋,每只售价分别为1元,2元和3元,这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3kg,5kg和8kg．6月7日,小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20kg散装大米,他们选购的3只环保购物袋至少应付给超市_______元．
知识链接
1.类比二元一次方程组应用题的解题方法思考一元一次不等式组应用题的解题方法.
2.列一元一次不等式组解决实际问题是中考要考查的一个重要内容,在列不等式解决实际问题时,应掌握以下三个步骤：
①找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来解决）,设出未知数,列出不等式组（或不等式与方程的混合组）；②解不等式组；③从不等式组（或不等式与方程的混合组）的解集中求出符合题意的答案．
课堂学习方案
知识结构
1.同类量之间的不等关系,可以用数学中的不等式来表示,要把实际问题中的不等关系抽象为不等式,需把握以下两点：
①明确问题中常用的表示不等关系词语的意义.如“大于”“超过”“还多”“高于”等抽象为“＞”,“小于”“不足”“还少”“低于”等抽象为“＜”,而“不大于”“最多”对应“≤”,“不小于”“至少”对应“≥”.
②隐含不等关系在具体情境中,如买东西,花去的钱应不超过原有的钱；汽车运货物质量应不超过汽车规定的载重量；“用”和“运”的区分等等.
2.注意“空”与“非空”、“满”与“不满”对应的不等关系.
典型例题：
例1.某校安排寄宿时,如果每间宿舍住7人,那么有1间虽有人住,但没住满.如果每间宿舍住4人,那么有100名学生住不下.问该校有多少寄宿生？有多少间宿舍？
分析：①学生找到本题中的两个不等关系即不满也不空.②学生人数,宿舍间数都为整数.
解：设有x间宿舍,则有学生(4x+100)人,根据题意,得
这个不等式组的解集是
∵宿舍和学生人数都为整数
∴x=34或x=35 .
当x=34时,4x+100=236
当x=35时,4x+100=240
答：该校有寄宿生236人,宿舍34间；或者有寄宿生240人,宿舍35间.
总结：列一元一次不等式组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题；
（2）找不等量关系列不等式；
（3）根据不等关系列不等式组；
（4）解不等式组；
（5）检验并作答.
例2.已知利民服装厂现有A种布料70米,B种布料52米,现计划用这两种布料生产M,N两种型号的时装共80套,已知做一套M型号时装需A种布料0.6米,B种布料0.9米,做一套N型号时装需用A种布料1.1米,B种布料0.4米,若设生产N型号的时装套数为x,用这批布料生产这两种型号的时装有几种方案？
分析：本题中“用”对应的不等关系为“≤”
解：生产N型号的时装套数为x时,则生产M型号的时装套数为（80－x）,根据题意,得
解不等式组,得
40≤x≤44
因为x是整数,所以x的取值为40,41,42,43,44.
因此,生产方案有五种.
（1）生产M型40套,N型40套；
（2）生产M型39套,N型41套；
（3）生产M型38套,N型42套；
（4）生产M型37套,N型43套；
（5）生产M型36套,N型44套.
例3. 火车站有某公司待运的甲种货物1530吨,乙种货物1150吨,现计划用50节A、B两种型号的车厢将这批货物运至北京,已知每节A型货厢的运费是0.5万元,每节B节货厢的运费是0.8万元；甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢,甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢,按此要求安排A、B两种货厢的节数,共有哪几种方案？请你设计出来；并说明哪种方案的运费最少？
分析：本题中“运”对应的不等关系为“≥”
解：设A型货厢用x节,则B型货厢用（50－x）节,根据题意,得
解不等式组,得
28≤x≤30
因为x为整数,所以x取28,29,30.
因此运送方案有三种.
（1）A型货厢28节,B型货厢22节；
（2）A型货厢29节,B型货厢21节；
（3）A型货厢30节,B型货厢20节；
设运费为y万元,则
y=0.5x+0.8（50－x）=40－0.3x
当x=28时,y=31.6
当x=29时,y=31.3
当x=30时,y=31
∴选第三种方案,即A型货厢30节,B型货厢20节时运费最省.
限时课堂训练
基本练习
1.一堆玩具分给若干个小朋友,若每人分2件,则剩余3件；若前面每人分3件,则最后一个人得到的玩具数不足2件.求小朋友的人数与玩具数.
2.某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件,已知生产一件A种产品用甲种原料9千克,乙种原料3千克,可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料4千克,乙种原料10千克,可获利1200元.
⑴ 按要求安排A、B两种产品的生产件数,有哪几种方案？请你设计出来；
2 设生产A、B两种产品总利润为元,其中甲种产品生产件数为件,试用含x的代数式表示,求那种方案获利最大？最大利润是多少？
拓展思维
1.仔细观察图,认真阅读对话：
根据对话内容,试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？
2.（2004,湖北省）如图所示,一筐橘子分给若干个儿童,如果每人分4个,则剩下9个；如果每人分6个,则最后一个儿童分得的橘子数少于3个,问共有几个儿童,分了多少个橘子？
3.(2007湖南怀化）2007年我市某县筹备20周年县庆,园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．
⑴某校九年级⑴班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．
⑵若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明⑴中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
第十四章 分式
第一节 分式
第一课时 分式的概念及分式的基本性质
学习目标
1.使学生理解分式的意义,会求使分式有意义的条件.
2.通过类比思想掌握分式的基本性质.
3.能用分式的基本性质将分式变形.
课前预习方案
自主学习
1.代数式,
中,分式共有（ ）个.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.对于分式,分式无意义的条件是 ,分式有意义的条件是 ,分式的值为零的条件是 .
3.分式的基本性质是 .
知识链接
1.代数式,, ,,
有何共同特征？
2.分数,,相等吗？
课堂学习方案
知识结构
1.分式定义、分式有无意义的条件.
2.分式的基本性质,用式子表示是：
（其中M是不等于零的整式）
典型例题
例1．当x是什么数时,分式①值是零 ②有意义 ③无意义？
解：①由分子x+2=0,得x=-2.而当x=-2时,分母2x-5=-4-5≠0,所以当x=-2时,分式的值是零.
②∵2x-5≠0
∴x≠
∴当x≠时,分式有意义.
③∵2x-5=0
∴x=
∴当x=时,分式无意义.
例2.填空：
⑴ ⑵.
解：⑴∵a≠0
∴
即填a2+ab.
⑵∵x≠0
∴,即填x.
总结：仔细观察分母（分子）的变化
利用分式的基本性质来解题.
例3.不改变分式的值,把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数.
⑴； ⑵.
解：⑴
.
⑵
限时课堂训练
基本练习
1.下列各式中,是分式的是( )毛
A.2x B. x2 C. ( http: / / )D.
2.(2006年宁波)使式子有意义的x的取值范围为（ ）
A.x＞0 B.x≠1 C.x≠－1 D.x≠±1
3.(2006年湖州）下列各式从左到右的变形
正确的是（ ）
A. ( http: / / )
B. ( http: / / )
C.
D.
4.使式子的值为零的x的取值范围为
（ ）
A.x=0 B.x=1 C.x=－1 D.x=±1
5.如果把分式中的x 和y 都扩大10倍,那么分式的值（ ）
A.扩大10倍 B.缩小10倍
C.是原来的 D.不变
拓展思维
对于分式,当x=1时,分式无意义；当x=4时,分式的值为0,求a+b的值.
第二课时 分式的约分
学习目标
1.掌握分式约分方法,熟练进行约分,并了解最简分式的意义.
2.能通过回忆分数的约分,类比地探索分式的约分,渗透数学中的类比数学思想.
课前预习方案
自主学习
1.把下列分数化为最简分数：=_____； =______； =______．
2.类比分数的约分,我们利用分式的基本性
质,约去的分子分母中的公因式a不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的_____,其中约去的a叫做________,同理分式中的公因式是__________,因此约分的步骤为：________________.
3.若分子分母都是单项式时,如何找公因式？当分子分母都是多项式时,又如何找公因式？
知识链接
1.什么叫公因式
2.因式分解.
课堂学习方案
知识结构
1.约分：把分式中分子、分母的公因式约去,叫做分式的约分.
2.分式的约分运算,用到的知识:(1)因式分解;(2)分式基本性质;(3)分式中符号变换规律;约分的结果是,一般要求分、分母不含“－”.
典型例题
例1.找出下列分式中分子分母的公因式
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸
解:⑴4c ⑵3ac ⑶y ⑷x+y ⑸x-y
例2.在化简分式时,小颖和小明的
做法出现了分歧：
小颖：
小明：
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
解:小颖没有彻底约分,小明的做法对.
小结:一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式,彻底约分后的分式叫最简分式.
例3.约分
(1)
解：
=
(2)
解：
=
=
小结:约分的方法:若分子和分母都是多项式,则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式）,然后才能进行约分.约分后,分子与分母不再有公因式,我们把这样的分式称为最简分式.
限时课堂训练
基本练习
1.下列各式中,正确的是（ ）
A. B. =0
C. D．
2.下列约分正确的是（ ）
A. B. ( http: / / www.1230.org )
C. D.
3.化简的结果是（ ）.
A. B.
C. D.
4.约分：⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸ ( http: / / www.1230.org ) ⑹
拓展思维
如果∣a2-6a+9∣＋(a-b-1)2=0,求
的值.
第二节 分式的乘除
第一课时 分式的乘法
学习目标
1.经历探索分式的乘法运算法则的过程,并能结合具体情境说明其合理性.
2.会进行简单分式的乘法运算,具有一定的代数化归能力,能解决一些实际问题.
课前预习方案
自主学习
1. ·=
2. =
知识链接
1.分数相乘：
2.类比分数相乘猜测分式相乘：
==（记住要约分）
课堂学习方案
知识结构
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分
子,把分母相乘的积作为积的分母.
公式表示：
典型例题
例.计算
⑴ ⑵
⑶
分析：分式与分式相乘,若能分解因式的先分解因式,再约分,最后相乘,运算过程比较简单.
解:⑴
=－
=
⑵
=1
(3)
=
=
=
总结：分子或分母是多项式的分式乘法的解题步骤是：
⑴将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂)排列；在相乘过程中遇到整式则视其为分母为1,分子为这个整式的分式.
⑵把各分式中分子或分母里的多项式分解因式.
⑶应用分式乘法法则进行运算得到积的分式.
⑷应用分式约分法则使积化成最简分式或整式．
限时课堂训练
基本练习
1.计算⑴= .
⑵= .
2.化简：= .
3.= .
4.计算：⑴
⑵
拓展思维
如果a2-6a+9＋(a-b-1)2=0,求
的值.
第二课时 分式的除法
学习目标
1.经历探索分式的除法运算法则的过程,并能结合具体情境说明其合理性.
2.会进行简单分式的除运算,具有一定的代数化归能力,能解决一些实际问题.
课前预习方案
自主学习
1.分式的乘除法是同一级运算应按照 的
顺序依次进行,有括号的要 .
2.计算= .
知识链接
1.分数的除法:
2.类比分数的除法,你会计算吗？
课堂学习方案
知识结构
分式除以分式,将除式的分子和分母颠倒位
置后,再与被除式相乘.
典型例题
例.计算：
⑴
⑵
⑶
解：⑴
⑵
⑶
总结：分子或分母是多项式的分式除法的解题步骤是：
⑴将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂)排列；在相除过程中遇到整式则视其为分母为1,分子为这个整式的分式.
⑵把各分式中分子或分母里的多项式分解因式.
⑶应用分式除法法则进行运算得到积的分式.
⑷应用分式约分法则使积化成最简分式或整式.
限时课堂训练
基本练习
计算：1.
2.
3.
拓展思维
在解题目:当m=2010时,求代数式
的值,小明认为m任取一个使原式有意义的值带入都有相同结果.你认为对吗
第三节 分式的加减
第一课时 同分母分式的加减
学习目标
1.会进行同分母分式的加减运算,并能类比分数的加减运算,得出同分母分式的加减法的运算法则.
2.会将互为相反数的分母化为同分母,发展符号感.
课前预习方案
自主学习
1. .
2.你认为应等于什么？
3.猜一猜,同分母的分式应该如何加减？
(让学生相互交流,引导学生通过与分数类比,大胆猜想同分母分式的加减运算法则.并让学生说明其合理性.培养学生的探索能力.）
知识链接
1.同分母的分数如何加减？
2. = .
课堂学习方案
知识结构
同分母的分式加减法的法则:
同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
用式子表示：
±=（其中a、b既可以是数,也可以是整式,c是含有字母的非零的整式）.
典型例题
例.1．
2.
解:1．
=
=
=
=
2.
=
=
=
=
=
总结:
1.互为相反数的分母化为同分母时应提负号.
2.分数线的两个作用⑴除号⑵括号.
3.注意约分时的符号问题.
限时课堂训练
基本练习
1.填空
⑴.= .
⑵. = .
⑶. = .
⑷.= .
⑸.= .
⑹.= .
2.计算
⑴.
⑵.
⑶.
拓展思维
计算
（其中x=－2,y=－3）
第二课时 异分母分式的加减
学习目标
1.会进行异分母分式的加减运算,并能类比分数的加减运算,得出异分母分式的加减法的运算法则.
2.分式的通分.
3.经历异分母分式的加减运算和通分的过程,训练学生的分式运算能力,培养教学学习中转化未知问题为已知问题的能力.
4.进一步通过实例发展学生的符号感.
课前预习方案
自主学习
1. = .
2.你认为异分母的分式应该如何加减？比如= .
(鼓励学生在同分母分式加减的基础上,思考异分母分式的加减.)
知识链接
异分母的分数如何加减.
课堂学习方案
知识结构
1.把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.
2.异分母的分式加减法的法则:
异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
典型例题
例1 通分：
⑴
解： ∵最简公分母是10a2b2c2,
⑵
∵x2-4＝(x+2)(x-2)
4-2x＝-2(x-2)
∴最简公分母为2(x+2)(x-2)
总结:1.通分的依据:分式的基本性质.
2.通分的关键:确定几个分式的公分母.公分母不唯一,通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母,当分母是多项式时,应先分解因式.
限时课堂训练
基本练习
1. 填空
⑴ .⑵ .
⑶ .
⑷= .
⑸一条小船顺流航行50km后,又立即返回原地.如果船在静水中的速度为akm/h水流速度为8km/h,那么顺流航行比逆流航行少用 小时.
2.计算
⑴
⑵
⑶
拓展思维
已知x=－2求
的值.
第十五章 轴对称
第一节 生活中的轴对称
学习目标
1.通过生活中的具体实例认识轴对称,掌握轴对称图形概念.
2.总结出轴对称图形的特点.
3.能准确判断哪些事物是轴对称图形,并会找、会画出轴对称图形的对称轴、对称点.
4.体会数学的对称美在生活中的广泛应用和体现.
课前预习方案
自主学习
1.下列这些图形好看吗？你能说说这些图形有一个怎样的共同特征吗？
2.预习轴对称图形、对称轴、对称点的概念.
知识链接
1.对折矩形纸张有几条折痕？
2.有几个英文字母能对折？
课堂学习方案
知识结构
典型例题
例1.“轴对称”与“轴对称图形”的区别与联系:
轴对称图形 轴对称
一分为二
合二为一
区别： 一 个图形 两个图形
联系：如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成2个图形,那么这两部分成轴对称.
如果把成轴对称的2个图形看成一个整体,那么这个整体就是一个轴对称图形.
例2.下列图形是否是轴对称图形,找出轴对称图形的所有对称轴.
思考：正三角形有 3 条对称轴
正四边形有 4 条对称轴
正五边形有 5 条对称轴
正六边形有 6 条对称轴
正n边形有 n 条对称轴
当n越来越大时,正多边形接近于什么图形？它有多少条对称轴？
解：圆，无数条
总结：一个轴对称图形的对称轴的条数不一定是一条.
限时课堂训练
基本练习
1.请在下面这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律,然后在横线上的空白处填上恰当的图形．
2.(2004年吉林省中考)以下四个图形中,对称轴条数最多的一个图形是( ).
A B C D
3.如图15-1-2,观察(1)～(9)所示的图案,其中图案__________是轴对称图形；图案___________中的两个图形成轴对称．
4.如图15-1-3,标出点A、B、C关于直线l 的对称点、、．
拓展思维
如图,由4个全等的正方形组成L形图案,请你在图案中改变1个正方形的位置,使它变成轴对称图案,有几种方法.
第二节 简单的轴对称图形
学习目标
1.通过折叠,验证线段和角是轴对称图形.
2.理解线段的垂直平分线(或中垂线)的概念；了解“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”、“角平分线上的点到角的两边距离相等”这两个结论.
3.通过积极思考、自主探索与合作交流,让学生经历“提出猜想一验证猜想一应用与拓展”的过程,以获得知识,形成能力,发展思维.
课前预习方案
自主学习
问题一
1.在纸上画一条线段AB,对折AB,使得点A、B重合,折痕与AB 的交点为O.
2.在折痕上任取一点C,沿CA将纸折叠；
3.把纸展开,得到折痕CA和CB.
观察自己手中的图形,回答下列问题：
⑴CO与AB 有什么样的位置关系
⑵AO与OB相等吗 CA与CB 呢 能说明你的理由吗
⑶在折痕上另取一点 ,再试一试,你又有什么发现
问题二
1.在纸上画一个△AOB,把角A对折,使得这个角的两边重合.
2.在折痕（即角平分线）上任意找一点C,
过点C折OA边的垂线,得到新的折痕CD,其中,点D是折痕与OA的交点,即垂足.
3.将纸打开,新的折痕与OB边交点为E.
⑴通过第一步我们能发现什么结论
⑵在上述的操作过程中,你发现了哪些相等的线段 说明你的理由,在角平分线上在另找一点试一试.是否也有同样的发现
知识链接
学过的一些基本的平面图形（如三角形、四边形、线段、角等）,这些平面图形中有没有轴对称图形呢
课堂学习方案
知识结构
1.垂直平分线两个条件既垂直又平分,简称中垂线,是线段对称轴.
2.线段是轴对称图形,它的一条对称轴垂直于这条线段并且平分它.（唯一性）
3.线段垂直平分线性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
4.角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.
5.角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.
典型例题
例1.△ABC中,BC=10,边BC的垂直平分线分别交AB,BC于点E、D,BE=6,求△BCE的周长．
解：∵DE是线段BC的垂直平分线
∴EB=EC=6
∴△BCE的周长=EB+EC+BC=6+6+10=22．
例2.如图,△ABC中,∠C=90 ,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=32,且BD∶CD=9∶7,求点D到AB的距离DE．
解：∵BD∶CD = 9∶7,BC=32
∴CD = = 14
∵∠C=90
∴CD⊥AC
∵AD平分∠BAC DE⊥AB
∴DE=CD=14
限时课堂训练
基本练习
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,CD=5cm,则点D到AB的距离为_____cm.
2.如图所示,若AC是BD的垂直平分线,AB＝5cm,BC＝3cm,四边形ABCD的周长为 .
3.如图,在ΔABC中,AB＝AC＝15,DE垂直平分AB.
（1）当AE＝12时,BE等于多少
（2）当ΔBEC的周长为25时,BC为多少
（3）当BC＝14时,ΔBEC的周长为多少
拓展思维
如图,两个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动,现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应站P,使P到两条道路的距离相等且使PM=PN,P点应该设在何处
第三节 轴对称的性质
学习目标
1.掌握轴对称性质.
2.会利用轴对称的性质,作对称点,对称图形等.
3.经历探索轴对称性质的活动过程,积累数学活动经验,进一步发展空间观念和有条理的思考和表达能力.
课前预习方案
自主学习
将一张矩形纸沿虚线对折（图1）,然后用
笔尖扎出一个三角形ABC（图2）,将纸
打开后铺平就得到了（图3）
图1 图2 图3
⑴图2③中的两个三角形有什么关系？
⑵在扎三角形的过程中,点A与点A′重合,点B与点B′重合,点C与点C′重合.设折痕所在直线为l,连接点A与点A′的线段与l有什么关系？点B与点B′呢？
⑶线段AB与线段A′B′有什么关系？线段
BC与线段B′C′呢？
⑷∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？
知识链接
画出下列各图的对称轴.
课堂学习方案
知识结构
轴对称的性质：
如果两个图形关于某一条直线对称,那么对应线段相等,对应角相等,对应点所连的线段被对称轴垂直平分.
典型例题
例1 用笔尖扎重叠的纸,展开后可以得到下面成轴对称的两个图案（如图1）.
⑴找出它的两对对应点、两条对应线段和两
个对应角.
⑵连接OO′,判断OO′与MN的关系.
⑶所扎的图案“w”（如图2）是轴对称图形吗？若是,请画出它的对称轴.
解：⑴对应点有：点J与J′点,点C与C′点；对应线段有：线段AB与线段A′B′,线段OC与线段OC′；对应角有：∠A与∠A′,∠K与∠K′.
⑵直线MN垂直平分线段OO′.
⑶是轴对称图形,对称轴的位置如图5中直线l.
点拨：⑴图1中共有13个对应点,13条对应线段,13个对应角,按要求写出两对即可.答案不是唯一的.
⑵可以利用轴对称的性质或测量的方法得出结论.
⑶可利用折叠的方法或测量的方法判断；
例2.图1是在方格纸中画出的树的图形的一半,请你以树干为对称轴在图2中画出图形的另一半.
例2图1 例2 图2
点拨：利用轴对称图形的基本性质作图,找准对应点的位置再连线.
限时课堂训练
基本练习
1.(2007年·天水市）如图,直线是四边形ABCD的对称轴.若AD∥BC,则下列结论:①AB=CD；②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC.其中正确的是（ ）.
A．①②③ B．①③④
C．①②④ D．①②③④
2.(2007年·河南）如图,△ABC与 关于直线对称,则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.(2007年·广州市）观察下列四个图案,其中为轴对称图形的是（ ）．
A B C D
拓展思维
下图是在方格纸上划出的一个零件图形一半,请你以点M、N所在的直线EF为对称轴画出另一半,并指出三对对应点、对应线段和对应角.
第四节 利用轴对称设计图案
学习目标
1.经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图过程,掌握有关画图的操作技能,发展初步审美能力,增强对图形欣赏的意识.
2.能按要求把所给出的图形补成以某直线为轴的轴对称图形,能依据图形的轴对称关系设计轴对称图形.
课前预习方案
自主学习
如图：给出了一个图案的一半,其中的虚线是这个图案的对称轴.
你能画出这个图案的另一半吗？
知识链接
1.如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相________,那么这个图形叫做________________,这条直线叫做_____________.
2.轴对称的三个重要性质.
课堂学习方案
知识结构
补全轴对称图形和设计一些创意独特的轴对称图案.
典型例题
用四块如图⑴所示的黑白两色正方形瓷砖拼成一个新的正方形,使拼成轴对称图
案,请至少给出三种不同的拼法：
限时课堂训练
基本练习
1.将一张矩形纸对折,然后用笔尖在上面扎出B,再把它铺平,你可见到( )
A. B.
C. D.
2.将圆形纸片对折后再对折,得到图(a),然后沿着图中的虚线剪开,得到两部分,其中一部分展开后的平面图形是( )
拓展思维
为了美化环境,在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草,现将这块空地按下列要求分成四块：⑴分割后的整个图形必须是轴对称图形;⑵四块图形形状相同;⑶四块图形面积相等.现已有两种不同的分法：⑴分别作两条对角线（图1）⑵过一条边的三等
分点作这边的垂线段（图2）（图2中两个图形的分割看作同一方法）
请你按照上述三个要求,分别在下面三个正方形中给出另外三种不同的分割方法.（只要求正确画图,不写画法）.
第5节 等腰三角形
第一课时 等腰三角形的概念和性质
学习目标
1.通过操作和思考,掌握等腰三角形的相关概念.
2.经历作（画）出等腰三角形的过程,从轴对称的角度去体会等腰三角形的性质．
3.自主、互动探究 演示 推理得等腰三角形的性质,培观察、猜想、推理能力.
课前预习方案
自主学习
1.活动A:把一张长方形纸对折,在折痕处剪去一个直角,再把它展开,得到一个三角形,此三角形有何特点
活动B:画一画,量一量
(1)作一条直线L,在L上取点A,在L外取点B,作出点B关于直线L的对称点C,连结AB、BC、CA,则可得到一个△ABC．
(2)用刻度尺量一量三角形的两边AB、AC,看它们的长度有何关系
2.等腰三角形的性质
问题1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
问题2．折叠或测量,看看等腰三角形的两底角有什么关系？
问题3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
问题4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？
知识链接
1.三角形是轴对称图形吗
2.什么样的三角形是轴对称图形
课堂学习方案
知识结构
1.与等腰三角形有关的概念.
2.等腰三角形的性质：
⑴等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
⑵等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
⑶等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于600.
典型例题
1.等腰三角形的两边分别为3、4,则周长为 10或11 .
2.等腰三角形一个角为50°,则顶角为50°或80°.
3.在我校开展“赈灾募捐,帮助灾区人民重建家园”的活动 中,需要一批“三角测平架”：如图,AB=AC,在BC的中点D挂一个重锤,自然下垂.调整架身,使点A恰好在重锤线上,这时BC处于水平位置,为什么？
解:∵AB=AC,D为BC中点
∴AD⊥BC
∵AD自然下垂
∴AD垂直水平面
∴BC与水平面平行
即BC处于水平位置
限时课堂训练
基本练习
1.等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是 .
2.等腰三角形两边为3cm、8cm,则它的周长是 .
3.等腰三角形顶角为65°,它的另外两个角为 .
4.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 .
5.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为 .
6.已知AD是等边△ABC的高,BE是AC边的中线,AD与BE交与点F,则∠AFE= .
7.已知：如图, ∠A= 36°, AD=BD=BC.
求∠ABD、∠BDC的度数.
拓展思维
如图所示,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC.
求证:AO⊥BC
第二课时 等腰三角形的识别
学习目标
1.掌握等腰三角形的判定方法和数学的转化思想.
2.理解等腰三角形的判定和性质的联系与区别.
课前预习方案
自主学习
如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,不小心被墨水涂没了一部分,只留下一条边BC和一底角∠C.你有没有办法把原来的等腰三角形ABC重新画出来 画完后请用折纸的方法检验你画的是否正确.并想想,由此你发现了什么结论？与你的同伴讨论一下.
知识链接
作一个角等于已知角.
课堂学习方案
知识结构
1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.(简称“等角对等边”)
2.三个角都相等的三角形是等边三角形.
3.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
典型例题
例1.已知,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D,过D作DE//BC交AC与F,交AB于E,求证:EF=BE-CF.
分析:对于三个线段间关系,尽量转化为等量关系,由于本题有两个角平分线和平行线,可以通过角找边的关系,BE=DE,DF=CF即可证明结论.
证明： DE//BC（已知）
∴∠DBC=∠BDE(两直线平行内错角相等)
∵BD平分∠ABC(已知)
∴ ∠ABD=∠DBC(角平分线定义)
∴∠ABD=∠BDE
∴BE=DE(等角对等边)
同理DF=CF.
∵ EF=DE-DF
∴EF=BE-CF(等量代换)
引申:如果为两内角平分线,其他条件不变,结论是否改变.如果为一内角平分线和一外角平分线,其他条件不变,结论是否改变.
例2.如图,将长方形ABCD沿对角线BD对折,使AB与CD相交于点F,问重叠的△BDF是什么形状？为什么？
分析:要判断△BDF的形状,就要得到边长的大小关系,先判断FD是否等于FB,又由于FD、FB分别在△DEF、△BCF中,问题转化为判断△DEF和△BCF是否全等.判断这两个三角形全等的不足条件从哪里来呢 注意,长方形ABCD沿对角线BD折叠,折叠前后的△BAD和△BED是全等的,通过这两个三角形全等为判定△DEF和△BCF全等创造条件.
解：△BDF是等腰三角形.
理由如下:
∵长方形ABCD沿对角线BD对折
∴△BAD≌△BED
∴ DE=DA,∠E=∠A（全等三角形的对应边相
等,对应角相等）
∵四边形ABCD为长方形
∴AD=BC,∠C=90°（长方形的对边相等,四
个角都是直角）
∴DE=BC,∠E=∠C=90°（等量代换）
在△DEF和△BCF中
∴△DEF≌△BCF（AAS）
∴DF=BF（全等三角形的对应边相等）
∴△BDF是等腰三角形
总结：⑴抓住图形变换前后的“不变量”,是解这类题目的关键.
⑵等腰三角形的识别方法:1.等腰三角形定义. 2. 等腰三角形的判定定理:等角对等边.
限时课堂训练
基本练习
1.如图,在△ABC中,∠A＝70°,且三边AB、BC、AC的长分别是12cm、10cm、6cm,O是△ABC中∠ABC、∠ACB的平分线的交点,OE//AB,OF//AC,则∠BOC＝ ,
∠EOF＝ ,△OEF的周长为 .
2.如图,在△ABC中,∠A=36 ,∠ACB=72,BD平分∠ABC,则图中有 等腰三角形.
3.△ABC中,AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F,若∠BAC＝115°,则∠EAF＝___________.
4.如图,△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件:①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC
⑴上述四个条件中,哪两 个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情况）⑵选择第⑴小题中的一种情形,
证△ABC是等腰三角形.
5.如图,△ABC是等边三角形,BD、CE是中线,求∠CBD,∠BOE,∠BOC的度数．
拓展思维
已知：△ABC中,AB=AC,∠A=36°,请你设计三种以上不同分法,将△ABC分割成3个三角形,使得每个三角形都是等腰三角形.不要求写出画法,请指出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数.
第三课时 含有300角的直角三角形的性质
学习目标
1.了解含角的直角三角形的性质,并理解其实际运用价值.
2.经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,在具体的折纸情景中,获得角的直角三角形的一些性质,并通过从对折联想对称,从角的对折联想角的平分、从边的对折联想线段的平分等发展合情推理能力以及应用.
课前预习方案
自主学习
在纸上画一个等边三角形ABC,把等边三角形沿它的一条对称轴AD剪开,得到△ABD和△ACD.体会等边三角形的轴对称性.
自主探究
1.△ABD和△ACD全等吗 为什么
2.在△ABD中,∠ADB和∠BAD分别是多少度 为什么
3.在Rt△ABD中,斜边AB和∠BAD所对的直角边BD的长有什么关系 请你说明理由.
4.你能用两个同样大小的三角尺（含30°和60°的角）拼接起来验证上述结论.
知识链接
1.什么是等边三角形 它有哪些性质
2.等边三角形的轴对称性.
课堂学习方案
知识结构
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
典型例题
例.如图,已知△ABC的三个内角之比为∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3,BC=2 ,求AB的长.
解:设∠A=x°,则∠B=2x°,∠C=3x°
∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理)
∴x+2x+3x=180(等量代换)
∴x=30
即∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°
在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=2.
∴ AB=2BC=4(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.)
限时课堂训练
基本练习
1.等腰三角形ABC的顶角为120°,腰长为10,则底边上的高AD= .
2.△ABC中,∠C＝90°,∠B＝30°,AD平分∠BAC,交BC于D,则BD:DC= .
3.在Rt△ABC中,∠A＝30°,∠C＝90°,D是斜边AB的中点,DE⊥AC,垂足为C,且DE＝6cm,求BC的长.
4.已知：在△ABC中AB=AC=2a, CD是腰AB上的高,∠ABC=∠ACB=15°,求CD的长.
拓展思维
一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶渔群,在A处看见小岛C在船北偏东 60°,40分钟后,渔船行至 B处,此时看见小岛 C在船的北偏东30°,已知小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区,问这艘渔船继续航行（追赶鱼群）,是否有进入危险区的可能？
第十六章 勾股定理
第一节 勾股定理
学习目标
1.掌握勾股定理.
2.学会利用勾股定理进行计算、证明.
3.了解有关勾股定理的历史.
4.在定理的证明中培养学生的拼图能力.
课前预习方案
自主学习
相传2500年前,毕达哥拉斯在朋友家做客时,发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.我们只看到了地砖的装饰效果,数学家却看到了这样一个图1,他发现了这样一个图形,并从这一图形发现了等腰直角三角形三边的关系.你能根据图2观察分析三个正方形的面积SA、SB、SC有什么关系 中间的等腰直角三角形三边有什么关系？你能用毕达哥拉斯的方法探究一般直角三角形的三边是否也有这样关系吗
知识链接
正方形的面积.
拼图技巧.
课堂学习方案
知识结构
1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方.
a2+b2=c2
2.勾:最短的直角边.股:较长的直角边.
弦:斜边.
典型例题
例.如图,将矩形ABCD（AB＜AD）沿BD折叠后,点C落在点E处,且BE交AD于F,若AB=4,BC=8,求DF的长.（03年泰州）
分析:折叠问题是学生感兴趣的问题,如何用数学知识解决折叠中的计算问题,也是我们必须思考的问题.
由折叠知:△BDE≌△BDC
故∠1＝∠2
又ABCD是矩形
所以AD∥BC
所以∠1＝∠3
即∠2＝∠3
故FD＝FB
设FD=FB=x,则AF=8-x
在Rt△ABF中,
解得
即DF的长为5.
限时课堂训练
基本练习
1.在Rt△ABC中,∠Ｃ=90°
⑴已知:a=6,ｂ=8,则c= .
⑵已知:a=40,c=41则b= .
⑶已知:c=13,b=5,则a= .
2.如图,直线上有三个正方形a、b、c,若a、c 的面积分别为5和11,则b的面积为（ ）
A.4 B.6 C.16 D.55
3.有两棵树,一棵高6米,另一棵高3米,两树相距4米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了 米．
4.人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时,发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只,正以24海里/小时的速度向正东方向航行,为迅速实施检查,巡逻艇调整好航向,以26海里/小时的速度追赶,在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下,问需要几小时才能追上？（2003年青岛）
拓展思维
如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少
第二节 由边的数量关系识别直角三角形
学习目标
1.掌握直角三角形的判别条件.
2.熟记一些勾股数．
3.掌握勾股定理的逆定理的探究方法．
课前预习方案
自主学习
问题:据说古埃及人用下图的方法画直角:把一根长蝇打上等距离的13个结,然后以3个结,4个结、5个结的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角.
这个问题意味着,如果围成的三角形的三边分别为3、4、5,有下面的关系“32＋42＝52”,那么围成的三角形是直角三角形.
画画看:如果三角形的三边分别为2.5cm,6cm,6.5cm,有下面的关系,“2.52＋62＝6.52,画出的三角形是直角三角形吗 换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm.再试一试．
按照特殊到一般思路,你能归纳猜想出“如果三角形三边a,b,c满足a2＋b2＝c2,那么这个三角形就为直角三角形的结论吗？
知识链接
直角三角形有如下性质:⑴有一个角是直角⑵两个锐角互余⑶两直角边的平方和等于斜边的平方⑷在含30°角的直角三角形中,30°的角所对的直角边是斜边的一半.
课堂学习方案
知识结构
如果三角形的三边长a,b,c满足a2＋b2＝c2那么这个三角形是直角三角形.
典型例题
例.四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,
CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.
解:
连结AC
∵∠B=90°,AB=3,BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）
∴AC=5
∵AC2+CD2=169,AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36
限时课堂训练
基本练习
1.以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是（ ）
A. 8,15,17 B. 4,5,6
C. 5,8,10 D. 8,39,40
2.△ABC中,如果,则△ABC是 三角形,且∠ =90°.
3.如图,ABCD是正方形,AE=AB,BF=BC,
求证：DE⊥EF
拓展思维
如图,三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1,S2,S3,且S1+S2=S3,试判定这个三角形是什么三角形．
第三节 勾股定理的应用
学习目标
1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题.
2.培养从“形”到“数”和从“数”到“形”转化、推理能力.
课前预习方案
自主学习
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,这个问题的意思是：有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
知识链接
线段中垂线定理;利用轴对称确定最短距离
课堂学习方案
知识结构
1.△ABC为Rt△且∠C=90°
2.利用勾股定理的逆定理,可以判定一个角为直角,从而判定直角三角形,也可以用来判定两直线互相垂直.
典型例题
例.折叠长方形一边AD,点D落在BC边的点F处,BC＝10cm,AB＝8cm,求:⑴FC的长.⑵EF的长．
解:(1)在Rt△ABC中
由勾股定理得AF2＝AB2+BF2
∴ 102＝82+BF2
∴BF＝6
FC＝BC-BF=4(cm)
(2)在Rt△ABC中
由勾股定理得EF2＝FC2+(8－EF)2
∴EF2＝42+(8－EF)2
∴EF＝5(cm)
限时课堂训练
基本练习
1.在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,东南方向24m处有一建筑工地B,在AB间建一条直水管,则水管的长为( ）
A.45cm B.40cm C.50cm D.56cm
2.两只小鼹鼠在地下打洞,一只朝前方挖,每分钟挖8cm,另一只朝左挖,每分钟挖6cm,10分钟之后两只小鼹鼠相距( )
A.50cm B.100cm C.140cm D.80cm
3.如图,下列三角形中是直角三角形的是( )
4.如图,小李准备建一个蔬菜大棚,棚宽4m,
高3m,长20m,棚的斜面用塑料薄膜遮盖,
不计墙的厚度,请计算阳光透过的最大面
积为 .
5.为了丰富少年儿童的业余生活,某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室,本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,已知AB＝25km,CA＝15km,DB＝10km,试问：图书室E应该建在距点A多少km处,才能使它到两所学校的距离相等
拓展思维
如图,A城气象台测得台风中心在A城正西
方向320km的B处,以每小时40km的速度
向北偏东60°的BF方向移动,距离台风中
心200km的范围内是受台风影响的区域.
⑴A城是否受到这次台风的影响 为什么
⑵若A城受到这次台风影响,那么A城遭受这次台风影响有多长时间
第十七章 实数
第1节 平方根
第一课时 平方根的认识
学习目标
1.了解数的平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根．
2.了解开平方与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根．
3.通过学习算术平方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维．
课前预习方案
自主学习
1.25的平方根的是_________；的平方根是________；0的平方根是________．
2.．
课堂学习方案
知识结构
1.平方根：
(1)平方根的定义：一般地，如果一个数x 的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
(2)平方根的表示方法：一个正数a的正的平方根，记做，读作“根号a”,其中a叫做被开方数，正数a的负的平方根，记做-，读作“负根号a”．这两个平方根可记为．
(3) 平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
2.开平方运算：
(1)开平方的定义：求一个数的平方根的运算．
（2）与平方运算的关系：互为逆运算．可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确．
典型例题
例1.求下列各数的平方根：
(1)144 (2) (3)0 (4)
点拨：求一个数的平方根，可通过平方运算来解答，如果求一个带分数的平方根，要先化为假分数，再求其平方根．
解：(1)∵(±12)2=144,
∴144的平方根是±12；
(2)∵,
∴的平方根是；
(3)∵02=0,
∴0的平方根是0；
(4)∵=，，
∴的平方根是．
例2.如果一个正数的平方根是2x-3和5-3x，求这个正数．
点拨：解决此类问题的关键是利用一个正数有两个平方根，它们互为相反数这个特性．
解：由正数的平方根性质可知，
2x-3和5-3x互为相反数，
即(2x-3)+(5-3x)=0,2-x=0,x=2,
所以这个正数是1．
限时课堂训练
基本练习
1．下列说法正确的有 （ ）
①1的平方根是1
②9是(-9)2的平方根
③-9的平方根是±3
④0没有平方根
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.下列各式计算正确的是 ( )
A. B.
C. D.
3.如果x2=25,那么6-x的值是 （ ）
A.±1 B.±5
C.1或11 D.1或4
4.填空：.
(1)81的平方根是 ,
(2)0．16的正的平方根是 ,
(3)(-3)2的平方根是 ,
(4)2-2的负的平方根是 ,
(5)，
(6)．
5.已知一个正数的一个平方根是0.3,则这
个正数的另一个平方根是________．
6.若4a+1的一个平方根是0.5，则
a_______.
7.的平方根是________．
8.若3x-5有两个平方根，则x的取值范围
是______________．
9.若一个正数的平方根是3x-5和2x-10，则
这个正数是___________.
10.在两个连续整数a和b之间,此时a,b的值分别是____________.
11.学校要种一块面积为28.26㎡的圆形花坛，它的半径应为多少米？(取3.14)
12.小明卧室的面积为16平方米，计划用100块相同的正方形地板砖铺地面，那么所需要正方形地板砖的边长应是多少？
拓展思维
观察下列各等式，再回答下列问题：
①；
②；
③；…
(1) 请你根据上面三个等式提供的信息猜想
的结果；
(2)请你按上面的各式反映的规律写出含n的式子表示的等式（n为正整数）．
第二课时 算术平方根的认识
学习目标
1.理解算术平方根的概念、表示法以及
≥0（a≥0）的性质．
2.明确平方根、算术平方根的区别、联系．
3.会求一个非负数的算术平方根．
课前预习方案
自主学习
1.81的平方根是_____,算术平方根是_____.
2.
． 知识链接
1.平方根的特征．
2.平方根的表示方法．
课堂学习方案
知识结构
1.算术平方根的概念及表示法：
概念：一个正数的正的平方根，叫做这个数的算术平方根．规定：0的算术平方根是0．
表示法：正数a的算术平方根记为，读作“根号a”． 强调：书写时根号一定要把被开方数盖住．
2.算术平方根的性质：
算术平方根具有双重非负性：
①被开方数a是非负数，即a≥0；
②算术平方根本身是非负数，即
≥0．也就是说，正数的算术平方根是一个正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．
3.平方根、算术平方根的区别、联系：
区别：①定义不同 ②表示方法不同；
③个数不同 ④取值范围不同；
联系：①平方根包含着算术平方根；
②取值条件相同：条件为非负数．
典型例题
例1.求下列各数的算术平方根
2．25； 121； (-3)2
点拨：依据算术平方根的定义对其求值，如果被开放数为小数、分数则一般先化为假分数,须注意符号．
解：⑴∵2．25=，，
∴2．25的算术平方根是，即；
⑵∵112=121,∴121的算术平方根是11,
即；
⑶∵(-3)2=32，∴(-3)2的算术平方根是3，
即．
例2.已知a、b为有理数，求a、b的值．
点拨：利用算术平方根所具有的非负性，即被开方数是非负数，组成不等式组即可．
解：根据算术平方根的性质，得：
所以即a=5.
当a=5时，变为，
即b+4=0,解得b=-4. ∴a=5,b=-4.
限时课堂训练
基本练习
1.下列说法正确的是 ( )
A.4是2的平方根
B.2是4的算术平方根
C.0的算术平方根不存在
D.-1是-1的算术平方根
2.的算术平方根是 ( )
A．4 B.±4 C.2 D.±2
3.(2009,武汉)的值是 ( )
A.-3 B.±3 C.9 D.3
4.(2009,天津) 若x,y为有理数，且满足
则的值为
( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
5.若=25,=3,则a+b为 ( )
A.-8 B.±8 C.±2 D.±8或±2
6.若一个数的算术平方根为3，那么这个数
的平方根是______,这个数的平方是 ______．
7.的算术平方根是________，的平方根是________．
8． ____的算术平方根等于它本身,
___的平方根等于它本身．
9.若成立，则
代数式=________．
10.(2008,长沙)已知a,b为两个连续整数，
且a＜＜b,则a+b=________.
12.求下列各式中的x的值：
⑴2x2=288 ⑵(3x-2)2-1=8
⑶
13.在直角三角形中，a,b是两条直角边，c 是斜边.
(1)已知a=3,b=4,求c边.
(2)已知b=,c=1,求a边.
拓展思维
已知x+2y+3z=18,4x+3y+2z=27,试求x+y+z的平方根和算术平方根.
11.当一个数n为_______时，有两平
方根，平方根是______.（在横线上填一
个你认为合适的值）
第2节 立方根
学习目标
1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数
的立方根，了解开立方与立方互为逆运
算，能用立方运算求一些数的立方根．
2.能用立方根解决一些简单的实际问题．
3.在一定的情境下，理解立方根的概念，使
学生不断获得解决问题的经验，提高思维
水平，学习中要注意感悟“类比”在知识产生和发展过程中的作用．
课前预习方案
自主学习
1.的立方根是______；-64的立方根是
_______.
2.．
知识链接
1.平方根、算术平方根的定义．
2.开平方运算．.
课堂学习方案
知识结构
1.立方根：
(1)立方根的定义：一般地，如果一个数x 的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根；
(2)立方根的表示方法：任何一个数都有立方根，记做，读作“三次根号a”,其中a叫做被开方数，3叫做根指数，写在的左上角，不能省略不写；
(3)立方根的性质：一个正数有一个正的立方根；；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0.
2.开立方运算：
(1)开立方的定义：求一个数的立方根的运算；
(2)与立方运算的关系：互为逆运算．可以用立方运算来检验开立方的结果是否正确．
3.两个公式：
⑴
⑵．
典型例题
例1.求下列各数的立方根:
⑴－8； ⑵0.027； ⑶.
思路分析：依据立方根的定义求立方根.
解：⑴∵
∴-8的立方根是-2,即；
⑵∵
∴0.027的立方根是0.3,即
⑶∵
∴的立方根是,即.
例2.已知x-2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的平方根.
点拨：解决此题的方法是依据开立方与立方是互为逆运算的，开平方与平方是互为逆运算的．
解：因为x-2的平方根是±2，所以x-2=4
解得x=6.
因为2x+y+7的立方根是3,所以2x+y+7=27
又因为x=6，所以y=8.所以x2+y2=62+82=100
所以x2+y2的平方根是.
限时课堂训练
基本练习
1.下列说法正确的是 （ ）
Ａ.任意数a的平方根有２个，它们互为相反数
Ｂ.任意数a的立方根有１个
Ｃ.－３是２７的负的立方根
Ｄ.（－１）的立方根是－１
2.下列判断正确的是 （ ）
Ａ.６４的立方根是４
Ｂ.（－１）的立方根是１
Ｃ.的立方根是２
Ｄ.如果＝a，则a＝０
3.的立方根是 （ ）
Ａ．±4 Ｂ．±2 Ｃ．Ｄ．
4.一个数的算术平方根与它的立方根的值
相同，则这个数是 ( )
A．1 B．0或1
C．0 D．非负数
5.要使成立，则a的取值
范围是 （ ）
A.a≤3 B.-a≤4
C.a≥4 D.一切实数
6.如果a＜0,那么a的立方根是 ( )
A. B.
C. D.
7.若，则＝_____．
8.立方根是－8的数是_______， 的立
方根是________．
9.若，则x＝_______；，
则x＝________，若，则x＝____．
10.当x＜7时，＝_________．
11.－27的立方根与的平方根之和是
__________．
12.求下列各式的x：
⑴ ⑵
拓展思维
已知A＝是n－m＋3的算术平方根，B＝是m＋2n的立方根，求B－A的立方根．
第三节 实数
第一课时 实数的分类
学习目标
1.知道什么是无理数．
2.了解实数的意义，了解实数的分类．
3.理解实数的相反数、倒数和绝对值的意义．
4.会有理数估计一个无理数的范围．
课前预习方案
自主学习
1.在2，-0.3,，，中是无理数的有________.
2.的相反数是_____,的绝对值是_______,的倒数是_______.
知识链接
1.正方形的面积公式：．
2.有理数的概念、分类．
3.在有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义.
课堂学习方案
知识结构
1.无理数的概念：无限不循环的小数；
2.常见的无理数：⑴圆周率及含的数
⑵所有开方开不尽的数，如：，；
⑶看似循环但不循环的小数，如：
0.121221222122221…；
⑷易出错的分数，如：；
3.实数的概念：有理数与无理数统称为实数；
4.实数的分类：
⑴按实数的定义分类：
⑵按实数的性质分类：
5.实数a的相反数是-a；
实数a(a≠0)的倒数是；
实数a的绝对值：
6.有理数估计一个无理数的范围的方法：估
算法
典型例题
例1.把下列各数填入相应的集合内：-5，3.7，
填入相应的集合里．
有理数集合_______________,无理数集合_____________________,
正实数集合_______________,负实数集合_____________________.
点拨:利用无理数的定义及常见的几种无理数进行判断．
解:有理数：-5,3.7,,,,
无理数：，
正实数：3.7,,，，，，
负实数：-5，，．
例2.设的整数部分是m,小数部分为n,求n2-2m的值.
点拨：解决此类问题的关键是确定m与n的值，先用估算法求出的整数部分m的值，再由m+n=,求出n的值．
解：因为4＜6＜9，所以，
即2＜＜3，所以的整数部分为2，
即m=2,而小数部分为n,则n=－2．所以
n2-2m=(-2)2－2×2
=()2－4+4－4=6－4．
限时课堂训练
基本练习
1.下列实数，，0.1414， , 中，无理数的个数是 ( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2.下列语句中正确的是 ( )
A．带根号的数是无理数
B．不带根号的数一定是有理数
C．无理数一定是无限不循环的小数
D．无限小数都是无理数
3.下列各组数中互为相反数的是 ( )
Ａ．和 Ｂ．和
Ｃ．和 Ｄ．和
4. (2005,陕西)点A为数轴上表示-1的点，将A在数轴平移3个单位到点B，则点B表示的实数为 ( )
A．3 B．2
C．-4 D．2或-4
5．面积为13的正方形的边长为_________．
6.写出和为5的两个无理数 ____．
7.，则．
8．观察下列各式：＝2，＝3，＝4，……，请你将猜想到的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表示出来是 ．
9.已知m是的整数部分，n是的小
数部分，求m－n的值.
拓展思维
如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连结这些小正方形的顶点，可得到一些线段.请在图中画出这样的线段.
第二课时 实数与数轴的关系
学习目标
1.掌握实数与数轴上的点是一一对应的．
2.了解有理数运算律在实数范围内仍然适用．
3.能够对实数的大小进行比较．
课前预习方案
自主学习
比较大小：(1)3 ；
(2)π 3.142；
(3)－ －．
知识链接
1.有理数与数轴上点的关系：有理数可以用数轴上的点来表示．
2.两个比较大小常用的方法：作差法、作商法、数轴法、赋值法.
课堂学习方案
知识结构
1.实数与数轴上的点是一一对应的．
2.实数范围内的大小比较：常用的方法：
①作差法：如果a-b＞0，则a＞b,如果a-b＜0,则a＜b；
②数轴法：正数大于负数，两个负数，绝对值小的反而大，数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；
③赋值法④作商法⑤平方法⑥放缩法.
典型例题
例1.比较下列各组数的大小：
⑴5和；
⑵；
⑶ ．
思路分析:实数大小的比较，可根据不同的题目选择不同的方法，选择的依据是选择合理，快捷的方法．
解：⑴因为52=25,,
而25＞24，
所以．
⑵因为，
，
而，
所以，所以．
⑶因为，
而，
所以，
所以．
例2.实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．2a+b B．b C．2a-b D．b
点拨:由于实数与数轴上的点是一一对应的，因而利用数轴可以清晰地反映出两个实数的大小情况，为解决问题提供形象直观的 方法．
解：由图可知：a＜0＜b,
所以，， ，
故正确答案是B.
限时课堂训练
基本练习
1.下列说法错误的： ( )
A.每一个整数都对应着数轴上的一个点
B.每一个无理数都对应着数轴上的一个点
C.有理数与数轴上的点是一一对应
D.数轴上的每一个点都对应着一个实数
2. (2009,宁波)下列四个数中，比0小的数是 ( )
A． B． C． D．
3.（2009，台州）如图所示，数轴上表示的对应点分别为C、B，点C是
AB的中点，则点A表示的数是 ( )
A． B．
C． D．
(第3题)
4. (2009,江苏省)如图，数轴上两点分别对应实数，则下列结论正确的是
( )
A． B．
C． D．
5.设，，，，则按由小到大的顺序排列正确的是 ( )
A． B．
C． D．
6.已知0＜x＜1，那么在x，，，x2
中最大的是 （ ）
A．x B． C． D．x2
7.估算在____．
8.若0≤x≤1,则．
9.与是接近的整数是________．
10.实数a在数轴上的位置如图1所示，则 ．
11.如果 ( http: / / www. / )＝5, ( http: / / www. / )＝3，比较大小：
( http: / / www. / )_______ ( http: / / www. / )
拓展思维
已知实数a满足
求
的 值．
第四节 用计算器开平(立)方
学习目标
1.会用计算器求一个数的平方根和立方根．
2.体会和感受用计算器开方运算的优越性和使用计算器的程序化思想．
课前预习方案
自主学习
用计算器比较大小：；
； ．
知识链接
1.用计算器进行有理数运算的方法．
2.平方根的意义．
3.立方根的意义．
课堂学习方案
知识结构
1.会用计算器求一个数的平方根．
2.会用计算器求一个数的立方根．
3.用计算器进行开方运算时，一般是按从左到右依次输入，但遇到被开方数是分数时，要将其加上括号；遇到被开方数是负数时，要将“－”加上括号．
典型例题
例：（1）任意找一个你认为很大的正数，
利用计算器对它进行开平方运算，
对所得的结果再进行开平方运算……
随着开方次数的增加，你发现了什么？
（2）改用另一个小于1的正数试一试，
看看是否仍有类似的规律．
思路分析：通过计算器的操作，提高了同学们的动手操作能力，同时也培养了同学们分析问题的能力．
解：无论被开方数是大于1还是小于1的正数，按要求用计算器算出的最终结果都是1．
限时课堂训练
基本练习
1.利用计算器求下列各式的值：
（结果保留4个有效数字）
（1） （2）
（3） （4）
2.任意给定一个负数，利用计算器不断进行
开立方运算，随着开立方次数增加，结果
越来越趋向 （ ）
A.0 B.1 C.－1 D.无法确定
3.如图，若数轴上的点A、B、C、D，分别表
示数－1,0，2,3，则表示的点应
在线段 （ ）
A．AB之间 B. BC之间
C. CD之间 D. BD之间
拓展思维
已知按一定规律排列的一组数：1，，
．请你从中选取若干个数设计一种方案，使它们的和大于3．
第五节 实数的运算
第一课时 二次根式
学习目标
1.使学生了解有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
2.掌握二次根式和最简二次根式的概念．
3.会熟练的进行二次根式的化简及乘法和除法的一般运算．
课前预习方案
自主学习
1.计算：，．
2.在，，中最简二次根式是
________．
3.,.
知识链接
1.有理数的运算法则和运算律；
1 加法交换律； ②加法结合律；
③ 乘法交换律； ④乘法分配律．
2.平方根的定义．
3.立方根的定义．
课堂学习方案
知识结构
1.二次根式的定义：一般地，把形如的式子叫做二次根式．
须注意的要点：①“a≥0”是定义中的一个重要组成部分，不可省略；②a可以为数也可为代数式；③二次根式有意义的条件 是：a≥0．
2.二次根式的基本性质：
①；
②；
③
4.最简二次根式的概念：
(1)被开方数中的因数是整数，因式是整式；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因式或因数；我们把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
5.二次根式的化简的基本步骤：
一观察，二变形，三开方．
6.两个重要性质公式：
积的算术平方根与商的算术平方根：
；
．
典型例题
例1.把下列各式化成最简二次根式：
(1)； (2) 4； (3)
思路分析：化简时，往往需要把被开方数分解因式或分解因数，把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外．
解: (1)==2；
(2) 4=4=
===2； (3) ==3a．
例2.已知a+b=-3，ab=2．计算+的值．
解：+=
==-．
我们知道，当a≥0时，≥0，所以≥0，≥0，其和必然不小于零，而题中结果却是负数，说明计算过程有错误，请你指出错在哪一步，错的原因是什么，正确解法又该怎样？
点拨：解决这类题应注意挖掘题目中的隐含条件，题目中错解的原因就在于没有根据实数的运算法则分析清楚字母a，b的取值均为负，而造成了解题失误，如果题目中确实无法搞清字母的符号，那么就应该分类讨论，不能想当然．
解：题目错在第一步：≠
正确的解法是：因为a+b=-3，ab=2，所以a<0，b<0，
+=+
=+
=--
=-·=．
限时课堂训练
基本练习
1.在中字母x的取值范围( )
A．x≥3 B.x>3 C.x<3 D.x≤3
2.下列根式中，最简二次根式的是( )
A. B.
C. D.
3.化简的结果是 ( )
A. B. C. D.
4.长方形长为，宽为，则面
积为 cm2．
5.计算=___________．
6.计算×÷=_________．
7.已知一个自然数的算术平方根为a，则比
这个自然数小5的数是_________．
8.已知直角三角形两直角边x,y的长满足
，则第三边的
长度为____________.
9.化简得_____________．
拓展思维
用长为3cm，宽为2.5cm的矩形纸牌30张摆成一个正方形，你怎样摆，试着摆一下．拓展：请同学们把纸牌的数量改变，如120张，又该怎样摆呢？
第二课时 同类二次根式
学习目标
1.掌握同类二次根式的概念．
2.会熟练的进行二次根式的加减运算及混合运算．
3.体会类比的数学思想在数学中的应用．
课前预习方案
自主学习
1.计算：．
2.在，，中同类二次根式是
________．
3.计算：.
知识链接
1.实数的运算法则、运算律和乘法公式:
1 加法交换律； ②加法结合律；
③ 乘法交换律； ④乘法分配律．
乘法公式：平方差公式，完全平方公式．
2.最简二次根式的化简．
课堂学习方案
知识结构
1.同类二次根式的概念：几个二次根式化为
最简二次根式后，如果被开方数相同，那
么这几个二次根式叫做同类二次根式．
2.判断是同类二次根式的方法：定义法．
3.二次根式的加减运算：
一般步骤：⑴将每个二次根式化简 ⑵找出同类二次根式 ⑶合并同类二次根式．
4.二次根式的混合运算：
⑴运算顺序：同实数先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；
⑵运算律、运算法则、乘法公式同样适用．
典型例题
例1.判断下列各式哪些是同类二次根式：
．
思路分析：将每个根式应先化为最简二次根式，再依据定义进行判断．
解：因为==2；
；
；
，
所以
．
例2.计算：
⑴；
(2)
点拨：解决此类题能用公式时就利用公式，可使运算简便．
解：⑴
=
=
=4．
⑵
=
==9
例3.①=．
验证：=
=
②3=．
验证：3=
=．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．
点拨：解决阅读题的关键是看懂题目所给的阅读材料，此题属类比型总计题，用题目中所给的信息验证所给的问题，要通过题目中每一步变形的情况，类比出自己进行验证时所采取的措施．联系本题，第一步，先把根号外的因式平方后移到根号内；第二步，在被开方数的分子上配上一个常数，进行分解变形；第三步，整理结果．
解：（1）4=
（2）反映的规律：
n=
证明：
n=
=
=
限时课堂训练
基本练习
1.计算下列各式：
⑴
⑵
⑶
拓展思维
在一节数学探究课上，张老师出示了下列命题：
已知正数a和b，①若a+b=2，则有≤1；②若a+b=3，则有≤；
③若a+b=6，则有≤3．
读完上述三个命题后，老师告诉同学们上述命题均为真命题．
试猜想，若a+b=7，则≤________．
若a+b=n
同课章节目录
- 第十二章 分式和分式方程
- 12.1 分式
- 12.2 分式的乘除
- 12.3 分式的加减
- 12.4 分式方程
- 12.5 分式方程的应用
- 第十三章 全等三角形
- 13.1 命题与证明
- 13.2 全等图形
- 13.3 全等三角形的判定
- 13.4 三角形的尺规作图
- 第十四章 实数
- 14.1 平方根
- 14.2 立方根
- 14.3 实数
- 14.4 近似数
- 14.5 用计算器求平方根与立方根
- 第十五章 二次根式
- 15.1 二次根式
- 15.2 二次根式的乘除
- 15.3 二次根式的加减
- 15.4 二次根式的混合
- 第十六章 轴对称和中心对称
- 16.1 轴对称
- 16.2 线段的垂直平分
- 16.3 角的平分线
- 16.4 中心对称图形
- 16.5 利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案
- 第十七章 特殊三角形
- 17.1 等腰三角形
- 17.2 直角三角形
- 17.3 勾股定理
- 17.4 直角三角形全等的判定
- 17.5 反证法