1．1 任意角和弧度制（一）
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课 题：1．1 任意角和弧度制（一）
教学目的：
1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
2. 掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法
3．体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.教学难点：终边相同的角的表示.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法. 树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念. 教学方法方法可以选为讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握. 通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.?
教学过程：
一、复习引入：
1．复习：初中是如何定义角的？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形
这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”
2．生活中很多实例会不在改范围
体操运动员转体720 ，跳水运动员向内、向外转体1080
经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？
这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（运动）
二、讲解新课：
1．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”
⑵．“正角”与“负角”“0角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角或 可以简记成
⑶意义
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了
1 角有正负之分 如：=210 =150 =660
2 角可以任意大
实例：体操动作：旋转2周（360×2=720） 3周（360×3=1080）
3 还有零角 一条射线，没有旋转
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．
2．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，300、60是第Ⅳ象限角，585、1180是第Ⅲ象限角，2000是第Ⅱ象限角等
3．终边相同的角
⑴观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同
⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与个周角的和：
390=30+360
330=30360
30=30+0×360
1470=30+4×360
1770=305×360
⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：
即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和
⑷注意以下四点：
(1)
(2) 是任意角；
(3)与之间是“+”号，
如-30°，应看成+(-30°)；
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
三、讲解范例：
例1 在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角
解：⑴∵-120 =-360 +240 ，
∴240 的角与-140 的角终边相同，它是第三象限角．
⑵∵640 =360 +280 ，
∴280 的角与640 的角终边相同，它是第四象限角．
⑶∵-950 12’=-3360 +129 48’，
∴129 48’的角与-950 12’的角终边相同，它是第三象限角．
例2写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在间的角写出来：
解：(1)
S中在-360°～720间的角是
-1×360°+60°=-280°；
0×360°+60°=60°；
1×360°+60°=420°．
(2)
S中在-360°～720间的角是
0×360°-21°=-21°；
1×360°-21°=339°；
2×360°-21°=699°．
(3)
S中在-360°～720°间的角是
-2×360°+363 14’=-356 46’；
-1×360°+363 14’=3 14’；
0×360°+363 14’=363 14’．
四、课堂练习：
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？0°～90°的角是锐角吗？
(答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90°的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；0°～90°的角可能是零角，故它也不一定是锐角．)
总结有关角的集合表示．
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，
0°～90°的角：{θ|0°≤θ≤90°}；
小于90°角：{θ|θ＜90°}．
2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
(1)420°，(2)-75°，(3)855°，(4)-510°．
(答：(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角)
五、小结 本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90°的角”“第一象限角”“0°到90°的角”和“锐角”的不同意义.?
六、课后作业：
1.下列命题中正确的是( )
A.终边在y轴非负半轴上的角是直角
B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角
D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同
2.与120°角终边相同的角是( )
A.－600°＋k·360°，ｋ∈Ｚ B.－120°＋k·360°，ｋ∈Ｚ
C.120°＋(2k＋1）·180°，ｋ∈Ｚ D.660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ
3.若角α与β终边相同，则一定有( )
A.α＋β＝180° B.α＋β＝0°
C.α－β＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ D.α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z
4.与1840°终边相同的最小正角为 ，与－1840°终边相同的最小正角是 .
5.今天是星期一，100天后的那一天是星期 ，100天前的那一天是星期 .
6.钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度).
7.在直角坐标系中，作出下列各角
(1)360° (2)720° (3)1080° (4)1440°
8.已知Ａ＝｛锐角｝，B＝｛0°到90°的角｝，C＝｛第一象限角｝，D＝｛小于90°的角｝．
求Ａ∩Ｂ，Ａ∪Ｃ，Ｃ∩Ｄ，Ａ∪Ｄ.
9.将下列各角表示为α＋ｋ·360°（ｋ∈Ζ，0°≤α＜360°）的形式，并判断角在第几象限.
(1)560°24′ （2）－560°24′ （3）2903°15′
(4)－2903°15′ （5）3900° （6）－3900°
参考答案：1.D 2.A 3.C 4.40° 320° 5.三 六 6.－120°－1440°
7.
8.A∩B＝A A∪C＝C
C∩D＝｛α｜k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z，k≤0＝
A∪D＝D
9.(1)∵560°24′＝200°24′＋360°
∴560°24′与200°24′终边相同在第三象限
(2)∵－560°24′＝159°36′＋(－2)·360°
∴－560°24′与159°36′终边相同在第二象限
(3)∵2903°15′＝23°15′＋8·360°
∴2903°15′与23°15′终边相同在第一象限
(4)∵－2903°15′＝336°45′＋(－9)·360°
∴－2903°15′与336°45′终边相同在第四象限
(5)∵3900°＝300°＋10·360°
∴3900°与300°终边相同在第四象限
(6)∵－3900°＝60°＋(－11)·360°
∴－3900°与60°终边相同在第一象限
七、板书设计（略）
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课 题：1．1 任意角和弧度制（一）
教学目的：
1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
2. 掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法
3．体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.教学难点：终边相同的角的表示.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法. 树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念. 教学方法方法可以选为讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握. 通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.?
教学过程：
一、复习引入：
1．复习：初中是如何定义角的？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形
这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”
2．生活中很多实例会不在改范围
体操运动员转体720 ，跳水运动员向内、向外转体1080
经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？
这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（运动）
二、讲解新课：
1．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”
⑵．“正角”与“负角”“0角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角或 可以简记成
⑶意义
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了
1 角有正负之分 如：=210 =150 =660
2 角可以任意大
实例：体操动作：旋转2周（360×2=720） 3周（360×3=1080）
3 还有零角 一条射线，没有旋转
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．
2．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，300、60是第Ⅳ象限角，585、1180是第Ⅲ象限角，2000是第Ⅱ象限角等
3．终边相同的角
⑴观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同
⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与个周角的和：
390=30+360
330=30360
30=30+0×360
1470=30+4×360
1770=305×360
⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：
即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和
⑷注意以下四点：
(1)
(2) 是任意角；
(3)与之间是“+”号，
如-30°，应看成+(-30°)；
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
三、讲解范例：
例1 在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角
解：⑴∵-120 =-360 +240 ，
∴240 的角与-140 的角终边相同，它是第三象限角．
⑵∵640 =360 +280 ，
∴280 的角与640 的角终边相同，它是第四象限角．
⑶∵-950 12’=-3360 +129 48’，
∴129 48’的角与-950 12’的角终边相同，它是第三象限角．
例2写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在间的角写出来：
解：(1)
S中在-360°～720间的角是
-1×360°+60°=-280°；
0×360°+60°=60°；
1×360°+60°=420°．
(2)
S中在-360°～720间的角是
0×360°-21°=-21°；
1×360°-21°=339°；
2×360°-21°=699°．
(3)
S中在-360°～720°间的角是
-2×360°+363 14’=-356 46’；
-1×360°+363 14’=3 14’；
0×360°+363 14’=363 14’．
四、课堂练习：
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？0°～90°的角是锐角吗？
(答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90°的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；0°～90°的角可能是零角，故它也不一定是锐角．)
总结有关角的集合表示．
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，
0°～90°的角：{θ|0°≤θ≤90°}；
小于90°角：{θ|θ＜90°}．
2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
(1)420°，(2)-75°，(3)855°，(4)-510°．
(答：(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角)
五、小结 本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90°的角”“第一象限角”“0°到90°的角”和“锐角”的不同意义.?
六、课后作业：
1.下列命题中正确的是( )
A.终边在y轴非负半轴上的角是直角
B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角
D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同
2.与120°角终边相同的角是( )
A.－600°＋k·360°，ｋ∈Ｚ B.－120°＋k·360°，ｋ∈Ｚ
C.120°＋(2k＋1）·180°，ｋ∈Ｚ D.660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ
3.若角α与β终边相同，则一定有( )
A.α＋β＝180° B.α＋β＝0°
C.α－β＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ D.α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z
4.与1840°终边相同的最小正角为 ，与－1840°终边相同的最小正角是 .
5.今天是星期一，100天后的那一天是星期 ，100天前的那一天是星期 .
6.钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度).
7.在直角坐标系中，作出下列各角
(1)360° (2)720° (3)1080° (4)1440°
8.已知Ａ＝｛锐角｝，B＝｛0°到90°的角｝，C＝｛第一象限角｝，D＝｛小于90°的角｝．
求Ａ∩Ｂ，Ａ∪Ｃ，Ｃ∩Ｄ，Ａ∪Ｄ.
9.将下列各角表示为α＋ｋ·360°（ｋ∈Ζ，0°≤α＜360°）的形式，并判断角在第几象限.
(1)560°24′ （2）－560°24′ （3）2903°15′
(4)－2903°15′ （5）3900° （6）－3900°
参考答案：1.D 2.A 3.C 4.40° 320° 5.三 六 6.－120°－1440°
7.
8.A∩B＝A A∪C＝C
C∩D＝｛α｜k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z，k≤0＝
A∪D＝D
9.(1)∵560°24′＝200°24′＋360°
∴560°24′与200°24′终边相同在第三象限
(2)∵－560°24′＝159°36′＋(－2)·360°
∴－560°24′与159°36′终边相同在第二象限
(3)∵2903°15′＝23°15′＋8·360°
∴2903°15′与23°15′终边相同在第一象限
(4)∵－2903°15′＝336°45′＋(－9)·360°
∴－2903°15′与336°45′终边相同在第四象限
(5)∵3900°＝300°＋10·360°
∴3900°与300°终边相同在第四象限
(6)∵－3900°＝60°＋(－11)·360°
∴－3900°与60°终边相同在第一象限
七、板书设计（略）
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