1．2 任意角的三角函数（二）
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课 题：1．2 任意角的三角函数（二）
教学目的：
1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.?
2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.?
教学重点：三角函数在各象限内的符号,终边相同的角的同一三角函数值相等
教学难点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）
则P与原点的距离
2.比值叫做的正弦 记作：
比值叫做的余弦 记作：
比值叫做的正切 记作：
比值叫做的余切 记作：
比值叫做的正割 记作：
比值叫做的余割 记作：
以上六种函数，统称为三角函数.
3.突出探究的几个问题：
①角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等
②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用
③三角函数是以“比值”为函数值的函数
④而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.
⑤定义域：
R
R
4.注意:
(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.?
(2)OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.
(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样.
(4)定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与的终边位置无关.?
(5)比值只与角的大小有关.
二、讲解新课：
1. 三角函数在各象限内的符号规律：
第一象限：
∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0
第二象限：
∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0
第三象限：
∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0
第四象限：
∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0
记忆法则：
第一象限全为正,二正三切四余弦.
为正 全正
为正 为正
2. 终边相同的角的同一三角函数值相等
例如390°和-330°都与30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即
sin390°=sin30° cos390°=cos30°
sin(-330°)=sin30° cos(-330°)=cos30°
诱导公式一（其中）: 用弧度制可写成
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．
三、讲解范例：
例1 确定下列三角函数值的符号?
(1)cos250° （2） （3）tan（－672°） (4)
解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0
(2)∵是第四象限角，∴
(3)tan（－672°）＝tan（48°－2×360°）＝tan48°
而48°是第一象限角，∴tan（－672°）＞0?
(4)
而是第四象限角，∴.?
例2 求证角θ为第三象限角的充分必要条件是
证明：必要性：∵θ是第三象限角，?
∴
充分性：∵sinθ＜0，
∴θ是第三或第四象限角或终边在ｙ轴的非正半轴上
∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角.?
∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立.?
∴θ为第三象限角.?
例3 求下列三角函数的值
(1)sin1480°10′ (2) （3）.?
解:(1)sin1480°10′＝sin（40°10′＋4×360°）
＝Sin40°10′＝0.6451?
(2)
(3)?
例4 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tg4950°．
解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)
+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tg(360°+135°)．
=sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tg135°
=-1=0
四、课堂练习：
1.确定下列各式的符号
(1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan5
分析:由角所在象限分别判断两个三角函数值的符号,再确定各式的符号.
解(1)∵100°是第二象限的角,240°是第三象限的角.
∴sin100°＞0,cos240°＜0,于是有sin100°·cos240°＜0.
(2)∵∴5是第四象限的角
∴sin5＜0,tan5＜0,于是有sin5+tan5＜0.
2. .x取什么值时,有意义
分析：因为正弦、余弦函数的定义域为R，故只要考虑21世纪教育网的定义域和分式的分母不能为零.
解:由题意得解得:
即:
所以,当时，有意义.
3．若三角形的两内角，满足sincos0，则此三角形必为……（B）
A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上三种情况都可能
4．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（B）
A：sin+cos0 B：tansin0
C：coscot0 D：cotcsc0
5．已知是第三象限角且，问是第几象限角？
解：∵
∴ 则是第二或第四象限角
又∵ 则是第二或第三象限角
∴必为第二象限角
6．已知，则为第几象限角？
解： 由 ∴sin20
∴2k22k+ ∴kk+
∴为第一或第三象限角
五、小结 本节课我们重点讨论了两个内容，一是三角函数在各象限内的符号，二是一组公式，两者的作用分别是：前者确定函数值的符号，后者将任意角的三角函数化为0°到360°角的三角函数，这两个内容是我们日后学习的基础.
六、课后作业：
1. 确定下列三角函数值符号：
2.化简.
解法一：(定义法)
设点P(x,y)是角α终边上的一点，且|OP|=r,则将sinα=,cosα=,tanα=,cotα=代入得：
原式=
解法二：(化弦法)
原式=
解法三：(换元法)
设cos2α=a,则sin2α=1-a,tan2α=,代入得
原式
评注：“切化弦”与“弦化切”是三角变形的基本方法，而通过定义、换元方法，使得三角式的化简问题转化为代数式的化简问题，则体现了数学中的化归思想.
七、板书设计（略）
八、课后记：
已知sin3α+cos3α=1,求下列各式的值：
(1)sinα+cosα；(2)sin4α+cos4α
分析：对已知式的左边利用代数公式进行变形，使原式转化为关于sinα+cosα的方程，然后求解.
(1)解法一：∵(sinα+cosα)3
=sin3α+3sin2αcosα+3sinαcos2α+cos3α
=(sin3α+cos3α)+3(1-cos2α)cosα+3(1-sin2α)sinα
=1+3cosα-3cos3α+3sinα-3sin3α
=1+3(sinα+cosα)-3(sin3α+cos3α)
=3(sinα+cosα)-2.
∴(sinα+cosα)3-3(sinα+cosα)+2=0.
令sinα+cosα=t,则t3-3t+2=0(t-1)2(t+2)=0.
∴t=1或t=-2
即sinα+cosα=1或sinα+cosα=-2(舍去).
解法二：∵sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α-sinαcosα+cos2α)=(sinα+cosα)(1-sinαcosα).
∴(sinα+cosα)(1-sinαcosα)=1.
注意到sinαcosα可用sinα+cosα表示，并令sinα+cosα=t,则sinαcosα=,故上式化为t(1-)=1t3-3t+2=0.(下同解法一).
(2)解：∵sinα+cosα=1，∴(sinα+cosα)2=1sinαcosα=0.
故sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-2sin2αcos2α=1.
评注：对于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα三个式子，只要已知其中一个的值，都可计算另外两个的值.
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课 题：1．2 任意角的三角函数（二）
教学目的：
1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.?
2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.?
教学重点：三角函数在各象限内的符号,终边相同的角的同一三角函数值相等
教学难点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）
则P与原点的距离
2.比值叫做的正弦 记作：
比值叫做的余弦 记作：
比值叫做的正切 记作：
比值叫做的余切 记作：
比值叫做的正割 记作：
比值叫做的余割 记作：
以上六种函数，统称为三角函数.
3.突出探究的几个问题：
①角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等
②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用
③三角函数是以“比值”为函数值的函数
④而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.
⑤定义域：
R
R
4.注意:
(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.?
(2)OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.
(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样.
(4)定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与的终边位置无关.?
(5)比值只与角的大小有关.
二、讲解新课：
1. 三角函数在各象限内的符号规律：
第一象限：
∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0
第二象限：
∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0
第三象限：
∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0
第四象限：
∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0
记忆法则：
第一象限全为正,二正三切四余弦.
为正 全正
为正 为正
2. 终边相同的角的同一三角函数值相等
例如390°和-330°都与30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即
sin390°=sin30° cos390°=cos30°
sin(-330°)=sin30° cos(-330°)=cos30°
诱导公式一（其中）: 用弧度制可写成
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．
三、讲解范例：
例1 确定下列三角函数值的符号?
(1)cos250° （2） （3）tan（－672°） (4)
解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0
(2)∵是第四象限角，∴
(3)tan（－672°）＝tan（48°－2×360°）＝tan48°
而48°是第一象限角，∴tan（－672°）＞0?
(4)
而是第四象限角，∴.?
例2 求证角θ为第三象限角的充分必要条件是
证明：必要性：∵θ是第三象限角，?
∴
充分性：∵sinθ＜0，
∴θ是第三或第四象限角或终边在ｙ轴的非正半轴上
∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角.?
∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立.?
∴θ为第三象限角.?
例3 求下列三角函数的值
(1)sin1480°10′ (2) （3）.?
解:(1)sin1480°10′＝sin（40°10′＋4×360°）
＝Sin40°10′＝0.6451?
(2)
(3)?
例4 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tg4950°．
解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)
+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tg(360°+135°)．
=sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tg135°
=-1=0
四、课堂练习：
1.确定下列各式的符号
(1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan5
分析:由角所在象限分别判断两个三角函数值的符号,再确定各式的符号.
解(1)∵100°是第二象限的角,240°是第三象限的角.
∴sin100°＞0,cos240°＜0,于是有sin100°·cos240°＜0.
(2)∵∴5是第四象限的角
∴sin5＜0,tan5＜0,于是有sin5+tan5＜0.
2. .x取什么值时,有意义
分析：因为正弦、余弦函数的定义域为R，故只要考虑21世纪教育网的定义域和分式的分母不能为零.
解:由题意得解得:
即:
所以,当时，有意义.
3．若三角形的两内角，满足sincos0，则此三角形必为……（B）
A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上三种情况都可能
4．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（B）
A：sin+cos0 B：tansin0
C：coscot0 D：cotcsc0
5．已知是第三象限角且，问是第几象限角？
解：∵
∴ 则是第二或第四象限角
又∵ 则是第二或第三象限角
∴必为第二象限角
6．已知，则为第几象限角？
解： 由 ∴sin20
∴2k22k+ ∴kk+
∴为第一或第三象限角
五、小结 本节课我们重点讨论了两个内容，一是三角函数在各象限内的符号，二是一组公式，两者的作用分别是：前者确定函数值的符号，后者将任意角的三角函数化为0°到360°角的三角函数，这两个内容是我们日后学习的基础.
六、课后作业：
1. 确定下列三角函数值符号：
2.化简.
解法一：(定义法)
设点P(x,y)是角α终边上的一点，且|OP|=r,则将sinα=,cosα=,tanα=,cotα=代入得：
原式=
解法二：(化弦法)
原式=
解法三：(换元法)
设cos2α=a,则sin2α=1-a,tan2α=,代入得
原式
评注：“切化弦”与“弦化切”是三角变形的基本方法，而通过定义、换元方法，使得三角式的化简问题转化为代数式的化简问题，则体现了数学中的化归思想.
七、板书设计（略）
八、课后记：
已知sin3α+cos3α=1,求下列各式的值：
(1)sinα+cosα；(2)sin4α+cos4α
分析：对已知式的左边利用代数公式进行变形，使原式转化为关于sinα+cosα的方程，然后求解.
(1)解法一：∵(sinα+cosα)3
=sin3α+3sin2αcosα+3sinαcos2α+cos3α
=(sin3α+cos3α)+3(1-cos2α)cosα+3(1-sin2α)sinα
=1+3cosα-3cos3α+3sinα-3sin3α
=1+3(sinα+cosα)-3(sin3α+cos3α)
=3(sinα+cosα)-2.
∴(sinα+cosα)3-3(sinα+cosα)+2=0.
令sinα+cosα=t,则t3-3t+2=0(t-1)2(t+2)=0.
∴t=1或t=-2
即sinα+cosα=1或sinα+cosα=-2(舍去).
解法二：∵sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α-sinαcosα+cos2α)=(sinα+cosα)(1-sinαcosα).
∴(sinα+cosα)(1-sinαcosα)=1.
注意到sinαcosα可用sinα+cosα表示，并令sinα+cosα=t,则sinαcosα=,故上式化为t(1-)=1t3-3t+2=0.(下同解法一).
(2)解：∵sinα+cosα=1，∴(sinα+cosα)2=1sinαcosα=0.
故sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-2sin2αcos2α=1.
评注：对于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα三个式子，只要已知其中一个的值，都可计算另外两个的值.
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