1．2 任意角的三角函数（四）

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课 题：1．2 任意角的三角函数（四）
教学目的：
⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；
2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；
3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．
教学重点：同角三角函数的基本关系
教学难点：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；(2)三角函数式的化简；(3)证明三角恒等式．
授课类型：新授课
课时安排：2课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
同角三角函数的基本关系公式:
1“同角”的概念与角的表达形式无关，如：
2上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立
3由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号
这些关系式还可以如图样加强形象记忆：?
①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系)
②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系)?
③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系)?
二、讲解范例：
例1化简：
解：原式
例2 已知
解：
（注意象限、符号）
例3求证：
分析：思路1．把左边分子分母同乘以，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx）先满足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6：由乘积式转化为比例式；思路7：用综合法．
证法1：左边=右边，
∴原等式成立
证法2：左边=＝
＝右边
证法3：
∵，
∴
证法4：∵cosx≠0，∴1+sinx≠0，∴≠0，
∴＝＝＝1，
∴．
∴左边=右边 ∴原等式成立．
证法6：∵＝＝＝
∴．
证法7：∵， ∴ EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
例4已知方程的两根分别是，
求
解：
（化弦法）
例5已知，
求
解：
例6消去式子中的
解：由
由
（平方消去法）
例7已知
解：由题设： ①
②
①/②： ③
①+③：
三、、课堂练习：
1．已知cot=2，求α的其余三个三角函数值．
分析：由于cot=2＞0，因此分在第Ⅰ、III象限时，讨论．
解：∵cot=2＞0 ∴α在第Ⅰ、III象限
当在第Ⅰ象限时，
，
∴， ∴
当在第II象限时，
2．已知：且，试用定义求的其余三个三角函数值．
分析：题目要用定义求三角函数值，则解决问题的关键应找到终边的所在象限．
解：∵，而
∴在第二象限
设点P(x，y)为角终边上任一点
由，可设，则．
∴
，，．
3．已知角的终边在直线y=3x上，求sin和cos的值．
解：由题意可知
∵角的终边在直线y=3x上
∴设P(a，3a)(a≠0)为角终边上的任一点．
当在第一象限时，a＞0
∴
当在第三象限，
∴
4．已知 求cot的值
分析：由题意可知cos＞0，∴分在Ⅰ、Ⅳ象限讨论．利用平方关系可求正弦值，利用商的关系，即可求余切值．
解：∵ m＞1 ∴，∴在第I、IV象限
当α在第I象限时
∴
当在第IV象限时，
5．已知，求tan和sin的值．
分析：由已知条件可知cos的值可能正可能负,
∴要分别讨论分子为正、为负的情形．
解：(1)若│m│＞│n│＞0
则cos＞0 ∴在Ⅰ、Ⅳ象限
当在第Ⅰ象限时
当在第Ⅳ象限时
(2)若0＜│m│＜│n│时，则cos＜0 ∴在第II、III象限
当在第Ⅱ象限时
当在第III象限时
(3)若n=0、m≠0时，tan =0，sin =0
(4) 若m=0、n≠0时，tan =0，sin =0
说明：已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值时要注意：
(1) 角所在的象限；
(2) 用平方关系求值时，所求三角函数的符号由角所在的象限决定；
(3)若题设中已知角的某个三角函数值是用字母给出的，则求其他函数值时，要对该字母分类讨论．
6．已知tan =3，求下列各式的值
分析：思路1，可以由tan =3求出sin、cos的值，代入求解即可；
思路2，可以将要求值的表达式利用同角三角函数关系，变形为含tan的表达式．
解：(1)原式分子分母同除以得，
原式=
(2)原式的分子分母同除以得：
原式=
(3) 用“1”的代换
原式=
(4)原式=
(5) ＝＝
＝
∴
(6)同(5)
∴
(7)
(8)=
=
==
===
说明：数字“1”的代换，表面上看增加了运算，但同时它又可以将原表达式整体结构发生改变，给解决问题带来方面，故解题时，应给于足够的认识．
7 化简下列各式
1．
2．
3．
分析：在化简前应先复习“”以及绝对值的概念．
解：（１）原式＝
＝
＝
（２）原式＝
＝
＝
说明：在三角式的化简或恒等变形中，正确处理算术根和绝对值问题是个难点．这是由于算术根和绝对值的概念在初中代数阶段是一个不易理解和掌握的基本概念，现在又以三角式的形式出现，就更增加了它的复杂性和抽象性，所以形成新的难点．为处理好这个问题，要先复习算术根和绝对值的定义．
8．求证：
证明：可先证： （※）
右式＝＝
＝＝＝左式
∴（※）式成立，即原等式成立．
9．已知
证：由题设：
四、小结 几种技巧
五、课后作业：
六、板书设计（略）
七、课后记：
1已知sinα＋cosα＝，且0＜α＜π，则tanα的值为( )
2若sin4θ＋cos4θ＝1，则sinθ＋cosθ的值为( )
A0 B1 C－1 D±1
3若tanθ＋cotθ＝2，则sinθ＋cosθ的值为( )
A0 B C－ D±
4若＝10，则tanα的值为
5若tanα＋cotα=2，则sin4α＋cos4α＝
6若tan2α＋cot2α＝2，则sinαcosα＝
7求证
8已知tanθ＋sinθ＝ｍ，tanθ－sinθ＝ｎ
求证：(1)cosθ＝
（2）
9已知tanθ＋cotθ＝2，求sin3θ－cos3θ的值
参考答案：1A 2D 3D 4－2 5 6±
7(略) 8略 90
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