人教版七年级数学下册第七章三角形(全章）
文档属性
| 名称 | 人教版七年级数学下册第七章三角形(全章） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 508.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-12-24 22:49:00 | ||
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文档简介
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第7章 三角形 ★ 7.1 与三角形有关的线段
—— 7.1.1 三角形的边（第1课时）
年级：七年级 科目：数学 执笔人： 审核：【 】
课型：新授课 授课班级：七年级【 】班 学生姓名：【 】
学习目标：
结合具体实例，在认识三角形概念及其基本要素的基础上，学会三角形的表示方法，掌握三角形三边之间的关系；通过观察、操作、交流和反思，获得必需的数学知识，发展空间概念，推理能力和有条理的表达能力。
学习重点：
三角形三边关系的探究与归纳
学习难点：
三角形三边关系的应用
学法指导：
在教师的指导下，学生自己探索和归纳学习知识，加深对所学内容的理解，进一步体会数学知识来源于实际生产和生活。
学习过程：
一、创设情景，新知导入：
三角形是常见的几何图形之一，从自然界景观到微型模型，从建筑物到艺术作品，在日常生活中到处都能找到三角形的影子，你能举出这样的一些实例吗？
二、探究学习
问题一：观察下图：
说说看，上面的三种图形是三角形吗？
如图1所示，如果它是三角形，你能用文字叙述出什么是三角形吗？
A
C b
B C
a
（图1）
从三角形的定义中，我们应注意的是：
①三角形是由三条线段组成的。②此三条线段不共线。③此三条线段首尾顺次连接。④三角形是一个平面图形
问题二：如图一，“三角形”可以用符号“ ”表示。记作“ ”，读作“三角形ABC”。
例：说出图2有多少个三角形？并用符号去表示它们。（请根据注意三角形的定义）
P
E
F G
H
Q (图2)
问题三：三角形的形状、大小和位置由它的三个顶点确定。三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。如图1，“三角形ABC” 有 顶点，它们分别是顶点 ，顶点 ，顶点 。
问题四：组成三角形的三条线段叫做三角形的边。如图1，“三角形ABC”有 边，它们分别是线段 ，线段 ，线段 。有时候，三角形的三边我们也可以用a、b、c来表示。一般地，顶点A所对的边记作a，顶点B所对的边记作b，顶点C所对的边记作C。
问题五：三角形相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。如图1，“三角形ABC”有 内角，它们分别是 ， ， 。
综合练习：如图3
D
①图中有几个三角形，用符号表示这些三角形和各自的边
A
E
②以AB为边的三角形有哪些？
B C
(图3)
③以E为顶点的三角形有哪些？ ④以∠D为角的三角形有哪些？
问题六：按照三角形内角的大小，我们可以将三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。如下图4是 ，如下图5是 ，如下图6是 。
A A A
C
B C B B C
图4 图5 图6
问题七：根据问题六，我们想一想，如果按照边的关系，我们可以将三角形分为 三角形， 三角形， 三角形。如下图7，下图8，下图9分别是什么三角形？
A A A
B C B C B C图7 图8 图9
（图7是 三角形） （图8是 三角形） （图9是 三角形）
在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形。
★根据问题七，三角形按边相等关系分类如下：
不等边三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
三角形 等腰三角形
等边三角形
问题八：任意画一个三角形，如图10，假设一只小虫从点B出发，沿三角形的边爬到点C，它有几条线路可以选择？各条线路的长一样吗？
A
B C
（ 图10 ）
对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点（例如B、C）看成定点，由“两点的所有连线
中，线段最短”，可以得到：
AB＋AC﹥BC A
同样，若把顶点A、C看作定点，可以得到：
AB＋BC﹥AC
若把顶点A、B看作定点，可以得到：
BC＋AC﹥AB
一般地，我们有： B C
三角形两边之和大于第三边。
问题九：【动手操作】请同学们根据下图11，图12，图13，用直尺量出三个三角形的三边长度，并填入横线上。
A b a b a b
C c
C
(图11) （图12） （图13）
图11： 图12： 图13：
a＝ a＝ a＝
b＝ b＝ b＝
c＝ c＝ c＝
★计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论
【自我学习】：请同学们看教材P64，看例题，看解题过程，有看不懂的地方向老师提出疑问。
三、盘点收获
本节课我们学习了三角形的概念及基本要素，重点研究了三角形的三边关系。
（1）从三角形三边关系中，我们可知三角形的三边相互制约——任意两边之和大于第三边，且任意两边之差小于第三边。
（2）判断a、b、c三条线段能否组成一个三角形，应注意： a＋b＞c，b＋c＞a，a＋c＞b。三个条件缺一不可。或者是：当a最长，且有b＋c﹥a时，就能构成三角形。
四、达标检测
1、下列各组数字表示三条线段，其中可以组成三角形的是（ ）
A 12、4、6 B 3、4、5 C 4、15、6 D 2、5、7
2、三角形一边是5，一边是13，则第三边的取值范围是（ ）
A 5﹤x﹤13 B 8﹤x﹤18 C x﹥8 D x﹤18
3、⊿ABC的三边长分别为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形可能有的最大边长是（ ）
A 5 B 5 C 6 D 7
4、各边长均为整数，且三边均不相等的三角形的周长小于13，这样的三角形有( )
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
5、三角形两边分别为4和5，第三边为其中一边的2倍，则第三边长为 。
6、三角形的一边是5，另一边是8，周长恰好是5或8的倍数，则第三边长为 。
7、三角形中有两边长为7和2，第三边为奇数，则三角形周长为 。
8、有长为12、7、5、4的四根木棒，用其中三根组成三角形可有几种方法？为什么？
9、如图所示，小光从家到学校有两条路，一条是BAC，一条是BDEC，请问二者中哪一条较近，为什么？
A
D E
B C
10在⊿ABC中，AB﹦AC，AC边上的中线BD把⊿ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长。
A
D
B C
11已知⊿ABC的周长为48，最大边与最小边之差为14，另一边与最小边的和为25，求⊿ABC各边的长。
12、如图所示
①图中共有多少个三角形？并把它们写出来。
A
②线段AE是哪些三角形的边？
③∠B是哪些三角形的角？ B D E C
13、如图所示 C
①图中有多少个三角形，它们分别是哪些？
B
②⊿ADC的顶点分别是哪些？
F
∠C的对边有哪些？
A D E
5、教（学）后反思
第7章 三角形 ★ 7.1 与三角形有关的线段
—— 7.1.2 三角形的高、中线与角平分线（第2课时）
年级：七年级 科目：数学 执笔人： 审核：【 】
课型：新授课 授课班级：七年级【 】班 学生姓名：【 】
学习目标：
了解三角形的高、中线与角平分线，并能在具体的三角形中画出它们，通过观察、操作、想象、推理和交流的基础上，发展空间概念，推理能力和有条理的表达能力。
学习重点：
三角形的高、中线与角平分线的概念
学习难点：
准确画出三角形的高、中线与角平分线
学法指导：
在教师的指导下，学生自己探索和归纳学习知识，在动手操作中发现规律，掌握新知
学习过程：
一、创设情景，新知导入：
上一节课，我们认识了三角形及其基本要素：边、角、顶点，请同学们回忆一下，什么样的图形是三角形？三角形三条边之间有什么样的关系？
在前面，我们学习过“过一点画已知直线的垂线”，还能记得它的画法吗？在图一上操作一下 ，并与同桌交流一下自己的画法。 A
·
（图一）
B D C
（图二）
二、探究学习
问题一：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边的高，简称三角形的高。如图二所示。线段AD是BC边上的高。
用同样的方法，你能画出锐角△ABC（图三）的另两条边上的高吗？
注意：标明垂直的记号（ ）和垂足的字母。 A
如果用折纸的办法能等到它们吗？和同桌进行交流。
观察你的做法，想想这三条高之间有怎样的位置关系？
将你的结果与同桌进行交流。
锐角三角形的三条高 。
再进一步想：锐角三角形的三条高是在三角形的 B C
内部还是在外部？ D
锐角三角形的三条高都在 。 （图三）
★ 动手操作:画一个直角三角形。 A
画出直角三角形的三条高，观察它们有怎样的位置关系？
将你的结果与前后同桌进行交流。
直角三角形的三条高 。直角边AC边上的高 是，
直角边BC边上的高 是，斜边AB边上的高 是。 C B
★ 动手操作:画一个钝角三角形。
钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？将你的结果与同伴进行交流。
A
①钝角三角形的有 高，一条高在三角形的
（内部还是外部），另外的高在三角形的 （内部还是外部）。
②钝角三角形的高交于一点吗？ B C
③钝角三角形三条高所在的直线交于一点吗？如果相交于一点，它们相交于钝角三角形的内部还是外部？
归纳：三角形三条高的特性。
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量
高之间是否相交
高所在的直线是否相交
三条高所在的直线的交点的位置
问题二：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线。
如图四： A
在图四中，D是BC的中点，线段AD是△ABC的中线。
由定义可知：如果线段AD是△ABC的中线，那么有：
BD＝DC＝1/2BC
在一个三角形中，有几条中线呢？它们的位置关系又如何呢？请同学们画一画，议一议。（分别画锐角三角形，钝角三角形，直角三角形）
B D C
A （图四） A A
B C B C B C
（锐角三角形） （钝角三角形） （直角三角形）
通过以上作图，我们知道，一个三角形的中线共有 条，它们存在于三角形的 ，并且三角形的三条中线 于一点。我们把这一点叫做重心。
如果通过折纸的方法，能得到它们吗？你是怎么做的，和同伴进行交流。
问题三：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。
如图五： A
在图五中，如果AD是∠BAC的角平分线，那么有：
∠BAD＝∠DAC＝1/2∠BAC
在一个三角形中，有几个角平分线呢？它们的位置关系又如何呢？请同学们画一画，议一议。（分别画锐角三角形，钝角三角形，直角三角形）
B D C
A （图五） A A
（钝角三角形） （直角三角形）
（锐角三角形）
B C B C B C
通过以上作图，我们知道：一个三角形一共有 条角平分线，都在三角形的 ，它们 于一点。我们把这点叫做三角形的内心。
如果通过折纸的方法，能得到它们吗？你是怎么做的，和同伴进行交流。
观察下图，三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？ A
A
D
B D C B C
结论是： 。
三、盘点收获
本节课，我们主要探究了三角形的高、中线和角平分线。
三角形的高不一定都在三角形的内部：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形中，有两条高恰好是它的两条直角边；钝角三角形中，两锐角所对边上的高都在三角形的外部。三角形的三条高所在的直线相交于一点。三角形的高是线段。
三角形的中线、角平分线也都是线段；三角形的三条中线、三条角平分线都相交于一点，都在三角形的内部；这一点我们分别称之为重心和内心。
三角形的角平分线与角的平分线既有联系，也有区别，前者是线段，后者是射线。
四、达标检测
1、如图，有一块三角形的土地，需要把其分成4等份给四户农民耕种，只准分成三角形，你有多少种分法？（画出分解图形）
2、如图所示，⊿ABC中，∠BAC是钝角，完成下列作图。 A
①∠BAC的平分线AD
②AC边上的中线BE
B C
③AC边上的高BF
3、如图，若AB⊥CD，垂足是D，则CD是哪些三角形的高？若E是边BC的中点，则AE是哪个三角形的中线？
A
D
B E C
4、若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则如图（1）所示中以BC为公共边的“共边三角形”有（ ） A 2对 B 3对 C 4对 D 6对
A D
A Ⅱ
E
D Ⅰ O Ⅳ
Ⅲ
B C B C
图（1） 图（2）
5、如图（2）所示，有一个四边形牧场，被对角线分割成4个牧场，若草场中可放4只羊，草场中可放6只羊，草场中可放8只羊，则草场中可放（ ）
A 10只羊 B 11只羊 C 12只羊 D 13只羊
6、如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 不能确定
7、关于三角形的三条中线，下列说法中正确的是（ ）
A 必在三角形的内部 B 必在三角形的外部
C 必和三角形的一条边重合 D 以上皆有可能
8、如下图所示，已知⊿ABC，过点A画一条平分三角形面积的直线。
A
A
D
B C B E C
9、如图所示，D、E分别为⊿ABC的边AC、BC的中点，则下列说法中，不正确的是（ ）
A DE是⊿BDC的中线 B BD是⊿ABC的中线 C AD﹦DC，BE﹦EC D ∠C的对边是DE
10、在图（3）中，互不重叠的三角形共有4个，在图（4）中，互不重叠的三角形共有7个，在图（5）中，互不重叠的三角形共有10个，……则在第 n个图形中，互不重叠的三角形共有多少个？（用含n的式子表示）
图（3） 图（4） 图（5）
11、如图所示，在⊿ABC中，DE∥BC,EF∥AB，BE平分∠DBF交DF于点O，则EO是否是∠DEF的角平分线？请说明理由。
A
D E
O
B F C
5、教（后）学反思
第7章 三角形 ★ 7.1 与三角形有关的线段
—— 7.1.3 三角形的稳定性（第3课时）
年级：七年级 科目：数学 执笔人： 审核：【 】
课型：新授课 授课班级：七年级【 】班 学生姓名：【 】
学习目标：
通过观察和实际操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性的结论；以及三角形稳定性和四边形没有稳定性在生产和生活中的应用
学习重点：
了解三角形稳定性在生产、生活中的实际应用
学习难点：
准确使用三角形稳定性于生活之中
学法指导：
观察、操作、探究、交流
学习过程：
一、创设情景，新知导入：
盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做？
你的理由是：
二、探究学习
问题一：如图一：将三根木条用钉子钉成
一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改
变吗？
（图一）
问题二：如图二，将四根木条用钉子钉成
一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改
变吗？
（图二）
问题三：在四边形木架上再钉一根木条，将
它的一对顶点连接起来，然后扭动它，这时木架
的形状还会改变吗？为什么？
（图三）
通过我们的实际操作，我们发现，三角形木架的形状 （如图一），而四边形的形状 （如图二）。
说明：三角形是具有 的图形，而四边形没有 。
通过图三发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状 。这是因为斜钉一根木条后，四边形变成了两个 ，由于三角形具有 ，窗框在未安装好之前也不会变形。
问题四：三角形的稳定性在生活中有广泛的应用，如下图，除外。你能举出相应的例子吗
（屋顶钢架）
问题五：四边形的不稳定性也有广泛的应用，如下图所示，除外，你还能举出其他的实例吗？
三、盘点收获
我们通过操作，了解了三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性的特点，也就是说，一个三角形的三条边固定了，三角形的形状和大小就完全确定了。所有的多边形中，只有三角形具有稳定性。
四、达标检测
1下列图形中不具有稳定性的是（ ）
2撑上支撑后的自行车能稳稳地停在地上，是因为自行车的两个轮胎与地面以及支撑形成了一个三角形，三角形具有（ ）。
5、教（学）后反思
第7章 三角形 ★ 7.2 与三角形有关的角
—— 7.2.1 三角形的内角（第1课时）
年级：七年级 科目：数学 执笔人： 审核：【 】
课型：新授课 授课班级：七年级【 】班 学生姓名：【 】
学习目标：
1、经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理
2、能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题
学习重点：
三角形内角和定理
学习难点：
三角形内角和定理的推理过程
课前准备：
每个学生准备好两个由硬纸片剪出的三角形
学法指导：
在教师的指导下，学生自己探索和归纳学习知识，加深对所学内容的理解。
学习过程：
一、创设情景，新知导入：
在前面我们学习了与三角形有关的线段，请同学们回忆一下所学内容，回答如下问题：
①什么是三角形与三角形的表示方法 A
②三角形的主要线段
③三角形三边的关系 B C
二、探究学习
问题一：【动手操作】请同学们任意画一个三角形，并用量角器测量一下，每个内角的度数是多少？三角形三个内角的度数和又是多少？同伴之间交流。
通过我们的操作，我们可以得出结论：
三角形三个内角的和等于 。
问题二：在实际生活中，由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用度量的方法一一验证所有三角形。那么我们该如何求证上面结论的正确性呢？
下面请同学们拿出我们事先准备好的两个硬纸片三角形，并在硬纸片三角形上标出三个内角的编码，按下面图1、图2、图3方式拼合在一起，能得到什么？在这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？
（图1） （图2）
想一想，如果我们不用剪，拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面结论的正确性呢？
★ 操作应用：
已知：△ABC （图4） A
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180° E
方法一：
证明：在△ABC的外部以CA为边作
∠ACE＝∠A。延长BC至D
∵ ∠ACE＝∠A
∴ CE∥BA(内错角相等，两直线平行) B D
∴ ∠DCA＝∠B（ ） C
∵ ∠BCA＋∠ACE＋∠ECD＝180°(平角定义) （图4）
∴ ∠BCA＋∠A＋∠B＝180°（等量代换）
方法二：（图4）
证明：延长BC至D，过点C作CE∥BA
则∠A＝∠ACE（ ）
∠B＝∠ECD ( ）
∵ ∠BCA＋∠ACE＋∠ECD＝180°(平角定义
∴ ∠BCA＋∠A＋∠B＝180°（等量代换） A
方法三：（图5） E F
证明：过点A作EF∥BC
则 ∠EAB＝∠B （ ）
∠FAC＝∠C （ ）
∵ ∠EAB＋∠BAC＋∠CAF＝180°(平角定义)
∴ ∠B＋∠BAC＋∠C＝180°（等量代换） B C
（图5）
通过以上推导过程，可以看出，证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程。
★ 例题探讨：
C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，从C岛看A、B两岛的视角是多少度？
分析：A、B、C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角。如果能求出∠CAB、∠ABC，就能求出∠ACB。
解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°
由AD∥BE，可得：
∠BAD＋∠ABE＝180°（ ）
所以：
∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°
∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°
在△ABC中，
∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30° ＝90°
答：从C岛看A、B两岛的视角是90°
三、盘点收获
知识要点 总结 注意问题 解题方法总结
三角形内角和定理 三角形的三个内角的和等于180° 此定理应用的前提条件是在同一个三角形中。 （1）已知两角或两角的和，求另一个角，利用三角形内角和定理。
四、达标检测
1、一个三角形最多有 个直角，最多有 个钝角。
2、若一个三角形的三个内角之比为2：3;4,则这三个内角的度数分别是 ， ， 。
3、在△ABC中，若∠A＋∠B＝2∠C，则∠C＝ °。
α
4、如图：∠α＝ 。 48°
32° 44°
5、在△ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则△ABC是 三角形。
6、在△ABC中，∠C＝2(∠A＋∠B),则∠C＝ 。
7、一个三角形的三个内角的度数比是2：3：7，这个三角形是（ ）
A 直角三角形 B 等腰三角形 C 锐角三角形 D 钝角三角形
8、如图（1）所示，若∠1﹥∠2，则∠1、∠2、∠3用“﹤”连结，正确的是（ ）
A ∠3﹤∠2﹤∠1 B ∠2﹤∠1﹤∠3 C ∠2﹤∠3﹤∠1 D 以上都不对
A
A D
1
O
2 3
B E
C B C
图（1） 图（2） A
9、如图（2），所示，∠A﹢∠B﹢∠C﹢∠D﹢∠E﹦
1
10、如图(3)所示，∠1、∠2、∠3、∠4满足的关系式是（ ）
A ∠1﹢∠2﹦∠3﹢∠4 B ∠1﹢∠2﹦∠4－∠3 C
C ∠1﹢∠4﹦∠2﹢∠3 D ∠1﹢∠4﹦∠2－∠3
A E
2
O 4 3 B
图（3）
E
B 2 1 C
图（4）
D
11、 如图（4）所示，下列说法中错误的是( )
A ∠2﹦∠A﹢∠B﹢∠D B ∠1﹦∠2－∠D C ∠2﹦∠A﹢∠D D ∠2﹥∠1﹥∠A
12、如图（5）所示，∠A﹦∠C，CD⊥AB于D，交AE于F，试判定⊿AEB的形状，并说明你的理由。 A
D
F
B C
E
13、如下图（1）所示，在⊿ABC中，AE平分∠BAC（∠C﹥∠B）,F为AE上一点，且FD⊥BC于点D。 (1)试推导∠EFD与∠B、∠C之间的大小关系。
（2）如图（2），当点F在AE的延长线上时，其余条件都不变，判断你在（1）中推导的结论是否还成立？ A A
F
D
B C B E C
E D
F
五、教(学)后反思
第7章 三角形 ★ 7.2 与三角形有关的角
—— 7.2.2 三角形的外角（第2课时）
年级：七年级 科目：数学 执笔人： 审核：【 】
课型：新授课 授课班级：七年级【 】班 学生姓名：【 】
学习目标：
1、使学生在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质
2、利用学过的定理论证这些性质
3、能利用三角形的外角性质解决实际问题
学习重点：
三角形的外角性质；三角形的外角和定理
学习难点：
三角形外角的定义及定理的论证过程
学法指导：
学练结合
学习过程：
一、创设情景，新知导入：
上节课，我们学习了三角形内角和定理，其定理内容是什么？
如下图把的一边BC延长到D，得，它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？
什么是三角形的外角？
二、探究学习
问题一：观察图1，思考： A
①一个三角形有多少个外角？ 不相邻
内角 相邻内角
②请根据图1完成下面填空
∠A＋∠B＋∠1＝ （ ） 外角
1
∠ACD＋∠1＝ （ ）
B C D
③根据上面的填空，我们得出下列关系： （图1）
∠ACD＝∠A＋∠B 其理由是 。
一般地，有下面的结论：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
由上面的结论，可以得到：
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
根据图1，完成选择（ ﹥ ﹤ ）：①∠ACD ∠A ②∠ACD ∠B
问题2：观察图2给予的提示，求证：∠1＋∠2＋∠3＝360°1 A
已知：
求证：∠1＋∠2＋∠3＝360°
证明：
2
B
3 （图2） C
经过刚才我们的证明,可以得到：三角形的外角和等于 。
除了刚才的证明方法外，我们也可以用下面的方法去证明。根据下图3的提示，想一想，该怎样证明∠1＋∠2＋∠3＝360°，写出你的证明过程。 4
1 D
A
2
B
3 （图3） C
三、盘点收获
知识要点 总结 注意问题 解题方法总结
三角形外角的概念及性质 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。性质1三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。性质2三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 添加辅助线把问题转化为三角形问题，实现条件的转化。 （2涉及角的不等关系，利用“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”来解题。
四、达标检测
1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ）
2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ ）
3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ）
4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（ ）
5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ）
6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（ ）
7、三角形的三个外角中最多有 锐角，最多有 个钝角，最多有 个直角。
8、如图4，X＝
9、如图5，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF， 则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________
（图4） （图5）
10、如下图（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数
11、如上图（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数
5、教（学）后反思
第7章 三角形 ★ 7.3 多边形及其内角和
—— 7.3.1 多边形（第1课时）
年级：七年级 科目：数学 执笔人： 审核：【 】
课型：新授课 授课班级：七年级【 】班 学生姓名：【 】
学习目标：
了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念
学习重点：
了解多边形及其有关概念，理解正多边形及其有关概念
学习难点：
多边形定义的准确理解
学法指导：
自学为主，教师指导
学习过程：
一、创设情景，新知导入：
前面我们学习了三角形，你能说说学习了哪些有关三角形的知识？
①观察图1，你能说出三角形的定义吗？
（图1） （图2）
②观察图2，既然我们已经知道什么叫三角形，
你能根据三角形的定义，说出什么叫四边形吗？
③观察图3，什么叫五边形呢？ （图3） （图4）
二、探究学习
问题一：通过上面三角形，四边形，五边形的定义，我们知道了什么是三角形，四边形，五边形。那么多边形的定义又是什么？（图5）
问题二：通过对图1—图4的观察，我们知道：多边形是按组成它的线段的条数而进行分类的，三角形是最基本的多边形。那么什么是多边形的内角？多边形的外角？
对于图2来说，它的内角分别是： 、 、 、 。
对于图3来说，它的内角分别是： 、 、 、 、 。
对于图4来说，它的内角分别是： 、 、 、 、 、 。
因此我们说：多边形相邻两边组成的角叫做它的 。
观察图5，∠1是多边形ABCDE的一个 。
对于图2来说，它的外角有 个，对于图3来说，它的
外角有 个，对于图4来说，它的外角有 个，那么n边形
有 个外角。
（图5）
问题三：根据前面的学习内容，我们说，多边形的内角，边，外角有着一定的关系，请你填写下表，能发现它们之间的规律吗？
多边形的边数 3 4 5 6 7 … n
多边形内角的个数
多边形边的个数
多边形外角的个数
规律是:
问题四：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。请将下列图形根据多边形对角线的定义，试着连接，从中寻找规律，完成表格的填写。
多边形的边数 3 4 5 6 7 n
从一个顶点引对角线的条数
分成的三角形的个数
规律是：从n边形的一个顶点可以引 条对角线，把多边形分成 个三角形。
问题五：观察图6，画出四边形ABCD的任何一条边，（如AB）所在的直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形。而图7中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画CD（或BC）所在的直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧。
A
D
B
（图6）
C
（图7）
类似地，画多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。这是我们本节课讨论的内容。
问题六：三角形如果三条边都想的，三个角也都相等，那么这样的三角形就叫做正三角形。如果多边形各条边都相等，各个角也都相等，那么这样的多边形就叫做正多边形。（如下图所示）
（正三角形） （正四边形） （正五边形） （正六边形） （正八边形）
三、盘点收获
在一个平面内，由一些线段首尾顺次连结组成的图形叫做多边形。
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
n边形的对角线等于[n×(n－3)]÷2.
四、达标检测
（一）、判断题．
1．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形．（ ）
2．由不在一直线上四条线段首尾次顺次相接组成的图形叫四边形．（ ）
3．由不在一直线上四条线段首尾顺次接组成的图形，且其中任何一条线段所在的直线、使整个图形都在这直线的同一侧，叫做四边形．（ ）
4．在同一平面内，四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形．（ ）
（二）、填空题．
1．连接多边形 的线段，叫做多边形的对角线．
2．多边形的任何 所在的直线，整个多边形都在这条直线的 ，这样的多边形叫凸多边形．
3．各个角 ，各条边 的多边形，叫正多边形．
（三）、解答题．
1．在正四边形ABCD中，你能用四中不同的方法把正四边形的面积四等分吗？
2．如上图（2），O为四边形ABCD内一点，连接OA、OB、OC、OD可以得几个三角形？它与边数有何关系？
3．如上图（3），O在五边形ABCDE的AB上，连接OC、OD、OE，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
4．如上图（4），过A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
五、教（学）后反思
第7章 三角形 ★ 7.3 多边形及其内角和
—— 7.3.2 多边形的内角和（第2课时）
年级：七年级 科目：数学 执笔人： 审核：【 】
课型：新授课 授课班级：七年级【 】班 学生姓名：【 】
学习目标：
1、使学生了解多边形的内角、外角等概念
2、能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算
学习重点：
1、多边形的内角和公式
2、多边形的外角和公式
学习难点：
多边形的内角和定理的推导
学法指导：
探究学习
学习过程：
一、创设情景，新知导入：
1我们知道三角形的内角和为180°。
2我们还知道，正方形（正四边形）四个角都等于90°，那么它的内角和为360°，同样，长方形的内角和也是360°。
3正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°。那么，任意一个四边形的内角和是否也是360°呢？
二、探究学习
问题一：请同学们画一个任意四边形，用量角器量出它的四个内角度数，计算它们的和，与同桌进行交流结果。
结论：任意一个四边形的内角和等于 。
我们能利用三角形内角和定理去证明我们得出的这个结论吗？
问题二：根据下面提供的图形和文字，做一做，填一填，找出规律。
A F
D A A
A
D E
B B B B D
C C C C
(图1) （图2） （图3） （图4）
①如图1，三角形ABC的内角和是多少度？（ ）
②如图2，图中有几个三角形？（ ）四边形的内角和是多少度？（ ）
③如图3，图中有几个三角形？（ ）五边形的内角和是多少度？（ ）
④如图4，图中有几个三角形？（ ）六边形的内角和是多少度？（ ）
多边形的边数 3 4 5 6 7 … n
分成三角形的个数
多边形的内角和
由此，我们得出：n边形的内角和＝ 。
问题三：要得到多边形的内角和必需通过“三角形内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形。除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法。（以五边形为例）
分法一：观察图5，在五边形ABCDE内取一点O，连接OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形。其五个三角形的内角和为5×180°，而∠1、∠2、∠3、∠4、∠5（这五个角合在一起变成周角）不是五边形的内角，应减去，所以：五边形的内角和为5×180°－2×180°＝（5－2）×180°＝540°
（图5）
如果五边形变成n边形，用同样的方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n边形内角和＝n×180°－2×180°＝（n－2）×180°。
分法二：观察图6，在五边形的边AB上取一点O，连接OE、OD、OC，则可以得到（5－1）个三角形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角，应舍去。
所以：五边形的内角和为（5－1）×180°－180°＝（5－2）×180°
用同样的方法，也可以把n边形分成（n－1）个三角形，把不是n边形内角的∠AOB舍去，即可得n边形的内角和为（n－2）×180°
(图6)
问题三：图图7，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等于多少？
（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？
（2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得的总和是多少？
（3）上述总和与六边形的内角和，外角和有什么关系？
（图7）
如果将图7中的六边形换成n边形（n的值是不小于3的任意整数）也可以得到同样的结果吗？
由问题三的探究，我们可以得到：多边形的外角和等于 。
所以我们说，多边形的外角和与它的边数无关。
对此，我们也可以像以下这样理解，为什么多边形的外角和等于360°
如右图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过
各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转
的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各
个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360
三、盘点收获
知识要点 总结 注意问题 解题方法总结
多边形内角和定理 n边形内角和等于（n－2）×180° 内角和随多边形边数的改变而改变。 （1）常利用对角线将多边形问题转化为三角形问题解决。（2）定值问题长从多边形外角和的方向来考虑。
多边形外角和定理 多边形的内角和等于360° 多边形的外角和是定值。
四、达标检测
（一）、判断题．
1．当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加．（ ）
2．当多边形边数增加时．它的外角和也随着增加．（ ）
3．三角形的外角和与一多边形的外角和相等．（ ）
4．从n边形一个顶点出发，可以引出（n一2）条对角线，得到（n一2）个三角形．（ ）
5．四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．（ ）
（二）、填空题．
1．一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为 边形．
2．一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形为 边形．
3．内角和等于外角和的多边形是 边形．
4．内角和为1440°的多边形是 ．
5．一个多边形的内角的度数从小到大排列时，恰好依次增加相同的度数，其中最小角为100°，最大的是140°，那么这个多边形是 边形．
6．若多边形内角和等于外角和的3倍，则这个多边形是 边形．
7．五边形的对角线有 条，它们内角和为 ．
8．一个多边形的内角和为4320°，则它的边数为 ．
9．多边形每个内角都相等，内角和为720°，则它的每一个外角为 ．
10．四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1：2：3：4，那么∠A：∠B：∠C：∠D= ．
11．四边形的四个内角中，直角最多有 个，钝角最多有 个， 锐角最多有 个．
12．如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加 ，外角和增加 ．
(三)、选择题．
1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（ ）
A．互为余角 B．互为邻补角 C．两个角相等 D．外角大于内角
2．若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（ ）
A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形
3．一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（ ）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
4．随着多边形的边数n的增加，它的外角和（ ）
A．增加 B．减小 C．不变 D．不定
5．若多边形的外角和等于内角和的和，它的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
6．一个多边形的内角和是1800°，那么这个多边形是（ ）
A．五边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形
7．一个多边形每个内角为108°，则这个多边形（ ）
A．四边形 B，五边形 C．六边形 D．七边形
8，一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1080°
9．n边形的n个内角中锐角最多有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是（ ）
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D，十一边形
11．过多边形的一个顶点可以引9条对角线，那么这个多边形的内角和是（ ）
A 1620° B 1800° C 1980° D 2160°
12．八边形的对角线的条数是( )
A 9条 B 14条 C 20条 D 24条
13．如果把一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来多边形的边数是（ ）
A 5条 B 6条 C 7条 D 8条
14．下面几个结论：①三角形的外角中最多只有一个锐角；②正n边形的内角度数等于180°－360°/n；③多边形的内角和不一定大于多边形的外角和；④n边形的边数每增加1条，对角线就增加 n条；⑤任何一个多边形中，锐角不超过3个。其中正确的有（ 0
A 2个 B 3个 C 4个 D 5个
15．如图（1）所示，试求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数。
D
A G
E F
B C
图（1）
16．★探究题★ 过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，则（m－K）n为多少？
17．★开放题★ 如图，把正方形截下一个角后，得到的图形的内角和为多少
5、教（学）后反思
第7章 三角形 ★ 7.4 课题学习 镶嵌
年级：七年级 科目：数学 执笔人： 审核：【 】
课型：新授课 授课班级：七年级【 】班 学生姓名：【 】
学习目标：
1、会用正多边形无缝隙、不重叠第覆盖平面
2、让学生应用已有的数学知识和能力，探索和解决镶嵌问题的过程中，感受数学知识的价值，增强应用意识，获得各种体验
学习重点：
会用正多边形无缝隙、不重叠第覆盖平面
学习难点：
哪些多边形形状可以镶嵌平面图形
学法指导：
实际操作，感受体验带来的快乐
学习过程：
一、创设情景，新知导入：
观察提供的图片：
我们经常能看到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖砌成美丽的图案。
二、探究学习
问题一：镶嵌定义。
用一些形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠的把平面的一部分完全覆盖，这就是平面图形的镶嵌。
注意：各种图形拼接后既要无缝隙，又不重叠。
利用镶嵌我们可以得到一些绚丽多
彩的图案。
问题二：【动手操作】 请同学们将准备好的图形，如边长相同的正三角形，正方形，正五边形，正六边形等拿出来，按提示要去操作。
（1）用边长相同的正三角形能否镶嵌？结论是：用边长相同的正三角形 镶嵌。
（2）用边长相同的正方形能否镶嵌？结论是：用边长相同的正方形 镶嵌。
（3）用边长相同的正五边形能否镶嵌？结论是：用边长相同的正五边形 镶嵌。
（4）用边长相同的正六边形能否镶嵌？结论是：用边长相同的正六边形 镶嵌。
根据我们刚才的实际操作拼接，想一想，镶嵌平面图案需要什么条件？
条件是：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于 。
三、盘点收获
本节我们学习了在平面内如何镶嵌的知识。
知识要点 总结 注意问题 解题方法总结
平面镶嵌的定义 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，在几何里叫做平面镶嵌。 平面镶嵌既不能重叠也不能有空隙。 在进行平面镶嵌的图案设计问题中，要使拼接在同一个顶点的各个多边形的内角和等于360°。
平面镶嵌的条件 （1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°（2）相邻的多边形有公共边，当所用的多边形为正多边形时，它们的边长应相等。 两个条件必须同时满足，缺一不可。
四、达标检测
1、在一个顶点处，若n边形的几个内角的和为 ，则此正n边形可铺满地面，没有空隙。
2、能用一种正多边形进行平面镶嵌的有 、 、
3、能用一种任意多边形进行平面镶嵌的有
4、如果只用圆、正五边形、矩形中的一种图形镶嵌整个平面，那么这个图形只能是
5、只用正三角形和正六边形地板铺地面，你有几种方案？
6、在一间长6m，宽3.5m的客厅地面上，要铺同种规格的正方形地砖，现在有““40cm×40cm”，“30cm×30cm”，“50cm×50cm”，“60cm×60cm”的地砖，请你设计一下，需要全部铺满，不能破地砖，不留一点空隙，也不多余，选哪一种规格，为什么？
7、如图所示，你能将一个正三角形分成8个大小、形状意义的直角三角形吗？若能，请你画出图形。
8、用m个正三角形和n个正六边形铺满地面，先求出m、n的值，再各自设计一种铺法，并作出设计的图形。
5、教(学)后反思
第7章 三角形 复习课
年级：七年级 科目：数学 执笔人： 审核：【 】
课型：新授课 授课班级：七年级【 】班 学生姓名：【 】
复习目标：
通过对本章知识结构图，加深本章知识的理解；
对知识点的归纳，是为了更好地的在解决本章知识的时候，能灵活运用。
复习过程：
一、三角形知识结构图：
三角形的边
与三角形 高线
有关的线段 中线
角平分线
三角形的内角和
与三角形有关的角 三角形的外角和
内角与外角的关系
三角形
锐角三角形
斜三角形
按角分 钝角三角形
直角三角形
不等边三角形
按边分 底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
定义
多边形 多边形的内外角和
镶嵌
二、知识要点回顾
1、三角形的三边关系：
（1）、三角形两边之和大于第三边
（2）、三角形两边之差小于第三边
2、判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形
当a最长，且有b＋c﹥a时，就能构成三角形。
3、确定三角形第三边的取值范围
两边之差﹤第三边﹤两边之和
4、三角形的三条高线（或高线所在直线）交于一点
锐角三角形三条高交于三角形内部一点
直角三角形三条高线交于直角顶点
钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点
5、三角形的三条中线交于三角形内部一点，这点被称为重心
6、三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这点被称为内心
7、三角形的主要线段
（1）三角形的高线定义
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线
（2）三角形角平分线的定义
三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
（3）连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线
8、三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变。这就是说，三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性
9、三角形内角和定理
三角形内角和等于180°
10、三角形外角和定理
三角形外角和等于360°
11、三角形的外角与内角的关系
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角
12、n边形的内角和等于（n－2）×180°，多边形的外角和都等于360°
13、镶嵌
（1）、拼接在同一个点的各个角的和等于360°
（2）、任意三角形一定可以镶嵌
（3）、任意四边形一定可以镶嵌
（4）、正六边形可以镶嵌
注意：只用正五边形、正八边形一种图形不能镶嵌
第7章 三角形 练习课
年级：七年级 科目：数学 执笔人： 审核：【 】
课型：新授课 授课班级：七年级【 】班 学生姓名：【 】
练习目标：
通过练习，加强学生对已知知识的掌握和灵活运用。
练习过程：
一选择
1、三角形三个内角的度数分别是（x＋y）°，（x－y）°，x°，且x﹥y﹥0，则该三角形有一个内角为（ ） A 30° B 45° C 60° D 90°
2、把14cm长的细铁丝截成三段，围成不等边三角形，并且使三边长均为整数，那么（ ）
A 只有一种截法 B 只有两种截法 C 有三种截法 D 有四种截法
3、等腰三角形的腰长为a，底为x，则的取值范围是（ ）
A 0﹤x﹤2a B 0﹤x﹤a C 0﹤x﹤a/2 D 0﹤x≤2a
4、一个正多边形的每一个内角都是120°，这个多边形是（ ）
A 正四边形 B 正五边形 C 正六边形 D 正七边形
5、一个多边形木板，截去一个三角形后（截线不经过顶点），得到新多边形内角和为2160°，则原多边形的边数为（ ）A 13条 B 14条 C 15条 D 16条
6、下列说法中，错误的是（ ）
A 一个三角形中至少有一个角不大于60° B 有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形C 三角形的外角中必有两个是钝角 D 锐角三角形中两锐角的和必小于60°
A
二填空
1、∠B=100°，∠A=∠C，则∠C= ；
2、2∠A=∠B+∠C，则∠A=
3、如右图， 是⊿ACD的外角
∠ADB﹦115°，∠CAD﹦80°，则∠C﹦
B D C
4、三角形的两边为7cm和5cm，则第三边x的取值范围是
5、直角三角形的两锐角相等，则每个锐角等于
6、在⊿ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B还大30°，则∠C的外角为 度，这个三角形是 三角形。
7、如下左图，AD是BC边上的高，BE是⊿ABD的角平分线，∠1=40°，∠2=30°，则∠C=
∠BED= A A
1 2
E
B C B C
D D
8、如上右图，已知：AD是△ABC的中线，△ABC的面积为50cm2，△ABD的面积是_______.
有一六边形，截去一三角形，内角会发生怎样的变化，请根据图示说明
9、如图所示，D是△ABC中BC边上一点，
试说明2AD＜AB＋BC＋AC。
A
B C
D
10、已知两条线段的长分别是3cm和8cm，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？
11、如图所示，在⊿ABC中，DE∥BC，F是AB上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G，试说明∠EGH和∠ADE的关系
A
F
D E
B
C G H
12、已知a、b、c为⊿ABC的三边长，且b、c满足（b－2）2＋∣c－3∣＝0，a为方程
∣x－3∣＝2的解，求⊿ABC的周长，并判断⊿ABC的形状。
13、在⊿ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，试探索∠BOC与∠A的关系。
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第7章 三角形 ★ 7.1 与三角形有关的线段
—— 7.1.1 三角形的边（第1课时）
年级：七年级 科目：数学 执笔人： 审核：【 】
课型：新授课 授课班级：七年级【 】班 学生姓名：【 】
学习目标：
结合具体实例，在认识三角形概念及其基本要素的基础上，学会三角形的表示方法，掌握三角形三边之间的关系；通过观察、操作、交流和反思，获得必需的数学知识，发展空间概念，推理能力和有条理的表达能力。
学习重点：
三角形三边关系的探究与归纳
学习难点：
三角形三边关系的应用
学法指导：
在教师的指导下，学生自己探索和归纳学习知识，加深对所学内容的理解，进一步体会数学知识来源于实际生产和生活。
学习过程：
一、创设情景，新知导入：
三角形是常见的几何图形之一，从自然界景观到微型模型，从建筑物到艺术作品，在日常生活中到处都能找到三角形的影子，你能举出这样的一些实例吗？
二、探究学习
问题一：观察下图：
说说看，上面的三种图形是三角形吗？
如图1所示，如果它是三角形，你能用文字叙述出什么是三角形吗？
A
C b
B C
a
（图1）
从三角形的定义中，我们应注意的是：
①三角形是由三条线段组成的。②此三条线段不共线。③此三条线段首尾顺次连接。④三角形是一个平面图形
问题二：如图一，“三角形”可以用符号“ ”表示。记作“ ”，读作“三角形ABC”。
例：说出图2有多少个三角形？并用符号去表示它们。（请根据注意三角形的定义）
P
E
F G
H
Q (图2)
问题三：三角形的形状、大小和位置由它的三个顶点确定。三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。如图1，“三角形ABC” 有 顶点，它们分别是顶点 ，顶点 ，顶点 。
问题四：组成三角形的三条线段叫做三角形的边。如图1，“三角形ABC”有 边，它们分别是线段 ，线段 ，线段 。有时候，三角形的三边我们也可以用a、b、c来表示。一般地，顶点A所对的边记作a，顶点B所对的边记作b，顶点C所对的边记作C。
问题五：三角形相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。如图1，“三角形ABC”有 内角，它们分别是 ， ， 。
综合练习：如图3
D
①图中有几个三角形，用符号表示这些三角形和各自的边
A
E
②以AB为边的三角形有哪些？
B C
(图3)
③以E为顶点的三角形有哪些？ ④以∠D为角的三角形有哪些？
问题六：按照三角形内角的大小，我们可以将三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。如下图4是 ，如下图5是 ，如下图6是 。
A A A
C
B C B B C
图4 图5 图6
问题七：根据问题六，我们想一想，如果按照边的关系，我们可以将三角形分为 三角形， 三角形， 三角形。如下图7，下图8，下图9分别是什么三角形？
A A A
B C B C B C图7 图8 图9
（图7是 三角形） （图8是 三角形） （图9是 三角形）
在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形。
★根据问题七，三角形按边相等关系分类如下：
不等边三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
三角形 等腰三角形
等边三角形
问题八：任意画一个三角形，如图10，假设一只小虫从点B出发，沿三角形的边爬到点C，它有几条线路可以选择？各条线路的长一样吗？
A
B C
（ 图10 ）
对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点（例如B、C）看成定点，由“两点的所有连线
中，线段最短”，可以得到：
AB＋AC﹥BC A
同样，若把顶点A、C看作定点，可以得到：
AB＋BC﹥AC
若把顶点A、B看作定点，可以得到：
BC＋AC﹥AB
一般地，我们有： B C
三角形两边之和大于第三边。
问题九：【动手操作】请同学们根据下图11，图12，图13，用直尺量出三个三角形的三边长度，并填入横线上。
A b a b a b
C c
C
(图11) （图12） （图13）
图11： 图12： 图13：
a＝ a＝ a＝
b＝ b＝ b＝
c＝ c＝ c＝
★计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论
【自我学习】：请同学们看教材P64，看例题，看解题过程，有看不懂的地方向老师提出疑问。
三、盘点收获
本节课我们学习了三角形的概念及基本要素，重点研究了三角形的三边关系。
（1）从三角形三边关系中，我们可知三角形的三边相互制约——任意两边之和大于第三边，且任意两边之差小于第三边。
（2）判断a、b、c三条线段能否组成一个三角形，应注意： a＋b＞c，b＋c＞a，a＋c＞b。三个条件缺一不可。或者是：当a最长，且有b＋c﹥a时，就能构成三角形。
四、达标检测
1、下列各组数字表示三条线段，其中可以组成三角形的是（ ）
A 12、4、6 B 3、4、5 C 4、15、6 D 2、5、7
2、三角形一边是5，一边是13，则第三边的取值范围是（ ）
A 5﹤x﹤13 B 8﹤x﹤18 C x﹥8 D x﹤18
3、⊿ABC的三边长分别为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形可能有的最大边长是（ ）
A 5 B 5 C 6 D 7
4、各边长均为整数，且三边均不相等的三角形的周长小于13，这样的三角形有( )
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
5、三角形两边分别为4和5，第三边为其中一边的2倍，则第三边长为 。
6、三角形的一边是5，另一边是8，周长恰好是5或8的倍数，则第三边长为 。
7、三角形中有两边长为7和2，第三边为奇数，则三角形周长为 。
8、有长为12、7、5、4的四根木棒，用其中三根组成三角形可有几种方法？为什么？
9、如图所示，小光从家到学校有两条路，一条是BAC，一条是BDEC，请问二者中哪一条较近，为什么？
A
D E
B C
10在⊿ABC中，AB﹦AC，AC边上的中线BD把⊿ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长。
A
D
B C
11已知⊿ABC的周长为48，最大边与最小边之差为14，另一边与最小边的和为25，求⊿ABC各边的长。
12、如图所示
①图中共有多少个三角形？并把它们写出来。
A
②线段AE是哪些三角形的边？
③∠B是哪些三角形的角？ B D E C
13、如图所示 C
①图中有多少个三角形，它们分别是哪些？
B
②⊿ADC的顶点分别是哪些？
F
∠C的对边有哪些？
A D E
5、教（学）后反思
第7章 三角形 ★ 7.1 与三角形有关的线段
—— 7.1.2 三角形的高、中线与角平分线（第2课时）
年级：七年级 科目：数学 执笔人： 审核：【 】
课型：新授课 授课班级：七年级【 】班 学生姓名：【 】
学习目标：
了解三角形的高、中线与角平分线，并能在具体的三角形中画出它们，通过观察、操作、想象、推理和交流的基础上，发展空间概念，推理能力和有条理的表达能力。
学习重点：
三角形的高、中线与角平分线的概念
学习难点：
准确画出三角形的高、中线与角平分线
学法指导：
在教师的指导下，学生自己探索和归纳学习知识，在动手操作中发现规律，掌握新知
学习过程：
一、创设情景，新知导入：
上一节课，我们认识了三角形及其基本要素：边、角、顶点，请同学们回忆一下，什么样的图形是三角形？三角形三条边之间有什么样的关系？
在前面，我们学习过“过一点画已知直线的垂线”，还能记得它的画法吗？在图一上操作一下 ，并与同桌交流一下自己的画法。 A
·
（图一）
B D C
（图二）
二、探究学习
问题一：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边的高，简称三角形的高。如图二所示。线段AD是BC边上的高。
用同样的方法，你能画出锐角△ABC（图三）的另两条边上的高吗？
注意：标明垂直的记号（ ）和垂足的字母。 A
如果用折纸的办法能等到它们吗？和同桌进行交流。
观察你的做法，想想这三条高之间有怎样的位置关系？
将你的结果与同桌进行交流。
锐角三角形的三条高 。
再进一步想：锐角三角形的三条高是在三角形的 B C
内部还是在外部？ D
锐角三角形的三条高都在 。 （图三）
★ 动手操作:画一个直角三角形。 A
画出直角三角形的三条高，观察它们有怎样的位置关系？
将你的结果与前后同桌进行交流。
直角三角形的三条高 。直角边AC边上的高 是，
直角边BC边上的高 是，斜边AB边上的高 是。 C B
★ 动手操作:画一个钝角三角形。
钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？将你的结果与同伴进行交流。
A
①钝角三角形的有 高，一条高在三角形的
（内部还是外部），另外的高在三角形的 （内部还是外部）。
②钝角三角形的高交于一点吗？ B C
③钝角三角形三条高所在的直线交于一点吗？如果相交于一点，它们相交于钝角三角形的内部还是外部？
归纳：三角形三条高的特性。
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量
高之间是否相交
高所在的直线是否相交
三条高所在的直线的交点的位置
问题二：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线。
如图四： A
在图四中，D是BC的中点，线段AD是△ABC的中线。
由定义可知：如果线段AD是△ABC的中线，那么有：
BD＝DC＝1/2BC
在一个三角形中，有几条中线呢？它们的位置关系又如何呢？请同学们画一画，议一议。（分别画锐角三角形，钝角三角形，直角三角形）
B D C
A （图四） A A
B C B C B C
（锐角三角形） （钝角三角形） （直角三角形）
通过以上作图，我们知道，一个三角形的中线共有 条，它们存在于三角形的 ，并且三角形的三条中线 于一点。我们把这一点叫做重心。
如果通过折纸的方法，能得到它们吗？你是怎么做的，和同伴进行交流。
问题三：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。
如图五： A
在图五中，如果AD是∠BAC的角平分线，那么有：
∠BAD＝∠DAC＝1/2∠BAC
在一个三角形中，有几个角平分线呢？它们的位置关系又如何呢？请同学们画一画，议一议。（分别画锐角三角形，钝角三角形，直角三角形）
B D C
A （图五） A A
（钝角三角形） （直角三角形）
（锐角三角形）
B C B C B C
通过以上作图，我们知道：一个三角形一共有 条角平分线，都在三角形的 ，它们 于一点。我们把这点叫做三角形的内心。
如果通过折纸的方法，能得到它们吗？你是怎么做的，和同伴进行交流。
观察下图，三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？ A
A
D
B D C B C
结论是： 。
三、盘点收获
本节课，我们主要探究了三角形的高、中线和角平分线。
三角形的高不一定都在三角形的内部：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形中，有两条高恰好是它的两条直角边；钝角三角形中，两锐角所对边上的高都在三角形的外部。三角形的三条高所在的直线相交于一点。三角形的高是线段。
三角形的中线、角平分线也都是线段；三角形的三条中线、三条角平分线都相交于一点，都在三角形的内部；这一点我们分别称之为重心和内心。
三角形的角平分线与角的平分线既有联系，也有区别，前者是线段，后者是射线。
四、达标检测
1、如图，有一块三角形的土地，需要把其分成4等份给四户农民耕种，只准分成三角形，你有多少种分法？（画出分解图形）
2、如图所示，⊿ABC中，∠BAC是钝角，完成下列作图。 A
①∠BAC的平分线AD
②AC边上的中线BE
B C
③AC边上的高BF
3、如图，若AB⊥CD，垂足是D，则CD是哪些三角形的高？若E是边BC的中点，则AE是哪个三角形的中线？
A
D
B E C
4、若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则如图（1）所示中以BC为公共边的“共边三角形”有（ ） A 2对 B 3对 C 4对 D 6对
A D
A Ⅱ
E
D Ⅰ O Ⅳ
Ⅲ
B C B C
图（1） 图（2）
5、如图（2）所示，有一个四边形牧场，被对角线分割成4个牧场，若草场中可放4只羊，草场中可放6只羊，草场中可放8只羊，则草场中可放（ ）
A 10只羊 B 11只羊 C 12只羊 D 13只羊
6、如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 不能确定
7、关于三角形的三条中线，下列说法中正确的是（ ）
A 必在三角形的内部 B 必在三角形的外部
C 必和三角形的一条边重合 D 以上皆有可能
8、如下图所示，已知⊿ABC，过点A画一条平分三角形面积的直线。
A
A
D
B C B E C
9、如图所示，D、E分别为⊿ABC的边AC、BC的中点，则下列说法中，不正确的是（ ）
A DE是⊿BDC的中线 B BD是⊿ABC的中线 C AD﹦DC，BE﹦EC D ∠C的对边是DE
10、在图（3）中，互不重叠的三角形共有4个，在图（4）中，互不重叠的三角形共有7个，在图（5）中，互不重叠的三角形共有10个，……则在第 n个图形中，互不重叠的三角形共有多少个？（用含n的式子表示）
图（3） 图（4） 图（5）
11、如图所示，在⊿ABC中，DE∥BC,EF∥AB，BE平分∠DBF交DF于点O，则EO是否是∠DEF的角平分线？请说明理由。
A
D E
O
B F C
5、教（后）学反思
第7章 三角形 ★ 7.1 与三角形有关的线段
—— 7.1.3 三角形的稳定性（第3课时）
年级：七年级 科目：数学 执笔人： 审核：【 】
课型：新授课 授课班级：七年级【 】班 学生姓名：【 】
学习目标：
通过观察和实际操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性的结论；以及三角形稳定性和四边形没有稳定性在生产和生活中的应用
学习重点：
了解三角形稳定性在生产、生活中的实际应用
学习难点：
准确使用三角形稳定性于生活之中
学法指导：
观察、操作、探究、交流
学习过程：
一、创设情景，新知导入：
盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做？
你的理由是：
二、探究学习
问题一：如图一：将三根木条用钉子钉成
一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改
变吗？
（图一）
问题二：如图二，将四根木条用钉子钉成
一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改
变吗？
（图二）
问题三：在四边形木架上再钉一根木条，将
它的一对顶点连接起来，然后扭动它，这时木架
的形状还会改变吗？为什么？
（图三）
通过我们的实际操作，我们发现，三角形木架的形状 （如图一），而四边形的形状 （如图二）。
说明：三角形是具有 的图形，而四边形没有 。
通过图三发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状 。这是因为斜钉一根木条后，四边形变成了两个 ，由于三角形具有 ，窗框在未安装好之前也不会变形。
问题四：三角形的稳定性在生活中有广泛的应用，如下图，除外。你能举出相应的例子吗
（屋顶钢架）
问题五：四边形的不稳定性也有广泛的应用，如下图所示，除外，你还能举出其他的实例吗？
三、盘点收获
我们通过操作，了解了三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性的特点，也就是说，一个三角形的三条边固定了，三角形的形状和大小就完全确定了。所有的多边形中，只有三角形具有稳定性。
四、达标检测
1下列图形中不具有稳定性的是（ ）
2撑上支撑后的自行车能稳稳地停在地上，是因为自行车的两个轮胎与地面以及支撑形成了一个三角形，三角形具有（ ）。
5、教（学）后反思
第7章 三角形 ★ 7.2 与三角形有关的角
—— 7.2.1 三角形的内角（第1课时）
年级：七年级 科目：数学 执笔人： 审核：【 】
课型：新授课 授课班级：七年级【 】班 学生姓名：【 】
学习目标：
1、经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理
2、能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题
学习重点：
三角形内角和定理
学习难点：
三角形内角和定理的推理过程
课前准备：
每个学生准备好两个由硬纸片剪出的三角形
学法指导：
在教师的指导下，学生自己探索和归纳学习知识，加深对所学内容的理解。
学习过程：
一、创设情景，新知导入：
在前面我们学习了与三角形有关的线段，请同学们回忆一下所学内容，回答如下问题：
①什么是三角形与三角形的表示方法 A
②三角形的主要线段
③三角形三边的关系 B C
二、探究学习
问题一：【动手操作】请同学们任意画一个三角形，并用量角器测量一下，每个内角的度数是多少？三角形三个内角的度数和又是多少？同伴之间交流。
通过我们的操作，我们可以得出结论：
三角形三个内角的和等于 。
问题二：在实际生活中，由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用度量的方法一一验证所有三角形。那么我们该如何求证上面结论的正确性呢？
下面请同学们拿出我们事先准备好的两个硬纸片三角形，并在硬纸片三角形上标出三个内角的编码，按下面图1、图2、图3方式拼合在一起，能得到什么？在这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？
（图1） （图2）
想一想，如果我们不用剪，拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面结论的正确性呢？
★ 操作应用：
已知：△ABC （图4） A
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180° E
方法一：
证明：在△ABC的外部以CA为边作
∠ACE＝∠A。延长BC至D
∵ ∠ACE＝∠A
∴ CE∥BA(内错角相等，两直线平行) B D
∴ ∠DCA＝∠B（ ） C
∵ ∠BCA＋∠ACE＋∠ECD＝180°(平角定义) （图4）
∴ ∠BCA＋∠A＋∠B＝180°（等量代换）
方法二：（图4）
证明：延长BC至D，过点C作CE∥BA
则∠A＝∠ACE（ ）
∠B＝∠ECD ( ）
∵ ∠BCA＋∠ACE＋∠ECD＝180°(平角定义
∴ ∠BCA＋∠A＋∠B＝180°（等量代换） A
方法三：（图5） E F
证明：过点A作EF∥BC
则 ∠EAB＝∠B （ ）
∠FAC＝∠C （ ）
∵ ∠EAB＋∠BAC＋∠CAF＝180°(平角定义)
∴ ∠B＋∠BAC＋∠C＝180°（等量代换） B C
（图5）
通过以上推导过程，可以看出，证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程。
★ 例题探讨：
C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，从C岛看A、B两岛的视角是多少度？
分析：A、B、C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角。如果能求出∠CAB、∠ABC，就能求出∠ACB。
解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°
由AD∥BE，可得：
∠BAD＋∠ABE＝180°（ ）
所以：
∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°
∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°
在△ABC中，
∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30° ＝90°
答：从C岛看A、B两岛的视角是90°
三、盘点收获
知识要点 总结 注意问题 解题方法总结
三角形内角和定理 三角形的三个内角的和等于180° 此定理应用的前提条件是在同一个三角形中。 （1）已知两角或两角的和，求另一个角，利用三角形内角和定理。
四、达标检测
1、一个三角形最多有 个直角，最多有 个钝角。
2、若一个三角形的三个内角之比为2：3;4,则这三个内角的度数分别是 ， ， 。
3、在△ABC中，若∠A＋∠B＝2∠C，则∠C＝ °。
α
4、如图：∠α＝ 。 48°
32° 44°
5、在△ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则△ABC是 三角形。
6、在△ABC中，∠C＝2(∠A＋∠B),则∠C＝ 。
7、一个三角形的三个内角的度数比是2：3：7，这个三角形是（ ）
A 直角三角形 B 等腰三角形 C 锐角三角形 D 钝角三角形
8、如图（1）所示，若∠1﹥∠2，则∠1、∠2、∠3用“﹤”连结，正确的是（ ）
A ∠3﹤∠2﹤∠1 B ∠2﹤∠1﹤∠3 C ∠2﹤∠3﹤∠1 D 以上都不对
A
A D
1
O
2 3
B E
C B C
图（1） 图（2） A
9、如图（2），所示，∠A﹢∠B﹢∠C﹢∠D﹢∠E﹦
1
10、如图(3)所示，∠1、∠2、∠3、∠4满足的关系式是（ ）
A ∠1﹢∠2﹦∠3﹢∠4 B ∠1﹢∠2﹦∠4－∠3 C
C ∠1﹢∠4﹦∠2﹢∠3 D ∠1﹢∠4﹦∠2－∠3
A E
2
O 4 3 B
图（3）
E
B 2 1 C
图（4）
D
11、 如图（4）所示，下列说法中错误的是( )
A ∠2﹦∠A﹢∠B﹢∠D B ∠1﹦∠2－∠D C ∠2﹦∠A﹢∠D D ∠2﹥∠1﹥∠A
12、如图（5）所示，∠A﹦∠C，CD⊥AB于D，交AE于F，试判定⊿AEB的形状，并说明你的理由。 A
D
F
B C
E
13、如下图（1）所示，在⊿ABC中，AE平分∠BAC（∠C﹥∠B）,F为AE上一点，且FD⊥BC于点D。 (1)试推导∠EFD与∠B、∠C之间的大小关系。
（2）如图（2），当点F在AE的延长线上时，其余条件都不变，判断你在（1）中推导的结论是否还成立？ A A
F
D
B C B E C
E D
F
五、教(学)后反思
第7章 三角形 ★ 7.2 与三角形有关的角
—— 7.2.2 三角形的外角（第2课时）
年级：七年级 科目：数学 执笔人： 审核：【 】
课型：新授课 授课班级：七年级【 】班 学生姓名：【 】
学习目标：
1、使学生在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质
2、利用学过的定理论证这些性质
3、能利用三角形的外角性质解决实际问题
学习重点：
三角形的外角性质；三角形的外角和定理
学习难点：
三角形外角的定义及定理的论证过程
学法指导：
学练结合
学习过程：
一、创设情景，新知导入：
上节课，我们学习了三角形内角和定理，其定理内容是什么？
如下图把的一边BC延长到D，得，它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？
什么是三角形的外角？
二、探究学习
问题一：观察图1，思考： A
①一个三角形有多少个外角？ 不相邻
内角 相邻内角
②请根据图1完成下面填空
∠A＋∠B＋∠1＝ （ ） 外角
1
∠ACD＋∠1＝ （ ）
B C D
③根据上面的填空，我们得出下列关系： （图1）
∠ACD＝∠A＋∠B 其理由是 。
一般地，有下面的结论：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
由上面的结论，可以得到：
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
根据图1，完成选择（ ﹥ ﹤ ）：①∠ACD ∠A ②∠ACD ∠B
问题2：观察图2给予的提示，求证：∠1＋∠2＋∠3＝360°1 A
已知：
求证：∠1＋∠2＋∠3＝360°
证明：
2
B
3 （图2） C
经过刚才我们的证明,可以得到：三角形的外角和等于 。
除了刚才的证明方法外，我们也可以用下面的方法去证明。根据下图3的提示，想一想，该怎样证明∠1＋∠2＋∠3＝360°，写出你的证明过程。 4
1 D
A
2
B
3 （图3） C
三、盘点收获
知识要点 总结 注意问题 解题方法总结
三角形外角的概念及性质 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。性质1三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。性质2三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 添加辅助线把问题转化为三角形问题，实现条件的转化。 （2涉及角的不等关系，利用“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”来解题。
四、达标检测
1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ）
2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ ）
3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ）
4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（ ）
5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ）
6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（ ）
7、三角形的三个外角中最多有 锐角，最多有 个钝角，最多有 个直角。
8、如图4，X＝
9、如图5，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF， 则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________
（图4） （图5）
10、如下图（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数
11、如上图（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数
5、教（学）后反思
第7章 三角形 ★ 7.3 多边形及其内角和
—— 7.3.1 多边形（第1课时）
年级：七年级 科目：数学 执笔人： 审核：【 】
课型：新授课 授课班级：七年级【 】班 学生姓名：【 】
学习目标：
了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念
学习重点：
了解多边形及其有关概念，理解正多边形及其有关概念
学习难点：
多边形定义的准确理解
学法指导：
自学为主，教师指导
学习过程：
一、创设情景，新知导入：
前面我们学习了三角形，你能说说学习了哪些有关三角形的知识？
①观察图1，你能说出三角形的定义吗？
（图1） （图2）
②观察图2，既然我们已经知道什么叫三角形，
你能根据三角形的定义，说出什么叫四边形吗？
③观察图3，什么叫五边形呢？ （图3） （图4）
二、探究学习
问题一：通过上面三角形，四边形，五边形的定义，我们知道了什么是三角形，四边形，五边形。那么多边形的定义又是什么？（图5）
问题二：通过对图1—图4的观察，我们知道：多边形是按组成它的线段的条数而进行分类的，三角形是最基本的多边形。那么什么是多边形的内角？多边形的外角？
对于图2来说，它的内角分别是： 、 、 、 。
对于图3来说，它的内角分别是： 、 、 、 、 。
对于图4来说，它的内角分别是： 、 、 、 、 、 。
因此我们说：多边形相邻两边组成的角叫做它的 。
观察图5，∠1是多边形ABCDE的一个 。
对于图2来说，它的外角有 个，对于图3来说，它的
外角有 个，对于图4来说，它的外角有 个，那么n边形
有 个外角。
（图5）
问题三：根据前面的学习内容，我们说，多边形的内角，边，外角有着一定的关系，请你填写下表，能发现它们之间的规律吗？
多边形的边数 3 4 5 6 7 … n
多边形内角的个数
多边形边的个数
多边形外角的个数
规律是:
问题四：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。请将下列图形根据多边形对角线的定义，试着连接，从中寻找规律，完成表格的填写。
多边形的边数 3 4 5 6 7 n
从一个顶点引对角线的条数
分成的三角形的个数
规律是：从n边形的一个顶点可以引 条对角线，把多边形分成 个三角形。
问题五：观察图6，画出四边形ABCD的任何一条边，（如AB）所在的直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形。而图7中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画CD（或BC）所在的直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧。
A
D
B
（图6）
C
（图7）
类似地，画多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。这是我们本节课讨论的内容。
问题六：三角形如果三条边都想的，三个角也都相等，那么这样的三角形就叫做正三角形。如果多边形各条边都相等，各个角也都相等，那么这样的多边形就叫做正多边形。（如下图所示）
（正三角形） （正四边形） （正五边形） （正六边形） （正八边形）
三、盘点收获
在一个平面内，由一些线段首尾顺次连结组成的图形叫做多边形。
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
n边形的对角线等于[n×(n－3)]÷2.
四、达标检测
（一）、判断题．
1．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形．（ ）
2．由不在一直线上四条线段首尾次顺次相接组成的图形叫四边形．（ ）
3．由不在一直线上四条线段首尾顺次接组成的图形，且其中任何一条线段所在的直线、使整个图形都在这直线的同一侧，叫做四边形．（ ）
4．在同一平面内，四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形．（ ）
（二）、填空题．
1．连接多边形 的线段，叫做多边形的对角线．
2．多边形的任何 所在的直线，整个多边形都在这条直线的 ，这样的多边形叫凸多边形．
3．各个角 ，各条边 的多边形，叫正多边形．
（三）、解答题．
1．在正四边形ABCD中，你能用四中不同的方法把正四边形的面积四等分吗？
2．如上图（2），O为四边形ABCD内一点，连接OA、OB、OC、OD可以得几个三角形？它与边数有何关系？
3．如上图（3），O在五边形ABCDE的AB上，连接OC、OD、OE，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
4．如上图（4），过A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
五、教（学）后反思
第7章 三角形 ★ 7.3 多边形及其内角和
—— 7.3.2 多边形的内角和（第2课时）
年级：七年级 科目：数学 执笔人： 审核：【 】
课型：新授课 授课班级：七年级【 】班 学生姓名：【 】
学习目标：
1、使学生了解多边形的内角、外角等概念
2、能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算
学习重点：
1、多边形的内角和公式
2、多边形的外角和公式
学习难点：
多边形的内角和定理的推导
学法指导：
探究学习
学习过程：
一、创设情景，新知导入：
1我们知道三角形的内角和为180°。
2我们还知道，正方形（正四边形）四个角都等于90°，那么它的内角和为360°，同样，长方形的内角和也是360°。
3正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°。那么，任意一个四边形的内角和是否也是360°呢？
二、探究学习
问题一：请同学们画一个任意四边形，用量角器量出它的四个内角度数，计算它们的和，与同桌进行交流结果。
结论：任意一个四边形的内角和等于 。
我们能利用三角形内角和定理去证明我们得出的这个结论吗？
问题二：根据下面提供的图形和文字，做一做，填一填，找出规律。
A F
D A A
A
D E
B B B B D
C C C C
(图1) （图2） （图3） （图4）
①如图1，三角形ABC的内角和是多少度？（ ）
②如图2，图中有几个三角形？（ ）四边形的内角和是多少度？（ ）
③如图3，图中有几个三角形？（ ）五边形的内角和是多少度？（ ）
④如图4，图中有几个三角形？（ ）六边形的内角和是多少度？（ ）
多边形的边数 3 4 5 6 7 … n
分成三角形的个数
多边形的内角和
由此，我们得出：n边形的内角和＝ 。
问题三：要得到多边形的内角和必需通过“三角形内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形。除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法。（以五边形为例）
分法一：观察图5，在五边形ABCDE内取一点O，连接OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形。其五个三角形的内角和为5×180°，而∠1、∠2、∠3、∠4、∠5（这五个角合在一起变成周角）不是五边形的内角，应减去，所以：五边形的内角和为5×180°－2×180°＝（5－2）×180°＝540°
（图5）
如果五边形变成n边形，用同样的方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n边形内角和＝n×180°－2×180°＝（n－2）×180°。
分法二：观察图6，在五边形的边AB上取一点O，连接OE、OD、OC，则可以得到（5－1）个三角形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角，应舍去。
所以：五边形的内角和为（5－1）×180°－180°＝（5－2）×180°
用同样的方法，也可以把n边形分成（n－1）个三角形，把不是n边形内角的∠AOB舍去，即可得n边形的内角和为（n－2）×180°
(图6)
问题三：图图7，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等于多少？
（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？
（2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得的总和是多少？
（3）上述总和与六边形的内角和，外角和有什么关系？
（图7）
如果将图7中的六边形换成n边形（n的值是不小于3的任意整数）也可以得到同样的结果吗？
由问题三的探究，我们可以得到：多边形的外角和等于 。
所以我们说，多边形的外角和与它的边数无关。
对此，我们也可以像以下这样理解，为什么多边形的外角和等于360°
如右图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过
各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转
的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各
个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360
三、盘点收获
知识要点 总结 注意问题 解题方法总结
多边形内角和定理 n边形内角和等于（n－2）×180° 内角和随多边形边数的改变而改变。 （1）常利用对角线将多边形问题转化为三角形问题解决。（2）定值问题长从多边形外角和的方向来考虑。
多边形外角和定理 多边形的内角和等于360° 多边形的外角和是定值。
四、达标检测
（一）、判断题．
1．当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加．（ ）
2．当多边形边数增加时．它的外角和也随着增加．（ ）
3．三角形的外角和与一多边形的外角和相等．（ ）
4．从n边形一个顶点出发，可以引出（n一2）条对角线，得到（n一2）个三角形．（ ）
5．四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．（ ）
（二）、填空题．
1．一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为 边形．
2．一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形为 边形．
3．内角和等于外角和的多边形是 边形．
4．内角和为1440°的多边形是 ．
5．一个多边形的内角的度数从小到大排列时，恰好依次增加相同的度数，其中最小角为100°，最大的是140°，那么这个多边形是 边形．
6．若多边形内角和等于外角和的3倍，则这个多边形是 边形．
7．五边形的对角线有 条，它们内角和为 ．
8．一个多边形的内角和为4320°，则它的边数为 ．
9．多边形每个内角都相等，内角和为720°，则它的每一个外角为 ．
10．四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1：2：3：4，那么∠A：∠B：∠C：∠D= ．
11．四边形的四个内角中，直角最多有 个，钝角最多有 个， 锐角最多有 个．
12．如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加 ，外角和增加 ．
(三)、选择题．
1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（ ）
A．互为余角 B．互为邻补角 C．两个角相等 D．外角大于内角
2．若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（ ）
A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形
3．一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（ ）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
4．随着多边形的边数n的增加，它的外角和（ ）
A．增加 B．减小 C．不变 D．不定
5．若多边形的外角和等于内角和的和，它的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
6．一个多边形的内角和是1800°，那么这个多边形是（ ）
A．五边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形
7．一个多边形每个内角为108°，则这个多边形（ ）
A．四边形 B，五边形 C．六边形 D．七边形
8，一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1080°
9．n边形的n个内角中锐角最多有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是（ ）
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D，十一边形
11．过多边形的一个顶点可以引9条对角线，那么这个多边形的内角和是（ ）
A 1620° B 1800° C 1980° D 2160°
12．八边形的对角线的条数是( )
A 9条 B 14条 C 20条 D 24条
13．如果把一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来多边形的边数是（ ）
A 5条 B 6条 C 7条 D 8条
14．下面几个结论：①三角形的外角中最多只有一个锐角；②正n边形的内角度数等于180°－360°/n；③多边形的内角和不一定大于多边形的外角和；④n边形的边数每增加1条，对角线就增加 n条；⑤任何一个多边形中，锐角不超过3个。其中正确的有（ 0
A 2个 B 3个 C 4个 D 5个
15．如图（1）所示，试求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数。
D
A G
E F
B C
图（1）
16．★探究题★ 过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，则（m－K）n为多少？
17．★开放题★ 如图，把正方形截下一个角后，得到的图形的内角和为多少
5、教（学）后反思
第7章 三角形 ★ 7.4 课题学习 镶嵌
年级：七年级 科目：数学 执笔人： 审核：【 】
课型：新授课 授课班级：七年级【 】班 学生姓名：【 】
学习目标：
1、会用正多边形无缝隙、不重叠第覆盖平面
2、让学生应用已有的数学知识和能力，探索和解决镶嵌问题的过程中，感受数学知识的价值，增强应用意识，获得各种体验
学习重点：
会用正多边形无缝隙、不重叠第覆盖平面
学习难点：
哪些多边形形状可以镶嵌平面图形
学法指导：
实际操作，感受体验带来的快乐
学习过程：
一、创设情景，新知导入：
观察提供的图片：
我们经常能看到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖砌成美丽的图案。
二、探究学习
问题一：镶嵌定义。
用一些形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠的把平面的一部分完全覆盖，这就是平面图形的镶嵌。
注意：各种图形拼接后既要无缝隙，又不重叠。
利用镶嵌我们可以得到一些绚丽多
彩的图案。
问题二：【动手操作】 请同学们将准备好的图形，如边长相同的正三角形，正方形，正五边形，正六边形等拿出来，按提示要去操作。
（1）用边长相同的正三角形能否镶嵌？结论是：用边长相同的正三角形 镶嵌。
（2）用边长相同的正方形能否镶嵌？结论是：用边长相同的正方形 镶嵌。
（3）用边长相同的正五边形能否镶嵌？结论是：用边长相同的正五边形 镶嵌。
（4）用边长相同的正六边形能否镶嵌？结论是：用边长相同的正六边形 镶嵌。
根据我们刚才的实际操作拼接，想一想，镶嵌平面图案需要什么条件？
条件是：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于 。
三、盘点收获
本节我们学习了在平面内如何镶嵌的知识。
知识要点 总结 注意问题 解题方法总结
平面镶嵌的定义 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，在几何里叫做平面镶嵌。 平面镶嵌既不能重叠也不能有空隙。 在进行平面镶嵌的图案设计问题中，要使拼接在同一个顶点的各个多边形的内角和等于360°。
平面镶嵌的条件 （1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°（2）相邻的多边形有公共边，当所用的多边形为正多边形时，它们的边长应相等。 两个条件必须同时满足，缺一不可。
四、达标检测
1、在一个顶点处，若n边形的几个内角的和为 ，则此正n边形可铺满地面，没有空隙。
2、能用一种正多边形进行平面镶嵌的有 、 、
3、能用一种任意多边形进行平面镶嵌的有
4、如果只用圆、正五边形、矩形中的一种图形镶嵌整个平面，那么这个图形只能是
5、只用正三角形和正六边形地板铺地面，你有几种方案？
6、在一间长6m，宽3.5m的客厅地面上，要铺同种规格的正方形地砖，现在有““40cm×40cm”，“30cm×30cm”，“50cm×50cm”，“60cm×60cm”的地砖，请你设计一下，需要全部铺满，不能破地砖，不留一点空隙，也不多余，选哪一种规格，为什么？
7、如图所示，你能将一个正三角形分成8个大小、形状意义的直角三角形吗？若能，请你画出图形。
8、用m个正三角形和n个正六边形铺满地面，先求出m、n的值，再各自设计一种铺法，并作出设计的图形。
5、教(学)后反思
第7章 三角形 复习课
年级：七年级 科目：数学 执笔人： 审核：【 】
课型：新授课 授课班级：七年级【 】班 学生姓名：【 】
复习目标：
通过对本章知识结构图，加深本章知识的理解；
对知识点的归纳，是为了更好地的在解决本章知识的时候，能灵活运用。
复习过程：
一、三角形知识结构图：
三角形的边
与三角形 高线
有关的线段 中线
角平分线
三角形的内角和
与三角形有关的角 三角形的外角和
内角与外角的关系
三角形
锐角三角形
斜三角形
按角分 钝角三角形
直角三角形
不等边三角形
按边分 底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
定义
多边形 多边形的内外角和
镶嵌
二、知识要点回顾
1、三角形的三边关系：
（1）、三角形两边之和大于第三边
（2）、三角形两边之差小于第三边
2、判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形
当a最长，且有b＋c﹥a时，就能构成三角形。
3、确定三角形第三边的取值范围
两边之差﹤第三边﹤两边之和
4、三角形的三条高线（或高线所在直线）交于一点
锐角三角形三条高交于三角形内部一点
直角三角形三条高线交于直角顶点
钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点
5、三角形的三条中线交于三角形内部一点，这点被称为重心
6、三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这点被称为内心
7、三角形的主要线段
（1）三角形的高线定义
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线
（2）三角形角平分线的定义
三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
（3）连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线
8、三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变。这就是说，三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性
9、三角形内角和定理
三角形内角和等于180°
10、三角形外角和定理
三角形外角和等于360°
11、三角形的外角与内角的关系
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角
12、n边形的内角和等于（n－2）×180°，多边形的外角和都等于360°
13、镶嵌
（1）、拼接在同一个点的各个角的和等于360°
（2）、任意三角形一定可以镶嵌
（3）、任意四边形一定可以镶嵌
（4）、正六边形可以镶嵌
注意：只用正五边形、正八边形一种图形不能镶嵌
第7章 三角形 练习课
年级：七年级 科目：数学 执笔人： 审核：【 】
课型：新授课 授课班级：七年级【 】班 学生姓名：【 】
练习目标：
通过练习，加强学生对已知知识的掌握和灵活运用。
练习过程：
一选择
1、三角形三个内角的度数分别是（x＋y）°，（x－y）°，x°，且x﹥y﹥0，则该三角形有一个内角为（ ） A 30° B 45° C 60° D 90°
2、把14cm长的细铁丝截成三段，围成不等边三角形，并且使三边长均为整数，那么（ ）
A 只有一种截法 B 只有两种截法 C 有三种截法 D 有四种截法
3、等腰三角形的腰长为a，底为x，则的取值范围是（ ）
A 0﹤x﹤2a B 0﹤x﹤a C 0﹤x﹤a/2 D 0﹤x≤2a
4、一个正多边形的每一个内角都是120°，这个多边形是（ ）
A 正四边形 B 正五边形 C 正六边形 D 正七边形
5、一个多边形木板，截去一个三角形后（截线不经过顶点），得到新多边形内角和为2160°，则原多边形的边数为（ ）A 13条 B 14条 C 15条 D 16条
6、下列说法中，错误的是（ ）
A 一个三角形中至少有一个角不大于60° B 有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形C 三角形的外角中必有两个是钝角 D 锐角三角形中两锐角的和必小于60°
A
二填空
1、∠B=100°，∠A=∠C，则∠C= ；
2、2∠A=∠B+∠C，则∠A=
3、如右图， 是⊿ACD的外角
∠ADB﹦115°，∠CAD﹦80°，则∠C﹦
B D C
4、三角形的两边为7cm和5cm，则第三边x的取值范围是
5、直角三角形的两锐角相等，则每个锐角等于
6、在⊿ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B还大30°，则∠C的外角为 度，这个三角形是 三角形。
7、如下左图，AD是BC边上的高，BE是⊿ABD的角平分线，∠1=40°，∠2=30°，则∠C=
∠BED= A A
1 2
E
B C B C
D D
8、如上右图，已知：AD是△ABC的中线，△ABC的面积为50cm2，△ABD的面积是_______.
有一六边形，截去一三角形，内角会发生怎样的变化，请根据图示说明
9、如图所示，D是△ABC中BC边上一点，
试说明2AD＜AB＋BC＋AC。
A
B C
D
10、已知两条线段的长分别是3cm和8cm，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？
11、如图所示，在⊿ABC中，DE∥BC，F是AB上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G，试说明∠EGH和∠ADE的关系
A
F
D E
B
C G H
12、已知a、b、c为⊿ABC的三边长，且b、c满足（b－2）2＋∣c－3∣＝0，a为方程
∣x－3∣＝2的解，求⊿ABC的周长，并判断⊿ABC的形状。
13、在⊿ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，试探索∠BOC与∠A的关系。
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