课件23张PPT。北师大版高中数学必修5第一章《数列》小结与复习法门高中姚连省制作一教学目标：1、知识与技能：⑴进一步理解数列基础知识和方法，能清晰地构思解决问题的方案；⑵进一步学习有条理地、清晰地表达数学问题，提高逻辑思维能力；⑶加强对等差数列与等比数列的性质的理解，提高“知三求二”的熟练程度；⑷在理解的基础上进一步熟练地构建数列模型解决实际问题。2、过程与方法：⑴通过实例，发展对解决具体问题的过程与步骤进行分析的能力；⑵通过独立思考、合作交流、自主探究的过程，发展应用数列基础知识的能力；⑶在解决具体问题的过程中更进一步地感受数列问题中蕴含的思想方法。3、情感态度与价值观：⑴通过具体实例，感受和体会数列在解决具体问题中的意义和作用，认识数列知识的重要性；⑵感受并认识数列知识的重要作用，形成自觉地将数学知识与实际问题相结合的?思想；⑶在解决实际问题过程中形成和发展正确的价值观
二、教学重点 1.系统化本章的知识结构；2.提高对几种常见类型的认识；3.优化解题思路和解题方法，提升数学表达的能力。教学难点 解题思路和解题方法的优化。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程知识结构数列数
列
的
应
用数列求和等比数列前n项和公式性质定义等差数列通项公式递推公式数列的概念通项公式前n项和公式性质定义通项公式知识归纳1.数列的概念:
(1)按一定次序排成的列数称为数列．
(2)表示方法主要有：通项公式法，递推公式法，前n项和法,和图像法等．(图像是自变量取正整数的一些孤立的点)
2.等差数列:
(1)定义：an+1-an=常数
(2)通项公式：an=a1+(n-1)d 推广： an=am+(n-m)d
(3)前n项和公式:
(4)性质：①若m+n=p+q,则am+an=ap+aq
②若数列{an}是等差数列，则
也是等差数列
③等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列
3.等比数列:
(1)定义：an+1/an=常数
(2)通项公式：an=a1qn-1 推广： an=amqn-m
(3)前n项和公式:
(4)性质：①若m+n=p+q,则aman=apaq
②若数列{an}是等比数列，则
也是等比数列
③等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列
4. 数列求和:
常用求和方法:裂项求和、分组求和、错位相减、倒序相加例1 根据数列的前几项,写出下列数列的一个通项公式：求通项累差法或累积法求解例4 (1)设数列 前n项的和求 的通项公式. 换元法性质的应用 已知等差数列中的任意两项，可以求出其他的元素．这里应用的是方程组的思想．102724例6 在等比数列 中，（1）若 则（2）若 则（4）若 则3050324例7 已知数列{an}为等比数列,a2=50,a5=6.25,设
bn=log2an.
(1)求证:数列{bn}为等差数列;
(2)求数列{bn}的前n项和;
(3)求数列{bn}中的最大值.(3)∵{bn}为递减的等差数列
∴n=1时, bn取得最大值,最大值为log25数列的求和例8 等差数列{an}中,a1=13,S3=S11,求Sn解(1)f(1)=a1+a2+a3+…+an=n2
∴ an=n2-(n-1)2=2n-1
数列的应用例1 购买一件售价为5000元的商品,采用分期付款的办法,每期付款数相同,购买后1个月付款一次,过1个月再付款一次,如此下去,到第12次付款后全部付清.如果月利率为0.8%,每月利息按复利计算(上月利息计入下月本金),那么每期应付款多少元?(精确到1元)解:设每期应付款x元,则
第一期与到最后一期付款所生利息之和为x(1+1.008)11元;
第二期与到最后一期付款所生利息之和为x(1+1.008)10元;
… …
第十一期与到最后一期付款所生利息之和为x(1+1.008) 元;
第十二期付款已没有利息问题,即为x元.
小结1.等差数列的基本公式在数列中占用重要的地位,应用要从公式的正向、逆向、变式等多角度去思考.
2.等比数列的前n项和公式要分两种情况,公比等于1和公比不等于1,而公比等于1的情况最容易忽略.
3.等差数列和等比数列中,经常要根据条件列方程(组)
求解,注意用方程的思想、消元的思想及整体代换思想分析问题和解决问题.
4.数列的渗透力很强,它和函数、方程、三角、不等式等知识相互联系,优化组合.解题是必须深刻体会蕴藏在数列概念和方法中的数学思想,如函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等.课堂小结：本节学习了如下内容：1.第二章“数列”一章知识和方法的概括性回顾与思考.2.运用中典型例题的探究。
布置作业：课本复习参考题一 A组13、14 B组5?
五、教学反思：
课件28张PPT。数 列 的 应 用北师大版高中数学必修5第一章《数列》法门高中姚连省制作1数 列 的 应 用 与数列有关的应用题大致有三类：
一是有关等差数列的应用题；
二是有关等比数列的应用题；
三是有关递推数列中可化为等差、等比数列的问题.1 解决有关数列的应用题与解决其它应用题
相似的是要认真理解题意（可以通过列表、画
图等来加强对题意的理解），弄清各项之间的
关系，便于确定模型的类型（等差或等比）；
弄清项与项数的关系，便于确定计算公式；遇
到问题按等比增长时，对次数的理解要准确.数 列 的 应 用1例1.（1994年全国高考试题）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）.经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）
A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个[分析]由题意，这种细菌原有的个数，经过20分钟， 40分钟，60分钟，…分裂后的个数分别为1，2，22，23，… .这是一个等比数列，公比为2.因此经过3小时，这种细菌的个数为a10=1·210-1=29=512.故本题应选B.[说明]此类问题切忌硬套类型、公式.要注重对问题分析过程的思考（这里即细菌个数随时间变化的规律的考察），这样即使不套用等比数列的公式，也会得出29 的结果. 1经过1个20分钟2=21经过2个20分钟4=22经过3个20分钟8=23…………经过3小时29=5121例2.有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需用24小时；但它们是每隔相同的时间投入工作的，每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕.如果第一台收割时间是最后一台的5倍，求用这种方法收割完这片土地上的小麦需用多少时间？[分析]依题意，这些联合收割机投入工作的时间组成一个等差数列，按所规定的方法收割，所需要的时间等于第一台收割机所需要的时间，即求数列的首项.1解：设从每一台工作起，这n台收割机工作
的时间依次为a1，a2， … an小时，
依题意，{an}是一个等差数列，①②由②得，a1+a2+…+an=24n,③1由①、③联立方程组得，解之得，a1=40，an=8.答：用这种方法收割完这片土地上的全部小麦需用40小时.1例3.某林场原有木材量为a，木材以每年25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x，为了实现经过20年达到木材存有量翻两翻，求每年砍伐量x的最大值.（设1.2520=86.74）[分析]木材的增长率是一个等比数列的问题，翻几翻问题也是等比数列问题，原来a，翻一翻2a，翻两翻4a，依次类推.[解]11例4.顾客从商场购买一台售价为1.25万元的电脑，采用分期付款的方法，先付款(也称首付)0.25万元，余款以后再付，但要支付利息.如果按月利率1%,每月利息按复利计算(即每月利息记入下月本金)（1）试分别计算1个月后、2个月后、3个月后……一年后顾客欠商场本利和 .（2）余额也采用分期付款的方法，要求每期付款数额相同，购买后第1个月月底第1次付款，再过1个月第2次付款……购买后一年第12次付清.那么每期应付款多少元？1（1）试分别计算1个月后、2个月后、3个月后……一年后顾客欠商场本利和 .[解]1个月后欠商场本利和：1+1×1%=1×(1+1%)=1.01万元,2个月后欠商场本利和:1.01×(1+1%)=1.02万元,3个月后欠商场本利和:1×1.013=1.03万元,一年后欠商场本利和:1×1.0112=1.13万元.……1（2）余额也采用分期付款的方法，要求每期付款数额相同，购买后第1个月月底第1次付款，再过1个月第2次付款……购买后一年第12次付清.那么每期应付款多少元？主要思路：思路1：逐月计算欠款情况，最后欠款数为零.思路2：从货款与还款随时间不断增值方面考虑.思路3：各期还款额等价到货款初的角度来考虑.1思路1：逐月计算欠款情况，最后欠款数为零.[解法1]1个月后欠 1·（1+1%）-x=1.01-x2个月后欠 （1.01-x） · 1.01-x=1.012-1.01x-x3个月后欠（1.012-1.01x-x） · 1.01-x
=1.013-1.012x-1.01x-x……12个月后欠1.0112-1.0111x-1.0110x-……-1.01x-x设每月付款x元，1由1.0112-1.0111x-1.0110x-……-1.01x-x=0得x + 1.01x +……+1.0110x + 1.0111x = 1.0112答：每月还870元.1思路2：从货款与还款随时间不断增值方面考虑.[解法2]商品购买1年后货款全部付清时
货款增值为1×1.0112万元.设每期付款额为x万元第12期付款x万元时,没有增值,还是x万元，第11期付款x万元,经过1个月增值为x·1.01万元，第10期付款x万元,经过2月增值为x·1.012万元，……第1期付款x万元,经过11月增值为x·1.0111万元.1由x + 1.01x +…+ 1.0110x + 1.0111x = 1.0112答：每月还870元.1思路3：各期还款额等价到货款初的角度来考虑.[解法3]货款初为1万元.设每期付款x元,则第1期所付的x元,在货款初只值第2期所付的x元,在货款初只值第3期所付的x元,在货款初只值……第12期所付的x元,在货款初只值1以下同解法一.1例5（1996年全国高考试题）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷，设1.0110=1.1045）[分析]这是一个实际应用问题.由于考虑的是人口平均增长率，因此每年年底的人口总数组成一个等比数列，而每年年底的耕地数组成一个等差数列.设该地区现有人口为P，那么10年后人口为P·（1+1%）10.设耕地每年至多只能减少x公顷，那么10年后耕地面积为（10000-10x）公顷.设现在粮食单产为M吨/公顷，那么10年后粮食单产为M（1+22%）吨/公顷.[解]1答：按规划耕地平均每年至多只能减少4公顷.1思考题：12. 环境问题严重危害人民群众身心健康，也直接影响着北京举办2008年奥运会.2000年我国北方地区发生的多起沙尘暴，主要是由于土地沙漠化引起的.据调查，沙漠化土地面积每年以4%的速度递增.北京市以北地区1995年底有沙漠化土地面积25200亩，计划从1996年起每年在沙漠上种植相同面积的树木，以改造沙漠为森林，计划在2007年年底前完成对沙漠的改造任务，问每年至少植树多少亩？(1.0412=1.601)思考题：1第一题提示：1第二题提示：96年底沙漠化土地面积为:(25200-x) ·1.04;97年底沙漠化土地面积为:
[(25200-x) ·1.04-x] ·1.04
=25200·1.042-x(1.042+1.04);……2007年底沙漠化土地面积为:
25200·1.0412-x(1.0412+1.0411+…+1.04).答案：每年至少植树2582亩.13.银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利.现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案—一次性贷款10万元，第一年可获利1万元，以后每年比上一年增加30%的利润；乙方案每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比上一年增加5千元.两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息.若银行贷款利息均按年利息10%计算，试比较两种方案的优劣（计算时，精确到千元，并取1.110≈2.594,1.310≈13.79）思考题：1第三题提示：净收益32.5-15.94=16.6万元所以甲方案优于乙方案.1小结：（1）.等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型;（2）.银行存款的计息方式;
（3）.银行的储蓄业务种类;（4）.零存整取储蓄模型;（5）.定期自动转存模型；（6）.教育储蓄模型.
作业： 习题1——4第1、2题
五、教后反思：1课件26张PPT。数列的概念北师大版高中数学必修5第一章《数列》法门高中姚连省制作11、教学内容：本节的主要内容是数列的概念和通项公式。掌握数列函数集合三者的关系用函数观点理解序号与项的关系，再分析给出项或通项公式，分析就深刻具体，面面俱到，发现规律，了解递推公式也是数列的一种表示方法。2、教学目标：（1）知识目标：理解数列概念；给出前几项，求通项的分析方法；数列的表示方法；递推公式的定义及简单应用。（2）能力目标：学会观察、分析、猜测、归纳；数形结合法的应用；数学归纳法的应用。一、教学目标：1（3）认知目标：通过教学培养学生观察问题、分析问题的能力，学习辩证的观点从特殊到一般的认识事物规律，大胆猜测、归纳。4、教学重难点、关键：重点是数列概念的教学，难点是给出项求通项，关键是多分析、比较、多训练、多实践在概念的教学中，辅助图象、精例、比较集合函数的异同分散难点。（4）德育目标：从德育方面进行教育、善比较、细分析、做生活中的有心人，发现规律，不要马马虎虎、似是而非，做符合时代的“创新型”的人才。1三、学法指导 教与学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，且要向45分钟要质量，首先是乐学，通过提问，激发求知欲、愿意学。其次善于联想，将数列想念与集合函数联系。再次，是学会比较分析观察。第四，大胆参与尝试，不怕失败。第五，强化训练，迁移应用，举一反三。第六，学会总结归纳，还应刻意去记忆一些常见的数列。四、教学过程14，5，6，7，8，9，10.堆放的钢管1正整数的的倒数：1，1.4，1.41，1.414，…，-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排成的一列数：-1，1，-1，1，-1，1，…无穷多个1排成的一列数：1，1，1，1，1，1，…1数列的定义按一定的次序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。1通项公式1通项公式1通项公式1. 数列 4，5，6，7，8，9，10.的通项公式是：(n≤7)2. 数列 2，4，6，8，… 的通项公式是：3. 数列 1，4，7，10，… 的通项公式是：1实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值。1y=f（x）ann？函数值自变量通项公式1(2).数列的通项公式不唯一 1数列的图象表示1. 数列 4，5，6，7，8，9，10.的图象1234567891012345678910●●●●●●●01数列的图象表示1. 数列 的图象1234567891012345678910●●●●●●1有穷数列、无穷数列项数有限的数列叫做有穷数列。项数无限的数列叫做无穷数列。例如:数列1按项的大小分：递增数列 —— a n ＜a n + 1递减数列 —— a n ＞a n + 1常数列 : a n = a n + 1摆动数列 : a n －1 ＜a n 且 a n ＞a n + 11数列的例题11数列的例题2写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：1数列的例题3 例3 已知数列 的第1项是1，以后的各项由公式 给出，写出这个数列的前5项。1数列练习11，4，9，16，25.10，20，30，40，50.5，-5，5，-5，5.1数列练习21数列练习3练习3 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：1数列练习4例4 观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出一个通项公式.2,4,( ),8,10, ( ),14.
2,4,( ),16,32,( ),128,( )
( ),4,9,16,25,( ),49.
( ),4,3,2,1,( ),-1,( ).
1, ,( ),2, ,( ), ( )61286413650-22561数列练习55，8，11，14，172，4，8，16，323，6，3，-3，-61，2，5/2，
29/10，941/2901五、小结：本节讲了：1、数列概念（注意与函数、集合进行比较)2、数列通项公式的求法（观察分析法）4、递推公式的应用。 在练习中细心分析不要马虎，多试验，找规律，对各种各样的数列试着分析和记忆，培养分析问题、观察问题、解决问题的能力。3、数列的表示方法（列举法、图象法、解析法）。六、作业布置：课本习题1-1A组1、2、3、4。 七、教学反思：1课件13张PPT。等差数列的前n项和北师大版高中数学必修5第一章《数列》法门高中姚连省制作1一、教学目标：1、知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题。
2、过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平。3、情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美，通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。
二、教学重点 等差数列的前n项和公式的理解、推导及应用。
教学难点 灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程1复习数列的有关概念11复习数列的有关概念21复习等差数列的有关概念1等差数列的前n项和公式的推导由等差数列的前n项和得1等差数列的前n项和公式的其它形式1等差数列的前n项和例题1 例1 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支. 这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记为答：V形架上共放着7260支铅笔.1等差数列的前n项和例题2 例2 求集合 的元素个数，并求这些元素的和.解：所以集合M中的元素共有14个.将它们从小到大列出，得即 7，14，21，28，…，98这个数列是成等差数列，记为答：集合M共有14个元素，它们的和等于735.1等差数列的前n项和例题3 例6 已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列，求证它们的比是3：4：5.证明：将成等差数列的三条边的长从小到大排列，它们可以表示为 a-d, a, a+d (这里a-d>0,d>0)由勾股定理，得到解得从而这三边的长是3d,4d,5d,因此，这三条边的长的比是3：4：51等差数列的前n项和练习11. 根据下列条件，求相应的等差数列 的1等差数列的前n项和练习2-32. 求自然数中前n个数的和.3. 求自然数中前n个偶数的和.1课堂小结：1、本节课我们学习了哪些数学内容?? 2、通过等差数列的前n项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法??3、本节课我们通过探究还得到了等差数列的性质中的什么内容?? 布置作业：课本习题1-2 A组11、12、13 B组3??
五、教学反思：1课件14张PPT。北师大版高中数学必修5第一章《数列》欢迎指导！法门高中姚连省制作等差数列（一）教学目标及重点难点教学目标
1.理解等差数列的概念，理解并掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决简单的问题。
2.培养学生的观察能力，进一步提高学生的推理归纳能力。
重点难点
1.等差数列概念的理解与掌握
2.等差数列通项公式的推导及应用
3.等差数列“等差”特点的理解、把握及应用 复习导入请看以下几例：
4，5，6，7，8，9，10，······
3，0，-3，-6，-9，-12，······
1/10,2/10,3/10,4/10,5/10······
3，3，3，3，3，3，3，······你还记得吗？数列的定义
给出数列的两种方法
等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母d表示。返回等差数列的公差 d:
1.an-an-1=d (n≥2)（数学表达式）
3.d的范围 d∈R2.常数 如2，3，5，9，11就不是等差数列等差数列的通项公式 如果等差数列｛an｝的首项是a，公差是d，那么根据等差数列的定义得到：
a2-a1=da2=a1+d 由此得到 an=a1+(n-1)d返回an-a1=(n-1)dan-an-1=da4-a3=da3-a2=dan=a1+(n-1)da4=a1+3da3=a1+2d课堂练习（一）在等差数列｛an｝中，
1）已知a1=2,d=3,n=10,求an解：a10=a1+9d=2+9×3=292）已知a1=3,an=21,d=2,求n解：21=3+(n-1)×2 n=103）已知a1=12,a6=27,求d解：a6=a1+5d,即27=12+5d d=34）已知d=-1/3,a7=8,求a1解：a7=a1+6d 8=a1+6×(-1/3)
∴a1=10等差数列的应用 例1. 1）等差数列8，5，2,······的第20项是几？
2）-401是不是等差数列-5,-9,-13······的项？如果是，是第几项？解： 1）由题意得，a1=8,d=-3 2）由题意得,a1=-5,d=-4,an=-401an=a1+(n-1)d∴n=100
∴-401是这个数列的第100项。∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49-401=-5+(n-1)×(-4)课堂练习（二）1）求等差数列3，7，11······的第4项与第10项。答案：a4=15 a10=39 2)100是不是等差数列2，9，16······的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。答案：是第15项。 3)-20是不是等差数列0,-3.5,-7···的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。解：a1=0,d=-3.5∴-20不是这个数列中的项。n=47/7-20=0+(n-1)×(-3.5)等差数列的应用 例2.在等差数列｛an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d。解：由题意，a5=a1+4d
a12=a1+11d解之得 a1=-2 d=3若让求a7，怎样求？即 10=a1+4d
31=a1+11d课堂练习（三） 1.在等差数列｛an｝中，已知a3=9,a9=3,求a12答案：a12=0 2.在等差数列｛an｝中，已知a2=3,a4=7,求a6、a8解：由题意得，a1+d=3, a1+3d=7∴a6=a1+5d=1+5×2=11
a8=a1+7d=1+7×2=15∴ a1=1, d=2应用延伸 1.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？解：由题意得，
a6=a1+5d＞0 a7=a1+6d＜0 2.已知等差数列{an}的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。解：a12=30+11d＜0
a11=30+10d≥0∵d∈Z ∴d=-4∴-23/5＜d＜-23/6 ∴ -3≤d＜-30/11
即公差d的范围为：-3≤d＜-30/11本节小结 1. 等差数列的定义
2.通项公式及其应用你都掌握了吗？作 业习题1——2 A组5、6、7 请打开课本再见！好好学习
天天向上教学反思：课件23张PPT。等差数列（二）北师大版高中数学必修5第一章《数列》法门高中姚连省制作一、教学目标：1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。
二、教学重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。
教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
三、教法与学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、座位问题、鞋号问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
四、教学过程请观察下列数列的特点． (1) 1，4，7，10，… (2) 3，－1，－5，－9，… (3) 5，5，5，5，… 定义：如果一个数列从第 ___ 项起，每一项与它的 _____的差等于 _____ 一常数 d，这个数列叫做 _____________ ，
d 为此数列的 __________。二前一项同等差数列公差问题：由数列的前几项（有限项）按定义作差都为同一常数，能否说明此数列为等差数列？判断数列为等差数列的方法： a n + 1 －a n = d
或
a n －a n －1 = d ( n ≥ 2 ) 特例：0，0，0，0，…
a , a , a , a , …判定下列数列是否是 等差数列？如果是请指出公差。 （1）. 9 ，8，7，6，5，4，……；
是,d=-1
(2). 1，1，1，1，……；
是, d=0
(3). 1，0，1，0，1，……；
不是
(4). 1，2，3，2，3，4，……；
不是
(5). 0，0，0，0，0，0，…… 是d=0
(6). a, a, a, a, ……；
是d=0
问题：
若一个数列a1,a2,a3,…,an ,…
是等差数列，它的公差是d，那么数列{ an }的通项公式是什么？通项公式
an= a1＋（n－1）d等差数列中，a n 是 n 的 ________，
或 ，图象特点
____________________ 一次函数等差数列各项对应的点都在同一条直线上a n 是常函数 通项公式中含有a1，d，n，an四个量，从已知和未知的角度看，若已知其中任意三个量的值，即可利用方程的思想求出第四个量的值（即知三求四）．通项公式的应用：
①可以由首项和公差求出等差数列中的任意一项；
②已知等差数列的任意两项，可以确定数列的任意一项。如果在 a 和 b 之间插入一个数A，使 a、A、b 成等差数列，则 A 叫做 a、b 的__________。有 ____________________
反之 ______,
即若 a + b = 2A，则a、A、b 成 ____________________等差中项也成立等差数列一般地，在等差数列中，从第二项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。即2a n = a n －1 + a n + 1
( n ≥ 2 )例1 (1 )已知数列{ an }的通项公式是an =3n-1，
求证：{an}为等差数列；
(2) 已知数列{an}是等差数列，求证：数列{an+an+1} 也是等差数列.例2、
1995 是等差数列－1，1，3，…… 的第几项？例3. 梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽.等差数列的性质1. {an}为等差数列 ?2. a、b、c成等差数列 ?an+1- an=dan+1=an+dan= a1+(n-1) dan= kn + b（k、b为常数）b为a、c 的等差中项2b= a+c ? ? ? ? ?【说明】
3. an= ，
d= am+(n - m) d4.在等差数列{an}中,由 m+n=p+q am+an=ap+aq②上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，如a1+a2=a3 成立吗？注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立 的例4 .在等差数列{an}中
(1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.课堂小结?
师 通过今天的学习，你学到了什么知识?有何体会？?
生 通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质.
(让学生自己来总结，将所学的知识,结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合,培养学生的概括能力和语言表达能力)??
布置作业?课本习题1-2 A组9，B组1
预习内容：课本下节内容；预习提纲：①等差数列的前n项和公式；②等差数列前n项和的简单应用。
五、教后反思：
课件17张PPT。等比数列的前n项和北师大版高中数学必修5第一章《数列》法门高中姚连省制作1一、教学目标：1、知识与技能：⑴了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；⑵探索并掌握等比数列前n项和公式；⑶用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；⑷体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想。2、过程与方法：⑴采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；⑵发挥学生的主体作用，作好探究性活动。3、情感态度与价值观：⑴通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；⑵在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；⑶通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣。
二、教学重点 1.等比数列前n项和公式的推导；2.等比数列前n项和公式的应用。教学难点 :等比数列前n项和公式的推导。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程1 古印度国王舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔。国王问他想要什么，发明者说：“请在第一个格子里放上1粒麦子，在第二个格子里放上2粒麦子，在第三个格子里放上 4粒麦子，在第四个格子里放上8粒麦子，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求”。国王觉得太容易了，就同意了他的要求。1人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子! 假定千粒麦子的质量为10g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。1等比数列前n项和公式的推导12431复习导入
等比数列及前n项和
an+1:an = q
an = a1 q n – 1
Sn = a1 + a2 +…+an
Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>1)
an= Sn – Sn-1 (n>1)这些你都记得吗?1(一) 用等比定理推导当 q = 1 时 Sn = n a11Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1= a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )1Sn= a1+a1q +a1q2 +…+a1qn-2 + a1qn-1 qSn = a1q + a1q2 +…+ a1qn-1 +a1qn 两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n 1Sn= a1+a1q +a1q2 +…+a1qn-2 + a1qn-1 = a1（1+q +q2 +…+qn-2 + qn-1）12、求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的前n项和。1、等比数列1，2，4，8，…从第5项到
第10项的和为3、求和：1例3某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)？分析：第1年产量为 5第2年产量为 5×(1+10%)=5×1.1第3年产量为5×(1+10%) ×(1+10%)=5×1.12则n年内的总产量为：
11 印度还有一古老传说：在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓梵塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。
1 不管这个传说是否可信，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序，一共需要移动多少次，那么，不难发现，不管把哪一片移到另一根针上，移动的次数都要比移动上面一片增加一倍。这样，移动第1片只需1次，第2片则需2次，第3片需4次，第64片需2的63次方次。全部次数为：18446744073709551615次这和“麦粒问题”的计算结果是完全相同的! 假如每秒钟移动一次，共需要多长时间呢?一年大约有31556926秒，计算表明，移完这些金片需要5800多亿年! ?1 用数学的观点看问题，一些所谓不可理解的事就可以给出合理的解释，从而帮助我们用科学的态度认识世界。1练习：?教材练习第1、2、3题.??
课堂小结：本节学习了如下内容：?1.等比数列前n项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”.?
2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.?在使用等比数列求和公式时，注意q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.
布置作业:课本习题1-3 B组2、3?
五、教学反思：1课件14张PPT。等比数列的
性质北师大版高中数学必修5第一章《数列》法门高中姚连省制作1复习数列的有关概念1按一定的次序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列中的各项依次叫做这个数列的第1项（或首项）用 表示，第2项用 表示，…，第n项用 表示，…，数列的一般形式可以写成：…，…，简记作：1复习数列的有关概念2 如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。叫做数列 的前n项和。1复习等差数列的有关概念 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。等差数列 的通项公式为当d≠0时，这是关于n的一个一次函数。 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。等差数列的前n项和1复习等比数列的有关概念 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 1等比数列的性质如果一个数列是等比数列，它的公比是q，若m+n=p+k，则那么…，…，由定义得： 1定义法:判断等比数列的方法中项法:三个数a,b,c成等比数列1等比数列的性质例题1例1 已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号， 解：证明：由题设 得：求证： 也成等比数列。 ∴ 也成等比数列 1等比数列的性质例题2例2 已知是项数相同的等比数列，是等比数列.求证证明：设数列 的首项是 ，公比为 的首项为 ，公比为 ，那么数列 的第n项与第n+1项分别为： 它是一个与n无关的常数， 所以 是一个以 为公比的等比数列 1等比数列的性质例题3例3 已知 是等比数列，且 求 解：∵ 是等比数列， ∴ ∴ ∴ 1等比数列的性质例题4例4 a≠c,三数a, 1, c成等差数列， 成等比数列，求 解：∵a, 1, c成等差数列, ∴ a＋c＝2, 又 成等比数列，∴ 有ac＝1或ac＝－1, 当ac＝1时, 由a＋c＝2得a＝1, c＝1,与a≠c矛盾，∴ ac＝－1, 1等比数列的性质练习1.在等比数列 ，已知 ，求 解：∵ 2.在等比数列 中， ，求该数列前七项之积。 解： ∴前七项之积 1等比数列的性质练习3.在等比数列 ，已知 ，求 解： 另解：∵ 是 与 的等比中项，∴ ∴ 1等比数列的性质作业练习册3、5、6、7祝同学们学习愉快，人人成绩优异！教学反思：1课件21张PPT。等比数列（一）北师大版高中数学必修5第一章《数列》法门高中姚连省制作一、教学目标：1、知识与技能：⑴了解现实生活中存在着一类特殊的数列；⑵理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式；⑶能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题；⑷体会等比数列与指数函数的关系。2、过程与方法：⑴采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学；⑵发挥学生的主体作用，作好探究性活动；⑶.密切联系实际，激发学生学习的积极性。3、情感态度与价值观：⑴通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；⑵通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的?兴趣。
二、教学重点 1.等比数列的概念；2.等比数列的通项公式。
教学难点 1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系；2.等比数列与指数函数的关系.?
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程等比数列定义 一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。(q≠0）特点：1、 “从第二项起”与“前一项”之比
为常数q指出下列数列是不是等比数列 (3) 2, -2, 2, -2, 2 (1) 2, 4, 16, 64, … (2) 16, 8, 1, 2, 0,… (4) 1, 1, 1, 1, 1不是是 是不是不一定考考你由第1项起乘以相同常数得后一项,
这样所得到的数列一定为等比数列在等比数列中,各项与公比都不为零.问题：常数列是等比数列吗？不一定是等比数列。
若此常数列为{0}，则此数列从第二项起，第二项与它前一项的比将没有意义，故非零常数列才是等比数列。因此，既是等差数列又是等比数列的是不等于零的常数列。 （1）an=a1qn-1通项公式(2) an=amqn-m(n,m ∈N*） an+1-an=dd 叫公差q叫公比 an+1=an+d an+1=an q an= a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=amqn-m等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使 a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。1、同号的两项才有等比中项，且有两个。例1 一个细胞进行有丝分裂，每分裂一次个数就加倍，问：分裂5次后有多少个细胞？例2 一个等比数列的第2项与第3项分别是8与12，求这个数列的第1项与第4项。世界杂交水稻之父—袁隆平从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亩，增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。 西方世界称他的杂交稻是“东方魔稻” ，并认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝。例2 袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代时大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位有效数字）？等比数列性质：2b=a+cb2=aca，a+d，a+2da, aq, aq2a-3d，a-d，a+d， a+3dan=am +(n-m) dan=amqn-m例3.在等比数列{an}中
1) 若a1a9=256, a4+a6=40,求公比q
2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5.
3)若a4a7+a5a6=20,求其前10项的和.课堂小结：本节学习了如下内容：1.等比数列的定义；2.等比数列的通项公式；3.等比数列与指数函数的联系。
布置作业：课本习题1-3 A组?第1、2、3、4??
五、教学反思：课件11张PPT。等比数列（二）北师大版高中数学必修5第一章《数列》法门高中姚连省制作1一、教学目标：1、知识与技能：⑴了解等比数列更多的性质；⑵能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中；⑶能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题。2、过程与方法：⑴继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学；⑵对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程；⑶当好学生学习的合作者的角色。3、情感态度与价值观：⑴通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；⑵通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值。
二、教学重点 1.探究等比数列更多的性质；2.解决生活实际中的等比数列的问题。教学难点 渗透重要的数学思想。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程1复习回顾等比数列的定义：
an-1/an=q (常数）
等比数列的通项公式：
an=a1qn-1
an=amqn-m1本课主要教学内容1.理解等比数列的等比中项定义;
2.掌握下标和公式;
3.学会等比数列中的对称设法。1一.等比中项的定义:定义： 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列, 那么G叫做a与b的等比中项。
结论：a，b同号，G2=ab是G是a，b的等比中项的充要条件。
思考： 有穷等比数列，从第二项起（尾项除外），任一 项是其前一项与后一项的等比中项吗？
4. 引伸： 如果三个数成等比数列， 那么怎样设？设三数为:a/q, a, aq1二.下标和公式 等比数列{an}中,
如果 m+n=r+s,(m,n,r,s ∈N*) 那么aman=aras .1证明: 在等比数列中 ∵ am=a1qm-1 , an=a1 qn-1 ∴ aman=a1qn-1a1qm-1=a12qn+m-2 =a12qr+s-2=a1qr-1a1qs-1 =aras ∴aman=aras1例题:例1. 已知：a，b，c成等比数列，
求证：ab，ac，bc成等比数列。例2. 三个数成等比数列，其和为26,其积为364,
求:这三个数.1例3.在等比数列{an}中
1) 若a1a9=256, a4+a6=40,求公比q
2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5.
3)若a4a7+a5a6=20,求其前10项的和.1 1.等比中项： 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列, 那么G叫做a与b的等比中项。(有两个它们互为相反数) 2.结论：a，b同号，G2=ab是G是a，b的等比中项的充要条件。 3.对称设法:三数为 a/q,a,aq 4.下标和公式: 等比数列{an}中,如果 m+n=r+s,(m,n,r,s ∈N*) 那么aman=aras . 课堂小结:1课堂小结：本节学习了如下内容：1.等比数列的性质的探究.
2.证明等比数列的常用方法.??
布置作业：课本习题1-2. A组第5、6、7题、B组第1题.??
五、教学反思：
1
