高中数学专题复习

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第一讲 函数定义域和值域
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．函数f(x)＝的定义域是　 （　A ）
A．－∞，0]　　 B．[0，＋∞　 C．（－∞，0）　 D．（－∞，＋∞）
2．函数的定义域为 （A ）
A．（1，2）∪（2，3） B．
C．（1，3） D．[1，3]
3． 对于抛物线线上的每一个点，点都满足，则的取值范围是 （ B ）
． ． ． ．
4．已知的定义域为，则的定义域为　　　　。
5． 不等式对一切非零实数x总成立 , 则的取值范围是 __。
6．　已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有，则的最小值为　　　　　　。 　
★★★高考要考什么
函数定义域有两类：具体函数与抽象函数
具体函数：只要函数式有意义就行－－－解不等式组；
抽象函数：（1）已知的定义域为D，求的定义域；（由求得的范围就是）
（2）已知的定义域为D，求的定义域；（求出的范围就是）
函数值域（最值）的求法有：
直观法：图象在轴上的“投影”的范围就是值域的范围；
配方法：适合一元二次函数
反解法：有界量用来表示。如，，等等。如，。
换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围。注意三角换元的应用。
　如求的值域。
单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数。如求值域。
注意函数的单调性。
基本不等式：要注意“一正、二定、三相等”，
判别式：适合于可转化为关于的一元二次方程的函数求值域。如。
反之：方程有解也可转化为函数求值域。如方程有解，求的范围。
数形结合：要注意代数式的几何意义。如的值域。（几何意义――斜率）
恒成立和有解问题
恒成立的最大值；恒成立的最小值；
有解的最小值；　无解的最小值；
★★★ 突 破 重 难 点
【范例1】已知f(x)=3x－b（2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（2，1），求F(x)=[f－1(x)]2－f－1(x2)的值域。
分析提示：求函数值域时，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域的制约作用。本题要注意F(x)的定义域与f－1(x)定义域的联系与区别。
解：由图象经过点（2，1）得，，　　　　
　F(x)=[f－1(x)]2－f－1(x2)　　　　　　　的定义域为　
　
　，　，　　　　的值域是
易错点：把的定义域当做的定义域。
　
变式： 函数的定义域为，图象如图所示，
其反函数为则不等式
的解集为 .

【范例2】设函数．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ），
当时，取最小值，
即．
（Ⅱ）令，
由得，（不合题意，舍去）．
当变化时，的变化情况如下表：
递增
极大值
递减
在内有最大值．
在内恒成立等价于在内恒成立，
即等价于，
所以的取值范围为．
变式：函数f（x）是奇函数，且在[—l，1]上单调递增，f（－1）＝－1，(1) 则f（x）在[－1，1]上的最大值　　1　 ，(2) 若对所有的x∈[－1，1]及a∈[－1，1]都成立，则t的取值范围是　　　　_　　　　　　 ．
【范例3】已知函数与的图象相交于，，，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点．
（I）求的取值范围；
（II）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；
（III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）．
解：（I）由方程消得． ①
依题意，该方程有两个正实根，
故解得．
（II）由，求得切线的方程为，
由，并令，得
，是方程①的两实根，且，故，，
是关于的减函数，所以的取值范围是．
是关于的增函数，定义域为，所以值域为，
（III）当时，由（II）可知．
类似可得．．
由①可知．
从而．
当时，有相同的结果．
所以．
变式：已知函数的最大值是，最小值是，求的值。
分析提示：（1）能化成关于的二次函数，注意对数的运算法则；(2)注意挖掘隐含条件“”；（3）掌握复合函数最值问题的求解方法。
解：
=， ∵，且
∴当即时，
∴ ∴，又最大值是，，
∴ 即 ， ∴ ∴
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第十、十一讲 三角函数的图象与性质
★★★高考在考什么
【考题回放】
1.已知函数（、为常数，，）在处取得最小值，则函数是（　D　）
（A）偶函数且它的图象关于点对称
（B）偶函数且它的图象关于点对称
（C）奇函数且它的图象关于点对称
（D）奇函数且它的图象关于点对称
2．定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
3．函数y = －x·cosx的部分图象是( D )
4．① 存在使
② 存在区间（a，b）使为减函数而＜0
③ 在其定义域内为增函数
④ 既有最大、最小值，又是偶函数
⑤ 最小正周期为π
以上命题错误的为____________.①②③⑤
5．把函数y=cos(x+)的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y对称，则φ的最小正值为
6．设函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的最小正周期为π，并且当x=时，有最大值f（）=4.
（1）求a、b、ω的值；
（2）若角(、β的终边不共线，f（(）=f（β）=0，求tan（(+β）的值.
【专家解答】（1）由=π，ω＞0得ω=2. ∴f（x）=asin2x+bcos2x.
由x=时，f（x）的最大值为4，得
（2）由(1)得f（x）=4sin（2x+）, 依题意4sin（2α+）=4sin（2β+）=0.
∴sin（2α+）－sin（2β+）=0. ∴cos（α+β+）sin（α－β）=0
∵α、β的终边不共线，即α－β≠kπ（k∈Z）， 故sin（α－β）≠0.
∴α+β=kπ+（k∈Z）.∴tan（α+β）=.
★★★高考要考什么
【考点透视】
本专题主要涉及正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质. 掌握两种作图方法：“五点法”和变换作图（平移、对称、伸缩）；三角函数的性质包括定义域、值域（最值），单调性、奇偶性和周期性.
【热点透析】
三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来 本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用 常见题型：
1 考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用
2 三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强
3 三角函数与实际问题的综合应用
此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用
★★★突破重难点
【范例1】右图为y=Asin((x+()的图象的一段，求其解析式。
解析 法1以M为第一个零点，则A=，
所求解析式为
点M（在图象上，由此求得
所求解析式为
法2. 由题意A=，，则
图像过点
即 取
所求解析式为
【点晴】1. 由图象求解析式时,”第一零点”的确定很重要,尽量使A取正值.
2. 由图象求解析式或由代数条件确定解析式时,应注意:
(1) 振幅 A=
(2) 相邻两个最值对应的横坐标之差,或一个单调区间的长度为, 由此推出的值.
(3) 确定值,一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定.
【范例2】已知函数，
（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；
（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期。
解析 （1）由题意得sinx-cosx＞0即，
从而得，
∴函数的定义域为，
∵，故0＜sinx-cosx≤，所有函数f(x)的值域是。
（2）单调递增区间是
单调递减区间是，
（3）因为f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数。
（4）∵
∴函数f(x)的最小正周期T=2π。
【点睛】此题主要是考察对数函数与三角函数复合而成的复合函数的性质
【范例3】设函数，其中向量，，，且的图象经过点．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求函数的最小值及此时值的集合．
解：（Ⅰ），
由已知，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
当时，的最小值为，
由，得值的集合为．
【范例4】设函数，，
其中，将的最小值记为．
（I）求的表达式；
（II）讨论在区间内的单调性并求极值．
本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分．
解：（I）我们有


．
由于，，故当时，达到其最小值，即
．
（II）我们有．
列表如下：
极大值
极小值
由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．
【范例5】已知二次函数f(x)对任意x(R，都有f(1-x)= f(1+x)成立，设向量（sinx，2），（2sinx，），（cos2x，1），（1，2），当x( [0，]时，求不等式f（）＞f（）的解集．
解析:设f（x）的二次项系数为m，其图象上两点为（1-x，）、B（1＋x，）因为，，所以，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称，若m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数，若m＜0，则x≥1时，f（x）是减函数．
∵　，，，，，
，
∴　当时，
，．
∵　，　∴　．
当时，同理可得或．
综上的解集是当时，为；
当时，为，或．
【点晴】此题是三角函数与平面向量的综合问题。利用函数的单调性解不等式是该题的重点和难点.
【变式】试判断方程sinx=实数解的个数.
解析 方程sinx=实数解的个数等于函数y=sinx与y=的图象交点个数
∵|sinx|≤1∴||≤1, |x|≤100л
当x≥0时，如右图，此时两线共有
100个交点，因y=sinx与y=都是奇函数，由对称性知当x≥0时，也有100个交点，原点是重复计数的所以只有199个交点。
【点睛】 此题主要考察数形结合解题的能力。该题在统计根的个数时，要注意原点的特殊性.
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第十二讲 平面向量及应用
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．（宁夏，海南）已知平面向量，则向量（　Ｄ　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
2．（福建）对于向量和实数，下列命题中真命题是（ B ）
A．若，则或 B．若，则或
C．若，则或 D．若，则
3．（北京）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　Ａ　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．（湖北）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（　Ａ　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
5．（江西文）在平面直角坐标系中，正方形的对角线的两端点分别为，，则 ．
6．（陕西）如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为 .
7．（全国Ⅱ）在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求的最大值．
解：（1）的内角和，由得．
应用正弦定理，知
，
．
因为，
所以，
（2）因为
，
所以，当，即时，取得最大值
★★★高考要考什么
【考点透视】
本专题主要涉及向量的概念、几何表示、加法和减法，实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算，以及平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段的定比分点坐标公式和向量的平移公式.
【热点透析】
在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用。在复习中要重视教材的基础作用，加强基本知识的复习，做到概念清楚、运算准确，不必追求解难题。热点主要体现在平面向量的数量积及坐标运算以及平面向量在三角，解析几何等方面的应用.
★★★高考将考什么
【范例1】出下列命题：①若，则；
②若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； ③若，则； ④的充要条件是且∥；
⑤若∥，∥，则∥。 其中，正确命题的序号是_________________.
解析：
①不正确性。两个向量长度相同，但它的方向不一定相同。
②正确。∵且，又A、B、C、D为不共线的四点，
∴ 四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形为平行四边形，
则，因此。
③正确。∵，∴、的长度相等且方向相同，又=，
∴、的长度相等且方向相同，∴、的长度相等且方向相同，故。
④不正确。当∥且方向相同，即使，也不能得到。
⑤不正确。考虑这种极端情况。
答案：②③。
【点晴】本题重在考查平面的基本概念。
【范例2】平面内给定三个向量：。回答下列问题：
（1）求； （2）求满足的实数m和n ；
（3）若∥，求实数k；
（4）设满足∥且，求
解：
（1）依题意，得=3（3，2）+（-1，2）-2（4，1）=（0，6）
（2）∵，∴（3，2）=m（-1,2）+n（4,1）=（-m+4n,2m+n）
∴ 解之得
（3）∵∥，且=（3+4k，2+k），=（-5，2）
∴（3+4k）×2-（-5）×（2+k）=0，∴；
（4）∵=（x-4，y-1），=（2，4）， 又∵∥且，
∴解之得或
∴=（，）或=（，）
【点晴】根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。
变式：设向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝a·(a＋b).
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥成立的x的取值集。
解：(Ⅰ)∵

∴的最大值为，最小正周期是。
（Ⅱ）由(Ⅰ)知
即成立的的取值集合是.
【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.
【范例3】已知射线OA、OB的方程分别为，，动点M、N分别在OA、OB上滑动，且。
（1）若，求P点的轨迹C的方程；
（2）已知，，请问在曲线C上是否存在动点P满足条件，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由。
解：（1）设，，
则，，
所以，即。
又因为，所以 ，代入得：。
（2），所以，
因为，所以，得，
又，联立得，因为，所以不存在这样的P点。
【点晴】本题是一道综合题，重在考查向量的概念及轨迹方程的求法。
变式：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，若点C满足，点C的轨迹与抛物线交于A、B两点；
（1）求点C的轨迹方程；
（2）求证：；
（3）在x轴正半轴上是否存在一定点，使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）设，由知，点C的轨迹为.
（2）由消y得：
设，，则，,
所以，所以，于是
（3）假设存在过点P的弦EF符合题意，则此弦的斜率不为零，设此弦所在直线的方程为,由消x得：，设，，
则，.
因为过点P作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍，所以即,所以得，所以存在.
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第十三讲 不等式的解法
★★★高考在考什么
【考题回放】
1、（山东文）命题“对任意的”的否定是（ ）
A．不存在 B．存在
C．存在 D．对任意的
【答案】C【分析】注意两点：（1）全称命题变为特称命题；（2）只对结论进行否定。
2、（全国2理6）不等式:>0的解集为
(A)( -2, 1) (B) ( 2, +∞)
(C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞) (D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞)
解．不等式:>0，∴ ，原不等式的解集为(-2, 1)∪(2, +∞)，选C。
3、(安徽文8)设a＞1,且,则的大小关系为
(A) n＞m＞p (B) m＞p＞n (C) m＞n＞p (D) p＞m＞n
解析：设a＞1,∴ ，，,∴ 的大小关系为m＞p＞n，选B。
4．(安徽理3)若对任意R,不等式≥ax恒成立，则实数a的取值范围是
(A)a＜－1 (B)≤1 (C) ＜1 （D）a≥1
解析：若对任意R,不等式≥ax恒成立，当x≥0时，x≥ax，a≤1，当x<0时，－x≥ax，∴a≥－1，综上得，即实数a的取值范围是≤1，选B。
5、（北京理7）如果正数满足，那么（　　）
Ａ．，且等号成立时的取值唯一
Ｂ．，且等号成立时的取值唯一
Ｃ．，且等号成立时的取值不唯一
Ｄ．，且等号成立时的取值不唯一
解析：正数满足，∴ 4=，即，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=，∴ c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得，且等号成立时的取值都为2，选A。
6．（重庆理13）若函数f(x) = 的定义域为R，则的取值范围为_______.【答案】：
【分析】：恒成立，恒成立，

★★★高考要考什么
1. 绝对值不等式和无理不等式都是高考的重点内容，其难点是解无理不等式中去根号的方法和条件。因此要求学生熟练掌握去根号，去绝对值符号的方法。
2. 处理指数、对数不等式方法一般是运用函数的单调性转化为有理不等式（组）来求解。因此本讲的重点是指数、对数函数的单调性，其难点是如何转化为有理数不等式组，特别是对数不等式中定义域条件的限制。
3. 比较法是证明不等式的基本方法之一，是高考的重点，在运用比较法证明不等式时的难点是对差或商进行合理变形。
★★★ 突 破 重 难 点
【范例1】
解析：由题可知：

（1）若0
（2）若a>1时，原不等式等价下列不等式组


（3）若a=1时，原不等式可化为

综上可知原不等式的解为：

小结： 对于含参数的不等式，重点在于对参数的讨论，应做到正确分类（标准一致，不重不漏）。
【范例2】

解：



则原不等式等价于下列不等式



【范例3】
分析：首先应打开绝对值符号（由定义或等价变换均可）然后再解无理不等式，也可以用图形求解。
解：







解法二：





小结：从以上第一种解法知，此题既考查了绝对值不等式的解法，又考查了两种无理不等式的解法，不失为一道好题。选择解法一时，应特别注意等价变换、有序，最好不要一开始就讨论、略显杂乱，对于用图像法求解时，画图应规范，重要的点的坐标必须标出。
【范例4】
分析：作差后既不易分解因式，也不易配方，可将差式中的b看作常数，为分解这个关于a的二次三项式，可用求根法，虽然方法特殊，但思路的出发点仍是将差式分解。
证法一：作差并整理得：




证法二：


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第十四讲 不等式的应用
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．(北京) 若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（　D　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或
2．(福建) 已知为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（C）
A．（－1，1） B．（0，1）
C．（－1，0）（0，1） D．（－，－1）（1，＋）
3．（陕西）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为 （B）
（Ａ）8　　　　（Ｂ）6　　　　（C）4　　　　（D）2
4．（重庆）若动点（）在曲线上变化，则的最大值为（ A ）
A． B．
C． D．2
5．(重庆）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 （ C ）
A． B． C． D．
6、(浙江卷)已知则不等式≤5的解集是 .
★★★高考要考什么
不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题.
★★ 突 破 重 难 点
【范例1】已知函数的图象与轴分别相交于点A、B，（分别是与轴正半轴同方向的单位向量），函数。
（1）求的值；
（2）当满足时，求函数的最小值。
解：（1）由已知得
于是
（2）由
即
由于，其中等号当且仅当x+2=1，即x=－1时成立，
∴时的最小值是－3.
【范例2】已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时|f(x)|≤1.
(1)证明：|c|≤1；
(2)证明：当－1 ≤x≤1时，|g(x)|≤2；
(3)设a＞0，有－1≤x≤1时， g(x)的最大值为2，求f(x).
命题意图：本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力.属较难题目.
知识依托：二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂.
错解分析：本题综合性较强，其解答的关键是对函数f(x)的单调性的深刻理解，以及对条件“－1≤x≤1时|f(x)|≤1”的运用；绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞，缺乏严密，从而使题目陷于僵局.
技巧与方法：本题(2)问有三种证法，证法一利用g(x)的单调性；证法二利用绝对值不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|；而证法三则是整体处理g(x)与f(x)的关系.
(1)证明：由条件当=1≤x≤1时，|f(x)|≤1，取x=0得：|c|=|f(0)|≤1，即|c|≤1.
(2)证法一：依题设|f(0)|≤1而f(0)=c，所以|c|≤1.当a＞0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是增函数，于是
g(－1)≤g(x)≤g(1)，(－1≤x≤1).
∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，|c|≤1，
∴g(1)=a+b=f(1)－c≤|f(1)|+|c|=2，
g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≥－(|f(－2)|+|c|)≥－2，
因此得|g(x)|≤2 (－1≤x≤1)；
当a＜0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是减函数，于是g(－1)≥g(x)≥g(1)，(－1≤x≤1)，
∵|f(x)|≤1 (－1≤x≤1)，|c|≤1
∴|g(x)|=|f(1)－c|≤|f(1)|+|c|≤2.
综合以上结果，当－1≤x≤1时，都有|g(x)|≤2.
证法二：∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)
∴|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，|f(0)|≤1，
∵f(x)=ax2+bx+c，∴|a－b+c|≤1，|a+b+c|≤1，|c|≤1，
因此，根据绝对值不等式性质得：
|a－b|=|(a－b+c)－c|≤|a－b+c|+|c|≤2，
|a+b|=|(a+b+c)－c|≤|a+b+c|+|c|≤2，
∵g(x)=ax+b，∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2，
函数g(x)=ax+b的图象是一条直线，因此|g(x)|在［－1，1］上的最大值只能在区间的端点x=－1或x=1处取得，于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2，(－1＜x＜1.
当－1≤x≤1时，有0≤≤1，－1≤≤0，
∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，∴|f |≤1，|f()|≤1；
因此当－1≤x≤1时，|g(x)|≤|f |+|f()|≤2.
(3)解：因为a＞0，g(x)在［－1，1］上是增函数，当x=1时取得最大值2，即
g(1)=a+b=f(1)－f(0)=2. ①
∵－1≤f(0)=f(1)－2≤1－2=－1，∴c=f(0)=－1.
因为当－1≤x≤1时，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)，
根据二次函数的性质，直线x=0为f(x)的图象的对称轴，
由此得－＜0 ，即b=0.
由①得a=2，所以f(x)=2x2－1.
【范例3】已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为.数列的前项和为，点均在函数的图像上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.
点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。
解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，
故Tn＝＝＝（1－）.
因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.
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直线和圆的方程(教师版)
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．全国Ⅰ）已知直线过点（－2，0），当直线与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是 （　C ）
A．)　 　B．　 C．（）　 D．（）
2．（大连检测）从点P(m,3)向圆C： ，引切线，则切线长的最小值为（A ）
A．2 B． C． D．5
3．(江西高考)为双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和
上的点，则的最大值为 （ D ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．(天津高考)设直线与圆相交于A、B两点，且弦AB的长为，则。（0）
5．如果实数满足条件，那么的最大值为_______。(1)
6．过点(1,2)总可以作两条直线与圆相切，则实数的取值范围____
() 　
★★热点透析
直线与圆在高考中主要考查三类问题：
一.基本概念题和求在不同条件下的直线方程，基本概念重点考查：
1）与直线方程特征值（主要指斜率，截距）有关的问题；
2）直线的平行和垂直的条件；
3）与距离有关的问题等。
此类题目大都属于中、低档题，以选择题和填空题形出现；
二.直线与圆的位置关系综合性试题，此类题难度较大，一般以解答题形式出现；
三.线性规划问题，在高考中极有可能涉及，但难度不会大
★★★ 突 破 重 难 点
【范例1】已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为求直线PN的方程
解：设点P的坐标为（x，y），由题设有，
即．
整理得 x2+y2－6x+1=0． ①
因为点N到PM的距离为1，|MＮ|＝2，
所以∠PMN＝30°，直线PM的斜率为±，
直线PM的方程为y=±（x＋1）．②
将②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0．解得x＝2＋，x＝2－．
代入②式得点P的坐标为（2＋，1＋）或（2－，－1＋）；
（2＋，－1－）或（2－，1－）．
直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1．
【范例2】已知点A(-1,1),B(1,1),点P是直线=-2上的一点，满足∠APB最大，求点P的坐标及∠APB的最大值.?
解：设P（，－2），则kAP＝，
当＜3时，
tanAPB＝≤1
当且仅当3－＝，即＝1时等号成立，?又当
∴P是(1,-1)时，∠APB有最大值；
当＞3时，同法可求∠APB的最大值是arctan
结论：当P点的坐标是（－1，1）时，∠APB有最大值
变式：过点作两条互相垂直的直线，分别交的正半轴于，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB方程.(x+2y-5=0和2x+y-4=0)
【范例3】已知点，是抛物线上的两个动点，O是坐标原点，向量满足设圆C的方程为
,证明：1）求圆心C的规迹方程；2）当圆C的圆心到直线的距离的最小值为时，求p的值。
解：设圆C的圆心为C(x,y)，则,
又,
,=所以圆心的轨迹方程为：
2）设圆心C到直线的距离为d,则，所以当,d有最小值，由题设，所以p=2
变式：已知P是直线上的动点，PA、PB是圆的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。
解：点P在直线上，所以设，C点坐标为(1,1)
=2=四边形PACB的面积最小，而|PC|=，所以|PC|最小为3，所以最小为
变式：一束光线通过点射到x轴上，再反射到圆C：上，求反射光线在x轴上的活动范围。（反射点在）
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第十一讲 概率与统计
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．（重庆卷）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，
则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：可从对立面考虑，即三张价格均不相同， 选C
2．（辽宁卷）一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球
是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码
是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
解： 从中任取两个球共有种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球
的号码是偶数的取法有种取法，概率为，选D.
3．(广东卷) 甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球，则取出的两球是红球的概率为______(答案用分数表示)
解：P==
4．(上海卷) 在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的
概率是 （结果用数值表示）．
解： =
5. 某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，
恰好投进3个球的概率为 ．（用数值作答）
解：由题意知所求概率
6．(全国II) 在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在
内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为 ．
解：在某项测量中，测量结果(服从正态分布N（1，(2）（(>0），正态分布图象
的对称轴为x=1，(在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在
(1，2)内取值的概率于(在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机
变量ξ在(0，2)内取值的概率为0.8。
★★★高考要考什么
1.（1）直接利用四种基本事件的概率基本原理，求事件发生的概率
（2）把方程思想融入概率问题，解决实际问题
（3）把概率问题与数列结合起来，运用数列方法解决概率问题
2．离散型随机变量的分布列。
(1)分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为x1, x2, …, xi, …，
ξ取每一个值xi（i=1，2，……）的概率P（ξ=xi）＝Pi，
则称下表为随机变量ξ的概率分布，简称为ξ的分布列．
(2)分布列的性质：由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
<1> Pi≥0，i＝1，2，……；<2> P1＋P2＋……=1．
(3)二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是，其中k=0，1，…，n．q=1－p，于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ~B（n，p）其中n，p为参数，记=b(k；n，p).
（4）离散型随机变量ξ的期望：Eξ=x1p1+x2p2+……+xipi+…
（5）离散型随机变量ξ的方差：
3. 若标准正态分布总体取值小于的概率用表示，即：
★★★ 突 破 重 难 点
【范例1】某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
（Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；
（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．
解(1)
, ,
,
所以的分布列为
0
1
2
3
P
的数学期望E()=
(2) P()=
分析提示：本题以古典概率为背景，其关键是利用排列组合的方法求出m，n，主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率。
变式：袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量的概率分布和数学期望；
(3)计分介于20分到40分之间的概率．
解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，
则
解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为，所以．
（II）由题意有可能的取值为：2，3，4，5．
所以随机变量的概率分布为
2
3
4
5
因此的数学期望为
（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则
【范例2】甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是,  ,  ．
(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;
(Ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ．
解: (Ⅰ)记"甲投篮1次投进"为事件A1 ， "乙投篮1次投进"为事件A2 ， "丙投篮1次投进"为事件A3，"3人都没有投进"为事件A ．则P(A1)= ，P(A2)= ，P(A3)= ，
∴ P(A) = P(．．)=P()·P()·P()
= [1－P(A1)] ·[1－P (A2)] ·[1－P (A3)]=(1－)(1－)(1－)=
∴3人都没有投进的概率为 ．
(Ⅱ)解法一: 随机变量ξ的可能值有0，1，2，3， ξ~ B(3， )，
P(ξ=k)=C3k()k()3－k (k=0，1，2，3) ， Eξ=np = 3× =  ．
解法二: ξ的概率分布为:
ξ
0
1
2
3
P




Eξ=0×+1×+2×+3×=  ．
分析提示：已知概率求概率，主要运用加法公式（互斥）和乘法公式（独立）以及n次独立重复试验（二项分布），注意条件和适用的范围，另外利用二项分布期望和方差结论使问题简洁明了。
变式：假设每一架飞机引擎飞机中故障率为P，且个引擎是否发生故障是独立的，如果有至少50%的引擎能正常运行，问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎飞机更安全？
解 飞机成功飞行的概率：
4引擎飞机为：
2引擎飞机为：
要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，只要
所以
【范例3】某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司
缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元
的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率
分别为且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中：
（1）获赔的概率；(4分)
（2）获赔金额的分布列与期望。(9分)
解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，．由题意知，，独立，
且，，．
（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为
．
（Ⅱ）的所有可能值为，，，．
，
，
，
．
综上知，的分布列为
求的期望有两种解法：
解法一：由的分布列得
（元）．
解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，，
则有分布列
故．
同理得，．
综上有（元）．
变式：猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离150米. 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率.
解 记三次射击依次为事件A，B，C，其中,由，求得k=5000。
,命中野兔的概率为
配套练习
1． 设随机变量服从标准正态分布，已知，
则=（ ）
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
解：服从标准正态分布，
选C
2． 以表示标准正态总体在区间（）内取值的概率，若随机变量
服从正态分布，则概率等于
（A）- （B）
（C） （D）
解：==－=，选B。
3．连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量
的夹角为，则的概率是（ ）
A． B． C． D．
解： 由向量夹角的定义，图形直观可得，当点位于直线上及其下方时，
满足，点的总个数为个，而位于直线上及其下方
的点有个，故所求概率，选C
4．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解： 一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：
（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的
有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B
5. 15名新生，其中有3名优秀生，现随机将他们分到三个班级中去，每班5人，则每班都分到优秀生的概率是　　　　　　　　．
6. 如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是0.5， 且是相互独立的，则灯亮的概率为
0.625
7.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为
1
2
3
4
5
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为
250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．
（Ⅰ）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；
（Ⅱ）求的分布列及期望．
解：（Ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
，．
（Ⅱ）的可能取值为元，元，元．
，
，
．
的分布列为
（元）．
8. 某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为
该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：
市场情形
概率
价格与产量的函数关系式
好
0.4
中
0.4
差
0.2
设分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量，表示当产量为
而市场前景无法确定的利润．
（I）分别求利润与产量的函数关系式；
（II）当产量确定时，求期望；
（III）试问产量取何值时，取得最大值．
(Ⅰ)解:由题意可得
L1= (q＞0).
同理可得 (q＞0)
(q＞0)
(Ⅱ) 解:由期望定义可知

(Ⅲ) 解:由(Ⅱ)可知是产量q的函数,设
得0解得(舍去).
由题意及问题的实际意义(或当0＜q＜10时,＞0;当q＞10时,
可知,当q=10时, f(q)取得最大值,即最大时的产量q为10.
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第十六讲 圆锥曲线的定义、性质和方程(一)
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．已知AB为过抛物线y2=2px焦点F的弦, 则以AB为直径的圆与抛物线的准线(B)
A．相交 B．相切 C．相离 D．与p的取值有关
2．（江苏理）在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x-2y=0，则它的离心率为 （ A ）
A． B． C． D．
3．点P(a,b)是双曲线x2-y2=1右支上一点，且P到渐近线距离为，则a+b=(B )
　　A、-　　B、　　C、-2　　D、2
4．（湖南）设F1 、F2分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在P使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ D ）
A． B． C． D．
5．（湖北理）双曲线的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1 、F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则等于 （ A ）
A． B． C． D．
6．（全国一）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK(l，垂足为K，则△AKF的面积是( C)
A．4 B． C． D．8
7．（福建理）以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆方程是 （ A ）
A．x2+y2-10x+9=0 B．x2+y2-10x+16=0 C．x2+y2+10x+16=0 D．x2+y2+10x+9=0
8．（辽宁）设椭圆上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足，则　　　　2
★★★高考要考什么
【热点透析】
一、圆锥曲线的定义 　1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。 　2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P| ||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。 　3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。 二、圆锥曲线的方程。 　1.椭圆：（a>b>0）或（a>b>0）（其中，a2=b2+c2） 　2.双曲线：（a>0, b>0）或（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）　3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）三、圆锥曲线的性质 知识要点：
1.椭圆：（a>b>0） 　　（1）范围：|x|≤a，|y|≤b 　（2）顶点：(±a,0)，(0,±b) 　　（3）焦点：(±c,0) 　　（4）离心率：e=∈(0,1) 　　（5）准线：
2.双曲线：（a>0, b>0） 　（1）范围：|x|≥a, y∈R 　　 （2）顶点：(±a,0) 　 　（3）焦点：(±c,0) 　（4）离心率：∈(1,+∞) 　　（5）准线：　　（6）渐近线：
3.抛物线：y2=2px(p>0) 　　（1）范围：x≥0, y∈R 　　（2）顶点：（0,0） 　　（3）焦点：（,0）
　（4）离心率：e=1 　 　（5）准线：x=-
主要题型：
（1）定义及简单几何性质的灵活运用；
（2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）。
★★★突破重难点
【例1】若F1、F2为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线的左支上，点M在双曲线的右准线上，且满足：
，
则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
解：由知四边形F1OMP是平行四边形，又
知OP平分∠F1OM，即F1OMP是菱形，设|OF1|=c，则|PF1|=c.
又|PF2|-|PF1|=2a， ∴|PF2|=2a+c，
由双曲线的第二定义知,且e>1，∴e=2，故选C.
【例2】学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
解：（1）设曲线方程为， 由题意可知，. .
曲线方程为.
（2）设变轨点为，根据题意可知
得 ，
或（不合题意，舍去）.
.
得 或（不合题意，舍去）.
点的坐标为，.
答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出指令.
【例3】如图1，已知A、B、C是长轴为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，且，。
（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使直线CP、CQ与x轴围
成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数(
使？请给出证明。
解：（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如
图直角坐标系，则A（2，0），椭圆方程可设为
。
而O为椭圆中心，由对称性知|OC|=|OB|
又，所以AC⊥BC
又，所以|OC|＝|AC|，
所以△AOC为等腰直角三角形，所以点C坐标为（1，1）。将（1，1）代入椭圆方程得，则椭圆方程为。
（2）由直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，设直线CP的斜率为k，则直线CQ的斜率为－k，直线CP的方程为y-1=k(x-1)，直线CQ的方程为y-1=-k(x-1)。由椭圆方程与直线CP的方程联立，消去y得
(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0①
因为C（1，1）在椭圆上，所以x＝1是方程①的一个根，于是
同理
这样，， 又B（－1，－1），所以，
即kAB=kPQ。所以PQ∥AB，存在实数(使。
【例4】如图，直线l1和l2相交于点M，l1 ⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线C的方程．
解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．
依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛线段的一段，其中A、B分别为C的端点．设曲线段C的方程为
y2=2px (p＞0)，(xA≤x≤xB，y＞0)，其中xA，xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|．
所以 M (－，0)，N (，0)．
由 |AM|=，|AN|=3得
(xA＋)2＋2PxA=17， ①
(xA－)2＋2PxA=9． ②
由①、②两式联立解得xA=，再将其代入①式并由p＞0解得
或．
因为△AMN是锐角三角形，所以＞xA，故舍去．
∴ P=4，xA=1．
由点B在曲线段C上，得xB=|BN|－=4．
综上得曲线段C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．
解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点．
作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F．
设 A (xA，yA)、B (xB，yB)、N (xN，0)．
依题意有
xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，
yA=|DM|==2，由于△AMN为锐角三角形，故有
xN=|AE|+|EN|=4．
=|ME|+=4
XB=|BF|=|BN|=6．
设点P (x，y)是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合
{(x，y)|(x－xN)2+y2=x2，xA≤x≤xB，y＞0}．
故曲线段C的方程
y2=8(x－2)(3≤x≤6，y＞0)．
第十七讲 圆锥曲线的定义、性质和方程(二)
【例5】已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量与是共线向量。
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点， F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围；
解：（1）∵，∴。
∵是共线向量，∴，∴b=c,故。
（2）设
当且仅当时，cosθ=0，∴θ。
【例6】设P是双曲线右支上任一点.
（1）过点P分别作两渐近线的垂线，垂足分别为E，F，求的值；
（2）过点P的直线与两渐近线分别交于A、B两点，且的面积.
解：（I）设
∵两渐近线方程为
由点到直线的距离公式得

（II）设两渐近线的夹角为，





【例7】如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．求双曲线的离心率．
解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴．
因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．
依题意，记A(－c，0)，C(，h)，B(c，0)，其中c为双曲线的半焦距，c=|AB|，h是梯形的高．
由定比分点坐标公式，得点E的坐标为
， ．
设双曲线的方程为，则离心率．
由点C、E在双曲线上，得

由①式得代入②式得所以，离心率
【例8】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的图过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解：（I）由题意设椭圆的标准方程为，
由已知得：，，，，
　椭圆的标准方程为　
（Ⅱ）设，，
联立 得，
又，
因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，
，即， ，
，　
解得：，，且均满足，
当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点　
所以，直线过定点，定点坐标为　
★★★自我提升
1.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(C )
（A）2 （B）6 （C）4 （D）12
2．如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（ C ）
A． 　　 B．　　　　　 C． 　　 D．
3．抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( B)
( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 0
4．双曲线的虚轴长为4，离心率，F1、F2分别是它的左，右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|为（A）.
A、 B、 C、 D、8
5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．
6．过椭圆左焦点F，倾斜角为60(的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率为( B )
(A) (B) (C) (D)
7．椭圆+=1的离心率e=，则m=___________m=8或2。
8． F1、F2是椭圆（a>b>0）的两焦点，过F1的弦AB与F2组成等腰直角三角形ABF2，其中∠BAF2=900，则椭圆的离心率是________
9．已知椭圆E的离心率为e，左、右焦点为F1、F2，抛物线C以F2为焦点，F1为其顶点，若P为两曲线的公共点，且e|PF2|=|PF1|，则e＝__________。
10．如图，已知三点A(－7, 0)，B(7,0)，C(2,－12).
① 若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，
求另一焦点P的轨迹方程；
② 若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一
焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。
解析：①由椭圆定义知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|，
即
故P的轨迹为A（－7，0）、B（7，0）为焦点实轴长为2的双曲线的一支，
其方程为；
② 经讨论知，无论A在双曲线的哪一支上,
总有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14
故点Q的轨迹为以A（－7，0）、B（7，0）为焦点长轴长为28的椭圆，
其方程为。
11．如图，A为椭圆上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2．当AC垂直于x轴 时，恰好|AF1|:|AF2=3:1
（I）求该椭圆的离心率；
（II）设，，试判断(((((是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
解：（I）当C垂直于x轴时，
，由，
得，
在Rt△中，
解得 =．
（II）由=，则，．
焦点坐标为，则椭圆方程为，
化简有．
设，，
①若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为
代入椭圆方程有．
由韦达定理得：，∴
所以，同理可得
故(((((=．
②若直线轴，，，
∴(((((＝6．
综上所述：(((((是定值6．
12．已知椭圆（a＞b＞0）上两点A、B，直线上有两点C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圆为x2+y2-2y-8=0，求椭圆方程和直线的方程。
解：圆方程x2+y2-2y-8=0即x2+(y-1)2=9的圆心O＇（0，1），半径r=3。
设正方形的边长为p，则，∴，又O＇是正方形ABCD的中心，∴O＇到直线y=x+k的距离应等于正方形边长p的一半即，由点到直线的距离公式可知k=-2或k=4。
（1）设AB：y=x-2 由 y=x-2
CD：y=x+4 x2+y2-2y-8=0
得A（3，1）B（0，-2），又点A、B在椭圆上，∴a2=12，b2=4，椭圆的方程为。
（2）设AB：y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为（0，4），（-3，1）代入椭圆方程得
，此时b2＞a2（舍去）。
综上所述，直线方程为y=x+4，椭圆方程为。
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第十八讲 向量与圆锥曲线（一）
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．（重庆）已知以F1（-2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2.（全国）设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为（ ）
（A）　　　（B）　　　（C）　　　（D）
5．若曲线y2＝|x|＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条件是

★★★高考要考什么
【热点透析】
知识要点：
1．直线与圆锥曲线的公共点的情况
（1）没有公共点 方程组无解
（2）一个公共点
（3）两个公共点
2．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：
3．以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题
主要题型：
1．三点共线问题；
2．公共点个数问题；
3．弦长问题；
4．中点问题；
5．定比分点问题；
6．对称问题；
7．平行与垂直问题；
8．角的问题。
近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为
（1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。
（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。
特别提醒：(法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。
★★★突破重难点
【例1】在平面直角坐标系O中，直线与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解]（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).
当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于
点A(3,)、B(3,－). ∴=3；
当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为，其中，
由得
又 ∵ ，
∴，
综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；
(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；
说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=－6，或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0).
【例2】已知A,B为抛物线x2=2py(p>0)上异于原点的两点，，点C坐标为（0，2p）
（1）求证：A,B,C三点共线；
（2）若＝（）且试求点M的轨迹方程。
（1）证明：设，由得
，
又
，
，即A,B,C三点共线。
（2）由（1）知直线AB过定点C，又由及＝（）知OM(AB，垂足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x(0，y(0)。
【例3】椭圆的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，| PF1|=，| PF2|=.
（I）求椭圆C的方程；
（II）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程。
解法一：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.
在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=,
从而b2=a2－c2=4, 所以椭圆C的方程为＝1.
(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.
由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得
（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.
因为A，B关于点M对称. 所以
解得，
所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0. (经检验，符合题意)
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.
设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且
①
②
由①－②得 ③
因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,
代入③得＝，即直线l的斜率为，
所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.
(经检验，所求直线方程符合题意.)
【例4】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．
（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；
若不存在，请说明理由．
解：由条件知，，设，．
解法一：（I）设，则，，
，由得
即 于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．
又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得
，即．
将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．
（II）假设在轴上存在定点，使为常数．
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入有．
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是
．
因为是与无关的常数，所以，即，此时=．
当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，
此时．
故在轴上存在定点，使为常数．
解法二：（I）同解法一的（I）有
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入有．
则是上述方程的两个实根，所以．
．
由①②③得．…………………………………………………④
．……………………………………………………………………⑤
当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有
．整理得．
当时，点的坐标为，满足上述方程．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
故点的轨迹方程是．
（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，
当不与轴垂直时，由（I）有，．
以上同解法一的（II）．
第十九讲 向量与圆锥曲线（二）
【例5】设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.
解：（Ⅰ）解法一： 易知 ，所以，设，
则
因为，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值-2
当x=(2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1
解法二：易知，所以，设，则
（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，
联立，消去，整理得：
∴
由得：或
又，∴
又
∵，即 ∴
故由①、②得或
【例6】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，垂足为P.
（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值。
（Ⅰ）证明: 椭圆的半焦距，
由知点在以线段为直径的圆上，
故，所以，．
（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，
代入椭圆方程，并化简得．
设，，则：，，
；
因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为．
所以，．
四边形ABCD的面积．
当k2=1时，上式取等号．
（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．
综上，四边形ABCD的面积的最小值为．
【例7】已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A,B两点。如果，且曲线E上存在点C，使，求m的值和(ABC的面积S。
由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，
且，易知，故曲线的方程为
设，由方程组
消去，得
又已知直线与双曲线左支交于两点，有
解得
又∵
依题意得 整理后得
∴或 但 ∴
故直线的方程为
设，由已知，得
∴，
又，
∴点，将点的坐标代入曲线的方程，得
得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴，点的坐标为，到的距离为
∴的面积.
【例8】已知函数与的图象相交于，，，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点．
（I）求的取值范围；
（II）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；
（III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）．
解：（I）由方程消得． ①
依题意，该方程有两个正实根，故 解得．
（II）由，求得切线的方程为，
由，并令，得
，是方程①的两实根，且，故，，
是关于的减函数，所以的取值范围是．
是关于的增函数，定义域为，所以值域为，
（III）当时，由（II）可知．
类似可得．．
由①可知．从而．
当时，有相同的结果．
所以．
★★★自我提升
1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3，1），B（-1，3），若点C满足，其中((((R，且(((=1，则点C的轨迹方程为( D )
A． 3x+2y-11=0 B．(x-1)2+(y-2)2=5 C． 2x-y=0 D． x+2y-5=0
2、已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足||+||=4.则点P(x,y)的轨迹是.( C )
A．椭圆　B．双曲线　C．线段　　D．射线
3、中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为(C )
4、直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是（A）.
A、m≥1且m≠5 B、m≥1 C、m≠5 D、m≤5
5、已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足||-||=2.则点P(x,y)的轨迹C的方程为__________.( ).
6．已知A、B为抛物线x2=2py (p>0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则①y轴上恒存在一点K，使得；②；③存在实数(使得 ；④若线段AB中点P在在准线上的射影为T，有。中说法正确的为___________①②③④
7.已知椭圆，过P(1,0)作直线 l，使得l与该椭圆交于A,B两点，l与y轴的交点为Q，且，求直线 l的方程。
解：直线l过P(1,0)，故可设方程为y=k(x-1)， 因为，所以 AB的中点与 PQ的中点重合.
由得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0
所以，又xP+xQ=1
故得，所求的直线方程为。
8．已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D，设f(m)=||AB|-|CD||,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。
解：（1）椭圆中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0)
则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0
得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0
∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0
设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-
（2）
∴当m=5时， 当m=2时，
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第二讲 函数图象
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．图中的图象所表示的函数的解析式为（　　）
Ａ．　　　
Ｂ．　
Ｃ．
Ｄ．
2．客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程与时间之间关系的图象中，正确的是（　C　）
3．函数的图象和函数的图象的交点个数是（ B ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（ A ）
A． B． C． D．
5．若函数的反函数为，则函数与的图象可能是（ A ）

　　　Ａ．　　　　　　　　Ｂ．　　　　　　　Ｃ．　　　　　　　　Ｄ．
6．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：
（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为 ；
（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
6．；0.6
★★★高考要考什么
一、奇函数（的图象关于原点对称；偶函数（图象关于轴对称。
引申：若，则的图象关于点（1,0）对称；
若，则的图象关于直线对称；
若是奇函数，则关于点（1,0）对称；
若是偶函数，则关于直线对称；
区别：与的图象关于轴对称；
与的图象关于轴对称；
与的图象关于轴对称；
二、翻折变换：
和图象间的关系____　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　_；
和图象间的关系_____　　　　　　　　　　　　　　　　　　　_；
如：作出：与的图象
★★★ 突 破 重 难 点
【范例1】　定义域和值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，给出下列四个命题：
（1）方程有且仅有三个解；
（2）方程有且仅有三个解；
（3）方程有且仅有九个解；
（4）方程有且仅有一个解。
那么，其中正确命题的个数是 （1）、（4） 。
变式：函数的图象与它的反函数图象所围成的面积是
【范例2】　设曲线C的方程是，将C沿轴正向分别平移单位长度后得曲线；（1）写出曲线的方程；（2）证明曲线与曲线关于点对称；（3）如果曲线与曲线有且仅有一个公共点，证明。
解：（1）曲线C1的方程为　y=(x-t)3 (x-t)+s
（2）证明：在曲线C上任取一点B1(x1,y1)。。设B2(x2,y2)是B1关于点A的对称点，则有
代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：
可知点B2(x2,y2)在曲线C1上。
反过来，同样可以证明，在曲线C1上的 点关于点A的对称点在曲线C上。因此，曲线C与C1关于点A对称。
（Ⅲ）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组
有且仅有一组解。消去y，整理得　
这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根。所以t≠0并且其根的判别式
变式：已知函数的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称.（1）求的解析式；（2）若且在上为减函数，求实数的取值范围.
解：（1）设点M是函数任意点，点M关于A（0，1）的对称点为P，
则，代入得：。
（2）设则恒成立，
恒成立，
【范例3】已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5)且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12。
（I）求f(x)的解析式；
（II）是否存在实数m使得方程在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。
解：（I）是二次函数，且的解集是
可设
( f(x)在区间上的最大值是
由已知，得
（II）方程等价于方程
设则
当时，是减函数；
当时，是增函数。
方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，
所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。
变式：设f(x)＝l—2x2，g(x)＝x2－2x，若F(x)＝则F(x)的最大值为__________．
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第二十讲 轨迹方程
1．一动圆与两圆和都外切,则动圆圆心的轨迹为（ ）
A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线
变式：已知定圆，定点A,动圆过点A且与定圆相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是 （ ）
A. B. C. D.
2．已知点、，动点，则点P的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
3． F1、F2为椭圆两个焦点，Q为椭圆上任一点，以任一焦点作∠（ ）
A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
4．已知点F,直线:,点B是上的动点.若过B垂直于轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是（ ）
A,双曲线 B,椭圆 C,圆 D,抛物线
5．在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC的距离是P到直线的距离的一半，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）
A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线
6．设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为 （ ）
A. B. C. D.
7．设椭圆与双曲线有共同的焦点,且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍,则椭圆与双曲线的交点轨迹是 .
8．★★★以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线有相同的焦点.
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
9．设抛物线过定点A（0，2），且以x轴为准线求抛物线顶点M的轨迹C的方程.
10．抛物线y2=2px(p>0)，O为坐标原点，A、B在抛物线上，且OA⊥OB，过O作OP⊥AB交AB于P，求P点轨迹方程.
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第二十一讲 圆锥曲线中的最值和范围问题（一）
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C )
A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+∞)
2． P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ D ）
A. 6 B.7 C.8 D.9
3．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A )
A． B． C． D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为：（B）
(A) (B) (C) (D)
5．已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 32 .
6．对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是( B )
（A）（－∞，0） （B）（－∞，2 （C）［0，2］ （D）（0，2）
★★★高考要考什么
【热点透析】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：
（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；
（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；
（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：
① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；
② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；
（6）构造一个二次方程，利用判别式((0。
★★★突破重难点
【例1】已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件.记动点的轨迹为W.
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.
解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，
所求方程为： （x(0）
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，
此时A（x0，），B（x0，－），＝2
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，
代入双曲线方程中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0
依题意可知方程1(有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则
解得|k|(1，
又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）
＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝(2
综上可知的最小值为2
【例2】给定点A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是右焦点，当取得最小值时，试求B点的坐标。
解：因为椭圆的，所以，而为动点B到左准线的距离。故本题可化为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义
于是 为定值
其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为
所以，当取得最小值时，B点坐标为
【例3】已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。
解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|2= x2+(y-4)2 ①
因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) ②
将②代入①得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2
因为Q在椭圆上移动，所以-1(y(1，故当时，
此时
【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；
2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。
【例4】已知椭圆的一个焦点为F1(0,-2)，对应的准线方程为，且离心率e满足：成等差数列。
（1）求椭圆方程；
（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。
（1）解：依题意e ，
∴a＝3，c＝2，b＝1，
又F1(0，－2)，对应的准线方程为
∴椭圆中心在原点，所求方程为
(2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被平分
∴直线l的斜率存在。 设直线l：y＝kx＋m
由消去y，整理得 (k2＋9)x2＋2kmx＋m2－9＝0
∵l与椭圆交于不同的两点M、N，
∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)＞0 即m2－k2－9＜0 ①
设 M(x1,y1),N(x2,y2) ②
把②代入①式中得，
∴k＞或k＜－
∴直线l倾斜角
第二十二讲圆锥曲线中的最值和范围问题（二）
【例5】长度为（）的线段的两个端点、分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且（为常数且）．
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹类型；
（2）当=2时，已知直线与原点O的距离为，且直线与轨迹有公共点，求直线的斜率的取值范围．
答案：(1)设、、，则
，由此及，得
，即 （*）
①当时，方程（*）的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆．
②当时，方程（*）的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆．
③当时，方程（*）的轨迹是焦点为以O点为圆心，为半径的圆．
（2）设直线的方程：，据题意有，即．
由得 ．
因为直线与椭圆有公共点，所以
又把代入上式得 ：．
【例6】椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，其离心率, 过点C（－1,0）的直线与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C分向量的比为2.
（1）用直线的斜率k ( k≠0 ) 表示△OAB的面积；（2）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。
解：（1）设椭圆E的方程为( a＞b＞0 )，由e =
∴a2=3b2 故椭圆方程x2 + 3y2 = 3b2
设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（－1，0）分向量的比为2，
∴ 即
由消去y整理并化简得 (3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0
由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）, B(x2,y2)两点得：

而S△OAB ⑤
由①③得:x2+1=－，代入⑤得：S△OAB =
（2）因S△OAB=,
当且仅当S△OAB取得最大值
此时 x1 + x2 =－1, 又∵ =－1 ∴x1=1,x2 =－2
将x1,x2及k2 = 代入④得3b2 = 5 ∴椭圆方程x2 + 3y2 = 5
【例7】设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，若试求(的取值范围.
解：当直线垂直于x轴时，可求得;
当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得
解之得
因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.
当时，，，
所以 ＝＝＝.
由 ， 解得 ，
所以 ，
综上 .
【例8】我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，．
如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．
若是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；
（2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点．求证：当取得最小值时，在点或处；
（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．
解：（1） ，
，于是，
所求“果圆”方程为，．
（2）设，则
，
， 的最小值只能在或处取到．
即当取得最小值时，在点或处．
（3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．
．
当，即时，的最小值在时取到，
此时的横坐标是．
当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．
综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；
若，当取得最小值时，点的横坐标是或．
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第二十三讲 空间位置关系与证明
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．（浙江）若是两条异面直线外的任意一点，则（B ）
A．过点有且仅有一条直线与都平行
B．过点有且仅有一条直线与都垂直
C．过点有且仅有一条直线与都相交
D．过点有且仅有一条直线与都异面
2．（06湖南）如图，过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中
点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有( D )
A.4条 B.6条 C.8条 D.12条
3．（湖北）平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：
①；
②；
③与相交与相交或重合；
④与平行与平行或重合．
其中不正确的命题个数是（　Ｄ　）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
4.（湖北）关于直线、与平面、，有下列四个命题：（D ）
①且，则； ②且，则；
③且，则； ④且，则.
其中真命题的序号是：
A. ①、② B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③
5．在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则( )
四边形一定是平行四边形
四边形有可能是正方形
四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形
四边形有可能垂直于平面
以上结论正确的为 ①③④ 。（写出所有正确结论的编号）
6．（上海）在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知是两个相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是直线．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异
面直线的充分条件： ，并且与相交（，并且与相交）
★★高考要考什么
线与线的位置关系:平行、相交、异面；
线与面的位置关系:平行、相交、线在面内；
面与面的位置关系:平行、相交；
二．转化思想：
；
★★★高考将考什么
【范例1】如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）证明平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．
（Ⅰ）证明：在四棱锥中，
因底面，平面，故．
，平面．
而平面，．
（Ⅱ）证明：由，，可得．
是的中点，．
由（Ⅰ）知，，且，所以平面．
而平面，．
底面在底面内的射影是，，．
又，综上得平面．
（Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．
因此是二面角的平面角．
由已知，得．设，
可得．
在中，，，
则．
在中，．
解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为．
过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角．
由已知，可得，设，
可得．
，．
于是，．
在中，．
所以二面角的大小是．
所以二面角的大小是．
变式：如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．
（1）证明//平面；
（2）设，证明平面．
证明：（Ⅰ）取CD中点M，连结OM.
在矩形ABCD中，，又，则，
连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.
又平面CDE， EM平面CDE， ∴ FO∥平面CDE
（Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，
且.
因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，
∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO. 而，所以EO⊥平面CDF.
【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，注意线面平行和线面垂直判定定理的使用，考查空间想象能力和推理论证能力。
【范例2】如图，在六面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，平面
，平面，．
（Ⅰ）求证：与共面，与共面．
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求二面角的大小（用反三角函数值表示）．
证明：以为原点，以所在直线分别为轴，
轴，轴建立空间直角坐标系如图，
则有．
（Ⅰ）证明：
．
．
与平行，与平行，
于是与共面，与共面．
（Ⅱ）证明：，
，
，．
与是平面内的两条相交直线．
平面．
又平面过．
平面平面．
（Ⅲ）解：．
设为平面的法向量，
，．
于是，取，则，．
设为平面的法向量，
，．
于是，取，则，．
．
二面角的大小为．
解法2（综合法）：
（Ⅰ）证明：平面，平面．
，，平面平面．
于是，．
设分别为的中点，连结，
有．
，
于是．
由，得，
故，与共面．
过点作平面于点，
则，连结，
于是，，．
，．
，．
所以点在上，故与共面．
（Ⅱ）证明：平面，，
又（正方形的对角线互相垂直），
与是平面内的两条相交直线，
平面．
又平面过，平面平面．
（Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，，
根据三垂线定理，有．
过点在平面内作于，连结，
则平面，
于是，
所以，是二面角的一个平面角．
根据勾股定理，有．
，有，，，．
，，
二面角的大小为．
变式如图，已知是棱长为的正方体，
点在上，点在上，且．
（1）求证：四点共面；（4分）
（2）若点在上，，点在上，
，垂足为，求证：平面；（4分）
（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．
证明：（1）建立如图所示的坐标系，则，，，
所以，故，，共面．
又它们有公共点，所以四点共面．
（2）如图，设，则，
而，由题设得，
得．
因为，，有，又，，所以，，从而，．
故平面．
（3）设向量截面，于是，．
而，，得，，解得，，所以．
又平面，所以和的夹角等于或（为锐角）．
于是．
故．
【范例3】如图，在长方体AC1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.
解析：法1
（1）∵AE⊥面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E
（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，
故
（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，
∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.
设AE=x，则BE=2－x
法2：以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).
（1）
（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），
从而，，
设平面ACD1的法向量为，
则也即，得，
从而，所以点E到平面AD1C的距离为
（3）设平面D1EC的法向量，
∴
由 令b=1, ∴c=2, a=2－x，
∴依题意
∴（不合，舍去）， .
∴AE=时，二面角D1—EC—D的大小为.
变式：如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.
（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；
（Ⅱ）证明PA⊥BD.
解析：（Ⅰ）如图，取AD的中点E，
连结PE，则PE⊥AD.
作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE.
根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，
所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角
的平面角，由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=3，
四棱锥P—ABCD的体积VP—ABCD=
（Ⅱ）法1 如图，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P(0，0，3)，
A(2，－3，0)，B(2，5，0)，D(－2，－3，0)
所以
因为 所以PA⊥BD.
法2：连结AO，延长AO交BD于点F.通过计算
可得EO=3，AE=2，又知AD=4，AB=8，
得所以Rt△AEO∽Rt△BAD.得∠EAO=∠ABD.
所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF⊥BD.
因为 直线AF为直线PA在平面ABCD 内的身影，所以PA⊥BD.
【点晴】本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力，解题的关键是二面角的使用。使用空间向量能降低对空间想象能力的要求，但坐标系的位置不规则，注意点坐标的表示。
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第二十四、二十五讲 空间角与距离
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．如图，直线a、b相交与点O且a、b成600，过点O 与a、b都成600角的直线有（ C ）
A．1 条 B．2条 C．3条 D．4条
2．（江苏?理）正三棱锥P-ABC高为2，侧棱与底面所成角为，则点 到侧面的距离是（ B ）
A． B． C．6 D．
3．（全国Ⅰ?理）如图，正四棱柱中，，则异面直线所成角的余弦值为（ D ）
A． B． C． D．
4．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于．
5．（四川?理）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 ．
6．在棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1， E、F分别为BC与A1D1的中点，
(1) 求直线A1C与DE所成的角；
(2) 求直线AD与平面B1EDF所成的角；
(3) 求面B1EDF 与 面ABCD所成的角。
【专家解答】
(1)如图，在平面ABCD内，过C作CP//DE交直
线AD于P，则（或补角）为异面直线A1C与
DE所成的角。在Δ中，易得
，由余弦定理得。
故异面直线A1C与DE所成的角为。
（2），
∴AD在面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上。而B1EDF是菱形，∴DB1为∠EDF的平分线。故直线
AD与面B1EDF所成的角为∠ADB1．在RtΔB1AD中，
则。
故直线AD与平面B1EDF所成的角为。
（3）连结EF、B1D，交于点O，显然O为B1D的中点，从而O为正方体ABCD—A1B1C1D1的中心，作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心。再作HM⊥DE，垂足为M ，连结OM，则OM⊥DE（三垂线定理），故∠OMH为二面角B1-DE-A的平面角。
在RtΔDOE中，
则由面积关系得。
在RtΔOHM中。
故面B1EDF 与 面ABCD所成的角为
★★★高考考什么
【考点透视】
异面直线所成角,直线与平面所成角,求二面角每年必考,作为解答题可能性最大.
【热点透析】
1．转化思想：
①
② 将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形
2．求角的三个步骤：一猜,二证,三算．猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证
3．二面角的平面角的主要作法：①定义 ②三垂线定义 ③ 垂面法
距离
【考点透视】
判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。
【热点透析】
转化思想：
① ；
② 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离，
平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。
2．空间距离则主要是求点到面的距离主要方法：
①体积法； ②直接法,找出点在平面内的射影
★★★高考将考什么
【范例1】如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．
（I）求证：平面平面；
（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；
（III）求与平面所成角的最大值．
解法一：
（I）由题意，，，
是二面角是直二面角，
又二面角是直二面角，
，又，
平面，
又平面．
平面平面．
（II）作，垂足为，连结（如图），则，
是异面直线与所成的角．
在中，，，
．
又． 在中，．
异面直线与所成角的大小为．
（III）由（I）知，平面，
是与平面所成的角，且．
当最小时，最大，
这时，，垂足为，，，
与平面所成角的最大值为．
解法二：
（I）同解法一．
（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，
，，
．
异面直线与所成角的大小为．
（III）同解法一
【点晴】本题源于课本，高于课本，不难不繁，体现了通过平移求线线、通过射影求线面角的基本方法。
【变式】如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2．
E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1．
(1) 求二面角C—DE—C1的正切值; (2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值．
解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2),故
设向量与平面C1DE垂直，则有
（II）设EC1与FD1所成角为β，则
【点晴】空间向量在解决含有三维直角的立体几何题中更能体现出它的优点，但必须注意其程序化的过程及计算的公式，本题使用纯几何方法也不难，同学不妨一试。
【范例2】如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。
（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；
分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．
解答：解法一：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，
平面．
连结，在正方形中，分别为
的中点， ， ．
在正方形中，， 平面．
（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．
，
为二面角的平面角．
在中，由等面积法可求得，
又， ．
所以二面角的大小为．
（Ⅲ）中，，．
在正三棱柱中，到平面的距离为．
设点到平面的距离为．
由得， ．
点到平面的距离为．
解法二：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面， 平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
，， ，． 平面．
（Ⅱ）设平面的法向量为．
，．
，，
令得为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）知平面， 为平面的法向量．
，．
二面角的大小为．
【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，它能考查学生分析问题、解决问题的能力，两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在方法二中注意用分析法寻找思路。
【变式】在梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，，沿对角线AC将折起，使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上。
（1）求证：AB平面BCD（2）求异面直线BC与AD所成的角。
解：(1)在梯形ABCD中,,AD=2，
，
又平面ACD，故
又，且平面BCD
（2）因为BA=BC，，
为AC中点，取CD中点E，AB中点F，连结OE、OF、EF，则OE//AD，
OF//BC，所以AD与BC所成的角为或其补角.
作FH//BO交AC于H，连结HE, 则FH平面ACD
在三角形EOF中，又，EO=1
由余弦定理知
故异面直线BC与AD所成的角为
【点晴】折叠问题必须注意折叠前后之间的关系和区别，本题使用空间向量的方法也不失一种好方法。
【范例3】在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，PA＝AB＝a，E为BC中点.
（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小；（2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小
解：（1）延长AB、DE交于点F，则PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱，
∵PA⊥平面ABCD， ∴AD⊥PA、AB, PA∩AB=A
∴DA⊥平面BPA于A, 过A作AO⊥PF于O，连结OD,
则∠AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角。
得，故面PDE与面PAD所成二面角的大小为
（2）解法1（面积法）如图∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A
∴DA⊥平面BPA于A, 同时BC⊥平面BPA于B,
∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影,
设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ, cosθ=S△PAB/S△PCD=/2 θ=450 ，即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45°。　　
解法2（补形化为定义法）如图将四棱锥P-ABCD补形
得正方体ABCD-PQMN，则PQ⊥PA、PD，于是∠APD是两
面所成二面角的平面角。 在Rt△PAD中，PA=AD，
则∠APD=45°。即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°。　
【点晴】求线面角、面面角关键在于准确作出角，同样遵循一作二证三计算的步骤，但应用面积射影法求二面角可避免找角，同学们注意经常使用。
【范例4】如图，四面体ABCD中， O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离。
方法一：
（I）证明：连结OC


在中，由已知可得
而
即
平面
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在中，
是直角斜边AC上的中线，
异面直线AB与CD所成角的大小为
（III）解：设点E到平面ACD的距离为

在中，
而
点E到平面ACD的距离为
方法二：
（I）同方法一。
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则


异面直线AB与CD所成角的大小为
（III）解：设平面ACD的法向量为则

令得是平面ACD的一个法向量。
又 点E到平面ACD的距离

【点晴】本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
【变式】已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N．
（Ⅰ）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值；（Ⅱ）求点B1到平面AMN的距离。
解（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,1)，
M（0，，0）,C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，
所以,,
因为
所以,同法可得。
故﹤﹥为二面角—AM—N的平面角
∴﹤﹥＝
故二面角—AM—N的平面角的余弦值为。
（Ⅱ）设n=(x, y, z)为平面AMN的一个法向量，则由得
, 故可取
设与n的夹角为a，则。
所以到平面AMN的距离为。
【范例5】如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.
（Ⅰ）求BF的长；
（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离.
解法1：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.
∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.
∴DF=C1H=2.
（Ⅱ）延长C1E与CB交于G，连AG，
则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.
过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M，
由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC，
且AG面AEC1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC.
在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到面AEC1F的距离.
解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），
A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.
∵AEC1F为平行四边形，
（II）设为面AEC1F的法向量，
的夹角为a，则
∴C到平面AEC1F的距离为
【点晴】本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，空间距离也遵循一作二证三计算的步骤，但体积法是一种很好的求空间距离的方法，同学们不妨一试。
【文】正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是AC的中点。
（1）求点到直线AC的距离.
（2）求直线到平面的距离．
解：（1）连结BD，，由三垂线定理可得：，
所以就是点到直线AC的距离。
在中．
．
（2）因为AC与平面BD交于ＡＣ的中点Ｄ，
设，则//DE，所以//平面，
所以到平面BD的距离等于Ａ点到平面BD
的距离，等于Ｃ点到平面BD的距离，也就等于三棱
锥的高， ，
，，即直线到平面BD的距离是．
【点晴】求空间距离注意三点：
1．常规遵循一作二证三计算的步骤；
2．多用转化的思想求线面和面面距离；
3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．
【范例6】如图，在四棱锥P—ABC右，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2， E为PD的中点
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离
解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E(0，，2).从而=（，1，0），=（，0，-2）.
设与的夹角为，则，
∴AC与PB所成角的余弦值为
（Ⅱ） N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x, 0, z),则
由NE⊥面PAC可得即
化简得
即N点的坐标为（，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，
解法二：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角, 在ΔAOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，
∴, 即AC与PB所成角的余弦值为
（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.
连PF，则在RtΔADF中DF=.
设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，
∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC从而NE⊥面PAC
∴N点到AB的距离=AP=1，N点到AP的距离=AF=
【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，它能考查学生分析问题、解决问题的能力，两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在方法二中注意用分析法寻找思路。
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第二十五讲 选 择 题 的 解 法
一、题型特点：
1．高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查“三基”为重点的导向，能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本要求是四个字——准确、迅速.
2．选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面. 解答选择题的基本策略是：要充分利用题设和选择支两方面提供的信息作出判断。一般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法解的，就不必采用直接解；对于明显可以否定的选择应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等。解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。
3．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法.
二、例题解析
1.直接求解法 涉及数学定义、定理、法则、公式的应用的问题，常通过直接演算得出结果，与选择支进行比照，作出选择，称之直接求解法．
例1、 圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有（ ）
Ａ.1个 Ｂ.2个 Ｃ.3个 Ｄ.4个
解 :本题的关键是确定已知直线与圆的相对位置,这就需对圆心到直线的距离作定量分析．将圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝(2)2,∴ r＝2.∵ 圆心(－1，－2)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝,恰为半径的一半．故选Ｃ．
例2、设F1、F2为双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上满足∠F1PF2＝90o，则△F1PF2的面积是（ ）
Ａ.1 Ｂ./2 Ｃ.2 Ｄ.
解 ∵ |PF1|－|PF2|＝±2a＝±4，∴ |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16，
∵ ∠F1PF2＝90o，∴ ＝|PF1|·|PF2|＝(|PF1|2＋|PF2|2－16).
又∵ |PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝20.∴ ＝1，选Ａ．
例3、 椭圆mx2＋ny2＝1与直线x＋y＝1交于A、B两点，过AB中点M与原点的直线斜率为，则的值为（ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ.1 Ｄ.
分析:命题：“若斜率为k(k≠0)的直线与椭圆＋＝1（或双曲线－＝1）相交于A、B的中点，则k·kOM＝－(或k·kOM＝)，”（证明留给读者）在处理有关圆锥曲线的中点弦问题中有着广泛的应用．运用这一结论，不难得到：
解 ∵ kAB·kOM＝－＝－＝－,∴ ＝－kAB·kOM＝1·＝，故选Ａ．
2.直接判断法
涉及有关数学概念的判断题，需依据对概念的全面、正确、深刻的理解而作出判断和选择．
例1、甲：“一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面”，乙：“两个二面角相等或互补．”则甲是乙的（ ）
Ａ.充分而非必要条件 Ｂ.必要而非充分条件
Ｃ.充要条件 Ｄ.既非充分又非要条件
分析 显然“乙(甲”不成立，因而本题关键是判断
“甲(乙”是否成立？由反例：正方体中，二面角A1－AB
－C与B1－DD1－A满足条件甲(图31－1)，但它们的度数
分别为90o和45o，并不满足乙，故应选Ｄ．
例2、下列四个函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）　　　　
Ａ.f(x)＝x＋lg Ｂ.f(x)＝(x－1)
Ｃ.f(x)＝ Ｄ.f(x)＝
解 由于选择支Ｂ给出的函数的定义域为[－1，1]，该定义区间关于原点不对称，故选Ｂ．
3、特殊化法（即特例判断法）
例1．如右下图,定圆半径为a，圆心为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0
与直线 x–y+1=0的交点在( B )
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
提示：取满足题设的特殊值a=2，b=–3，c=1
解方程 得 于是排除A、C、D，故应选B
例2．函数f(x)=Msin() ()在区间[a，b]上是增函数，且f(a)=–M，
f(b)=M，则函数g(x)=Mcos()在[a，b]上（ C ）
A．是增函数 B．是减函数 C．可以取得最大值M D．可以取得最小值–M
解：取特殊值。令=0，，则
因，则，这时, 显然应选C
例3．已知等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ C ）
A．130 B．170 C．210 D．260
解：特殊化法。令m=1，则a1=S1=30，又a1+a2=S2=100 ∴a2=70, ∴等差数列的公差d=a2–a1=40，于是a3=a2+d=110, 故应选C
例4．已知实数a，b均不为零，，且，则等于（ B ）
A． B． C．– D．–
提示：特殊化法。取，则 故应选B
4、排除法（筛选法）
例1．设函数，若f(x0)>1，则x0的取值范围是（ D ）
A．(–1,1) B．(–1,+) C．(–,–2)(0,+) D．(–,–1)(1,+)
例2．已知是第三象限角，|cos|=m，且，则等于（ D ）
A． B．– C． D．–
例3．已知二次函数f(x)=x2+2(p–2)x+p，若f(x)在区间[0，1]内至少存在一个实数c，使f( c)>0，
则实数p的取值范围是（ C ）
A．（1，4） B．（1，+） C．（0，+） D．（0，1）
点评：排除法，是从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，逐个淘汰与题设矛盾的选择支，从而筛选出正确答案。
5、数形结合法（图象法） 根据题目特点，画出图象，得出结论。
例1．对于任意x∈R，函数f(x)表示–x+3，，x2–4x+3中的较大者，则f(x)的最小值是（ A ）
A．2 B．3 C．8 D．–1
例2．已知向量，向量，向量，则向量与向量的夹角的取值范围是（ D ）
A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，]
例3．已知方程|x–2n|=k(n∈N*)在区间[2n–1，2n+1]上有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ B ）
A．k>0 B．06、代入检验法（验证法）
将选择支中给出的答案（尤其关注分界点），代入题干逐一检验，从而确定正确答案的方法为验证法。
例1．已知a，b是任意实数，记|a+b|，|a–b|，|b–1|中的最大值为M，则（D ）
A．M≥0 B．0≤M≤ C．M≥1 D．M≥
解：把M=0代入，排除A、B；再把M=代入检验满足条件，排除C。
例2．已知二次函数，若在区间[0，1]内至少存在一个实数c，使，则实数p的取值范围是（ C ）
A．（1，4） B．（1，+∞） C．（0，+∞） D．（0，1）
解：取p=1代入检验。
例3．(2004广东)变量x，y满足下列条件：
则使得z=3x+2y的值的最小的(x，y)是（ B ）
A．（4.5，3） B．（3，6） C．（9，2） D．（6，4）
解：一一代入检验。代入运算后比较大小。
7、推理分析法
通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误支，肯定正确支的方法，称之为逻辑分析法，例如：若“(A)真 ( (B)真”，则(A)必假，否则将与“只有一个选择支正确”的前提相矛盾．
例1 当x([－4，0]时，a＋≤x＋1恒成立，则a的一个可能值是（ ）
Ａ.5 Ｂ. Ｃ.－ Ｄ.－5
解 ∵ ≥0， ∴ (A)真((B)真((C)真((D)真， ∴ (D)真.
例3、已知sin( ＝,cos( ＝（＜( ＜(）,则tg＝( ).
Ａ. Ｂ.|| Ｃ. Ｄ.5
解 因受条件sin2( ＋cos2( ＝1的制约，故m为一确定值，于是sin( 、cos( 的值应与m无关，进而推知tg的值与m无关，∵ ＜( ＜(， ∴ ((，)，∴ tg＞1，故选(Ｄ)．
注:直接运用半角公式求tg，将会错选(Ａ)．若直接计算，由()2＋()2＝1，可得m＝0或m＝8，∵ ＜( ＜(， ∴ sin( ＞0，cos( ＜0，故应舍去m＝0，取m＝8，得sin( ＝，cos( ＝,再由半角公式求出tg＝＝5,也不如上述解法简捷.
三、练习
1已知点P（sinα-cosα,tanα）在第一象限，则在内α的取值范围为（ B ）
A B
C D
2一个直角三角形的三内角成等比数列，则其最小内角为（ B ）
A B C D
3若，则（ B ）
A B C D
4函数的反函数为（ B ）
A B
C D
5已知函数在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围为（ B ）
A （0，1） B （1，2） C （0，2） D
6．（07天津）设均为正数，且，，．则（　A　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7设f(x)是定义在实数集R上的任意一个增函数，且F（x）=f(x)-f(-x),那么F（x）应为（ A ）
A 增函数且是奇函数 B增函数且是偶函数
C 减函数且是奇函数 D减函数且是偶函数
解: 取f(x)=x，知F（x）=x-(-x)=2x，故选A。
8定义在上的奇函数为增函数，偶函数在区间的图象与的图象重合，设，给出下列不等式：
1）f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) 2) f(b)-f(-a)3) f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) 4) f(a)-f(-b)其中成立的是（ C ）
A 1）与2） B 2）与3） C 1）与3） D 2）与4）
9若，则的值为（ D ）
A B C D
10将直线3x-y+2=0绕原点按逆时针方向旋转900，得到的直线方程为（ A ）
A x+3y+2=0 B x+3y-2=0 C x-3y+2=0 D x-3y-2=0
11已知集合A=，B＝，C的则A、B、C的关系是（ C ）.
A. B.
C. D.
12集合{，1}，{，1，2}，其中{1，2，…，9}且，把满足上述条件的一对有序整数（）作为一个点，这样的点的个数是(B)
（A）9 （B）14 （C）15 （D）21
13已知函数，，，R，且，，，则
的值(B)
（A）一定大于零 （B）一定小于零 （C）等于零 （D）正负都有可能
14已知1是与的等比中项，又是与的等差中项，则的值是 (D)
（A）1或 （B）1或 （C）1或 （D）1或
15平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点（2，－1），（－1，3），若点满足其中0≤≤1，且，则点的轨迹方程为(C)
（A） （B）
（C）（－1≤≤2） （D）（－1≤≤2）
16．已知定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ D ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
17下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是(D)

（A） （B） （C） （D）
18如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB
所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是 ( D ) 　　　
　
　　　　　
19为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（B）
（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）
20关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是 （A）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
21设是二次函数，若的值域是，则的值域是（ C ）
A． B．
C． D．
22如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ D ）
A．和都是锐角三角形
B．和都是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
23已知非零向量与满足且则为（A）
（A）等边三角形　　　　　　　　　（B）直角三角形
（C）等腰非等边三角形　　　　　　（D）三边均不相等的三角形
24已知双曲线的左、右焦点分别为，，是准线上一点，且，，则双曲线的离心率是（　B　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
25如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”．已知常数≥0，≥0，给出下列命题：
①若＝＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点
有且仅有1个；
②若＝0，且＋≠0，则“距离坐标”为
（，）的点有且仅有2个；
③若≠0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是( D )
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．
26（06江西）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）(0，则必有（ C ）
f（0）＋f（2）(2f（1） B. f（0）＋f（2）(2f（1）
C. f（0）＋f（2）(2f（1） D. f（0）＋f（2）(2f（1）
本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn
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第二十六讲 填空题的解法
一、题型特点：
数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.
数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。下面是一些常用的方法。
二、例题解析
（一）定义法
有些问题直接去解很难奏效，而利用定义去解可以大大地化繁为简，速达目的。
例1. 的值是_________________。
解：从组合数定义有：
又 ，代入再求，得出466。
例2. 到椭圆右焦点的距离与到定直线x＝6距离相等的动点的轨迹方_______________。
解：据抛物线定义，结合图知：
轨迹是以（5，0）为顶点，焦参数P＝2且开口方向向左的抛物线，故其方程为：
（二）直接法
这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
例3设其中i，j为互相垂直的单位向量，又，则实数m = 。
解：∵，∴∴，而i，j为互相垂直的单位向量，故可得∴。
例4已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 。
解：，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，∴，∴。
例5现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 。
解：由题设，此人猜中某一场的概率为，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为。
（三）特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。
例6 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则 。
解：特殊化：令，则△ABC为直角三角形，，从而所求值为。
例7 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则 。
分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。
解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为把直线方程代入抛物线方程得，∴，从而。
例8 求值 。
分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令，得结果为。
例9如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1),f(2),f(4)的大小关系是
解： 由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的对称轴是x=2。可取特殊函数f(x)=(x-2)2,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。∴f(2) 例10已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比数列，则的值是 。
解： 考虑到a1,a3,a9的下标成等比数列，故可令an=n满足题设条件，于是=。
例11椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是 。
解： 设P(x,y)，则当∠F1PF2=90°时，点P的轨迹方程为x2+y2=5，由此可得点P的横坐标x=±，又当点P在x轴上时，∠F1PF2=0；点P在y轴上时，∠F1PF2为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是-（四）数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
例12 如果不等式的解集为A，且，那么实数a的取值范围是 。
解：根据不等式解集的几何意义，作函数和函数的图象（如图），从图上容易得出实数a的取值范围是。
例13 已知实数x、y满足，则的最大值是 。
解：可看作是过点P（x，y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为。
（五）等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。
例14 不等式的解集为（4，b），则a= ，b= 。
解：设，则原不等式可转化为：∴a > 0，且2与是方程的两根，由此可得：。
例15 不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，则实数a的取值范围是 。
解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆，
∴。
例16 函数单调递减区间为 。
解：易知∵y与y2有相同的单调区间，而，∴可得结果为。
总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。
（六） 淘汰法
当全部情况为有限种时，也可采用淘汰法。
例17. 已知，则与同时成立的充要条件是____________。
解：按实数b的正、负分类讨论。
当b>0时，而等式不可能同时成立；
当b＝0时，无意义；
当b<0时，若a<0，则两不等式不可能同时成立，以上三种情况均被淘汰，故只能为a>0，b<0，容易验证，这确是所要求的充要条件。
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第三讲 函数性质
★★★高考在考什么
【考题回放】
1． 设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有（　B　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
2． 设是奇函数，则使的的取值范围是（　A　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期．若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（ Ｄ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
4． 对于函数①，②，③，判断如下三个命题的真假：命题甲：是偶函数；
命题乙：在上是减函数，在上是增函数；
命题丙：在上是增函数．
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（　Ｄ　）
Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．②
5． 已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A．0是的极大值，也是的极大值 B．0是的极小值，也是的极小值
C．0是的极大值，但不是的极值 D．0是的极小值，但不是的极值
6．若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是
★★★高考要考什么
单调性：
1.定义：一般地，（1）对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，（2）当x1＜x2时，（3）都有f（x1）＜f（x2）〔或都有f（x1）＞f（x2）〕，那么就说（4）f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）.
要注意定义引申：（1）、（2）、（4）（3）；（1）、（3）、（4）（2）
如：是定义在上的递减区间，且<，则x的取值范围_____
奇偶性：
1.优先考虑定义域：定义域关于原点对称是具体奇偶性的必要条件。
2.奇函数在处有意义，则。
3.奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反。
周期性：
1.若，则的周期是＿＿＿＿；2.若，则的周期是＿＿＿＿；
3. 若，则的周期是＿＿＿＿；
4.若是偶函数，且图象关于对称，则的周期是＿＿＿＿；
★★★ 突 破 重 难 点
【范例1】设函数定义在R上，对于任意实数，总有，且当时，。（1）证明：，且时
（2）证明：函数在R上单调递减
（3）设，若，确定的取值范围。
（1）解：令，则，对于任意实数恒成立，
设，则，由得，
当时， 当时, ,
（2）证法一：设，则，
,函数为减函数
证法二：设，则
=
,
故 ,函数为减函数
（3）解：∵， ∴
若，则圆心到直线的距离应满足，解之得
，
变式：已知定义在R上的函数满足：，当x＜0时，。
（1）求证：为奇函数；（2）求证：为R上的增函数；
（3）解关于x的不等式：。（其中且a为常数）
解：（1）由，令，得：
，即
再令，即，得：

是奇函数………………4分
（2）设，且，则
由已知得：

即在R上是增函数………………8分
（3）


即

当，即时，不等式解集为
当，即时，不等式解集为
当，即时，不等式解集为………………13分
【范例2】已知f(x)=(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.，（1）求实数a的值组成的集合A；
（2）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：（1）f＇(x)== ，
∵f(x)在[－1，1]上是增函数，
∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，
即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立. ①
设( (x)=x2－ax－2，
①
－1≤a≤1，
∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}.
（2）由=，得x2－ax－2=0， ∵△=a2+8>0
∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，
x1+x2=a，
∴ 从而|x1－x2|==.
x1x2=－2，
∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3.
要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，
即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立. ②
设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，
方法一：
g(－1)=m2－m－2≥0，
②
g(1)=m2+m－2≥0，
m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
方法二：
当m=0时，②显然不成立；
当m≠0时，
m>0， m<0，
② 或
g(－1)=m2－m－2≥0 g(1)=m2+m－2≥0
m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
【点晴】利用导数研究函数的单调性和最值.在解决函数综合问题时要灵活运用数学思想和方法化归为基本问题来解决.
变式：设函数，其中
（1）解不等式
（2）求的取值范围，使在区间上是单调减函数。
解：（1）不等式即为
当时，不等式解集为
当时，不等式解集为
当时，不等式解集为
（2）在上任取，则
所以要使在递减即，只要即
故当时，在区间上是单调减函数。
【范例3】已知函数的定义域为，且同时满足：①；②恒成立；③若，则有．
（1）试求函数的最大值和最小值；
（2）试比较与的大小N）；
（3）某人发现：当x=(n(N)时，有f(x)<2x+2.由此他提出猜想：对一切x((0,1,都有，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．
解: (1)设0≤x1 由条件③得,f(x2)=f(x1+t)(f(x1)+f(t)-2,
∴f(x2)-f(x1)(f(t)-2,
由条件②得, f(x2)-f(x1)(0,
故当0≤x≤1时,有f(0)≤f(x)≤f(1).
又在条件③中,令x1=0,x2=1,得f(1)(f(1)+f(0)-2,即f(0)≤2,∴f(0)=2,
故函数f(x)的最大值为3,最小值为2.
(2)解:在条件③中,令x1=x2=,得f()(2f()-2,即f()-2≤[f()-2],
故当n(N*时，有f()-2≤[f()-2]≤[f()-2]≤···≤[f()-2]=,
即f()≤+2.
又f()=f(1)=3≤2+,
所以对一切n(N,都有f()≤+2.
(3)对一切x((0,1,都有.
对任意满足x((0,1，总存在n(n(N),使得
 根据（1）（2）结论，可知：
f(x)≤f()≤+2,
且2x+2>2(+2=+2,
故有.
综上所述，对任意x((0,1,恒成立.
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第四讲 导数及其应用（2）
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．已知对任意实数，有，且时，，则时（ B ）
A． B．
C． D．
2．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．设在内单调递增，，则是的（　B　）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
4．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ）
5．函数的单调递增区间是＿＿＿＿．
6．若直线y=x是曲线y=x3-3x2+ax的切线，则a= ；
★★★高考要考什么
导数的定义：
导数的几何意义：
函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率；
（2）函数在点处的导数，就是物体的运动方程在时刻时的瞬时速度；
3．要熟记求导公式、导数的运算法则、复合函数的导数等。尤其注意：和。
4．求函数单调区间的步骤：1）、确定f(x)的定义域，2）、求导数y′，3）、令y′>0(y′<0),解出相应的x的范围。当y′>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当y′<0时，f(x)在相应区间上是减函数
5．求极值常按如下步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程=0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。
6．设函数f(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大（小）值的步骤如下：(1)求f(x)在(a,b)内的极值，(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
7．最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。
★★★ 突 破 重 难 点
【范例1】已知函数在处取得极值.
（1）讨论和是函数f(x)的极大值还是极小值；
（2）过点作曲线y= f(x)的切线，求此切线方程.
（1）解：，依题意，，即

解得. ∴.
令，得.
若，则，故
f(x)在上是增函数，
f(x)在上是增函数.
若，则，故f(x)在上是减函数.
所以，是极大值；是极小值.
（2）解：曲线方程为，点不在曲线上.
设切点为，则点M的坐标满足.
因，故切线的方程为
注意到点A（0，16）在切线上，有
化简得，解得.
所以，切点为，切线方程为.
【点晴】过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.
【范例2】（安徽理）设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.
（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.
解：（Ⅰ）根据求导法则有，
故，
于是，
列表如下：
2
0
极小值
故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．
（Ⅱ）证明：由知，的极小值．
于是由上表知，对一切，恒有．
从而当时，恒有，故在内单调增加．
所以当时，，即．
故当时，恒有．
【点晴】本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．
【范例2】已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用表示，并求的最大值；
（II）求证：（）．
解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．
，，由题意，．
即由得：，或（舍去）．
即有．
令，则．于是
当，即时，；
当，即时，．
故在为增函数，在为减函数，
于是在的最大值为．
（Ⅱ）设，
则．
故在为减函数，在为增函数，
于是函数在上的最小值是．
故当时，有，即当时，．
【点晴】本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
变式：已知函数.
（1）求函数y= f(x)的反函数的导数
（2）假设对任意成立，求实数m的取值范围.
解：（1）；
（2）
令：
所以都是增函数.因此当时，的最大值为的最小值为而不等式②成立当且仅当即，于是得
解法二：由得
设
于是原不等式对于恒成立等价于 ③…7分
由，注意到
故有，从而可均在
上单调递增，因此不等式③成立当且仅当
即
【点晴】求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.
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第四讲 导数及其应用
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．已知对任意实数，有，且时，，则时（ B ）
A． B．
C． D．
2．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为A
A． B．
C． D．
4．函数，已知在时取得极值，则=（B）
A.2 B.3 C.4 D.5
5．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则＿＿．32
6．已知函数的图象在点处的切线方程是，则＿＿＿＿．3
7．设a为实数,函数
(Ⅰ)求f(x)的极值.
(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线y= f(x)轴仅有一个交点.
解：(I)=3－2－1
若=0，则==－，=1
当变化时，，变化情况如下表：
(－∞，－)
－
(－，1)
1
(1，+∞)
+
0
－
0
+
极大值
极小值
∴f(x)的极大值是，极小值是
(II)函数
由此可知，取足够大的正数时，有f(x)>0，取足够小的负数时有f(x)<0，所以曲线y= f(x)与轴至少有一个交点
结合f(x)的单调性可知：
当f(x)的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线= f(x)与x轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。
当f(x)的极小值－1>0即(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y= f(x)与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。
∴当∪(1，+∞)时，曲线y= f(x)与x轴仅有一个交点
★★★高考要考什么
导数的几何意义：
函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率；
（2）函数在点处的导数，就是物体的运动方程在时刻时的瞬时速度；
2．求函数单调区间的步骤：1）、确定f(x)的定义域，2）、求导数y′，3）、令y′>0(y′<0),解出相应的x的范围。当y′>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当y′<0时，f(x)在相应区间上是减函数
3．求极值常按如下步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程=0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。
4．设函数f(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大（小）值的步骤如下：(1)求f(x)在(a,b)内的极值，(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
5．最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。
★★★ 突 破 重 难 点
【范例1】已知函数在处取得极值.
（1）讨论和是函数f(x)的极大值还是极小值；
（2）过点作曲线y= f(x)的切线，求此切线方程.
（1）解：，依题意，，即

解得. ∴.
令，得.
若，则，故
f(x)在上是增函数，
f(x)在上是增函数.
若，则，故f(x)在上是减函数.
所以，是极大值；是极小值.
（2）解：曲线方程为，点不在曲线上.
设切点为，则点M的坐标满足.
因，故切线的方程为
注意到点A（0，16）在切线上，有
化简得，解得.
所以，切点为，切线方程为.
【点晴】过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.
【范例2】(安徽文)设函数f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).
(Ⅰ)求g(t)的表达式；
(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.
解：（I）我们有


．
由于，，故当时，达到其最小值，即
．
（II）我们有．
列表如下：
极大值
极小值
由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．
【点晴】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．
【范例2】已知函数在区间，内各有一个极值点．（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，
设两实根为（），则，且．于是
，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．
（II）解法一：由知在点处的切线的方程是
，即，
因为切线在点处空过的图象，
所以在两边附近的函数值异号，则
不是的极值点．
而，且
．
若，则和都是的极值点．
所以，即，又由，得，故．
解法二：同解法一得
．
因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
设，则
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
由知是的一个极值点，则，
所以，又由，得，故．
变式：设函数在及时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
解：（Ⅰ），
因为函数在及取得极值，则有，．
即
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以　，
解得　或，
因此的取值范围为．
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第五讲 等差等比
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．在等差数列中，，则（ A ）
A. B. C. D. -1或1
2.（安徽）直角三角形三边成等比数列，公比为，则的值为（ D ）
A. B. C. D.
3.已知数列{}的前项和，第项满足，则（　B　）
A． B． C. D．
4.已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（　D　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5.设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　B　）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
6. 等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为　　　　　　．
★★★高考要考什么
等差数列的证明方法：1. 定义法：2．等差中项：对于数列，若
等差数列的通项公式：------该公式整理后是关于n的一次函数
等差数列的前n项和 1． 2. 3.
等差中项: 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或
等差数列的性质:1．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有
对于等差数列，若，则。也就是：，
3．若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示：
4．设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质：
当n为偶数时，， 当n为奇数时，则，，
等比数列的判定方法:①定义法：若②等比中项：若，则数列是等比数列。
等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。
等比数列的前n项和:  当时，
等比中项:如果使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。那么。
等比数列的性质:
1．等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有
对于等比数列，若，则也就是：。
3．若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示：
★★ 突 破 重 难 点
【范例1】是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，求数列的通项．
解析 由已知得， 即 ，
解得或 或
经验证 或 均满足题意，即为所求．
【点睛】若是等差数列的前n项和，则数列也是等差数列．本题是以此背景设计此题．
【变式】已知等差数列｛an｝的公差和等比数列｛bn｝的公比相等，且都等于d（d＞0，d≠1）.若a1=b1，a3=3b3，a5=5b5，求an，bn．
解：由已知①②
由①，得a1（3d2－1）＝2d ③
由②，得a1（5d4－1）＝4d ④
因为d≠0，由③与④得2（3d2－1）＝5d4－1， 即5d4－6d2＋1＝0，解得d＝±1，d＝±．
∵d＞0，d≠1，∴d＝．代入③，得a1＝－，故b1=－.
an＝－＋（n－1）＝（n－6），bn＝－×（）n－1．
本小题考查等差数列和等比数列的概念、性质，方程（组）的解法以及运算能力和分析能力.
【范例2】下表给出一个“三角形数阵”：
，
，，
… … … …
已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等．记第i行第j列的数为aij ( i≥j， i， j∈N*)．
(1) 求a83；
(2) 试写出a ij关于i， j的表达式；
(3) 记第n行的和为An，求
解析 （1）由题知成等差数列，且，所以公差。
又成等比数列，且．又公比都相等，∴每行的公比是．∴．　
（2）由（1）知，，∴．　
（3）．
【点睛】在新颖背景——数表中运用数列知识．
【文】在等比数列{a n}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am， am+2， am+1成等差数列
（1）写出这个命题的逆命题；（2）判断逆命题是否为真，并给出证明
解析（１）逆命题：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am， am+2， am+1成等差数列，则 Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列
（２）设{an}的首项为a1，公比为q. 由已知得2am+2= am + am+1
∴2a1qm+1=a1+a1qm ∵a1≠0 q≠0 ，∴2q2－q－1=0 ， ∴q=1或q=－
当q=1时，∵Sm=ma1， Sm+2= (m+2)a1，Sm+1= (m+1)a1，
∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2， ∴Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列
当q=－时， ，
∴Sm+Sm+1=2 Sm+2 ， ∴Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列
综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q≠1时，逆命题为真
【点睛】逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处．
【变式】等差数列的前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项与前项和；
（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
解：（Ⅰ）由已知得，， 故．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．
即． ，
． 与矛盾．
所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．
【范例3】若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”。
（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项
（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和
解：（1）设的公差为，则，解得 ，数列为．
（2） ，
，当时，取得最大值为626．
（3）所有可能的“对称数列”是：
① ； ② ；
③ ； ④ ．
对于①，当时，．
当时，
．
对于②，当时，．当时，．
对于③，当时，；当时，．
对于④，当时，；当时，．
【点睛】在看懂题目意思基础上，注意各种情况的讨论，考察观察，分析，运用能力
【文】如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．
例如，数列与数列都是“对称数列”．
（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；
（2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；
（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．求前项的和．
解：（1）设数列的公差为，则，解得 ，
数列为．
（2）
67108861．
（3）．由题意得 是首项为，公差为的等差数列．
当时， ．
当时，
．
综上所述，

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第六讲 求通项公式
★★★高考在考什么
【考题回放】
1. 已知数列{ an }的前n项和为Sn，且Sn=2(an -1)，则a2等于( A )
A. 4 B. 2 C. 1 D. -2
2．在数列中，，且，则 35 ．
3．在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=__2 n+1-3___.
4．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　　2n+1-2 .
5.已知数列{}的前项和，则其通项 ；若它的第项满足，则 . 2n-10 ; 8
6.已知数列对于任意，有，若，则 ．4
7. 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1, a3, a15成等比数列，求数列{an}的通项an .
解析 ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)， ②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)．
当a1=3时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3．
★★★高考要考什么
一、 根据数列{an}的前n项和求通项Sn= a1+ a2+ a3+ ……+ an
已知数列前n项和Sn,相当于知道了n≥2时候an,但不可忽视n=1.
二、由递推关系求数列的通项
1. 利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代。
2.一阶递推,我们通常将其化为看成{bn}的等比数列。
3.利用换元思想（变形为前一项与后一项成等差等比关系，直接写出新数列通项化简得an）。
4.对含an与Sn的题，进行熟练转化为同一种解题，注意化简时n的范围。
★★ 突 破 重 难 点
【范例1】记
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和
解析（I）
整理得
（Ⅱ）由
所以
．
【变式】数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．（I）求的值；（II）求的通项公式．
解：（I），，，
因为，，成等比数列，所以，解得或．
当时，，不符合题意舍去，故．
（II）当时，由于
，
，
…………
，
所以．
又，，故．当时，上式也成立，
所以
【范例2】设数列的首项．
（1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整数．
解：（1）由 整理得 ．
又，所以是首项为，公比为的等比数列，得
（2）方法一： 由（1）可知，故．则

又由（1）知且，故，因此 为正整数．
方法二：由（1）可知，
因为，所以 ．
由可得，即
两边开平方得 ．即 为正整数
【变式】已知数列中，对一切自然数，都有且．
求证：(1)； (2)若表示数列的前项之和，则．
解析： (1)由已知得，
又因为，所以, 因此，即．
(2) 由结论(1)可知 ，即，
于是，即．
【范例3】由坐标原点O向曲线引切线，切于O以外的点P1，再由P1引此曲线的切线，切于P1以外的点P2），如此进行下去，得到点列{ Pn}}.
求：（Ⅰ）的关系式；
（Ⅱ）数列的通项公式；
（Ⅲ）（理）当时，的极限位置的坐
解析 （Ⅰ）由题得
过点P1（的切线为
过原点
又过点Pn（的
因为过点Pn-1（
整理得

（Ⅱ）由（I）得
所以数列{xn-a}是以公比为的等比数列
（Ⅲ）
的极限位置为（
【点睛】注意曲线的切线方程的应用，从而得出递推式．求数列的通项公式是数列的基本问题，一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。
【变式】已知函数f (x)=，数列｜x｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f (x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）.
求证：当n时，(Ⅰ) x （Ⅱ）.
解、 (I ) 证明：因为
所以曲线在处的切线斜率
即和两点的直线斜率是 以.
（II）因为函数，当时单调递增，
而，
所以，即 因此
又因为 令 则
因为 所以
因此 故
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第七讲 数列求和
★★★高考在考什么
【考题回放】
1.设，则等于（ D ）
A. B. C. D.
2. 等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（　B　）
A．9 B．10 C．11 D．12
3.）数列的前项和为，若，则等于（　B　）
A．1 B． C． D．
4.设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝
A. B. C. D.
解析:由等差数列的求和公式可得且
所以,故选A
5.已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于（　　）
A．55　　　　 B．70　　　　　C．85　　　　　D．100
解：数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于=，，∴
=，选C.
6.对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　　
解：，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n
切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn=.数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2
　★★★高考要考什么
1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。
公比含字母时一定要讨论
(理)无穷递缩等比数列时，
2．错位相减法求和：如：
3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
4．合并求和：如：求的和。
5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项：

6．公式法求和
7．倒序相加法求和
★★ 突 破 重 难 点
【范例1】设数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项； （Ⅱ）设，求数列的前项和．
解 (I)

验证时也满足上式，
(II) ， ①
②
①-② ： ，
【变式】已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）、求数列的通项公式；
（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；
点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。
解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，
故Tn＝＝＝（1－）.
因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.
【范例2】已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．
（I）求，，，； （II）求数列的前项和；
（Ⅲ）(理)记，，
求证：．
（I）解：方程的两个根为，，
当时，，所以；
当时，，，所以；
当时，，，所以时；
当时，，，所以．
（II）解：．
（III）证明：，
所以，．
当时，，
，
同时，
．
综上，当时，．
【变式】在数列中，，，．
（Ⅰ）证明数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．
解、（Ⅰ）证明：由题设，得，．
又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为．
所以数列的前项和．
（Ⅲ）证明：对任意的，
．
所以不等式，对任意皆成立．
【点睛】本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．
【范例3】已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…
证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；
记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.
解：（Ⅰ）由已知， ，两边取对数得
，即
是公比为2的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 （*）
=
由（*）式得
（Ⅲ）
又

又.
【变式】已知数列满足，并且（为非零参数，）．
（Ⅰ）若成等比数列，求参数的值；
（Ⅱ）设，常数且．证明．
　　解：（I）由已知且
　　　若、、成等比数列，则即而解得
　　（II）证明：设由已知，数列是以为首项、为公比的等比数列，故 则　
　　因此，对任意
　　　　　　　　
　　当且时，
所以
　　　　　　
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第八讲 数列综合
★★★高考在考什么
【考题回放】
1.已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（　B　）
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．
2.已知等差数列的前项和为，若，则 ．7
3. 在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于
A． B. C. D.
【解析】因数列为等比，则，因数列也是等比数列，
则
即，所以，故选择答案C。
4.设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（　B　）
A．10 B．11 C．12 D．13
5. 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an .
解析：解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)．
当a1=3时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时，a3=12， a15=72， 有a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3．
6.已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为.
(I)求数列的首项和公比；
(II)对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求的前10项之和；
解: (Ⅰ)依题意可知,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以数列的的首项为,公差,
,即数列的前10项之和为155.
★★★高考要考什么
本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．
高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查
间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论．
高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在
一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：
（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．
（2）给出Sn与an的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．
（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力．
理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．
★★ 突 破 重 难 点
【范例1】已知数列，满足，，且（）
（I）令，求数列的通项公式；
（II）求数列的通项公式及前项和公式．
解：（Ｉ）由题设得，即（）
易知是首项为，公差为２的等差数列，通项公式为．
（II）解：由题设得，令，则．
易知是首项为，公比为的等比数列，通项公式为． 由解得
， 求和得．
【变式】在等差数列中，，前项和满足条件，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前项和。
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为,由得：，所以，即，又＝，所以。
（Ⅱ）由，得。所以，
当时，；
当时，
，
即。
（理）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。
（Ⅰ）、求数列的通项公式；
（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；
解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，
故Tn＝＝＝（1－）.
因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.
【范例2】已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……）
（1）求的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有>a；
（3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。
解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，∴；
（2），
=，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n=1,2,……），
（3），而，即，
，同理，，又
【文】已知函数，、是方程的两个根()，是的导数
设，，.
(1)求、的值；
(2)已知对任意的正整数有,记,.求数列{}的前项和．
解、(1) 由 得
(2)

又
数列是一个首项为 ,公比为2的等比数列;

【变式】对任意函数f（x），x∈D，可按图示3—2构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1＝f（x0）；
②若x1D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2＝f（x1），并依此规律继续下去．
现定义f（x）=．
（Ⅰ）若输入x0＝，则由数列发生器产生数列｛xn｝．请写出数列｛xn｝的所有项；
（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；
（Ⅲ）（理）若输入x0时，产生的无穷数列｛xn｝满足：对任意正整数n,均有xn＜xn＋1，求x0的取值范围．
解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域D＝（－∞?－1）∪（－1，＋∞）
∴数列｛xn｝只有三项x1＝，x2＝，x3＝－1
（Ⅱ）∵f（x）＝＝x即x2－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2
即x0＝1或2时，xn＋1＝＝xn，故当x0＝1时，x0＝1；当x0＝2时，xn＝2（n∈N）
（Ⅲ）解不等式x＜，得x＜－1或1＜x＜2，要使x1＜x2，则x2＜－1或1＜x1＜2
对于函数f（x）＝。若x1＜－1，则x2＝f（x1）＞4，x3＝f（x2）＜x2
当1＜x1＜2时，x2＝f（x）＞x1且1＜x2＜2依次类推可得数列｛xn｝的所有项均满足xn＋1＞xn（n∈N）
综上所述，x1∈（1，2），由x1＝f（x0），得x0∈（1，2）
【范例3】已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…．
（I）证明：数列（）是常数数列；
（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；
（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增
解：（I）当时，由已知得．
因为，所以． …… ①
于是． ……②
由②－①得． …… ③
于是． …… ④
由④－③得， …… ⑤
所以，即数列是常数数列．
（II）由①有，所以．由③有，，所以，．而 ⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，
所以，，，
数列是单调递增数列且对任意的成立．
且
．
即所求的取值集合是．
（III）解法一：弦的斜率为
任取，设函数，则
记，则，
当时，，在上为增函数，
当时，，在上为减函数，
所以时，，从而，所以在和上都是增函数．
由（II）知，时，数列单调递增，
取，因为，所以．
取，因为，所以．
所以，即弦的斜率随单调递增．
解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，
所以，．
故，即弦的斜率随单调递增．
【文】设是数列（）的前项和，，且，，．（I）证明：数列（）是常数数列；
（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．
解：（I）当时，由已知得．
因为，所以． …………………………①
于是． …………………………………………………②
由②－①得：．……………………………………………③
于是．……………………………………………………④
由④－③得：．…………………………………………………⑤
即数列（）是常数数列．
（II）由①有，所以．
由③有，所以，
而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列．
所以，，．
由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项．
若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得，，从而是数列中的第项．
（注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）
【变式】（文）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…
证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；
记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.
解：（Ⅰ）由已知，
，两边取对数得
，即
是公比为2的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 （*）
=
由（*）式得
（Ⅲ）
又

又
（理）在数列中，，其中．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．
（Ⅰ）解法一：，
，
．
由此可猜想出数列的通项公式为．
以下用数学归纳法证明．
（1）当时，，等式成立．
（2）假设当时等式成立，即，
那么
．
这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．
解法二：由，，
可得，
所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．
（Ⅱ）解：设，　　　①
　　　　　　　　②
当时，①式减去②式，
得，
．
这时数列的前项和．
当时，．这时数列的前项和．
（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：
．　　　　③
由知，要使③式成立，只要，
因为
．
所以③式成立．
因此，存在，使得对任意均成立．
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第九讲 三角函数的求值
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．（海南）若，则的值为（C）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．（天津）“”是“”的（A）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
3. 在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时， （ D ）
（A） （B） （C） （D）
4．（江苏）若，，则_____
5．（浙江）已知，且，则的值是
6．已知函数f(x)＝－sin2x＋sinxcosx．
(Ⅰ) 求f()的值； (Ⅱ) 设∈(0，)，f()＝－，求sin的值．
解：(Ⅰ)
(Ⅱ) ，
解得
★★★高考要考什么
【考点透视】
本专题主要涉及同角三角函数基本关系，诱导公式，两角和差公式，倍角公式，升幂缩角、降幂扩角公式等公式的应用.
【热点透析】
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍
★★★突破重难点
【范例1】设0((((,P=sin2(+sin(-cos(
若t= sin(-cos(,用含t的式子表示P;
确定t的取值范围，并求出P的最大值.
解析（1）由有

（2）
即的取值范围是
在内是增函数，在内是减函数.
的最大值是
【点晴】间通过平方可以建立关系，“知其一，可求其二”．
【范例2】已知为的最小正周期， ，且．求的值．
解：因为为的最小正周期，故．
因，又．
故．
由于，所以
【范例3】设．
（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角满足，求的值．
解：（Ⅰ）
．
故的最大值为；
最小正周期．
（Ⅱ）由得，故．
又由得，故，解得．
从而．
【范例4】已知的面积S 满足且与的夹角为.
(1) 求的取值范围；
(2) 求函数的最小值.
解： （1）由题意知， ①
②
由②①，得即由得
又为与的夹角，
（2）
＝
即时，的最小值为3
【范例5】已知函数，．
（I）求的最大值和最小值；
（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．
解：（Ⅰ）
．
又，，即，
．
（Ⅱ），，
且，
，即的取值范围是．
【变式】已知f（x）=2asin2x－2asinx+a+b的定义域是［0,］，值域是［－5，1］,求a、b的值.
解析 令sinx=t，∵x∈［0，］，∴t∈［0，1］，
f（x）=g（t）=2at2－2at+a+b=2a（t－）2+b.
当a＞0时，则 解之得a=6，b=－5.
当a＜0时，则 解之得a=－6，b=1.
【点睛】注意讨论的思想
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专题22 空间位置关系与证明
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．（浙江）若是两条异面直线外的任意一点，则（B ）
A．过点有且仅有一条直线与都平行
B．过点有且仅有一条直线与都垂直
C．过点有且仅有一条直线与都相交
D．过点有且仅有一条直线与都异面
2．（06湖南）如图，过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中
点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有( D )
A.4条 B.6条 C.8条 D.12条
3．（湖北）平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：
①；
②；
③与相交与相交或重合；
④与平行与平行或重合．
其中不正确的命题个数是（　Ｄ　）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
4.（湖北）关于直线、与平面、，有下列四个命题：（D ）
①且，则； ②且，则；
③且，则； ④且，则.
其中真命题的序号是：
A. ①、② B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③
5．在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则( )
四边形一定是平行四边形
四边形有可能是正方形
四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形
四边形有可能垂直于平面
以上结论正确的为 ①③④ 。（写出所有正确结论的编号）
6．（上海）在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知是两个相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是直线．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异
面直线的充分条件： ，并且与相交（，并且与相交）

★★高考要考什么
线与线的位置关系:平行、相交、异面；
线与面的位置关系:平行、相交、线在面内；
面与面的位置关系:平行、相交；
二．转化思想：
；
★★★高考将考什么
【范例1】如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）证明平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．
（Ⅰ）证明：在四棱锥中，
因底面，平面，故．
，平面．
而平面，．
（Ⅱ）证明：由，，可得．
是的中点，．
由（Ⅰ）知，，且，所以平面．
而平面，．
底面在底面内的射影是，，．
又，综上得平面．
（Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．
因此是二面角的平面角．
由已知，得．设，
可得．
在中，，，
则．
在中，．
解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为．
过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角．
由已知，可得，设，
可得．
，．
于是，．
在中，．
所以二面角的大小是．
所以二面角的大小是．
变式：如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．
（1）证明//平面；
（2）设，证明平面．
证明：（Ⅰ）取CD中点M，连结OM.
在矩形ABCD中，，又，则，
连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.
又平面CDE， EM平面CDE， ∴ FO∥平面CDE
（Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，
且.
因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，
∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO. 而，所以EO⊥平面CDF.
【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，注意线面平行和线面垂直判定定理的使用，考查空间想象能力和推理论证能力。
【范例2】如图，在六面体中，四边形是边长为
2的正方形，四边形是边长为1的正方形，平面
，平面，．
（Ⅰ）求证：与共面，与共面．
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求二面角的大小（用反三角函数值表示）．
证明：以为原点，以所在直线分别为轴，
轴，轴建立空间直角坐标系如图，
则有．
（Ⅰ）证明：
．
．
与平行，与平行，
于是与共面，与共面．
（Ⅱ）证明：，
，
，．
与是平面内的两条相交直线．
平面．
又平面过．
平面平面．
（Ⅲ）解：．
设为平面的法向量，
，．
于是，取，则，．
设为平面的法向量，
，．
于是，取，则，．
．
二面角的大小为．
解法2（综合法）：
（Ⅰ）证明：平面，平面．
，，平面平面．
于是，．
设分别为的中点，连结，
有．
，
于是．
由，得，
故，与共面．
过点作平面于点，
则，连结，
于是，，．
，．
，．
所以点在上，故与共面．
（Ⅱ）证明：平面，，
又（正方形的对角线互相垂直），
与是平面内的两条相交直线，
平面．
又平面过，平面平面．
（Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，，
根据三垂线定理，有．
过点在平面内作于，连结，
则平面，
于是，
所以，是二面角的一个平面角．
根据勾股定理，有．
，有，，，．
，，
二面角的大小为．
变式（07江苏）如图，已知是棱长为的正方体，
点在上，点在上，且．
（1）求证：四点共面；（4分）
（2）若点在上，，点在上，
，垂足为，求证：平面；（4分）
（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．
证明：（1）建立如图所示的坐标系，则，，，
所以，故，，共面．
又它们有公共点，所以四点共面．
（2）如图，设，则，
而，由题设得，
得．
因为，，有，又，，所以，，从而，．
故平面．
（3）设向量截面，于是，．
而，，得，，解得，，所以．
又平面，所以和的夹角等于或（为锐角）．
于是．
故．
【范例3】如图，在长方体AC1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.
解析：法1
（1）∵AE⊥面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E
（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，
故
（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，
∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.
设AE=x，则BE=2－x
法2：以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).
（1）
（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），
从而，，
设平面ACD1的法向量为，
则也即，得，
从而，所以点E到平面AD1C的距离为
（3）设平面D1EC的法向量，
∴
由 令b=1, ∴c=2, a=2－x，
∴依题意
∴（不合，舍去）， .
∴AE=时，二面角D1—EC—D的大小为.
变式：如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.
（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；
（Ⅱ）证明PA⊥BD.
解析：（Ⅰ）如图，取AD的中点E，
连结PE，则PE⊥AD.
作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE.
根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，
所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角
的平面角，由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=3，
四棱锥P—ABCD的体积VP—ABCD=
（Ⅱ）法1 如图，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P(0，0，3)，
A(2，－3，0)，B(2，5，0)，D(－2，－3，0)
所以
因为 所以PA⊥BD.
法2：连结AO，延长AO交BD于点F.通过计算
可得EO=3，AE=2，又知AD=4，AB=8，
得所以Rt△AEO∽Rt△BAD.得∠EAO=∠ABD.
所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF⊥BD.
因为 直线AF为直线PA在平面ABCD 内的身影，所以PA⊥BD.
【点晴】本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力，解题的关键是二面角的使用。使用空间向量能降低对空间想象能力的要求，但坐标系的位置不规则，注意点坐标的表示。
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专题二：填空题的解法
一、题型特点：
数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.
数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。下面是一些常用的方法。
二、例题解析
（一）定义法
有些问题直接去解很难奏效，而利用定义去解可以大大地化繁为简，速达目的。
例1. 的值是_________________。
解：从组合数定义有：
又
代入再求，得出466。
例2. 到椭圆右焦点的距离与到定直线x＝6距离相等的动点的轨迹方程是_______________。
解：据抛物线定义，结合图1知：
图1
轨迹是以（5，0）为顶点，焦参数P＝2且开口方向向左的抛物线，故其方程为：
（二）直接法
这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
例3设其中i，j为互相垂直的单位向量，又，则实数m = 。
解：∵，∴∴，而i，j为互相垂直的单位向量，故可得∴。
例4已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 。
解：，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，∴，∴。
例5现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 。
解：由题设，此人猜中某一场的概率为，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为。
（三）特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。
例6 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则 。
解：特殊化：令，则△ABC为直角三角形，，从而所求值为。
例7 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则 。
分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。
解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为把直线方程代入抛物线方程得，∴，从而。
例8 求值 。
分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令，得结果为。
例9如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1),f(2),f(4)的大小关系是 。
解： 由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的对称轴是x=2。可取特殊函数f(x)=(x-2)2,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。∴f(2) 例10已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比数列，则的值是 --。
解： 考虑到a1,a3,a9的下标成等比数列，故可令an=n满足题设条件，于是=。
例11椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是 。
解： 设P(x,y)，则当∠F1PF2=90°时，点P的轨迹方程为x2+y2=5，由此可得点P的横坐标x=±，又当点P在x轴上时，∠F1PF2=0；点P在y轴上时，∠F1PF2为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是-（四）数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
例12 如果不等式的解集为A，且，那么实数a的取值范围是 。
解：根据不等式解集的几何意义，作函数和
函数的图象（如图），从图上容易得出实数a的取
值范围是。
例13 已知实数x、y满足，则的最大值是 。
解：可看作是过点P（x，y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为。
（五）等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。
例14 不等式的解集为（4，b），则a= ，b= 。
解：设，则原不等式可转化为：∴a > 0，且2与是方程的两根，由此可得：。
例15 不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，则实数a的取值范围是 。
解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆，∴。
例16 函数单调递减区间为 。
解：易知∵y与y2有相同的单调区间，而，∴可得结果为。
总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。
（六） 淘汰法
当全部情况为有限种时，也可采用淘汰法。
例17. 已知，则与同时成立的充要条件是____________。
解：按实数b的正、负分类讨论。
当b>0时，而等式不可能同时成立；
当b＝0时，无意义；
当b<0时，若a<0，则两不等式不可能同时成立，以上三种情况均被淘汰，故只能为a>0，b<0，容易验证，这确是所要求的充要条件。
三、练习
1已知函数，则
讲解　由，得，应填4.
集合的真子集的个数是
讲解　，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是，应填.
3．在四面体中，为的中点，为的中点，则 （用表示）．
4．（07广东）在平面直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是 ．
5．设变量满足约束条件则目标函数的最小值为 ．
6. 某地球仪上北纬纬线的长度为，则该地球仪的表面积是___________
答案： cm2
7.如果函数，那么　
讲解　容易发现，这就是我们找出的有用的规律，于是
原式＝，应填
8．下面有五个命题：
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.
②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|.
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.
④把函数
⑤函数
其中真命题的序号是 ① ④
9.　如果函数的图象关于直线对称，那么
讲解　，其中.
是已知函数的对称轴，
，
即　　　　，
于是　　　　　故应填 .
10.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，．若，则的值为
　　　6　　．
11．已知是公差不为零的等差数列，如果是的前n项和，那么
讲解　特别取，有，于是有　　　　　　　 故应填2.
12.以下四个命题：
①
②
③凸n边形内角和为④凸n边形对角线的条数是
其中满足“假设时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是　　　　　　　.
讲解 ①当n=3时，，不等式成立；
当n=1时，，但假设n=k时等式成立，则
　　　；
③　，但假设成立，则
　　　　　　
④　，假设成立，则
　　　　
故应填②③.
　13．某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为　　　　　　　.
讲解 　中奖号码的排列方法是：　奇位数字上排不同的奇数有种方法，偶位数字上排偶数的方法有，从而中奖号码共有种，于是中奖面为
　　　　　　　　　　　　
故应填
14． 的展开式中的系数是
讲解　由知，所求系数应为的x项的系数与项的系数的和，即有
　　　　　
故应填1008.
15． 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________.
讲解　长方体的对角线就是外接球的直径,　即有
　　　　
从而　　　，故应填
16． 如右图，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是　　　　　.（要求：把可能的图的序号都填上）
讲解 因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影.
四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如图所示；
四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图所示. 故应填.
17． 椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是_____________________.
讲解 记椭圆的二焦点为，有

则知
显然当，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.
故应填或
18． 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是___________.
讲解 依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为
由
消去x，得 （*）
解出 或
要使（*）式有且只有一个实数根，只要且只需要即
再结合半径，故应填
19． 已知a、b、c、d是四条互不重合的直线，且c、d分别为a、b在平面α上的射影，给出下面两组四个论断：
第一组：①a⊥b,②a∥b;
第二组：③c⊥d,④c∥d。
分别从两组中各选一个论断，使一个作条件，另一个作结论，写出一个正确的命题： 。
. 答：a∥bc∥d
20．定义在（-∞，+∞）上的偶函数f(x)满足：f(x+1)= -f(x)，且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f(x)的判断：
①f(x)是周期函数；
②f(x)的图像关于直线x=1对称；
③f(x)在[0，1]上是增函数；
④f(x)在[1，2]上是减函数；
⑤f(2)=f(0)。
其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）。
答：①②⑤
21．如图14-10，已知正方体ABCD—A1B1C1D1，过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等，试写出满足这样条件的一个截面 。
（注：只需任意写出一个）
答：截面AB1D1，或截面ACD1，或截面AB1C
22．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　390　　　　种（用数字作答）．
23.随机变量的分布列如下：
其中成等差数列，若，则的值是 ．

24. 已知数列，，且数列的前项和为，那么的值为__________答：99
25. ．有两个向量，。今有动点，从开始沿着与向量+相同的方向作匀速直线运动，速度为|+|；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为|3+2|．设、在时刻秒时分
别在、处，则当时， 2 秒．
本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn
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专题1: 选 择 题 的 解 法
一、题型特点：
1．高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查“三基”为重点的导向，能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本要求是四个字——准确、迅速.
2．选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面. 解答选择题的基本策略是：要充分利用题设和选择支两方面提供的信息作出判断。一般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法解的，就不必采用直接解；对于明显可以否定的选择应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等。解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。
3．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法.
二、例题解析
1.直接求解法 涉及数学定义、定理、法则、公式的应用的问题，常通过直接演算得出结果，与选择支进行比照，作出选择，称之直接求解法．
例1、 圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有（ ）
Ａ.1个 Ｂ.2个 Ｃ.3个 Ｄ.4个
解 :本题的关键是确定已知直线与圆的相对位置,这就需对圆心到直线的距离作定量分析．将圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝(2)2,∴ r＝2.∵ 圆心(－1，－2)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝,恰为半径的一半．故选Ｃ．
例2、设F1、F2为双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上满足∠F1PF2＝90o，则△F1PF2的面积是（ ）
Ａ.1 Ｂ./2 Ｃ.2 Ｄ.
解 ∵ |PF1|－|PF2|＝±2a＝±4，∴ |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16，
∵ ∠F1PF2＝90o，∴ ＝|PF1|·|PF2|＝(|PF1|2＋|PF2|2－16).
又∵ |PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝20.∴ ＝1，选Ａ．
例3、 椭圆mx2＋ny2＝1与直线x＋y＝1交于A、B两点，过AB中点M与原点的直线斜率为，则的值为（ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ.1 Ｄ.
分析:命题：“若斜率为k(k≠0)的直线与椭圆＋＝1（或双曲线－＝1）相交于A、B的中点，则k·kOM＝－(或k·kOM＝)，”（证明留给读者）在处理有关圆锥曲线的中点弦问题中有着广泛的应用．运用这一结论，不难得到：
解 ∵ kAB·kOM＝－＝－＝－,∴ ＝－kAB·kOM＝1·＝，故选Ａ．
2.直接判断法
涉及有关数学概念的判断题，需依据对概念的全面、正确、深刻的理解而作出判断和选择．
例1、甲：“一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面”，乙：“两个二面角相等或互补．”则甲是乙的（ ）
Ａ.充分而非必要条件 Ｂ.必要而非充分条件
Ｃ.充要条件 Ｄ.既非充分又非要条件
分析 显然“乙(甲”不成立，因而本题关键是判断
“甲(乙”是否成立？由反例：正方体中，二面角A1－AB
－C与B1－DD1－A满足条件甲(图31－1)，但它们的度数
分别为90o和45o，并不满足乙，故应选Ｄ．
例2、下列四个函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）　　　　
Ａ.f(x)＝x＋lg Ｂ.f(x)＝(x－1)
Ｃ.f(x)＝ Ｄ.f(x)＝
解 由于选择支Ｂ给出的函数的定义域为[－1，1]，该定义区间关于原点不对称，故选Ｂ．
3、特殊化法（即特例判断法）
例1．如右下图,定圆半径为a，圆心为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0
与直线 x–y+1=0的交点在( B )
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
提示：取满足题设的特殊值a=2，b=–3，c=1
解方程 得 于是排除A、C、D，故应选B
例2．函数f(x)=Msin() ()在区间[a，b]上是增函数，且f(a)=–M，
f(b)=M，则函数g(x)=Mcos()在[a，b]上（ C ）
A．是增函数 B．是减函数 C．可以取得最大值M D．可以取得最小值–M
解：取特殊值。令=0，，则
因，则，这时, 显然应选C
例3．已知等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ C ）
A．130 B．170 C．210 D．260
解：特殊化法。令m=1，则a1=S1=30，又a1+a2=S2=100 ∴a2=70, ∴等差数列的公差d=a2–a1=40，于是a3=a2+d=110, 故应选C
例4．已知实数a，b均不为零，，且，则等于（ B ）
A． B． C．– D．–
提示：特殊化法。取，则 故应选B
4、排除法（筛选法）
例1．设函数，若f(x0)>1，则x0的取值范围是（ D ）
A．(–1,1) B．(–1,+) C．(–,–2)(0,+) D．(–,–1)(1,+)
例2．已知是第三象限角，|cos|=m，且，则等于（ D ）
A． B．– C． D．–
例3．已知二次函数f(x)=x2+2(p–2)x+p，若f(x)在区间[0，1]内至少存在一个实数c，使f( c)>0，
则实数p的取值范围是（ C ）
A．（1，4） B．（1，+） C．（0，+） D．（0，1）
点评：排除法，是从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，逐个淘汰与题设矛盾的选择支，从而筛选出正确答案。
5、数形结合法（图象法） 根据题目特点，画出图象，得出结论。
例1．对于任意x∈R，函数f(x)表示–x+3，，x2–4x+3中的较大者，则f(x)的最小值是（ A ）
A．2 B．3 C．8 D．–1
例2．已知向量，向量，向量，则向量与向量的夹角的取值范围是（ D ）
A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，]
例3．已知方程|x–2n|=k(n∈N*)在区间[2n–1，2n+1]上有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ B ）
A．k>0 B．06、代入检验法（验证法）
将选择支中给出的答案（尤其关注分界点），代入题干逐一检验，从而确定正确答案的方法为验证法。
例1．已知a，b是任意实数，记|a+b|，|a–b|，|b–1|中的最大值为M，则（D ）
A．M≥0 B．0≤M≤ C．M≥1 D．M≥
解：把M=0代入，排除A、B；再把M=代入检验满足条件，排除C。
例2．已知二次函数，若在区间[0，1]内至少存在一个实数c，使，则实数p的取值范围是（ C ）
A．（1，4） B．（1，+∞） C．（0，+∞） D．（0，1）
解：取p=1代入检验。
例3．变量x，y满足下列条件：
则使得z=3x+2y的值的最小的(x，y)是（ B ）
A．（4.5，3） B．（3，6） C．（9，2） D．（6，4）
解：一一代入检验。代入运算后比较大小。
7、推理分析法
通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误支，肯定正确支的方法，称之为逻辑分析法，例如：若“(A)真 ( (B)真”，则(A)必假，否则将与“只有一个选择支正确”的前提相矛盾．
例1 当x([－4，0]时，a＋≤x＋1恒成立，则a的一个可能值是（ ）
Ａ.5 Ｂ. Ｃ.－ Ｄ.－5
解 ∵ ≥0， ∴ (A)真((B)真((C)真((D)真， ∴ (D)真.
例3、已知sin( ＝,cos( ＝（＜( ＜(）,则tg＝( ).
Ａ. Ｂ.|| Ｃ. Ｄ.5
解 因受条件sin2( ＋cos2( ＝1的制约，故m为一确定值，于是sin( 、cos( 的值应与m无关，进而推知tg的值与m无关，∵ ＜( ＜(， ∴ ((，)，∴ tg＞1，故选(Ｄ)．
注:直接运用半角公式求tg，将会错选(Ａ)．若直接计算，由()2＋()2＝1，可得m＝0或m＝8，∵ ＜( ＜(， ∴ sin( ＞0，cos( ＜0，故应舍去m＝0，取m＝8，得sin( ＝，cos( ＝,再由半角公式求出tg＝＝5,也不如上述解法简捷.
三、练习
1已知点P（sinα-cosα,tanα）在第一象限，则在内α的取值范围为（ B ）
A B
C D
2一个直角三角形的三内角成等比数列，则其最小内角为（ B ）
A B C D
3若，则（ B ）
A B C D
4函数的反函数为（ B ）
A B
C D
5已知函数在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围为（ B ）
A （0，1） B （1，2） C （0，2） D
6．设均为正数，且，，．则（　A　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7设f(x)是定义在实数集R上的任意一个增函数，且F（x）=f(x)-f(-x),那么F（x）应为（ A ）
A 增函数且是奇函数 B增函数且是偶函数
C 减函数且是奇函数 D减函数且是偶函数
解: 取f(x)=x，知F（x）=x-(-x)=2x，故选A。
8定义在上的奇函数为增函数，偶函数在区间的图象与的图象重合，设，给出下列不等式：
1）f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) 2) f(b)-f(-a)3) f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) 4) f(a)-f(-b)其中成立的是（ C ）
A 1）与2） B 2）与3） C 1）与3） D 2）与4）
9若，则的值为（ D ）
A B C D
10将直线3x-y+2=0绕原点按逆时针方向旋转900，得到的直线方程为（ A ）
A x+3y+2=0 B x+3y-2=0 C x-3y+2=0 D x-3y-2=0
11已知集合A=，B＝，C的则A、B、C的关系是（ C ）.
A. B.
C. D.
12集合{，1}，{，1，2}，其中{1，2，…，9}且，把满足上述条件的一对有序整数（）作为一个点，这样的点的个数是(B)
（A）9 （B）14 （C）15 （D）21
13已知函数，，，R，且，，，则
的值(B)
（A）一定大于零 （B）一定小于零 （C）等于零 （D）正负都有可能
14已知1是与的等比中项，又是与的等差中项，则的值是 (D)
（A）1或 （B）1或 （C）1或 （D）1或
15平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点（2，－1），（－1，3），若点满足其中0≤≤1，且，则点的轨迹方程为(C)
（A） （B）
（C）（－1≤≤2） （D）（－1≤≤2）
16．已知定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ D ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
17下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是(D)

（A） （B） （C） （D）
18如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB
所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是 ( D ) 　　　
　
　　　　　
19为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（B）
（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）
20关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是 （A）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
21设是二次函数，若的值域是，则的值域是（ C ）
A． B．
C． D．
22如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ D ）
A．和都是锐角三角形
B．和都是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
23已知非零向量与满足且则为（A）
（A）等边三角形　　　　　　　　　（B）直角三角形
（C）等腰非等边三角形　　　　　　（D）三边均不相等的三角形
24已知双曲线的左、右焦点分别为，，是准线上一点，且，，则双曲线的离心率是（　B　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
25如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”．已知常数≥0，≥0，给出下列命题：
①若＝＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点
有且仅有1个；
②若＝0，且＋≠0，则“距离坐标”为
（，）的点有且仅有2个；
③若≠0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是( D )
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．
26（06江西）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）(0，则必有（ C ）
f（0）＋f（2）(2f（1） B. f（0）＋f（2）(2f（1）
C. f（0）＋f（2）(2f（1） D. f（0）＋f（2）(2f（1）
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