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二次函数习题课（3）
1 知识要点
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)总可以化为y=a（x-h）2+k的形式，此时当a>0时，图像开口向上，顶点最低，当x=__时，函数
y有最小值,最小值为______,当a<0时，图像开口向下，顶点最高，当x=__时，函数y有最大值,最大值为______
2怎样计算一批商品的利润？
商品的总利润=每件商品的利润×销售的件数
二 中考链接
1、与几何有关的优化问题
【例1】（2010江苏南通）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
【分析】⑴设法证明与这两条线段所在的两个三角形相似，由比例式建立关于的函数关系式;⑵将的值代入⑴中的函数关系式，配方化成项点式后求最值
【解】⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=Rt∠，
∴在Rt△BFE中， ∠1+∠BFE=90°，
又∵EF⊥DE ∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽Rt△CED
∴即∴
⑵当=8时， ，化成顶点式: ，
∴当=4时，的值最大，最大值是2.
【点评】本题是通过三角形相似对应边成比例建立函数模型的，然后将二次函数解析式配方为顶点式求出y的最大值。
2、 销售问题中的优化问题。
【例2】（2010山东青岛）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．y=-10x+500
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利
润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
（成本＝进价×销售量）
解：（1）由题意，得：w = (x－20)·y
=(x－20)·（-10x+500）
=-10x2+700x-10000
.
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． 3分
（2）由题意，得： -10x2+700x-10000=2000
解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40．
答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.
6分
（3）法一：∵，
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
∵x≤32，
∴当30≤x≤32时，w≥2000．
设成本为P（元），由题意，得：
P=20(-10+500)=-200X+10000
∵k=-200<0
∴P随x的增大而减小.
∴当x = 32时，P最小＝3600.
答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．
三课堂练习
（2010湖北荆州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价（万元）之间满足关系式y1=170-2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系.
（1）直接写出y2与x之间的函数关系式；
（2）求月产量x的范围；
（3）当月产量x（套）为多少时，
这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？
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【答案】解：（1）
（2）依题意得：
解得：25≤x≤40
（3）∵w=xy1-y2=x(170-2x)-(500+30x)=-2x2+140x-500
∴W=-2(x-35)2+1950
而25<35<40, ∴当x=35时，W最大=1950
即，月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元．
四 小结
解优化问题应注意：
1、 理解常见量之间的关系，如利润=每件的利润×销售量。利润=售价-成本。
相似三角形对应边成比例等。
2、理解题意，分析变量之间的函数关系。
3、求最值时，要注意自变量的取值范围，充分发挥数形结合。
作业P 53 6 原创 P 36 6 写出解题过程P 37 12
A
B
C
D
E
F
法二：∵，
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
∵x≤32，
∴30≤x≤32时，w≥2000．
∵，，
∴y随x的增大而减小.
∴当x = 32时，y最小＝180.
∵当进价一定时，销售量越小，
成本越小，
∴（元）.
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第2章 二次函数习题课（3）
湖南省新邵县酿溪中学王军旗
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)总可以化为y=a（x-h）2+k的形式，此时当a>0时，图像开口向上，顶点最低，当x=__时，函数
y有最小值,最小值为______,当a<0时，图像开口向下，顶点最高，当x=__时，函数y有最大值,最大值为______,
知识要点
2、怎样计算一批商品的利润？
商品的总利润=每件商品的利润×销售的件数。
h
k
h
k
【例1】（2010江苏南通）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）y关于x的函数关系式；
（2）求若m=8，求x为何值时，
y的值最大，最大值是多少？
中考链接
【分析】 ⑴设法证明 y与 x这两条线段所在的两个三角形相似，由比例式建立 y关于 x的函数关系式;⑵将m 的值代入⑴中的函数关系式，配方化成项点式后求最大值.
【例1】如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．（1）y关于x的函数关系式； （2）求若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
【解】⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=Rt∠，
∴在Rt△BFE中， ∠1+∠BFE=90°，
又∵EF⊥DE ∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE∴Rt△BFE∽Rt△CED
⑵当 =8时， ,化为顶点式：
∴当x=4时，y 的值最大，最大值是2.
【点评】通过三角形相似对应边成比例是建立函数模型的一个手段，将二次函数解析式配方为顶点式求出函数最值是求最值常用的方法。
【例2】（2010山东青岛）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数:
y=-10x+500
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
(1)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润
【分析】每月利润=每月销量×每件利润
进价 售价 每月销量 每月利润 关系
20元 X元 y w y=-10x+500
【解】：（1）由题意，得：
w = (x－20)·y=(x－20)·（-10x+500）
=-10x2+700x-10000
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
【解：】（2）由题意，得：
-10x2+700x-10000=2000
解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40．
答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.
w =-10x2+700x-10000
（3）护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
【分析】先建立成本与单价的函数模型，然后利用解析式求出成本的最小值。成本=进价×销售量
进价：20元，每月销量与进价的关系：y=-10x+500
解：设成本为P（元），由题意，
得：P=20(-10x+500)=-200X+10000
∵k=-200<0∴P随x的增大而减小.
∴当x = 32时，P最小＝3600.
这样做考虑周到吗？
【正解】由上可知当x=30,或40时，利润W=2000,结合图像可以知道当30≤x≤40时，w≥2000，设成本为P（元），由题意，得：
P=20(-10x+500)=-200X+10000
∵k=-200<0
∴P随x的增大而减小.
∴当x = 32时，P最小＝3600.
答：想要每月获得的利润不低
于2000元，每月的成本最少为3600元．
【错因分析】上面解法中只考虑了x取最大值时，y最少，而没有考虑到x=32时，利润能否不低于2000元
【点评】求函数的最值时，要考虑自变量的取值范围。
（2010湖北荆州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价 y1（万元）之间满足关系式y1=170-2x ，月产量x（套）与生产总成本 y2 （万元）存在如图所示的函数关系.
变式练习
（1）直接写出y2与x之间的函数关系式；
（2）求月产量x的范围；
（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？
（1）直接写出y2与x之
间的函数关系式；
解：（1）y2=500+30x
（2）求月产量x的范围
解:依题意，得：
每套成本 每套售价 每月产量 每月成本
不高于50万元 y1≥90万元
y1=170-2x X套 y2=500+30x
解得：25≤x≤40
（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？
∴当x=35时，W最大=1950
每套成本 每套售价 每月产量 每月成本
不高于50万元 y1≥90万元
y1=170-2x X套 y2=500+30x
解∵w=xy1-y2=x(170-2x)-(500+30x)
=-2x2+140x-500
∴W=-2(x-35)2+1950
这样做考虑周到吗？
【错因分析】没有考虑每月能否生产35套。
【正解】∵w=xy1-y2=x(170-2x)-(500+30x)
=-2x2+140x-500
∴W=-2(x-35)2+1950
而30<35<40
∴当x=35时， ∴当x=35时，W最大=1950
小结
求二次函数最值，首先要根据题意建立函数模型，然后利用函数性质求出最值，要注意分清是求二次函数最值，还是求一次函数最值。特别要注意自变量的取值范围，若顶点的横坐标不在自变量其中范围内，顶点的纵坐标就不是最大值。
作业 P 53 6
原创 P 36 6 写出解题过程
P 37 12
