课 题：1．4 三角函数的图象与性质（2）

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课 题：1．4 三角函数的图象与性质（2）
教学目的：
1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；
2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；
3掌握正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期及求法
教学重点：正、余弦函数的性质
教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1． 正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有
，
向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．
2．用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]、余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象（几何法）：
把y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[0，2π]的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
3．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
(0,0) (,1) (,0) (,-1) (2,0)
（1）y=cosx, xR与函数y=sin(x+) xR的图象相同
（2）将y=sinx的图象向左平移即得y=cosx的图象
（3）也同样可用五点法作图：y=cosx x[0,2]的五个点关键是
(0,1) (,0) (,-1) (,0) (2,1)
4．用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式
二、讲解新课：
(1)定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，
分别记作：
y＝sinx，x∈R
y＝cosx，x∈R
(2)值域
因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即
－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1
也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］
其中正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1
②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1
而余弦函数y＝cosx，x∈R
①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1
②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1
(3)周期性
由sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx (k∈Z)知：
正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期
由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期
注意：
1周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）
3T往往是多值的（如y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π
(4)奇偶性
由sin(－x)＝－sinx
cos(－x)＝cosx
可知：y＝sinx为奇函数
y＝cosx为偶函数
∴正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称
(5)单调性
从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出：
当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1
当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1
余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1
三、讲解范例：
例1 求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么
(1)y＝cosx＋1，x∈R；
(2)y＝sin2x，x∈R
解：(1)使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝
函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2
(2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ，k∈Z｝
由2x＝Z＝＋2kπ，
得x＝＋kπ
即 使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝
函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1
例2求下列函数的定义域：
(1)y＝1+ (2)y＝
解：(1)由1＋sinx≠0，得sinx≠－1
即x≠＋2kπ(k∈Z)
∴原函数的定义域为｛x｜x≠＋2kπ，k∈Z｝
(2)由cosx≥0得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)
∴原函数的定义域为［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)
例3求函数y＝－cosx的单调区间
解：由y＝－cosx的图象可知：
单调增区间为［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)
单调减区间为［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)
例4求下列三角函数的周期：1 y=sin(x+) 2 y=cos2x 3 y=3sin(+)
解：1 令z= x+ 而 sin(2+z)=sinz 即：f (2+z)=f (z)
f [(x+2)+ ]=f (x+) ∴周期T=2
2令z=2x ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2)=cos(2x+2)=cos[2(x+)]
即：f (x+)=f (x) ∴周期T=
3令z=+ 则
f (x)=3sinz=3sin(z+2)=3sin(++2)=3sin()=f (x+4)
∴周期T=4
四、课堂练习：
1．求下列函数的周期：
1y=sin(2x+)+2cos(3x-) 2 y=|sinx| 3 y=2sinxcosx+2cos2x-1
解：1 y1=sin(2x+) 最小正周期T1=
y2=2cos(3x-) 最小正周期 T2=
∴T为T1 ,T2的最小公倍数2 ∴T=2
2 T=
3 y=sin2x+cos2x ∴T=
2． 直接写出下列函数的定义域、值域：
1 y= 2 y=
解：1当x2k- kZ时函数有意义，值域:[+∞]
2 x[2k+, 2k+] (kZ)时有意义, 值域[0, ]
3． 求下列函数的最值：
1 y=sin(3x+)-1 2 y=sin2x-4sinx+5 3 y=
解：1 当3x+=2k+即 x= (kZ)时ymax=0
当3x+=2k-即x= (kZ)时ymin=-2
2 y=(sinx-2)2+1 ∴当x=2k- kZ时ymax=10
当x=2k- kZ时ymin= 2
3 y=-1+ 当x=2k+ kZ时 ymax=2
当x=2k kZ时 ymin=
4．函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4，求k,b的值
解：当k>0时
当k<0时 （矛盾舍去） ∴k=3 b=-1
5．求下列函数的定义域：
1 y= 2 y=lg(2sinx+1)+ 3 y=
解：1 ∵3cosx-1-2cos2x≥0 ∴≤cosx≤1
∴定义域为：[2k-, 2k+] (kZ)
2
∴定义域为：
3 ∵cos(sinx)≥0 ∴ 2k-≤x≤2k+ (kZ)
∵-1≤sinx≤1 ∴xR ≤y≤1
五、小结 正、余弦函数的性质、以及性质的简单应用，解决一些相关问题
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：
y
x
o
1
-1
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