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期末复习（2） 一元二次方程应用题
湖南省新邵县酿溪中学王军旗
知识要点
1、 解应用题的步骤：
（1） 审题，弄清已知与未知，找到等量关系。
（2） 设元，一般求什么设什么，也可以间接设。
（3）列方程，把等量关系中的各个量用含有未知数的代数式表示。
（4）解方程，（5）检验。（6）作答。
注意：设元作答要带单位，语句要完整。
经验：找等量关系一般是利用题目的关键语句或公式。
2、（1）增长率问题：把a连续两次增加到b，增长率为x,则________________.
（2）经营问题：利润=售价-____,利润率=________ ,售价=进价（1+______ ）
中考链接
1、 增长率问题
【例1】（2009年常德市）常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇，北至桃源县盘塘镇创元工业园．在这一走廊内的工业企业2008年完成工业总产值440亿元，如果要在2010年达到743.6亿元，那么2008年到2010年的工业总产值年平均增长率是多少？《常德工业走廊建设发展规划纲要（草案）》确定2012年走廊内工业总产值要达到1200亿元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成？
【解】设2008年到2010年的年平均增长率为 x ，则440（1+x）2=743.6
化简得 ：（1+x）2=1.69，x1=0.3=30%,x2=-2.3(不合题意，舍去) 743.6（1+0.3）2=1256.684》1200
答：2008年到2010年的工业总产值年平均增长率为 30%，若继续保持上面的增长率，
在2012年将达到1200亿元的目标．
【点评】本题主要要熟练增长率问题公式：把ａ连续两次增加到ｂ，平均每次增加率为ｘ，则ａ（１＋ｘ）２＝ｂ
２、面积问题
【例２】（2010辽宁大连）如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12 的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为，则可列出关于的方程为
思考：（１）“底面积是12 ”指的是图中哪一个图形的面积。
（２）中间矩形的长和宽怎样表示？
解：（９－２ｘ）（５－２ｘ）＝１２
３、经营问题
【例２】（2010江苏南京）（8分）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低元。
（1）填表（不需化简）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 40
销售量（件） 200
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
【分析】（１）问不难，关键是（２）问，怎样计算这批商品的利润？由于这批商品的价格不统一，所以用“每件的利润×８００＝这８００件商品的利润”不合适，而应该按月计算。
【答案】80－ｘ，200＋10ｘ，800－200－（200＋10ｘ）
（２）第一个月200件的利润＋第二个月（200+10ｘ）件的利润＋第三个月［800-200－（200+10x）］件的利润＝9000。
还可以这样计算：每个月的销售收入的和－进价＝９０００
【解】：方法1、（２）（８０－５０）×２００＋（８０－５０－ｘ）×（２００＋１０ｘ）＋（４０－５０）［８００－２００－（２００＋１０ｘ）］＝９０００
化简，得：ｘ２－２０ｘ＋１００＝０，（ｘ－１０）２＝０，∴ｘ１＝ｘ２＝１０，
８０－１０＝７０
答：第二个月的单价为７０元。
方法2、80×200+（80-x）(200+10x)+40[800-200-(200+10x)]-800×50=9000
【点评】计算一批商品的单价，如果这批商品的单价统一，就可以用：每件商品的利润×这批商品的数量＝这批商品的利润。如果单价不统一，就要分段计算。或用总销售额－总进价＝总利润
三 走出误区
【例４】某经济开发区今年一月份工业产值达５０亿元，第一季度总产值共达１７５亿元，则二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长率为ｘ，依题意，得：
５０（ｘ＋１）２＝１７５
【错因分析】审题不仔细，或者是盲目的套公式，“第一季度总产值共达１７５亿元”第一季度的总产值包括一、二、三三个月的产值总和。
【正解】５０＋５０（ｘ＋１）＋５０（１＋ｘ）２＝１７５
四 课堂练习
１、（2010甘肃兰州） 上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是
A．１６８（１＋ａ％）２＝１２８ B．１６８（１－ａ％）２＝１２８
C．１６８（１－２ａ％）２＝１２８， Ｄ１６８（１－ａ２％）＝１２８
【答案】B
２、学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ＡＢＣＤ，已知矩形广场地面的长为１００ｍ，宽为８０ｍ，图案设计如果所示，阴影部分铺设绿色地砖，其余部分铺设白色地砖。要使铺设白色地砖的面积为５２００ｍ２，那么广场四个角的小正方形的边长为多少米？设四个小正方形的边长为ｘｍ，依题意，得方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
答：４ｘ２＋（１００－２ｘ）（８０－２ｘ）＝５２００
３、商场销售某种新商品，每件进价为120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元每天可以销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨一元，日销量就减少1件，据此规律, (1)如果每件定价为170元，每天可以销售多少件，每件盈利多少元，每天盈利多少元（提示：盈利=售价-进价）
（2若商场日盈利要求达到1600元，则每件定价为多少元（x＞130）？
解：（1）定价为170元时，比130元的定价高了40元，所以会减少40件，每天只能销售70-40=30件，每件盈利170-120=50元，每天盈利50×30=1500元。
(2)设每件定价为x元，则涨价了(x-130)元，销售量减少（x-130）件。实际销售量为
70-（x-130）件，依题意，得：(x-120)[70-(x-130)]=1600,化为：（x-160）2=0.
解得：x1=x2=160
答：若商场日盈利要求达到1600元，则每件定价为160元
五 小结
解一元二次方程应用题，审题要仔细，不仅要知道已知什么求什么，还要找出题中的等量关系。对于几种常用的应用题数量关系要熟练掌握好。解方程时，要先化简再考虑用用什么方法解。
作业：数学报一元二次方程测验题应用题部分。
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期末复习（2） 一元二次方程应用题
湖南省新邵县酿溪中学王军旗
（1）、审题，弄清已知与未知，找到等量关系。
（2）、设元，一般求什么设什么，也可以间接设。
（3）、列方程，把等量关系中的各个量用含有未知数的代数式表示。
（4）、解方程；
（5）、检验。
（6）、作答。
知识要点
1、解应用题有哪些步骤？
注意！1、设元作答要带单位，语句要完整。
2、找等量关系一般是利用题目的关键语句或公式。
2、（1）增长率问题：把a连续两次增加到b，增长率为x,则________________.
（2）经营问题：每件产品的利润=售价-____,
一批商品的利润=____________________
利润率=________ , 售价=进价（1+______ ）
A(1=x)
每件的利润×销售量
a(1+x)2=b
进价
增长率
【例1】（2009年常德市）常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇，北至桃源县盘塘镇创元工业园．在这一走廊内的工业企业2008年完成工业总产值440亿元，如果要在2010年达到743.6亿元，那么2008年到2010年的工业总产值年平均增长率是多少？《常德工业走廊建设发展规划纲要（草案）》确定2012年走廊内工业总产值要达到1200亿元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成？
中考链接
1、增长率问题
【解】设2008年到2010年的年平均增长率为 x ，则440（1+x）2=743.6
化简得 ：（1+x）2=1.69，x1=0.3=30%,
x2=-2.3(不合题意，舍去)
答：2008年到2010年的工业总产值年平均增长率为 30%，
条件和问题 2008年 440亿元 （1）求平均每年的增长率
2009年
2010年 743.6亿元
解：743.6（1+0.3）2=1256.684>1200
答：若继续保持上面的增长率，在2012年将达到1200亿元的目标．
2008年 440亿元 2012年走廊内工业总产值要达到1200亿元，若继续保持上面的增长率(30%)，该目标是否可以完成？
2010年 743.6亿元
【点评】本题应用增长率问题公式：把ａ连续两次增加到ｂ，平均每次增加率为ｘ，则
ａ（１＋ｘ）２＝ｂ，如果是把a连续两次减少到b，平均下降率为x，则ａ（１-ｘ）２＝ｂ
【例２】（2010辽宁大连）如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2 的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm ，则可列出关于 的方程为________
思考：（１）“底面积是12cm2”
指的是图中哪一个图形的面积
（２）中间矩形EFGH的长和宽
怎样表示？
２、面积问题
(9-2X)(5-2X)=12
【例２】（2010江苏南京）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低 x元。
（1）填表（不需化简）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 40
销售量（件)） 200
80-x
200+10x
800-200-(200+10x)
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 40
销售量（件)） 200
【思考】怎样计算这批商品的利润？
80-x
200+10x
800-200-(200+10x)
由于这批商品的价格不统一，所以用“每件的利润×８００＝这８００件商品的利润”不合适，而应该按月计算:第一个月200件的利润＋第二个月（200＋10ｘ）件的利润＋第三个月［800－200－（200＋１10ｘ）］件的利润＝9000。或：销售总额-进价=9000
【解】：（２）方法1、（80-50）×200+（80－50-x）
×（200+10x）+（40-50）[800-(200+10x)]＝9000
化简，得：ｘ２-20x+100=0，（x-10）２=0，
∴ｘ１＝ｘ２＝10，80-10=70
答：第二个月的单价为70元。
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 40
销售量（件)） 200
80-x
200+10x
800-200-(200+10x)
方法2、80×200+（80-x）(200+10x)+40[800-200-(200+10x)]-800×50=9000
【点评】计算一批商品的单价，如果这批商品的单价统一，就可以用：每件商品的利润×这批商品的数量＝这批商品的利润。如果单价不统一，就要分段计算。用总销售额－总进价＝总利润
【例４】某经济开发区今年一月份工业产值达５０亿元，第一季度总产值共达１７５亿元，则二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长率为ｘ，依题意，得：
５０（ｘ＋１）２＝１７５
上面做法对吗？如果不对错误原因是什么？怎样改正？
走出误区
【错因分析】审题不仔细，没有理解 “第一季度总产值共达１７５亿元”的含义。或者是盲目的套公式，第一季度的总产值包括一、二、三三个月的产值总和。
【正解】50＋50（x+1)＋50(1+x)２=175
１、（2010甘肃兰州） 上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a %后售价为128元. 下列所列方程中正确的是( )
A．168（1+a%)２=128
B．168 （1-a%) ２＝128
C．168 （1-2a%) ２＝128，
Ｄ.168(1-a２%=128
课题练习
B
２、学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ＡＢＣＤ，已知矩形广场地面的长为１００ｍ，宽为８０ｍ，图案设计如果所示，阴影部分铺设绿色地砖，其余部分铺设白色地砖。要使铺设白色地砖的面积为５２００ｍ２，那么广场四个角的小正方形
的边长为多少米？设四个
小正方形的边长为ｘｍ，
依题意，得方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
4X２+ (100-2X)(80-2X)=5200
３、商场销售某种新商品，每件进价为120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元每天可以销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨一元，日销量就减少1件，据此规律, (1)如果每件定价为170元，每天可以销售多少件，每件盈利多少元，每天盈利多少元（提示：盈利=售价-进价）
（2若商场日盈利要求达到1600元，则每件定价为多少元（x＞130）？
解：（1）定价为170元时，比130元的定价高了40元，所以会减少40件，每天只能销售70-40=30件，每件盈利170-120=50元，每天盈利50×30=1500元。
(2)设每件定价为x元，则涨价了(x-130)元，销售量减少（x-130）件。实际销售量为
70-（x-130）件，依题意，得：
(x-120)[70-(x-130)]=1600,化为：（x-160）2=0.
解得：x1=x2=160
答：若商场日盈利要求达到1600元，则每件定价为160元
小结
解一元二次方程应用题，审题要仔细，不仅要知道已知什么求什么，还要找出题中的等量关系。对于几种常用的应用题数量关系要熟练掌握好。解方程时，要先化简再考虑用用什么方法解。
作业：数学报一元二次方程测验题应用题部分。
