23.2中心对称（共3课时） 学案

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
23.2中心对称（1）
学习目标
知识与能力：
1.在丰富的现实生活中，观察生活中的中心对称现象和图形，建立中心对称的概念。
2.了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念并能用这些概念解决一些问题．
3.了解成中心对称的两个图形的性质，即理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个性质的运用，能画出与已知图形成中心对称的图形。
过程与方法：
让学生初步了解旋转变换的数学思想方法，培养学生的想象能力和探索精神。
情感、态度与价值观：
1.通过探究式的学习，培养学生的归纳总结与猜想的数学能力，培养学生的逆向思维能力。2.通过对知识的拓展，培养学生的分析能力和解决问题的能力。
3.让学生经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象概括等过程，经过探索图形旋转性质的过程，以及与他人合作交流的过程，进一步发展空间观念，增强审美意识。
学习重点、难点
1.重点：理解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念。理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；能画出与已知图形成中心对称的图形。
2.难点：成中心对称的两个图形的性质，如何画出与已知图形成中心对称的图形。
学习方法 自主 合作 探究
教学设计
1、 创设情境，质疑自探
试着作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案，并回答下列的问题：
以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？
老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△COD重合．
像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
2、 分组学习，合作交流
1.请同学随便画一三角形△ABC，以三角形一顶点为对称中心，画出这个三角形关于这个对称中心的对称图形。
(每组推荐一人上台陈述，老师点评）
2.(老师）在黑板上画一个三角形ABC，请学生作△ABC关于一定点O为对称中心的对称图形．
作法：
第一步，画出△ABC．
第二步，以△ABC的C点（或O点）为中心，旋转180°画出△A′B′C和△A′B′C′，如图1和图2所示．
(1) (2)
从这两个作图过程中，可以得出什么结论呢？
从图1中可以得出△ABC与△A′B′C是全等三角形；
在图2上分别连接对称点AA′、BB′、CC′，可以发现点O在这些线段上且O平分这些线段，△ABC与△A′B′C′是全等三角形。
三、精讲点拨，巩固练习
下面，我们就以图2为例来证明这两个结论．
证明：
（1）点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，即线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA=OA′，即点O是线段AA′的中点．同样地，点O也在线段BB′和CC′上，且OB=OB′，OC=OC′，即点O是BB′和CC′的中点．
（2）在△ABC和△A′B′C′中，
∵OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′
∴△AOB≌△A′OB′
∴AB=A′B′
同理可证：AC=A′C′，BC=B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′
因此，我们就得到
1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．
2．关于中心对称的两个图形是全等图形
练习：
例1．如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称．
分析：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO、BO、CO并延长，取与它们相等的线段即可得到．
解：（1）连结AO并延长AO到D，使OD=OA，于是得到点A的对称点D，如图所示．
( http: / / )
（2）同样画出点B和点C的对称点E和F．（3）顺次连结DE、EF、FD．
则△DEF即为所求的三角形．
例2．如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．
四、拓展应用，检测反馈
例3．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．
（1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．
（2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点．
分析：根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，对称中心就是旋转中心．旋转后的对应点，便是中心的对称点．
解：作法：（1）延长AD，并且使得DA′=AD
（2）同样可得：BD=B′D，CD=C′D
（3）连结A′B′、B′C′、C′D，则四边形A′B′C′D为所求的四边形，如图所示．
答：（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点．
（2）A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合．
例4．如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABC成中心对称的三角形．
分析：因为D是对称中心且AD是△ABC的中线，所以C、B为一对的对应点，因此，只要再画出A关于D的对应点即可．
解：（1）延长AD，且使AD=DA′，因为C点关于D的中心对称点是B（C′），B点关于中心D的对称点为C（B′）
（2）连结A′B′、A′C′．
则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示．
小结：（学生总结，老师点评）
本节课应掌握：
中心对称的概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
中心对称的两条基本性质：
1．关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
2．关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用．
作业
1．教材P74 复习巩固1 综合运用6、7．
课后教学反思：
_____________________________________________________________ ____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
23.2 中心对称(2)
学习目标
知识与能力：
了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用．
过程与方法：
复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图形的有关概念及其它的运用．
情感、态度与价值观：
1.通过探究式的学习，培养学生的归纳总结与猜想的数学能力，培养学生的逆向思维能力。2.通过对知识的拓展，培养学生的分析能力和解决问题的能力。
学习重点、难点
1．重点：中心对称图形的有关概念及其运用．
2．难点：区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形．
教学设计
一、创设情境，质疑自探
1．（老师口问）：关于中心对称的两个图形具有什么性质？
（老师口述）：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．关于中心对称的两个图形是全等图形．
2.如图平行四边形ABCD绕点O旋转180°以后，跟原图形有
什么位置关系？
二、分组学习，合作交流
1.（学生活动）作图题．
（1）作出线段AO关于O点的对称图形，如图所示．
（2）作出三角形AOB关于O点的对称图形，如图所示．
作法：延长AO使OC=AO，
延长BO使OD=BO，
连结CD
则△COD为所求的对称图形．
从另一个角度看，上面的（1）题就是将线段AB绕它的中点旋转180°，因为OA=OB，所以，就是线段AB绕它的中点旋转180°后与它重合．
上面的（2）题，连结AD、BC，则刚才的两个关于中心对称的两个图形，就成平行四边形，如图所示．
∵AO=OC，BO=OD，∠AOB=∠COD
∴△AOB≌△COD
∴AB=CD
也就是，ABCD绕它的两条对角线交点O旋转180°后与它本身重合．
因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
（学生活动）例1：从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举出三个图形，它们也是中心对称图形．
老师点评：老师边提问学生边解答．
（学生活动）例2：请说出中心对称图形具有什么特点？
老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳．
三、精讲点拨，巩固练习
例3.判断下列图形是否为中心对称图形，如果是，请指出它们的对称中心。
（1） 线段；
（2） 等腰三角形；
（3） 平行四边形；
（4） 长方形；
（5） 圆；
（6） 角；
练习：
教材P72 练习题．
四、拓展应用，检测反馈
例4．求证：如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形．
分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分．
证明：如图，O是四边形ABCD的对称中心，根据中心对称性质，线段AC、BD必过点O，且AO=CO，BO=DO，即四边形ABCD的对角线互相平分，因此，四边形ABCD是平行四边形．
小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．中心对称图形的有关概念；
2．中心对称与中心对称图形的区别和联系。
3. 应用中心对称图形解决有关问题．
作业
1．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．直角 B．等边三角形 C．直角梯形 D．两条相交直线
2．下列命题中真命题是（ ）
A．两个等腰三角形一定全等
B．正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少
C．菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形
D．两直线平行，同旁内角相等
3．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠AED的大小是（ ）
A．60° B．50° C．75° D．55
4．教材P74 综合运用5 P75 拓广探索8、9
课后教学反思：
___ _ _______________________________________________________ _
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
23.2 中心对称（3）
学习目标
知识与能力：
理解点P与点P′关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）用．
过程与方法：
复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．
情感、态度与价值观:
在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合理推理能力，进一步培养学生的空间想象和数学作图能力。
学习重点、难点
1.重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点是P′（-x，-y）及关于原点对称的简单运用．
2.难点：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及运用它解决实际问题．
学习方法 自主 合作 探究
教学设计
一、创设情境，质疑自探
请同学们完成下面三题．
1．已知点A和直线L，如图，请画出点A关于L对称的点A′．
2．如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ABC顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．
3．如图△ABC，绕点C旋转180°，画出旋转后的图形．
老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．（略）
二、分组学习，合作交流
（学生活动）如图，在直角坐标系中，已知A（-3，1）、B（-4，0）、C（0，3）、D（2，2）、E（3，-3）、F（-2，-2），请作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的对称点，并写出它们的坐标，试着回答：
这些坐标与已知点的坐标有什么关系？
画法：（1）连结AO并延长AO
（2）在射线AO上截取OA′=OA,即点A′是点A关于原点O的对称点.
（3）过A作AN⊥x轴于N点，过A′作A′N′⊥x轴于点N′．
∵△ANO与△A′N′O全等
∴AN=A′N′，ON=ON′
∴A′（3，-1）
同理可得B、C、D、E、F这些点关于原点的对称点的坐标．
分组讨论（每四人一组）：
讨论的内容：关于原点作中心对称时，①对应点的横坐标与横坐标之间有什么关系？纵坐标与纵坐标之间有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？
提问几个同学口述上面的问题．
老师点评：
（1）从上可知，对应点的横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数．
（2）坐标符号相反，即P（x，y）关于原点O的对称点为P′（-x，-y）．
三、精讲点拨，巩固训练
例1.如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB关于原点对称的图形．
（分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作出点A、点B关于原点的对称点A′、B′即可．）
解：点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y），因此，线段AB的两个端点A（0，-1），B（3，0）关于原点的对称点分别为A′（0，1），B（-3，0）．
连结A′B′．
即可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′．
练习：教材P73 练习．
四、拓展运用，检测反馈
例2．已知△ABC，A（1，2），B（-1，3），C（-2，4），试作出△ABC关于原点对称的图形△A′B′C′．
分析：先在直角坐标系中画出A、B、C三点并连结组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点，依次连结，便可得到所求作的△A′B′C′．
例3.如果点A（a+b,a-b）与点B（3,-1）关于原点对称，求a,b的值.
小结
本节课应掌握：
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y），关于原点的对称点为P′（-x，-y）．
作业
课后教学反思：
______________________________________________________________ _
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
两个点关于原点中心对称时，它们的坐标符号相反，
即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网