课件10张PPT。1三角形中的几何运算北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》法门高中姚连省制作2课题：三角形中的几何运算 知识目标：1、三角形形状的判断依据；
2、利用正弦、余弦定理进行边角互换。
能力目标：1、进一步熟悉正、余弦定理；
2、边角互化；
3、判断三角形的形状；
4、证明三角形中的三角恒等式。
3教学重点：利用正弦、余弦定理进行边
角互换。
教学难点：1、利用正弦、余弦定理进行
边角互换时的转化方向；
2、三角恒等式证明中结论与
条件之间的内在联系。
4教学过程：
一、复习：1、正弦定理；
2、余弦定理。
二、新课：
1、判断三角形的形状；
2、三角函数式的化简；
3、证明三角恒等式；
51、判断三角形的形状；
例1：在△ABC中，已知bcosA=acosB，
试判断三角形的形状。
小结一：判断三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理，这也要求同学们所学三角公式要熟悉，已知三角函数值求角时，要先确定角的范围。
62、三角函数式的化简；
例2：在△ABC中，化简bcosC+ccosB.
小结二：具体问题具体分析，一般来说也有两个方向，边转化为角或角转化为边，再进行化简。73、证明三角恒等式；
例3：在△ABC中,
求证：a2sin2B+b2sin2A=2absinC.
小结三：由边向角转化后，要熟练运用三角函数公式，有时又要由角转化为边；三角形中的有关证明问题，主要围绕边与角的三角函数展开，从某种意义上来看，这类证明问题就是有了目标的含边与角的式子的化简问题。
8一、复习：1、正弦定理；2、余弦定理。
二、新课：
1、判断三角形的形状；
例1：在△ABC中，已知bcosA=acosB，
试判断三角形的形状。
2、三角函数式的化简；
例2：在△ABC中，化简bcosC+ccosB.
3、证明三角恒等式；
例3：在△ABC中，求证：a2sin2B+b2sin2A=2absinC.
三、总结：正弦、余弦定理主要有四个方面的应用：
1、解三角形；2、判断三角形的形状；3、化简三角函数式；4、证明三角恒等式。运用时要灵活运用两个定理及变形式以及三角函数的有关公式。
9四、练习
I. 课内练习：
在△ABC中，证明下列各式：
①(a2-b2-c2)tanA+(a2-b2+c2)tanB=0
②
II. 课外练习：
1、在△ABC中，BD为∠B的平分线，
求证：AB:BC=AD:DC
2、在△ABC中已知(sinA+sinB)2-sin2C=3sinAsinB，
求证：A+B=120°
3、在△ABC中，已知 ，
求证a2、b2、c2成等差数列
10课后作业：课本本节习题2-2 A组3、4、5、6 B组2、3
教后反思：课件15张PPT。1余弦定理北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》法门高中姚连省制作2一、教学目标
1、知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2、过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
3、情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
二、教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程3 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，即正弦定理可以解哪几类的三角形问题？ （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（进而求出其他的边和角）。什么叫正弦定理 ？4千岛湖 110.8° 700m1338m5千岛湖 用正弦定理能否直接求出A , B两处的距离？这是一个已知三角形两边a和b,和两边的夹角C，求出第三边c的问题.?6 已知三角形两边分别为a和b,这两边的夹角为C，角C满足什么条件时较易求出第三边c？勾股定理你能用向量证明勾股定理吗？即证78 余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。勾股定理令C＝900勾股定理与余弦定理有何关系？公式的结构特征怎样？这个定理有什么作用？若已知b=8,c=3,A= ,能求a吗？9它还有别的用途吗，
若已知a,b,c,可以求什么？利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角 ; （2）已知两边和它们的夹角，求第三边，进而还可求其它两个角。归纳：10解：
例1、在三角形ABC中，已知a=7, b=10, c=6,求A，B，C（精确到 ）思考：已知条件不变，将例1稍做改动
（1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状例题11千岛湖 ?答：A , B两处的距离约为1716米。（精确到1米）12例 2：在?ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，
C＝82°28′，解这个三角形.解：由 c2=a2＋b2－2abcosC,得 c≈4.297.∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′.13例3：在三角形ABC中，已知a=7,b=8,cosC= ,求最大角的余弦值分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边,找到最大角。解：则有：b是最大边，那么B 是最大角14总结（1）余弦定理适用于任何三角形（3）由余弦定理可知：（2）余弦定理的作用： a、已知三边，求三个角 b、已知两边及这两边的夹角，求第三边，进而可求出其它两个角c、判断三角形的形状15再见课后作业：课本习题2-1 A组6、7 B组2
五、教后反思：课件11张PPT。1应用举例(一)北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》法门高中姚连省制作2一、教学目标：1、知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语。2、过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正。3、情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。
二、教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图
三、教学方法：启发引导式
四、教学过程34567891011课时小结：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
课后作业：课本2-3 A组第2、3、4题
五、教后反思：课件19张PPT。1应用举例（二）北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》法门高中姚连省制作2一、教学目标：1、知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，
了解常用的测量相关术语。2、过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正。3、情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。
二、教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图
三、教学方法：启发引导式
四、教学过程3引例1： （课本p.70.题2）飞机的飞行线路和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m,速度为180km/h,飞行员先看到山顶的俯角为300,经过960s（秒）后又看到山顶的俯角为450, 求山顶的海拔高度（精确到1m）.4引例2：我军有A、B两个小岛相距10海里，敌军在C岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B岛和C岛间的距离，请你算算看。ACB5
解斜三角形的主要理论依据是什么？6正弦定理余弦定理(1) 已知两角和一边,
求其它元素; 已知三边 , 求三个角;(2) 已知两边和一边对角,
求其它元素。(2) 已知两边和它们的夹角,
求其它元素。7例1、自动卸货汽车的车箱采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如图所示）.已知车箱最大仰角为60?油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为6?20?，AC为1.40m,计算BC的长.8抽象数学模型9解：由余弦定理，得
BC2==3.571 ∴BC≈1.89(m)． 答：顶杆BC约长1.89m．AB2+AC2-2AB·ACcosA10解斜三角形理论应用于实际问题应注意：1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如视角，仰角，俯角，方位角等等。3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决。11练1.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东200, 30分钟后航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东650方向上,求灯塔S和B处的距离.（保留到0.1）解：AB=16，由正弦定理知：
可求得BS≈7.7海里。12 练2、我舰在敌岛A南50°西相距12海里B处，发现敌舰正由岛A沿北10°西的方向以10海里/时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要的速度大小为 。南B13例2.如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C，D两处，测得烟囱的仰角分别是? ＝450和? ＝600, Ｃ、Ｄ间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m.求烟囱的高。??BA A1C1D11415例2 曲柄连杆机构
当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作往复直线运动。当曲柄在CB0时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处。设连杆AB长为340mm，曲柄CB长为85mm，曲柄自CB0按顺时针方向旋转80度，求活塞移动的距离。联几何画板课件16思考题：C为了开凿隧道,要测量隧道口D,E间的距离,请你设计一种合理的方案。171、解决实际应用问题的关键思想方法是什么？2、解决实际应用问题的步骤是什么？实际问题数学问题（画出图形）解三角形问题数学结论分析转化检验小结：答：把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。18谢谢再见！19 我国古代很早就有测量方面的知识，公元一世纪的《周髀算经》里，已有关于平面测量的记载，公元三世纪， 我国数学家刘徽在计算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就已经取得了某些特殊角的正弦…… 解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法。 解三角形问题是三角学的基本问题之一。什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形”和“测量”。最初的理解是解三角形的计算，后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角形两部分内容的一门数学分学科。课件15张PPT。1北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》正、余弦定理的综合运用（一)法门高中姚连省制作2知识目标：1、三角形形状的判断依据； 2、利用正弦、余弦定理进行边角互换。
能力目标：1、进一步熟悉正、余弦定理； 2、边角互化；3、判断三角形的形状；4、证明三角形中的三角恒等式。
教学重点：利用正弦、余弦定理进行边角互换。
教学难点：1、利用正弦、余弦定理进行 边角互换时的转化方向；2、三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系。
33、正弦定理的变形：2、三角形面积公式：一.复习回顾：4变形余弦定理：在 中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用：5练习题答案: 1. 7; 2. 90°; 3. 7; 4.30°或150°问题1：二、例题分析6 在?ABC中，已知2b=a+c，证明：
2sinB=sinA+sinC问题2：引：能找到三角形各边与对角正弦的关系吗？导：如何利用正弦定理证明以上关系？ 证明：由 得 即 2sinB=sinA+sinCa=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， 将此式 代入 2b=a+c 得2?2RsinB=2RsinA+2RsinC7变式1： 证明：由 得 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， 89 在三角形中,已知(a+b)(a- b)=c(b+c),求角A.问题3：解：条件整理变形得10变式1：在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，试证明：a=bcosC+ccosB证明：由余弦定理知： ，右边=111213三、已知三角形形状， 讨论边的取值范围。2 、当△ABC直角三角形时（c>a>b）
14当△ABC为钝角三角形时（c>b>a）当△ABC为锐角三角形时（c>b>a） 当△ABC为锐角三角形时15思考题：a ,a+1,a+2 构成钝角三角形，求a 的取值范围。教学反思：课件10张PPT。1正、余弦定理
综合运用（二）北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》法门高中姚连省制作2正弦定理、余弦定理综合运用（二） 知识目标：1、三角形形状的判断依据；
2、利用正弦、余弦定理进行边角互换。
能力目标：1、进一步熟悉正、余弦定理；
2、边角互化；
3、判断三角形的形状；
4、证明三角形中的三角恒等式。
3正弦定理、余弦定理综合运用（二） 教学重点：利用正弦、余弦定理进行边
角互换。
教学难点：1、利用正弦、余弦定理进行
边角互换时的转化方向；
2、三角恒等式证明中结论与
条件之间的内在联系。
4正弦定理、余弦定理综合运用（二） 教学过程：
一、复习：1、正弦定理；
2、余弦定理。
二、新课：
1、判断三角形的形状；
2、三角函数式的化简；
3、证明三角恒等式；
5正弦定理、余弦定理综合运用（二） 1、判断三角形的形状；
例1：在△ABC中，已知bcosA=acosB，
试判断三角形的形状。
小结一：判断三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理，这也要求同学们所学三角公式要熟悉，已知三角函数值求角时，要先确定角的范围。
6正弦定理、余弦定理综合运用（二） 2、三角函数式的化简；
例2：在△ABC中，化简bcosC+ccosB.
小结二：具体问题具体分析，一般来说也有两个方向，边转化为角或角转化为边，再进行化简。7正弦定理、余弦定理综合运用（二） 3、证明三角恒等式；
例3：在△ABC中,
求证：a2sin2B+b2sin2A=2absinC.
小结三：由边向角转化后，要熟练运用三角函数公式，有时又要由角转化为边；三角形中的有关证明问题，主要围绕边与角的三角函数展开，从某种意义上来看，这类证明问题就是有了目标的含边与角的式子的化简问题。
8正弦定理、余弦定理综合运用（二） 一、复习：1、正弦定理；2、余弦定理。
二、新课：
1、判断三角形的形状；
例1：在△ABC中，已知bcosA=acosB，
试判断三角形的形状。
2、三角函数式的化简；
例2：在△ABC中，化简bcosC+ccosB.
3、证明三角恒等式；
例3：在△ABC中，求证：a2sin2B+b2sin2A=2absinC.
三、总结：正弦、余弦定理主要有四个方面的应用：
1、解三角形；2、判断三角形的形状；3、化简三角函数式；4、证明三角恒等式。运用时要灵活运用两个定理及变形式以及三角函数的有关公式。
9正弦定理、余弦定理综合运用（二） 四、练习
I. 课内练习：
在△ABC中，证明下列各式：
①(a2-b2-c2)tanA+(a2-b2+c2)tanB=0
②
II. 课外练习：
1、在△ABC中，BD为∠B的平分线，
求证：AB:BC=AD:DC
2、在△ABC中已知(sinA+sinB)2-sin2C=3sinAsinB，
求证：A+B=120°
3、在△ABC中，已知 ，
求证a2、b2、c2成等差数列
10感谢各位领导和老师的光临指导
谢 谢 同 学 们 的 配 合
课件14张PPT。1北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》正弦定理法门高中姚连省制作22019年3月9日星期六一、教学目标：1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；
会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。2、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。3、情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
二、教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。
教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程3ACBcba想一想?问题 （2）上述结论是否可推广到任意三角形?若成立，如何证明？（1）你有何结论?4在锐角三角形中由向量加法的三角形法则5在钝角三角形中ABC同样,可证明6正弦定理ABC注:(1)由(2)定理反映了三角形的边角关系,公式实际表示为:7
利用正弦定理，可解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。
（从而进一步求出其他的边和角）正弦定理的应用8例题讲解点拨：解三角形应先画出图形，再去分析．9例题讲解点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形时,通常要用到三角形内角和定理或大边对大角定理等三角形有关性质.10例题讲解11课 时 小 结（１）三角形的面积公式（２）正弦定理（３）了解了向量的工具性作用，掌握了两类三角形的解法．121314多谢指导
