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4.3用方程解决问题（3）
教学目标
目的与要求:会根据具体实际问题中的数量关系列出一元一次方程并求解,并根据问题的实际意义检验所得结果是否合理.21世纪教育网
知识与技能:结合实践与探索,让学生经历“问题情景—建立数学模型—解释.应用与拓展”的过程,提高分析问题.解决问题的能力,提高思维品质,增强学习能力.
情感.态度与价值观:通过列方程解决实际问题的过程,体会教学的价值,增强学习数学的兴趣.
教学重点和难点
重点：．分析应用题，找出相等关系
难点：．找出能代表应用题全部含义的相等关系
教学手段
引导——活动——讨论
教学方法
启发式教学
教学过程
情境引入21世纪教育网
问题3、某小组计划做一批“中国结”，如果每人做5个，那么比计划多了9个；如果每人做4个，那么比计划少做了15个。小组成员共多少名？他们计划做多少个“中国结”？
解：设小组成员共有x名
5x-9=4x+15
x=24
5x-9=111
答：小组成员共有24名，他们计划做111个“中国结”。
新授
三.盈余与不足问题
例1、汽车若干辆装运货物一批，每辆装3.5t，这批货物就有2t不能运走；每辆装4t，那么这批货物装完后，还可以装其他货物1t，问汽车有多少辆 这批货物有多少吨？
相等关系：两种装法的货物总重量不变。
解：设：汽车有x辆
3.5x+2=4x-1
x=6
4x-1=23
答：汽车有6辆，这批货物有23吨。
例2、一个邮递员骑自行车在规定时间内把特快专递送到某单位，他每小时行15千米，可以早到24分钟，如果每小时行12千米，就要迟到15分钟。原定时间是多少？他去的单位有多远？
解：设原定的时间为x小时，
答：原定的时间是3小时，他行的路程是39千米。
例3、某中学组织初一学生进行春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满。已知45座客车每日租金为每辆220元，60座客车每日租金为每辆300元。试问（1）初一年级人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？（2）若租用同一种车，要使每位同学都有座位，怎样租更合算？（3）若不考虑车的型号，你还有更好的租法吗？
解：无论租用哪种车，学生人数不变
45x+15=60(x-1)
解之得：x=5
45x+15=240(人）
答：初一年级学生人数是240人，计划租用45座客车为5辆
2）租用6辆45座客车的租金为6×220＝1320（元）
租用4辆60座客车的租金为4×300＝1200（元）
答：租用60座的客车较为合算。
3）4×45＋1×60＝240（人）4×220＋1×300＝1180（元）
例4、某人购买一部手机想入网，当地的移动公司有两种收费标准，A标准是：月租费20元，本地电话每分钟0.4元(不足1分钟按1分钟计)。B标准是：免月租费，本地电话每分钟0.6元(不足1分钟按1分钟计)。假设他打的是本地电话，问通话时间是多长时，两种标准话费相等？他应如何根据通话时间长短选择A标准和B标准？
解：设通话时间是x分钟时，两种标准话费相等
20+0.4x=0.6x x=100
答：当通话时间是100分钟时，两种标准话费相等。若通话超过100分钟，应选择A种标准，若不足100分钟，应选择B种标准。
思考题：
一只箱子中装若干蜘蛛与蟋蟀，每只蜘蛛8条腿，每只蜘蛛6条腿。已知箱内的蜘蛛与蟋蟀共有46条腿，问其中蜘蛛和蟋蟀各有多少只？
[来源:21世纪教育网]
21世纪教育网
课堂练习：P105 1、2、3、4
课堂小结
本节课我们主要学习了什么？（由学生回答）[来源:21世纪教育网
课堂作业 P109 6、7
教后反思：
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4.3用方程解决问题（7）（补充）
教学目标
目的与要求:会根据具体实际问题中的数量关系列出一元一次方程并求解,并根据问题的实际意义检验所得结果是否合理.
知识与技能:结合实践与探索,让学生经历“问题情景—建立数学模型—解释.应用与拓展”的过程,提高分析问题.解决问题的能力,提高思维品质,增强学习能力.
情感.态度与价值观:通过列方程解决实际问题的过程,体会教学的价值,增强学习数学的兴趣.
教学重点和难点
重点：分析应用题，找出相等关系
难点：找出能代表应用题全部含义的相等关系
教学手段
引导——活动——讨论
教学方法
启发式教学
教学过程
七、最优选择问题
一、情境引入
某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元。当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕。为此，公司研制了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三：将一部分蔬菜进行粗加工，其余蔬菜进行精加工，并恰好用15天完成。
你认为选择哪一种方案获利最多？为什么？21世纪教育网
解：方案一：4500×140＝630000（元）
方案二：90×7500＋50×1000＝725000（元）
方案三：设15天内，精加工蔬菜x吨。
[来源:21世纪教育网
21世纪教育网
答：选择方案三获利最多。
二、新授
例1、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4扇门，其中两扇正门大小相同，两扇侧门大小也相同，安全检查中，对4扇门进行测试，当同时开启一扇正门和两扇侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一扇正门和一扇侧门时，4分钟内可以通过800名学生。
（1）求平均每分钟一扇正门和一扇侧门可以通过多少名学生？
（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过4扇门安全撤离。假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4扇门是否符合安全规定？请说明理由。
解：设平均每分钟一扇正门能通过x名学生，则平均每扇侧门每分钟可通过（800÷4－x)名学生
2[x+2(200-x)]=560 x=120 200-x=80
答：一扇正门平均每分钟可通过120名学生，一扇侧门平均每分钟可通过80名学生
（2）学生最多为4×8×45＝1440（人）
4扇门同时开启1分钟可通过的学生人数为：200×2＝400
5分钟可通过的学生人数是：400×5＝2000（人）
因出门率的降低实际通过的人数是：2000×80%＝1600（人）
∵1600＞1440
∴建造的这四扇门符合安全规定。
例2、某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包的单价也相同，随身听与书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。21世纪教育网
（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少
(2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱。如果他只在一家超市购买看中的两样物品，你能告诉他可以选择哪一家购买？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
解：（1）设书包的单价是x元，则随身听的单价是（4x-8)元
4x-8+x=452 x=92 4x-8=360
(2)A超市：购买随身听与书包各一件需花费现金：452×80%＝361.6（元）
∵361.6＜400 ∴可以选择超市A购买
B超市：先用360元购买随身听，可得到90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：360＋2＝362（元）
∵362＜400 ∴也可以选择在超市B购买
又∵362＞361.6 ∴在超市A购买更省钱。
思考题：学校建花坛余下24米漂亮的小围栏，某班同学准备在自己教室前的空地上，一面靠墙，三面利用这些围栏，建一个长方形的小花圃。
（1）请你设计一下，若长比宽多3m，求花圃的面积。
（2）请你再设计一下，改变长与宽，扩大花圃的面积，看看谁设计的花圃面积最大。
解：（1）当长靠墙，设宽为x米，则长为（x+3)米
x+3+2x=24 x=7 面积为：7×10＝70平方米
当宽靠墙，设宽为y米，则y+2(y+3)=24 y=6 面积为：6×9＝54平方米[来源:21世纪教育网
（2）欲使面积最大，若设宽为z米，则面积为z(24-2z),其值应最大，可进行讨论：当Z＝1,2，3,4，5,6，……，寻找规律，得z=6时，面积最大。
三、课堂练习：
课堂小结
本节课我们主要学习了什么？（由学生回答）
课堂作业
教后反思：
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课 题：4.3用方程解决问题（1）
教学目标：1、进一理解解方程的概念，初步感受方程是刻画客观世界的一种有效的数学模型。
2、经历运用方程解决实际问题的过程，体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系。
3、体会到数学来源于生活又服务于生活。
教学重点：找相等关系列方程
教学难点：找相等关系
教学过程：
一、情境创设：
请问同学们，你们平时喜欢吃冰淇淋吗？喜欢什么颜色的呢？今天老师就和同学们一起来研究一下关于冰淇淋的问题
引入课题21世纪教育网
二、自主探索：
某种三色冰淇淋45g，咖啡色、红色和白色配料比为1：2：6，这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是多少？
活动一、
问题1：题目中已知了哪些条件，要求什么结论？
问题2：你能用那几种方法来求解？
问题3：如果用算术解法，你能求出结果吗？怎样求？
问题4：如果用方程求解，那么先应怎么办？本题中的相等关系是什么？如何设立未知数列出方程？
说明：冰淇淋配料的比例问题是小学数学中的典型问题，用此题引出用方程解决问题的方法，是一个过渡作用。从而体现用方程解决问题的优越性，凸现方程思想。
三、例题自学：
例1：一张桌子有一张桌面和四条桌腿，做一张桌面需要木材0.03m3，做一条桌腿需要木材0.002m3。现做一批这样的桌子，恰好用去木材3.8 m3，共做了多少张桌子？
[点拔] 引导学生先找出本题中的相等关系，设立未知数，从而根据相等关系，列出方程，解决问题。
21世纪教育网
说明：本例题设计的目的就在于让学生了解用方程解决问题的简单步骤和方法：理解题意，找出一个能表示实际问题全部意义的相等关系，在写解答的过程中，应先设未知数，再根据相等关系列出方程，解这个方程，并写出答案。
师生小结：用一元一次方程解决问题的步骤有哪些？
四、课堂练习：21世纪教育网
1、已知某班有男生36人，女生占全班人数的2/5，这个班级共有学生多少人？
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2、某商店今年共销售21英寸（54cm）、25英寸（64cm）、29英寸（74cm）3种彩电360台，它们的销售数量的比是1:7:4，这三种彩电各销售了多少台？
21世纪教育网
五、教学小结：
列一元一次方程解应用题的步骤有哪些？
纠错栏
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课 题：4.3 用方程解决问题（2）
教学目标：
1、能利用表格作为建模策略，分析实际问题中的数量关系列方程解决问题.
2、进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力.
3、综合运用已有知识，在探索和解决问题的过程中获得体验，发展自己的思维能力.
教学重点：21世纪教育网
利用表格作为建模策略，分析实际问题中的数量关系[来源:21世纪教育网
教学难点：
建立表格的方法21世纪教育网
教学过程：
1、 情境创设：
问题：用方程解决问题的一般步骤有哪些？
2、 自主探索：
某班学生39人到公园划船，共租用9艘船，每艘大船可坐5人，每艘小船可坐3人，每艘船都坐满。问大船小船各租了多少艘？
问题1、题中涉及哪几个量？
问题2、题中相等关系是什么？
教师提示，师生建构表格，学生填写.
根据表格和相等关系设出未知数列出方程：
解后反思：如果设小船只数为x呢？你能写出对应的方程吗？
说明：学生在问题情景中初步体验用表格建模策略分析问题各量间的相互关系，列表格是解决问题的一个重要手段.
三、自学例题：
例题：小丽水果店花了18元买了苹果和橘子共6kg，已知苹果每千克3.2元，橘子每千克2.6元。小丽买了苹果和橘子各多少？
思考：（1）指出问题中的数、数量、已知数量和未知数量；
（2）表格可以怎样设计？
（3）设小丽买x kg苹果，如何用表格分析问题中的数量关系？列出方程是什么？
（4）解：
解后反思：本题还有没有其它解法？
说明：让学生体会用方程解决问题时，设未知数的方法不同，方程的复杂程度也常常不同，因此要有所选择.[21世纪教育网
四、课堂练习：
1、某班学生分两组参加植树活动，甲组有17人，乙组有25人，后来由于需要，又从甲组调了部分学生去乙组，结果乙组的人数是甲组的2倍。问从甲组调了多少学生去乙组？
[来源:21世纪教育网
2、小颖用140元钱买了两种书，共10本，单价分别为10元和18元，每种书各买了多少本？
五、教学小结：
本课你有什么收获？
板书设计 教后感
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4.3用方程解问题（4）
教学目标
目的与要求:会根据具体实际问题中的数量关系列出一元一次方程并求解,并根据问题的实际意义检验所得结果是否合理.
知识与技能:结合实践与探索,让学生经历“问题情景—建立数学模型—解释.应用与拓展”的过程,提高分析问题.解决问题的能力,提高思维品质,增强学习能力.
情感.态度与价值观:通过列方程解决实际问题的过程,体会教学的价值,增强学习数学的兴趣.
教学重点和难点
重点：分析应用题，找出相等关系21世纪教育网
难点：找出能代表应用题全部含义的相等关系
教学手段
引导——活动——讨论
教学方法
启发式教学
教学过程
一、情境引入
运动场跑道周长400m，小红跑步的速度是爷爷的倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5min后小红第一次追上了爷爷。你知道他的跑步速度吗？
相等关系：小红跑的路程-爷爷跑的路程=400m
解：设爷爷跑步的速度为x m/min，则小红跑步的速度为x m/min。
答：爷爷跑步的速度为120m/min，小红跑步的速度为200m/min [来源:21世纪教育网
议一议：若小红追上爷爷后立即转身沿相反方向跑，几分钟后小红再次与爷爷相遇？
相等关系：相遇后，小红跑的路程+爷爷跑的路程=400m
设：y分钟后，小红与爷爷再次相遇。
120y+200y=400 320y=400 y=1.25
答：1.25min后小红再次与爷爷相遇。
二、新授 四、行程问题
例1、甲骑车从A到B，乙骑车从B到A，甲每小时比乙多走2千米。两人在上午8点同时出发，到上午10点两人还相距36千米，到中午12点两人又相距36千米，求A、B两地的距离。
解：相等关系：A、B两地的距离不变。
设：乙的行走速度是x千米/时，则甲的行走速度是(x+2)千米/时
2(x+2)+2x+36=4(x+2)+4x-36 [来源:21世纪教育网
x=17 2(x+2)+2x+36=108
答：A、B两地相距108千米。
例2、旅游者游览某水路风景区，乘坐摩托艇顺水而下，然后返回登艇处，水流速度是2千米/时。摩托艇在静水中的速度是18千米/时，为了使游览时间不超过3小时，旅游者驶出多远就应回头？
相等关系：来回时间的和=3
解：设：摩托艇最远驶出x千米就应回头
答：旅游者最远驶出 千米就应回头。
例3、客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长150米，货车长250米。客车比货车每秒多行4米。(1)问两车相向行驶，从相遇到全部错开(即从两车头相遇到两车尾离开)，需10秒钟，求两车的速度。(2)若同向行驶，客车从后面追上货车，从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头，问共需多少秒？
分析：相等关系：(1)客车行程+货车行程=两车长度之和
(2)客车行程-货车行程=两车长度之和21世纪教育网
解(1)设货车每秒行x米，则客车每秒行(x+4)米
10(x+4)+10x=250+150
x=18 x+4=22
答：客车与货车的速度分别是22米/秒，18米/秒
(2)设货车每秒行y米， 则客车每秒行(y+4)米。共需时间t秒
(y+4)t-yt=250+150
4t=400
t=100
答：同向行驶，客车从开始追上到车尾离开货车车头共需100秒。
思考题：
七年级(4)班某同学在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲乙两地相距40km，摩托车的速度是45km/h，运货汽车的速度是35km/h， ？”
(涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字)请你将这道题补充完整，并列方程解答。
补充1：若两车分别从两地同时开出，相向而行，经过几小时两车相遇？21世纪教育网
解：设经过xh后，两车相遇
45x+35x=40 x=0.5
答：经过半个小时后两车相遇
补充2：两车分别从两地同时同向出发，问经过几个小时，摩托车可以追上货车？
解：设经过x小时，可以追上货车
45x-35x=40 x=4
答：经过4小时后，摩托车可以追上货车。
补充3：若两车分别从两地同时开出， 相向而行，出发几小时后两车相距4km？
解：设x小时后，两车相距4km.讨论(1)相遇前相距4km，45x+35x=40-4 x=0.45即27min
(2)相遇后各自继续行走后相距4km，45x+35x=40+4 x=0.55 即33min
课堂练习：P105 1、2、
课堂小结
本节课我们主要学习了什么？（由学生回答）
课堂作业 P109 8、9、10
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教学重点和难点
重点：．分析应用题，找出相等关系
难点：．找出能代表应用题全部含义的相等关系
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引导——活动——讨论
教学方法
启发式教学
教学过程
一、情境引入
问题5 将一批会计报表输入电脑，甲单独做需20h完成，乙单独做需12h完成。现在先由甲单独做4h，剩下的部分由甲，乙合做完成，甲、乙两人合做的时间是多少？
相等关系：甲单独做的工作量＋甲乙合做的工作量＝全部的工作量
（注意：全部的工作量可以看成1）
解：设甲、乙两人合做的时间是th
答：甲乙两人合做的时间是6h21世纪教育网
[21世纪教育网
新授 工程问题
例1、一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合做8天后，余下的工程再由甲队单独做还需几天完成？
相等关系：甲乙两队合做8天的工作量＋甲队又单独做的工作量＝1
解：设甲队还需x天完成21世纪教育网
答：甲队单独做4天完成
例2、一项工程，甲独做需12天完成，乙独做需24天完成，丙独做需6天完成，现在甲与丙合做2天后，丙因事离开，由甲乙合做，问甲乙还要几天才能完成这项工程。
相等关系：甲丙合做的工作量＋甲乙合做的工作量＝1
解设：甲乙还要合做x天才能完成工程[来源:21世纪教育网
答：甲乙还需4天才能完成这项工程。
例3、整理一批数据，由1个人做而2小时，现在先由若干人做2小时，然后再增加2个人再共同做4小时，完成了这项工作，问开始时参与整理数据的有几人？
三、课堂练习：
课堂小结
本节课我们主要学习了什么？（由学生回答）
课堂作业 P109 12、13
教后反思：
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4.3用方程解问题（6）
教学目标
目的与要求:会根据具体实际问题中的数量关系列出一元一次方程并求解,并根据问题的实际意义检验所得结果是否合理.
知识与技能:结合实践与探索,让学生经历“问题情景—建立数学模型—解释.应用与拓展”的过程,提高分析问题.解决问题的能力,提高思维品质,增强学习能力.
情感.态度与价值观:通过列方程解决实际问题的过程,体会教学的价值,增强学习数学的兴趣.
教学重点和难点
重点：．分析应用题，找出相等关系
难点：．找出能代表应用题全部含义的相等关系
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教学方法
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教学过程
六、增长率与利润率问题
一、情境引入21世纪教育网
一件夹克衫先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元。这件夹克的成本是多少元？
二、新授
试一试：若将上题适当改变某些条件后，编一个问题，再请你的同桌解一解。[21世纪教育网
例1、国家规定存款利息的纳税办法：利息税＝利息×20%，储户取款时由银行代扣代收。若银行一年定期储蓄的年利率为2.25%，某储户取出一年到期的本金和利息时，扣除了利息税36元，则银行向该储户支付的现金是多少元？
解：设该储户存入银行的本金是x元
x×2.25%×20%=36 x=8000 8000×(1+2.25%)-36=8144(元）
答：银行向储户支付现金8144元。
例2、某商品的进价是1000元，售价为1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润为5%，求商店应该降价多少元出售此商品？
解：设降价后的售价为x元
x-1000=5%×1000[来源:21世纪教育网
x=1050
1500-1050=450(元）
答：商店应降价450元出售此商品。
例3、某服装商同时卖出两套服装，每套均卖168元，以成本计算，其中一套盈利20%，另一套亏本20%，则这次卖出的两套服装中，服装商（ ）[来源:21世纪教育网
A、盈利14元 B、盈利37.2元 C、亏本14元 D、既不盈利也不亏本
选：C
例4、某书城开展学生优惠售书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的其中200元按九折算，超过200元的按八折算，某学生第一次去购书付款72元，第二次又去购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节省了34元，则学生第二次购书实际付款＿＿＿＿＿＿＿＿元。
解：设第一次购书的定价是x元，则
90%x＝72 x=80 第1次购书节省了80－72＝8（元）
则第2次购书节省了：34－8＝26（元）
设第2次购书的定价为y元
200（1－90%）＋（y－200）（1－80%）＝26
y=230
所以该学生第2次购书实际付款为：230－26＝204（元）
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思考题：
再过5年小雷同学就要上大学了，他把父母给的零化钱和压岁钱凑整2000元存入银行储蓄5年以备上大学之用，现在知道银行5年的储蓄利率如下：
教育储蓄（整存整取）年利率一年：2.25%；二年：2.27%；三年：3.24%；五年：3.60%
（1）若小雷存入一个5年期，上大学时取出，则可获得本息和为多少？
（2）小雷同学有几种储蓄方案？哪种方案获利最多？（2000元不分开存入银行）
解：（1）2000（1＋3.60%×5）
（2）6种：连续存5个1年期：2000（1＋2.25%）5
先存入1个2年，再存3个1年期：2000（1＋2.27%×2）·（1＋2.25%）3
先存入2个2年，再存入1个1年期：2000（1＋2.27%×2）2（1＋2.25%）
先存入1个3年，再存入2个1年期：2000（1＋3.24%×3）（1＋2.25%）2
先存入1年3年，再存入1个2年期：2000（1＋3.24%×3）（1＋2.27%×2）
存入1个5年期
答：第6种方法获利最多
三、课堂练习：P109 1、2、
课堂小结
本节课我们主要学习了什么？（由学生回答）
课堂作业 P110 14、15
教后反思：
x元
（1＋50%）x元
80%×(1+50%)x元
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