师生共用导学稿
年级：八年级 学科：数学 执笔：杜燕平 审核：七年级数学组
内容：11.2.1三角形全等的判定 课型：新授 时间：2009年9月 日
〖课前回顾〗
1. 叫做全等三角形
2.全等三角形的 和 相等
3.将△ABC沿直线BC平移，得到△DEF，说出你得到的结论，说明理由？
如果AB=5, ∠A=55°, ∠B=45°,那么DE= ，∠F= .
〖学习目标〗
1．理解三边对应相等的两个三角形全等的内容．
2．会运用“边边边”条件证明两个三角形全等．
3. 会作一个角等于已知角.
〖自主学习〗
一、三角形全等的条件
阅读课本P6探究2之前，回答下面问题：
通过探究
（1）只给一个条件对应相等的两个三角形一定全等吗？
①只给一条边时；
②只给一个角时；
（2）如果给出两个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？
①给出两个角时；
②给出两条边时；
③给出一条边和一个角时；
（3）由上面的几种情景，两个三角形满足一个或两个条件时，它们一定全等吗？
（4）如果两个三角形有三个条件对应相等，这两个三角形全等吗？我们也可以分情况讨论，有哪几种情况？
①我们先来探究两个三角形三个角相等的情况：
②画出一个三角形，使它的三边长分别为3cm、 4cm、6cm ,把你画的三角形与小组内画的进行比较，它们一定全等吗？
③上面的探究反映了什么规律？
阅读课本P6-7探究2至例1前，回答下面问题：
的两个三角形全等，简写为“ ”或“ ”．
二、例题学习
阅读课本P7例1，学习“边边边”证明两个三角形全等的格式．
〖巩固练习〗
1. 如图，AB=AD，BC=CD，求证：（1）△ABC≌△ADC（2）∠B=∠D
证明：
（1）在△ABC和△ADC中
（公共边）
∴△ABC≌△ADC（ ）
（2）∵△ABC≌△ADC
∴∠B=∠D（ ）
2.如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
证明：
三、作一个角等于已知角
阅读课本P7最后一段至P8，回答书中问题.
〖课堂小结〗本节课你有哪些收获？
〖课堂检测〗
如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
证明：
课后作业：课本P15习题第1、2题
板书设计：
11．2．1 三角形全等的条件（一）
一、三角形全等的条件
三边对应相等的两三角形全等（SSS）
二、例题
三、作一个角等于已知角
教学反思：
3㎝
3㎝
3cm
45
45
45
300
700
800
300
800
700
A
B
C
D
B
C
D
A
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11．3 《角的平分线的性质（一）--角平分线的作法和性质》导学案
年级及科目：八年级数学 备课：董成伟 审核：八年级数学备课组 课型：展示课
学习目标
知识与技能：
1.掌握作已知角的平分线的方法
2.掌握角平分线的性质
过程与方法：
在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉，运用几何原理。
情感与态度：
在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。
学习重点
角的平分线的性质的证明及运用
学习难点
角的平分线的性质的探究
知识链接
1、角平分线的定义：从一个角 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )的顶点引出一条射线 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2、尺规作图是指：用没有刻度的直尺和圆规作图。
学习过程
【自主学习】
一、如何将一个角平分是一个有趣的实验课题：
有一个平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线。你能说明它的道理吗？
思考：
从上面的探究中，你能得出作已知角的平分线的方法吗？(填空并在右边空白处完成尺规作图)
已知：∠AOB
求作：∠AOB的平分线
作法：(1)
(2)
(3)
议一议：
在上面作法的第二步中，去掉“大于1∕2MN的长”这个条件行吗？
练习：（见课本第19页）
结论： 。
二、动手活动：
实验：
将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
结论： 。
三、探究角平分线的性质
由动手实验得到角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
思考：
利用三角形全等怎样证明这个性质呢？
【温馨提示：我们要证明一个几何中的命题时，先分析命题的“题设（已知）”和“结论（求证）”，即写出“已知”和“求证”。再写出“证明”的过程。】
已知：
求证：
证明：
小结：要证明一个几何中的命题时，应按照如下步骤：
⑴ 。
⑵ 。
⑶ 。
掌握角平分线的性质并熟记定理基本图形、推理格式：
∵OP平分∠AOB,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,
∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
思考：（见课本第21页）
先自己完成，再与大家交流。
【典型例题】
1、 如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE、DF分别垂直AB、AC,垂足为E、F。
求证：EB=FC。
2、 如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF。
求证：CF=EB。
【目标检测】
1、（2009年牡丹江中考）尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
2、已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E,且DE=3cm,则点D到AC的距离是( )
A.2cm; B.3cm; C.4cm; D.6cm
3、如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,AB=5cm,AC=3cm,
则S△ABD︰S△ACD =
4、如图，要在河流的南边，公路的左侧M处建一个工厂，位置
选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A点处的
距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在 ，
理由是 ．
5、如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BD：DC=3:4，点D到AB的距离为12，则BC的长为___________。
6、如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若△DBE的周长为15cm，则AB的长为________cm。
（第5题） （第6题）
7、已知：如图，AG平分∠BAC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于点G。
求证：BG=GC。
8、如图,已知E是∠AOB的平分线上的一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C、D，你能得到哪些结论？并证明你的结论。
【能力提升】
9、如图，AE平分∠BAC，BD＝DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．
求证：BM＝CN。
10、如图，AD是△ABC的角平分线, DE⊥AB于E, DF⊥AC于F,连接EF交AD于G,猜想AD与EF有怎样的关系 并写出证明过程。（提示：AD垂直平分EF）
第1题图
O
D
P
C
A
B
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于港初中师生共用导·学案
年级：八年级 学科：数学 课型：新授 时间：
课题：角平分线的性质（1） 执笔： 试做： 审核：
【学习目标】1、探究理解角平分线的性质并会运用
2、会用尺规作图作角平分线．
【重 点】理解角平分线的性质并会运用
【难 点】用尺规作图作角平分线
1， 学前准备
二．探究活动
活动一 ：( 体会平分角的仪器道理)
1、议一议：如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
（思考后组内交流）
2、 如图，已知AB＝AD，BC＝DC. 求证:AC是∠DAB的
平分线.
活动二：（学会作角平分线）
由活动一的启示，你能用尺规作一个角的平分线吗？说一说，写一写角平分线的作法.
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
注意： 角的平分线是一条射线,它不是线段，也不是直线.
练一练：作一个平角∠AOB的平分线. 由此你能得出:“过直线上一点作已知直线的垂线”的方法吗？
活动三： (由教材P20的探究归纳出角平分线的性质)
角平分线的性质：角平分线上的 到角两边的 相等.(体会命题的题设和结论,结合图形,写出已知、求证并加以证明)
如图，已知：
求证：
证明：
小结证明几何命题的步骤：教材P21
课堂作业
1、作角的平分线
2、如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2.
求△ABD的面积.
3、 △ABC中，AD是它的角平分线, 4.点P在∠ABC的角平分线上，PA⊥AB,
BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC， PC⊥BC,D在BP上。求证AD=CD
垂足分别为E、F. 求证EB＝FC .
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11．3 《角的平分线的性质（二）--角平分线的判定》导学案
年级及科目：八年级数学 备课：董成伟 审核：八年级数学备课组 课型：展示课
学习目标：
1、掌握角平分线判定定理的内容、证明及应用。
2、会运用角平分线判定定理证明一射线是角的平分线，并且能判断一个点在一个角的平分线上。
学习重点：角平分线判定定理的运用。
学习难点：角平分线判定定理的证明。
知识链接：
1、角平分线的定义：从一个角 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )的顶点引出一条射线 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
3、熟记角平分线的性质定理基本图形、推理格式：
∵OP平分∠AOB,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E
∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
学习过程：
【自主学习】
1、逆向思维探求角的平分线的判定定理
把角平分线性质定理的题设、结论交换后，得出什么命题？它正确？如何证明？
证明上面提问得出的猜想： 。
已知：
求证：
证明：
角平分线判定定理： 。
2、归纳角的平分线的两种定义
① 。
② 。
【典型例题】
1、已知：如图，AD、BE是△ABC的两个角平分线，AD、BE相交于O点
求证：O在∠C的平分线上
分析：
作辅助线“过O作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，OG⊥AB于G”。要证“O在∠C的平分线上”必须证“OM=ON”。而由“AD、BE是△ABC的两个角平分线”、“OM⊥BC，ON⊥A，OG⊥AB”所以“OG=ON，OG=OM”得“OM=ON”。此题目得证。
证明：过O作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，OG⊥AB于G
∵OM⊥BC，ON⊥AC，OG⊥AB，AD、BE是△ABC的两个角平分线
∴OG=ON，OG=OM（角平分线性质定理）
∴OM=ON
又∵OM⊥BC，ON⊥A
∴O在∠C的平分线上（角平分线判定定理）
2、如图，∠B=∠C=，M是BC的中点，DM平分∠ADC。
求证：AM平分∠DAB。
3、如图，PA=PB，∠1+∠2=。求证：OP平分∠AOB。
【目标检测】
1、到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( )．
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点
2、如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是（ ）
A、直角三角形 B、等腰三角形
C、等边三角形 D、等腰直角三角形
3、已知：如图，△ABC中，∠C＝90o，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于（ ）
A、2cm、2cm、2cm． B、3cm、3cm、3cm．
C、4cm、4cm、4cm． D、2cm、3cm、5cm．
4、如图,L1,L2,L3表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站,
要求它到三条公路的距离相等,可选择的地址有_______处.
5、如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足。
求证：D在∠BAC的角平分线上．
6、已知：如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于P，PD⊥BM于M，PF⊥BN于F．
求证：BP为∠MBN的平分线．
7、（2009年湖南中考题）如图，BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB．
求证：D在∠BAC的角平分线上．
8、已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留画图痕迹）
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11.2 三角形全等的判定
【学习目标】
1． 掌握全等三角形的判定方法“SSS” ．
2． 能灵活运用“SSS”解决线段或角相等．
3． 熟练掌握尺规作图“作一个角等于已知角”．
【学习重点】
全等三角形的判定方法“SSS”．
【自学检测】
课本：P15－17习题11.2
1. 2.
9. 13.（选做）
【知识点及方法归纳】
1. 全等三角形的判定方法“边边边”：
2. 尺规作图：
3. “作一个角等于已知角”的方法：
【典例赏析】
例1. 已知：如图，AC=BD，BC=AD， 求证：(1) △ABC≌ △BAD ； (2)∠CAD＝∠CBD.
例2. 已知：如图，△ABC是一个风筝架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架.
求证：AD⊥BC.
【当堂演练】
1.已知：如图，AB=AC，AD=AE，BD=CE.求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）△ABE≌△ACD．
2. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=CB,求证：∠ A=∠ C.
你能说明AB∥CD，AD∥BC吗？
【课后巩固】
1.已知：如图，AC=AD，BC=BD，求证：∠C=∠D
2.已知：如图，DC=BA， DE=BF，CE=AF，找出图中的一对全等三角形，并说明你的理由.
3.如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有
量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：
①分别在BA和CA上取；
②在BC上取；
③量出DE的长a米，FG的长b米．
如果，则说明∠B和∠C是相等的．他的这种做法合理吗？为什么？
4.如图，有一块三角形的厚铁板，根据实际生产需要，工人师傅要把∠MAN平分，现在他手边只有一把尺子和一根绳子，你能帮工人师傅想个办法吗？说明你的根据.
【拓展延伸】
1.如图4，AC，BD相交于点O，AC＝BD，AB＝CD，
写出图中两对相等的角并说明理由.
2.如图所示，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=4，求AD的取值范围.
3.如图，O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，OA，OB为海岸线，一轮船从码头开出，计划沿∠AOB的平分线航行，航行途中，测得轮船与灯塔A，B的距离相等，此时轮船有没有偏离航线？画出图形并说明你的理由．
A
D
E
C
B
F
G
A
D
O
C
B
图4
A
B
D
C
A
B
O
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11.3角平分线的性质（第2课时）
备课教师：杨喜娥 2010年 月 日 星期
目标一、掌握角平分线的判定定理
题组一
1、 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
该命题的题设是 _______________________________________
结论是________________________________________________
该命题的逆命题是_______________________________________
2、角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
①该命题的题设是 _______________________________________
②结论是________________________________________________
③（明确命题中的已知和求证，用数学符号表示已知和求证）已知:如图, P点是∠AOB内部一点,PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
（经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程）
目标二、利用角平分线的判定定理解决问题
题组二
1、已知：如图，∠C= ∠C′=90° ，AC=AC ′ .
求证（1） ∠ABC= ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ .（要求不用三角形全等的判定）
2、 完成课本中“思考”部分作图
3、如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P。
题组三
1、如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P,
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
2、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M，
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC
∴ =
又∵
∴ =
∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上
题组四
1、如图, △ABC的角平分线BD,和∠A CB的外角的平分线CE相交于点P,
求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( )
A.一处 B. 两处
C.三处 D.四处
3、思考：如图，∠B= ∠C=900,E是BC中点，DE平分 ∠ADC。求证：AE是 ∠DAB的平分线。
题组五（拓展应用）
1、如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,连接EF,EF与AD交于G,AD与EF垂直吗？证明你的结论。
2、如图,在△ABC中,已知AC=BC,
∠C=900,AD是△ABC的角平分线,
DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD＝4cm，AC的长
(2)求证:AB＝AC＋CD.
临河八中“题组教学法”学案
A
O
B
E
D
（根据题意，画出图形）
P
C
C／
A
B
小区C
A
B
C
P
M
N
D
E
F
A
B
C
D
E
P
B
C
E
A
D
A
B
C
D
E
F
G
E
D
A
B
C
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三角形全等的判定（1）
学习目标：（1）经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作，归纳获得数学结论的过程。
（2）掌握全等三角形的“边边边”条件，了解其稳定性。
学习重点：分析问题，寻找判定三角形全等条件。
学习难点：三角形全等条件的探索过程。
一：复习导学
1、 叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质
二、探究新知、
探究：1、现任意画一个三角形△ABC，在画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′全等。
满足六个条件中的一个或两个，你画出的△A′B′C′与△ABC全等吗？
（1）若AB= A′B′，可画出全等三角形吗？
（2）若AB= A′B′、AC=A′C′，可画出全等三角形吗？
（3）若AB= A′B′、BC=B′C′、AC=A′C′，可画出全等三角形吗？
结论：由探究可得判定两个三角形全等的一个方法：
的两个三角形全等。（简写为“边边边”）
三、知识运用
如图：△ABC是一钢架，AD是连接点A与BC中点的支架，求证：（1）△ABD≌△ACD。
（2）AD⊥BC吗？
（3）AD是∠BAC的平分线吗？
四、一试身手
1、如图、AB=AD,CB=CD，△ABC与△ADC全等吗？为什么？
2、如图、C是AB的中点，AD=DE,CD=BE,求证：△ACD≌△CBE
综合演练：见课本P8“练习”
五、收获乐园：记录下你的收获
六、拓展延伸
如图：点B,E,C,F在同一直线上，AB=DE,AC=DF,求证：∠A=∠D
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安徽巢湖春晖学校导学案
班级: 姓名:
年级：八年级 科目：数学 内容：11.2 .2三角形全等的判定（二）
课型：新授
时间：2010年9月4日
学习目标： 掌握三角形全等的判定方法(二),并能应用这种判定方法进行简单的证明。
学习重、难点：
重点: 掌握三角形全等的判定方法(二)。
难点： 全等三角形判定方法（二）的应用。
学习过程：
1、 课前预习
1、_____边和它们的______对应＿＿＿＿的这两个三角形全等．简记为（ ）．
2、用符号语言可表示为：
如右图，在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ ）
3、、如图，B点在A点的正北方向。两车从路段AB的一端A出发，分别向东、向西进行相同的距离，到达C、D两地。此时C，D到B的距离相等吗？为什么？
2、 典例精讲
例1、如图，有一池塘，要测池塘端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B 的点C，连结AC并延长到D, 使CD=CA.连结BC并延长到E,使CE=CB. 连结DE,那么量出DE的长，就是A、B的距离.为什么？
例2、已知：如图， AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD 。
问AD=CD， BD 平分∠ ADC 吗？
3、 当堂训练
4、如图，点E、F在BC上， BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证： ∠A=∠D
5、根据题目条件，判断下面的三角形是否全等？
6 、如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，你能判断BC=AD吗？说明理由
四、拓展训练
7、已知：AD＝BC，∠ADC＝∠BCD．求证： ∠BDC＝∠ACD．
8、如图，AE＝DB，BC＝EF，BC∥EF，说明△ABC和△DEF全等的理由．
整洁度：
错题序号：
B
D
C
A
A
B
C
D
A
D
E
C
F
B
B
C
D
A
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内容: 三角形全等的判定(2) 时间:
一.学习目标:
1.通过动手操作认真掌握两边及它们夹角的判定.
2.同时培养学生动手和分析问题的能力.
3.重点: 判定(SAS). 难点: 能识别不同的类型.
二.课堂研讨:
1 .动手做一做
先任意画出一个三角形△ABC,在画出一个△A′B′C′,使A′B′=AB,A′C′=AC,∠A′=∠A(即两边和它们的夹角对应相等),把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
通过探究画图的结果，你得到了什么规律？
结论：
2.合作探究：
如图，有一池塘，要测池塘两端A,B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA,连接BC并延长到E，使CE=CB,那么量出DE的长就是AB的距离，为什么？
（1）∠1=∠2的根据是什么？
（2）AB=DE的根据是什么？
证明：
思考：
通过上述证明：今后你如何去证明线段相等或角相等呢？
3比一比.
（1）如图，点E,F在BC上，BE=CF,AB=DC,∠B=∠C
求证：∠A=∠D
(2)如图，AB=AC,AD=AE,求证：∠B=∠C
4.合作交流
满足“SAS”条件，两三角形全等。请思考，如果由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件，能判定两个三角形全等吗？为什么？并举出反例。
三.整体感知
1. 本节课你有哪些收获？
2.你还有那些疑惑？
四.拓广探索
如图，△ABC≌△A′B′C′,AD,A′D′分别是△ABC,△A′B′C′的对应边上的中线，AD与A′D′有什么关系？证明你的结论。
五.课后预习
(1) P11—13.
(2)认真研究探究5和6.
（3）你能试着说出本节有哪些知识吗？
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11．3角平分线的性质
初二（ ）班 姓名：_________ 20 年 月 日星期
一、复习：
1、判断两个三角形全等的方法：
（1） (SSS) 三边分别相等的两个三角形全等。
（2） (SAS) 有两边级其夹角对应相等的两个三角形全等。
（3） (ASA) 有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
（4） (AAS) 有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
另外，(HL) 有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。
2、练习：根据题目的结论，添加相应的条件。
（1）如上图，AB=DE，AC=DF，______=_______，那么根据（SSS）可得
（2）如上图，AB=DE，AC=DF，______=_______，那么根据（SAS）可得
（3）如上图，AB=DE，______=______，______=_______，那么根据（ASA）可得
（4）如上图，AB=DE，______=______，_______=_______，那么根据（AAS）可得
（5）如右图，，_____=_____，
_______=_______，那么根据（HL）可得
三、“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”
请你自己设计出一条几何证明题，去证明上面的命题是否正确：
小光已经做出了一些步骤，请你帮他补充完整：
解： 如右图：
已知：__________________，
___________________
求证：______=_______
证明：
归纳：从上面的我们可知道“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”这是一个_________（填“真”或“假”）命题。
练习：根据上面定理完成书本P21 思考。
四：把前面的定理反过来可得：“角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上”
请你自己设计出一条几何证明题，去证明上面的命题是否正确：
小白已经做出了一些步骤，请你帮他补充完整：
解：如右图，过______做射线
已知：，；
并且_______=_______
求证：_____是的平分线
证明：
归纳：从上面的我们可知道“角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上”这是一个_________（填“真”或“假”）命题。
五、练习：
A组：
1、请你利用尺规作图，画出的平分线
B组：
书P22页习题11.3第1----5题。（可做在书本上）
C组：请你利用尺规作图在内部找一个点，
使这个点到三边距离相等
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11.2 三角形全等的判定
【学习目标】
1． 掌握全等三角形的判定方法“SAS” ．
2． 能灵活运用“SAS”解决线段或角相等．
3． 熟练掌握尺规作图“已知两边及其夹角求作三角形”．
【学习重点】
全等三角形的判定方法“SAS”．
【自学检测】
课本：P15－17习题11.2
3. 4.
10. （选做）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,
∠ABC=∠DCB，AB=DC,AE=DF.试问BF与CE 相等吗？
【知识点及方法归纳】
1. 全等三角形的判定方法“SAS”：
2. 尺规作图：“已知两边及其夹角求作三角形”的作法：
【典例赏析】
例1. 已知：如图所示，点D是△ABC的边AB上一点，E是AC的中点，F是DE延长线上的一点，且DE=EF，连结CF.求证：∠B+∠BCF=.
例2. 已知：如图，AB=CB，AD=CD，E是BD上任意一点，求证：AE=CE.
【当堂演练】
1.已知：如图，如图9，，，下列结论错误的是（ ）
A．△ABE≌△ACD B．△ABD≌△ACE
C．∠DAE=40° D．∠C=30°
2. 已知:如图4，AB =EB，∠1=∠2，∠ADE =120°，AE、BD相交
于F，则∠3的度数为___ ___．
【课后巩固】
1．如图， AD是的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且，连结BF，CE．下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．地基在同一水平面上，高度相同的两幢楼上分别住着甲、乙两位同学，有一天，甲对乙说：“从我住的这幢楼的底部到你住的那幢楼的顶部的直线距离，等于从你住的那幢楼的底部到我住的这幢楼的顶部的直线距离．”你认为甲的话正确吗？答： ．
3.如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与
CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；
②CM=CN；③AC=DN.其中正确结论的个数是 ．
4．如图，AB=AC,AD=AE,求证：BE=CD.
5．如图，AB=AC,AD=AE, ∠1=∠2.求证：∠B=∠C.
【拓展延伸】
1.因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺.请你设计一种方案，粗略测出A、B两杆之间的距离.
2.如图所示，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D.求证：AD+BC=AB.
3.我们知“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”.现在把条件略做变动会怎样呢？
（1）有两边和其中一边的对角（该角为锐角）对应相等的两个三角形全等吗？
（2）有两边和其中一边的对角（该角为直角）对应相等的两个三角形全等吗？
（3）有两边和其中一边的对角（该角为钝角）对应相等的两个三角形全等吗？
A
D
B
C
F
E
A
D
C
B
E
F
A
B
C
E
P
D
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全等三角形导学案
教师：王春梅 年级：八年级 授课时间：
导学目标：1．知识与能力
理解全等三角形及相关概念，能够在不同位置的两个全等三角形中识别对应边、对应角、对应顶点，并掌握识别规律；探索并掌握全等三角形的性质，能够利用性质解决简单的问题．
2．过程与方法
通过观察、动手操作感受全等图形的特征。在探索全等三角形性质的过程中，体会研究问题的方法。
3．情感、态度与价值观
培养学生的识图能力、归纳总结能力和应用意识．
学习重点：全等三角形及相关概念；全等三角形的性质应用。
学习难点：能准确识别不同位置的全等三角形及其中的对应顶点，对应角和对应边。
导学方法：创设情镜---观察感受---探究合作---应用提高
1、 创设情境，导入新课
活动1、欣赏下面各组图片，你有发现吗？
说一说 试举出一些日常生活中所见到具有以上特征的两个图形。
做一做 用纸片做出两个具有以上特征的三角形。
想一想 1、以上所见到的图形放在一起后的重要特征是什么？
2、两个图形完全重合，其形状、大小有什么关系？
写一写 全等形的概念：
全等三角形的概念：
二、探究新知，合作交流
活动2
例：△ABC与△DEF重合，说成△ABC全等于△DEF。
这时，点A与点D重合．点B与点E重合．我们把这样互相重合的一对点叫做对应顶点；AB边与DE边重合，这样互相重合的边就叫做对应边；∠A与∠D重合，它们就是对应角．△ABC与△DEF全等，我们把它记作：“△ABC≌△DEF”．读作“△ABC全等于△DEF”．
注意：记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．
问题
1、两个全等三角形中，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 。
2、如图，△ABC和△DEF全等，如何用符号表示它们
HYPERLINK "http://www./Index.html" EMBED MSPhotoEd.3
3、在表示的过程中应该注意什么问题？
4、在上图中AB的对应边是 ，AC的对应边是 ，BC的对应边 是 ，∠A的对应角是 ，∠B的对应角是 ，∠C的对应角是 。
活动3
在上面活动中，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？
结论：全等三角形的性质：
如何用符号语言表示呢？
∵
∴
活动4
问题
用两块全等的三角板重合放在桌面上，让其中一块绕一个顶点旋转，你能画出几种不同的位置关系，画出图形并说出对应元素．
学生活动设计：
学生小组合作，动手操作，一块三角板绕一个顶点旋转，画出以下四种位置关系：
不论哪种图形，点A与点A是对应顶点，点B与点E是对应顶点，点C与点D是对应顶点；AB边与AE边是对应边，AC边与AD边、DE边与CB边也是对应边；∠BAC与∠EAD是对应角，∠B与∠E，∠C与∠D是对应角．
教师活动设计：
本活动主要加深学生对全等三角形概念的理解，以及动手操作能力的培养．
活动5
拿一张纸对折后，剪成两个全等的三角形，△ABC和△ECD，把这两个三角形一起放在下列图中△ABC的位置上，试一试，如果其中一个三角形不动，怎样移动另一个三角形，能够得到下列图中的各图形，从中你能得到什么启发？
( http: / / www. / Index.html ) ( http: / / www. / Index.html )
学生活动设计：
经过观察、操作可以发现，可以经过平移、翻折、旋转得到，变化前后对应角、对应边不变．
三、拓展创新、应用提高
问题
1如图，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°，BC=5cm．求出△AEC各内角的度数和AC的长度．
（学生根据全等三角形的性质独立解决．）
2、学生合作交流完成4页练习。思考：找对应边、对应角和对应顶点的窍门吗。
四、归纳小结、布置作业
1、回忆这节课，学习了全等三角形的哪些知识？
２、找全等三角形对应边、对应角的方法
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内容：§13.2 三角形全等的条件（4） 课型：新授 时间：
学习目标：1.探究出直角三角全等的条件——HL，并掌握，能简单的应用。
2.经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳表达、逻辑推理能力。
3.通过探究与交流，解决一些问题，获得成功的体验，进一步激发探究的积极性。
重点： 掌握判定两个直角三角形全等。
难点： 熟练选择判定方法，判定两个三角形全等。
学习过程：
一. 复习引入：我们知道，判定两个直角三角形全等的条件有哪些？
二. 课堂研讨
合作探究1. 三个角对应相等的两个三角形全等吗？
解答上述问题后，把三角形全等的判定方法做一个小结。
SSS SAS ASA AAS SSA AAA
探究新知：两个直角三角形，除了直角相等外，还要满足几个条件，这两个直角三角形全等？
①———— ②———— ③————
合作探究2：任意画出一个 △ABC,使∠C=90°,再画一个 △A′B′C′,使
B′C′=BC,A′B′=AB,把画好的 △A′B′C′剪下，放到 △ABC上，看看
它们是否全等。
画一个 △A′B′C′,使B′C′=BC,A′B′=AB:
1.
2.
3.
4.
探究2的结果反映了什么规律？
由探究2可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：——————————
——————————
练习：如图① AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD,求证：BC=AD.
思考：通过上述证明，今后你将如何证明两线段或两角相等？
三. 整体感知
1. 本节课你有哪些收获？
2. 你还有那些疑惑？
四. 课堂检测
1.如图②，从C地看A.B两地的视角∠C是锐角，∠C到A.B两地的距离相等，A到线段BC的距离AD,与B到线段AC的距离BE相等吗？为什么？
2.如图③，△ABC中，AB=AC,AD是高，求证：⑴ BD=CD ⑵ ∠BAD=∠CAD
3.如图④，AC⊥CB,DB⊥CB,AB=DC,求证：∠ABD=∠ACD
五、以学习小组为单位，交流本节课的收获和体会
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11.3 角平分线的性质
【学习目标】
1． 熟练掌握角平分线的尺规作图．
2． 能应用三角形全等的知识，解释尺规作角平分线的原理．
3． 掌握几种基本的三角形作图．
【学习重点】
利用尺规作已知角的平分线．
【自学检测】
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB，如图．
求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）
（2）
（3）
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？
2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
3. 请用全等三角形的知识证明你的作图是正确的.
【当堂演练】
基本作图：
1. 作一线段等于已知线段.
2. 作一个角等于已知角.
尺规作图：
1. 已知三边求作三角形.
2. 已知两边及其夹角求作三角形.
3.已知两角及其夹边求作三角形.
4.已知斜边和一直角边求作直角三角形.
【拓展延伸】
我们经常能见到国徽、国旗以及军人帽徽上的五角星．图（1）中也有一个漂亮的五角星．你想画出它吗？要想画一个很漂亮的五角星，需要先画出一个正五边形．如何画正五边形呢？可按下面的方法来画．
1．作⊙O． 2．作直径AC垂直于直径BD．
3．以OC的中点E为圆心，EB为半径画弧交OA于点F；
4．以BF为半径，从圆周上B点起依次截取就可得到正
五边形的五个顶点．
连结正五边形所有的对角线，再稍加修饰就构成一个漂亮的五角星了．
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师生共用导·学案
年级：八年级 学科：数 学 课型：新授课 时间：
内容：角的平分线的性质（2） 执笔： 试做： 审核：
【学习目标】1、知道角平分线性质定理的逆命题,并会进行应用
2、注意区别这两个定理的条件和结论，熟练用来解题
【重 点】角平分线性质定理的逆命题的证明及运用。
【难 点】角平分线性质定理的逆命题的探究。
一、学前准备
1、角平分线的性质：
2、画出三角形三个内角的平分线
你发现了什么特点吗？
2、探究活动
活动一：
1、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等
我们知道： 角平分线上的点到 距离相等；那么到角两边距离相等的点是否也在这个角平分线上呢？
活动二:
思考：教材P21 并说明理由。
1、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
2．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，
BE，CD相交于点O，OB＝OC.
求证：∠OAB＝∠OAC
3、完成思考中的问题（完成于书上）
三．巩固提升
1、 已知△ABC的外角平分线BD、CE相交于点P .
求证：点P在∠A 的平分线上
2、如图：在△ABC中，∠B=∠C=50°，D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，求∠BAD的度数.
2、如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF，EF，求证:DF＝EF
4． 学习体会
本节课你学会了什么？有哪些收获？
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三角形全等的条件
学习目标：
1．掌握“斜边、直角边”条件的内容．
2．初步运用“斜边、直角边”条件证明两个直角三角形全等．
一、知识回顾
1.问题：(1)判定一般三角形全等的方法有哪几种？ 、 、 、 。
(2)若这两个三角形是直角三角形，那么这些判定方法适用吗？ 。
2.如图，具有下列条件的Rt△ABC与Rt△DEF（其中∠C＝∠F＝90°）是否全等，在（ ）里填写理由；如果不全等，在（ ）里打“×”：
（1）AC＝DF,∠A＝∠D（ ）
（2）AC＝DF,BC＝EF（ ）
（3）AB＝DE，∠B＝∠E（ ）
(4) AC＝DF,BC＝EF（ ）
(5) AB＝DE,BC＝EF（ ）
二、小组合作交流
1.任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°再画一个Rt△ A'B'C' ，使 B'C' ＝BC，A'B' ＝AB，(即使斜边和一条直角边对应相等)
(1)你能画出满足条件的Rt△ A'B'C' 吗？应该怎样画？
画法：１． ．
2. 。
3. ．
４. 。
（2）把画好的Rt△ A'B'C' 剪下，放到Rt△ABC上. 看看它们是否全等？ .
（３）你们小组发现了什么规律？
两个直角三角形全等的判定：
。
（４）你会用数学符号语言描述这个规律吗？
书写格式为： 在Rt△______和Rt△______中，
∴Rt△______≌Rt△______（HL）
注意“HL”是仅适用于Rt△的特殊方法。应用HL判定时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△。
（５）你能把证明直角三角形全等的方法列举出来吗？
、 、 、 、 。
三 、小试牛刀
1.如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.
(1)求证：BC=AD.
(2)你还能找到其他的全等三角形吗？
(3)你可以得到哪些线段相等？
四、跳一跳摘桃子
如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地.DA ⊥AB，EB ⊥AB，D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？
五、走进中考
如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
A
C
B
D
E
F
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年级：八年级 学科：数学 执笔：杜燕平 审核：七年级数学组
内容：11.1全等三角形 课型：新授 时间：20 年 月 日
〖学习目标〗
1．知道什么是全等形、全等三角形；
2．能熟练找出全等三角形的对应元素，能用符号正确地表示两个三角形全等；
3．掌握全等三角形的性质.
〖自主学习〗
一、全等形、全等三角形的概念
阅读课本P2内容，回答课本思考问题，并完成下面填空：
1． 能够完全重合的两个图形叫做 .
全等图形的特征：全等图形的 和 都相同.
2．能够完全重合的两个三角形叫做 .
二、全等三角形的对应元素及表示
阅读课本P3第一个思考及下面两段内容，完成下面填空：
1． 平移 翻折 旋转
启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略．
2．全等三角形的对应元素
（1）对应顶点（三个）---重合的顶点
（2）对应边（三条）--- 重合的边
（3）对应角（三个）--- 重合的角
请同学们写出上图甲、乙、丙的对应顶点、对应边、对应角
图甲： 对应边是： 对应顶点是： 对应顶点是：
图乙：
对应边是：
对应角是： 对应角是：
图丙：对应顶点是： 对应边是：
对应角是：
寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边；
（2）有公共角的，公共角是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角是对应角；
（4）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（5）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。
3．“全等”用“≌”表示，读作“全等于”
如图甲记作:△ABC≌△DEF 读作:△ABC全等于△DEF
如图乙记作: 读作:
如图丙记作: 读作:
注意：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
三、全等三角形的性质
阅读课本P3第二个思考及下面内容，完成下面填空：
全等三角形的性质:
全等三角形的 相等， 相等.
练习
1.如图1，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．
图1 图2
2.如图2，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．
〖课堂小结〗本节课你有哪些收获？
〖巩固练习〗
1.下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角.
（1） （2） （3）
2.如图，△ABE≌△ACD，AB与AC，AD与AE是对应边，已知：∠A=43°，
∠B=30°，求∠ADC的大小.
〖课堂检测〗
1.全等用符号 表示，读作： .
2.若△BCE≌△CBF，则∠CBE= , ∠BEC= ,BE= , CE= .
3.判断题
1）全等三角形的对应边相等，对应角相等.（ ）
2）全等三角形的周长相等，面积也相等. （ ）
3）面积相等的三角形是全等三角形. （ ）
4）周长相等的三角形是全等三角形. （ ）
4.如图:△ABC≌△DBF,找出图中的对应边,对应角.
答:∠B的对应角是 ，∠C的对应角是 ，
∠BAC的对应角是 ；
AB的对应边是 ，AC的对应边是 ，
BC的对应边是 .
课后作业：课本P4习题第1、2题
板书设计：
11．1 全等三角形
一、全等形、全等三角形的概念
二、全等三角形的对应元素及表示
三、全等三角形的性质
教学反思：
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13.2 全等三角形的条件⑶
学习目标 1. 探索并掌握两个三角形全等的条件“ASA”.”AAS”并能应用它们判
别两个三角形是否全等。
2. 经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表
达、逻辑推理的能力。
重点： 理解掌握三角形全等的条件“ASA”,”AAS”
难点： 探究出“ASA”.”AAS”以及它们的应用。
教学过程：预习导学
⑴. 作线段AB等于已知线a.
(2). 作∠ABC等于已知∠ɑ
（3）.你学过那些三角形全等的判定条件/
探究新知;
1. 已知△ABC,画△A′B′C′,使A′B′=AB,∠A′=∠A,∠B′=∠B,
观察猜想两个三角形全等吗？（写出作法）
由此得出结论： 两角和——————对应相等的两个三角形全等简称：———
2. 在△ABC和△DEF中∠B=∠E,∠A=∠D,BC=EF,△ABC和△DEF全等吗？你能
用角边角条件证明你的结论吗？
结论：
有两个角和其中一个角——————————对应相等的两个三角全等简
称——————
3. 应用新知
已知;D在AB上，E在AC上，AB=AC,∠B=∠C.求证：AD=AE.
4. 巩固新知
P13 1. 2.
3.如图：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD.
拓广探索：
P16-17, 11. 12
5. 交谈本节课的收获。
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