北师大版高中数学必修5第一章《数列》数列的应用1

课件28张PPT。1数 列 的 应 用北师大版高中数学必修5第一章《数列》2数 列 的 应 用 与数列有关的应用题大致有三类：
一是有关等差数列的应用题；
二是有关等比数列的应用题；
三是有关递推数列中可化为等差、等比数列的问题.3 解决有关数列的应用题与解决其它应用题
相似的是要认真理解题意（可以通过列表、画
图等来加强对题意的理解），弄清各项之间的
关系，便于确定模型的类型（等差或等比）；
弄清项与项数的关系，便于确定计算公式；遇
到问题按等比增长时，对次数的理解要准确.数 列 的 应 用4例1.（1994年全国高考试题）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）.经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）
A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个[分析]由题意，这种细菌原有的个数，经过20分钟， 40分钟，60分钟，…分裂后的个数分别为1，2，22，23，… .这是一个等比数列，公比为2.因此经过3小时，这种细菌的个数为a10=1·210-1=29=512.故本题应选B.[说明]此类问题切忌硬套类型、公式.要注重对问题分析过程的思考（这里即细菌个数随时间变化的规律的考察），这样即使不套用等比数列的公式，也会得出29 的结果. 5经过1个20分钟2=21经过2个20分钟4=22经过3个20分钟8=23…………经过3小时29=5126例2.有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需用24小时；但它们是每隔相同的时间投入工作的，每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕.如果第一台收割时间是最后一台的5倍，求用这种方法收割完这片土地上的小麦需用多少时间？[分析]依题意，这些联合收割机投入工作的时间组成一个等差数列，按所规定的方法收割，所需要的时间等于第一台收割机所需要的时间，即求数列的首项.7解：设从每一台工作起，这n台收割机工作
的时间依次为a1，a2， … an小时，
依题意，{an}是一个等差数列，①②由②得，a1+a2+…+an=24n,③8由①、③联立方程组得，解之得，a1=40，an=8.答：用这种方法收割完这片土地上的全部小麦需用40小时.9例3.某林场原有木材量为a，木材以每年25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x，为了实现经过20年达到木材存有量翻两翻，求每年砍伐量x的最大值.（设1.2520=86.74）[分析]木材的增长率是一个等比数列的问题，翻几翻问题也是等比数列问题，原来a，翻一翻2a，翻两翻4a，依次类推.[解]1011例4.顾客从商场购买一台售价为1.25万元的电脑，采用分期付款的方法，先付款(也称首付)0.25万元，余款以后再付，但要支付利息.如果按月利率1%,每月利息按复利计算(即每月利息记入下月本金)（1）试分别计算1个月后、2个月后、3个月后……一年后顾客欠商场本利和 .（2）余额也采用分期付款的方法，要求每期付款数额相同，购买后第1个月月底第1次付款，再过1个月第2次付款……购买后一年第12次付清.那么每期应付款多少元？12（1）试分别计算1个月后、2个月后、3个月后……一年后顾客欠商场本利和 .[解]1个月后欠商场本利和：1+1×1%=1×(1+1%)=1.01万元,2个月后欠商场本利和:1.01×(1+1%)=1.02万元,3个月后欠商场本利和:1×1.013=1.03万元,一年后欠商场本利和:1×1.0112=1.13万元.……13（2）余额也采用分期付款的方法，要求每期付款数额相同，购买后第1个月月底第1次付款，再过1个月第2次付款……购买后一年第12次付清.那么每期应付款多少元？主要思路：思路1：逐月计算欠款情况，最后欠款数为零.思路2：从货款与还款随时间不断增值方面考虑.思路3：各期还款额等价到货款初的角度来考虑.14思路1：逐月计算欠款情况，最后欠款数为零.[解法1]1个月后欠 1·（1+1%）-x=1.01-x2个月后欠 （1.01-x） · 1.01-x=1.012-1.01x-x3个月后欠（1.012-1.01x-x） · 1.01-x
=1.013-1.012x-1.01x-x……12个月后欠1.0112-1.0111x-1.0110x-……-1.01x-x设每月付款x元，15由1.0112-1.0111x-1.0110x-……-1.01x-x=0得x + 1.01x +……+1.0110x + 1.0111x = 1.0112答：每月还870元.16思路2：从货款与还款随时间不断增值方面考虑.[解法2]商品购买1年后货款全部付清时
货款增值为1×1.0112万元.设每期付款额为x万元第12期付款x万元时,没有增值,还是x万元，第11期付款x万元,经过1个月增值为x·1.01万元，第10期付款x万元,经过2月增值为x·1.012万元，……第1期付款x万元,经过11月增值为x·1.0111万元.17由x + 1.01x +…+ 1.0110x + 1.0111x = 1.0112答：每月还870元.18思路3：各期还款额等价到货款初的角度来考虑.[解法3]货款初为1万元.设每期付款x元,则第1期所付的x元,在货款初只值第2期所付的x元,在货款初只值第3期所付的x元,在货款初只值……第12期所付的x元,在货款初只值19以下同解法一.20例5（1996年全国高考试题）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷，设1.0110=1.1045）[分析]这是一个实际应用问题.由于考虑的是人口平均增长率，因此每年年底的人口总数组成一个等比数列，而每年年底的耕地数组成一个等差数列.设该地区现有人口为P，那么10年后人口为P·（1+1%）10.设耕地每年至多只能减少x公顷，那么10年后耕地面积为（10000-10x）公顷.设现在粮食单产为M吨/公顷，那么10年后粮食单产为M（1+22%）吨/公顷.[解]21答：按规划耕地平均每年至多只能减少4公顷.22思考题：232. 环境问题严重危害人民群众身心健康，也直接影响着北京举办2008年奥运会.2000年我国北方地区发生的多起沙尘暴，主要是由于土地沙漠化引起的.据调查，沙漠化土地面积每年以4%的速度递增.北京市以北地区1995年底有沙漠化土地面积25200亩，计划从1996年起每年在沙漠上种植相同面积的树木，以改造沙漠为森林，计划在2007年年底前完成对沙漠的改造任务，问每年至少植树多少亩？(1.0412=1.601)思考题：24第一题提示：25第二题提示：96年底沙漠化土地面积为:(25200-x) ·1.04;97年底沙漠化土地面积为:
[(25200-x) ·1.04-x] ·1.04
=25200·1.042-x(1.042+1.04);……2007年底沙漠化土地面积为:
25200·1.0412-x(1.0412+1.0411+…+1.04).答案：每年至少植树2582亩.263.银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利.现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案—一次性贷款10万元，第一年可获利1万元，以后每年比上一年增加30%的利润；乙方案每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比上一年增加5千元.两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息.若银行贷款利息均按年利息10%计算，试比较两种方案的优劣（计算时，精确到千元，并取1.110≈2.594,1.310≈13.79）思考题：27第三题提示：净收益32.5-15.94=16.6万元所以甲方案优于乙方案.28小结：（1）.等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型;（2）.银行存款的计息方式;
（3）.银行的储蓄业务种类;（4）.零存整取储蓄模型;（5）.定期自动转存模型；（6）.教育储蓄模型.
作业： 习题1——4第1、2题
五、教后反思：