课件22张PPT。第三节 圆周角和圆心角的关系(一)第三章 圆回顾与思考
如图1 ,∠AOB是 角。如图2 , AB=CD ,则∠AOB与∠COD的大小关系是： 。BAOCD圆心相等用心想一想，马到功成在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关。
用心想一想，马到功成如图，当他站在B，D，E的位置射球时,对球门AC的张角的大小相等吗？你能观察到这三个角有什么共同特征吗?用心想一想，马到功成为解决这个问题我们先来研究一种角。
观察图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？用心想一想，马到功成观察图中的∠ABC，可以发现，它的顶点在圆上，它的两边分别与圆还有另一个交点。像这样的角，叫做圆周角。请同学们考虑两个问题：
（1）顶点在圆上的角是圆周角吗？
（2）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？为解决这个问题，我们先回答下面的问题。下列各图形中的角是不是圆周角？请说明理由。ABCDE由圆周角的定义可知，只有C是圆周角，其它都不是。你能总结出圆周角的特征吗？圆周角有两个特征：
①角的顶点在圆上；
②两边在圆内的部分是圆的两条弦。用心想一想，马到功成我们再来研究圆周角的性质。为了解决这个问题，我们先研究一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系。请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角。用心想一想，马到功成归纳同学们的意见我们得到以下几种情况。①∠ABC的一边BC经过圆心O。②∠ABC的两边都不经过圆心O。③∠ABC的两边都不经过圆心O。请问∠ABC与∠AOC它们的大小有什么关系？说说你的想法，并与同伴进行交流。下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即∠ABC的一边BC经过圆心O。∵ ∠AOC是△ABO的外角，∴ ∠AOC=∠ABO+∠BAO。∵ OA=OB，∴ ∠ABO=∠BAO。∴ ∠AOC=2∠ABO，如图,我们可以观察到∠AOC是△ABO的外角，∠ABC是△ABO的一个内角，它们两者存在一定关系.
下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即∠ABC的一边BC经过圆心O。∵ ∠AOC是△ABO的外角，∴ ∠AOC=∠ABO+∠BAO。∵ OA=OB，∴ ∠ABO=∠BAO。∴ ∠AOC=2∠ABO，那么当∠ABC的两边都不经过圆心O时，∠ABC与∠AOC又有怎样的大小关系呢？我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑。也就是借用直径，连接BO并延长，与圆相交于点D。D（此时我们得到与图①同样的情形）如图，连接BO并延长，与圆相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）D如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）D如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）D认真观察，探求结果通过对三种情形的证明，同学们再认真观察图形，你会得到什么结果？一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 。一半一题多变如图，在⊙O中，∠BOC=50°，
则∠BAC= 。25° 一题多变如图，在⊙O中，∠BOC=50°，
则∠BAC= 。变化题2：如图，∠BAC=40°，则∠OBC= 。变化题1：如图，点A，B，C是⊙O上的三点， ∠BAC=40°，则∠BOC= 。 25° 50° 80° 由∠BAC=40°可得∠BOC=80°，再由△BOC是等腰三角形可求得∠OBC。开拓创新 试一试如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB=2∠ BOC，
∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为什么？请同学们认真观察∠AOB与∠ACB，∠BOC与∠BAC的关系。 答：∠ACB=2∠BAC.理由是:
∵∠AOB=2∠ACB
∠BOC=2∠BAC
∠AOB=2∠BOC
∴2∠ACB =2（2∠BAC）
∴∠ACB=2∠BAC大胆尝试，练一练！由∠BCD=100°，我们可求出对应的圆心角∠1是200° ，则∠BOD就可求。 解：∵∠BCD=100°
∴∠1=200°
∴∠BOD=360°－200°=160°大胆尝试，练一练！解：∵∠BCD=100°
∴∠1=200°
∴∠BOD=360°－200°=160°观察∠BOD与∠BAD的关系就可以求∠BAD的大小。 课内拓展延伸1.到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个?它们各有什么特点?相互之间有什么关系?答:和圆有关的角有圆心角和圆周角.圆心角顶点在圆心;圆周角顶点在圆上，角的两边和圆相交。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。课件15张PPT。第三节 圆周角和圆心角的关系(二)第三章 圆耐心填一填，一锤定音！1.如图，∠BOC是 角， ∠BAC是 角。
若∠BOC=80° ， ∠BAC= 。圆心圆周40° A用心想一想，马到功成观察图①，∠ABC， ∠ADC和∠AEC各是什么角？它们有什么共同的特征？它们的大小有什么关系？为什么？答： ∠ABC， ∠ADC和∠AEC都是圆周角。根据圆周角定理，∠ABC，∠ADC，∠AEC都等于 圆心角∠AOC的一半。 所以这三个角是相等的。由此你得到什么结论？这三个角是相等的。理由是：图①用心想一想，马到功成结论是：
在同圆中，同弧所对的圆周角相等。如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？答：成立。因为等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半，所以这些圆周角也相等。对于等圆,情况也一样.因此,我们可以得到：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。问题：若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，
结论成立吗？请同学们互相议一议。用心想一想，马到功成如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小相等吗？为什么？用心想一想，马到功成观察图②，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是
锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？答：直径BC所对的圆周角是直角。因为一条直径
将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC=180° ，所以 ∠BAC=90° 。图②观察图③，圆周角∠BAC=90° ，弦BC经过圆心吗？为什么？图③答：弦BC经过圆心O。因为连接OC、OB，由∠BAC=90° 可得圆心角∠BOC=180° 。即B、O、C三点在同一直线，也就是BC是⊙O的一条直径。由以上我们可得到：直径所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径。放开手脚 做一做小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？答：图（2）是半圆形。理由是：90° 的圆周角所对的弦是直径。 放开手脚 做一做如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，
使AC=AB。BD与CD的大小有什么关系？为什么？分析：由于AB是⊙O的直径，故连接AD。由直径所对的圆周角是直角，可得AD⊥BC.又因为△ABC中，AC=AB，所以由等腰三角形的三线合一，可证得BD=CD。 解：BD=CD。
理由是：连接AD。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90° ，
即AD ⊥BC。
又∵AC=AB。
∴BD=CD教材题变形，拓展延伸船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。
如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个
灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。（1）当船与两个灯塔的夹角
∠α大于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？
（2）当船与两个灯塔的夹角
∠α小于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？分析：这是一个有实际背景的问题。由题意可知：“危险角∠ACB”实际上就是圆周角。
船P与两个灯塔的夹角为∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O内.当∠α＞∠C时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C时，船位于暗礁区域外。因此,我们可以分情况讨论.解：（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C时，船位于暗礁区域内（即⊙O内）。理由是：连接BE. 假设船在⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外。因此，船只能位于⊙O内。（1）当船与两个灯塔的夹角
∠α大于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？（2）当船与两个灯塔的夹角
∠α小于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？解：（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” ∠C时，船位于暗礁区域外（即⊙O外）。理由是：
假设船在⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α＞∠AEB，即∠α＞∠C，这与∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内。因此，船只能位于⊙O外。大胆尝试，练一练1.为什么有些电影院的坐位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性。答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等。答：∠BDC= ∠BAC 。3.如图,⊙O的直径AB=10 cm，C为⊙O 上的一点，∠ABC=30° ，求AC的长。课时小结1.要理解圆周角定理的推论。2.构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法。3.要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的
圆周角也是常用方法之一。4.圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化。但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁。如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角相等。
