课件20张PPT。新人教版九年级数学(下册)第二十八章 §28.1 锐角三角函数（1）第28章锐角三角函数(1)ABC“斜而未倒”BC=5.2mAB=54.5mα问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管． 分析：情
境
探
究在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于ABC50m30mB 'C 'AB'＝2B ' C ' ＝2×50＝100 在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得因此 即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值. 一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？结论问题 在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．并且直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比值越大
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦（sine），记住sinA 即例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有cab对边斜边 正 弦 函 数小试牛刀1、再Rt△ＡＣＢ，Rt△ＤＥＦ中，∠Ｂ＝300， ∠Ｄ＝450， ∠Ｃ＝900，∠Ｆ＝ 900，
若ＡＢ＝ＤＥ＝２，
（１）求∠Ｂ的对边与斜边的比值；
（２）求∠Ａ的对边与斜边的比值；
（３）求∠Ｄ的对边与斜边的比值．
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．解： （1）在Rt△ABC中，因此（2）在Rt△ABC中，因此ABCABC3413 例 题 示 范5根据下图，求sinA和sinB的值．ABC35 练习解： （1）在Rt△ABC中，因此根据下图，求sinA和sinB的值．ABC125 练习解： （1）在Rt△ABC中，因此根据下图，求sinB的值．ABCn 练习解： （1）在Rt△ABC中，因此m 练习如图，Rt△ABC中，∠C=90度，CD⊥AB，图中sinB可由哪两条线段比求得。解：在Rt△ABC中，在Rt△BCD中，因为∠B=∠ACD，所以
求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。练一练1.判断对错:1) 如图 (1) sinA= （ ）
(2)sinB= （ ）
(3)sinA=0.6m （ ）
(4)SinB=0.8 （ ）
√√××sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；2)如图，sinA= （ ） ×2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍，sinA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小
C.不变 D.不能确定C练一练 小结如图，Rt△ABC中，直角边AC、BC小于斜边AB，所以0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1,如果∠A ＜ ∠B,则BC＜AC ,那么0＜ sinA ＜sinB ＜1＜1＜1小结本节课你有什么收获呢？回味无穷1.锐角三角函数定义:2.sinA是∠A的函数. 3.只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会有质的进步.Sin300 =sin45°=课件20张PPT。新人教版九年级数学(下册)第二十八章 §28.1 锐角三角函数（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？ 当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即 情 境 探 究 1、sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2、sinA、 cosA是一个比值（数值）。
3、sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，正弦余弦 当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是惟一确定的吗？ 在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值。如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°， 我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切，记作 tanA。一个角的正切表示定值、比值、正值。思考：锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？ 对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数。 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝ ，求
cosA、tanB的值．解：∵又 例 题 示 范 变题： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，求
sinA、tanA的值．解：∵ 例 题 示 范设AC=15k，则AB=17k所以下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D。指出∠A和∠B的对边、邻边。试一试：BCADBDAC 如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定C试一试： 例3： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° 例 题 示 范1.求证：sinA=cosB，sinB=cosA2.求证：3.求证： 例4： 如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若 例 题 示 范 那么 ( )B变题： 如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若
AB=10，CD=6，求 . 小结如图，Rt△ABC中， ∠C=90度，因为0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1, tan A＞0, tan B＞0 0＜cosA ＜1, 0＜cosB ＜1,所以，对于任何一个锐角α ，有
0＜sin α ＜1，
0＜cos α ＜1，
tan α ＞0，1. 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值．练 习解：由勾股定理2. 在Rt△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？解：设各边长分别为a、b、c，∠A的三个三角函数分别为则扩大2倍后三边分别为2a、2b、2c3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ ，
求：sinA、cosB的值．ABC8解：4. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC,
（1）求证：AC=BD；
（2）若 ，BC=12，求AD的长。5. 如图，在△ABC中， ∠ C=90度，若∠ ADC=45度，BD=2DC，求tanB及sin∠BAD.在Rt△ABC中 及时总结经验，要养成积累方法和经验的良好习惯！ 定义中应该注意的几个问题: 1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。 2、sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）。 3、sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。 课件16张PPT。新人教版九年级数学(下册)第二十八章 §28.1 锐角三角函数（3） AB C∠A的对边∠A的邻边∠A的对边∠A的邻边tanAcosA∠A的邻边∠A的对边斜边sinA斜边斜边回顾锐角三角函数如图设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a另一条直角边长＝30°60°45°45° 活 动 1设两条直角边长为a，则斜边长＝30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 仔细观察,说说你发现这张表有哪些规律?例1求下列各式的值：
（1）cos260°＋sin260°
（2）解： （1） cos260°＋sin260°＝1（2）＝0(3)tan450.sin450-4sin300.cos450+cos2300 例2：操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为30度，并已知目高为1.65米．然后他很快就算出旗杆的高度了。1.65米10米? 你想知道小明怎样算出的吗？应用生活30°练习：P83-练习应用新知 例3、(1)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= ,BC= 。求∠A的度数。
(2)如图,已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的 倍,求α. (1)(2)例4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB于D ，已知∠B=30度，计算 的值。例5 如图，在△ABC中，∠A=30度，
求AB。解：过点C作CD⊥AB于点D∠A=30度，求下列各式的值：
（1）1－2 sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
（3）练习解：（1）1－2 sin30°cos30°（2）3tan30°－tan45°+2sin60°2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，
求∠A、∠B的度数．BAC解： 由勾股定理∴ A=30°∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60°3.在Rt△ABC中，∠C=90度，tanA+tanB=4, △ABC面积为8，求AB的长。4.在Rt△ABC中，∠C=90度，化简拓展与提高2、已知：α为锐角，且满足 ，求α的度数。3、在Rt△ABC中，∠C=90°，化简
小结30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（带正）
对于cosα，角度越大，函数值越小。课件9张PPT。新人教版九年级数学(下册)第二十八章 §28.1 锐角三角函数（4） 如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？ 我们可以借助计算器求锐角的三角函数值．例如求sin18°．第二步：输入角度值18，屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994（也有的计算器是先输入角度在按函数名称键）点此图打开计算器求 tan30°36'屏幕显示答案：0.591 398 351第一种方法：第二种方法：第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°）屏幕显示答案：0.591 398 351点此图打开计算器 如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．例如，已知sinA=0.501 8；用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：还以以利用 键，进一步得到∠A＝30°07'08.97 "第二步：然后输入函数值0. 501 8屏幕显示答案： 30.119 158 67° （按实际需要进行精确）第一种方法：第二步：输入0. 501 8屏幕显示答案： 30°07'0897 " （这说明锐角A精确到1'的结果为30°7'，精确到1 "的结果为30°7' 9 " ）°＇″2nd F1．用计算器求下列锐角三角函数值；
（1） sin20°= ， cos70°= ；点此图打开计算器（2）tan3°8 ' = ，tan80°25'43″= sin35°= ，cos55°= ；sin15°32 ' = ，cos74°28 ' = 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）练习2. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：（1）sinA=0.627 5，sinB＝0.054 7；
（2）cosA＝0.625 2，cosB＝0.165 9；
（3）tanA＝4.842 5，tanB＝0.881 6.点此图打开计算器计算器可用来：（1）由锐角求三角函数值（2）由三角函数值求锐角小结
