课件22张PPT。新人教版九年级数学(下册)第二十八章 §28.2 解直角三角形（1）复习30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（带正）
对于cosα，角度越大，函数值越小。问题： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？这样的问题怎么解决问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长． 问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m所以 BC≈6×0.97≈5.8由计算器求得 sin75°≈0.97由 得对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数由于利用计算器求得a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面
所成的角大约是66°由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的．在图中的Rt△ABC中，
（1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？能6=75°在图中的Rt△ABC中，
（2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？能62.4事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程．在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：解直角三角形（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°（3）边角之间的关系（1）三边之间的关系 （勾股定理）在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
解这个直角三角形解：例2 如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形（精确到0.1）解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°你还有其他方法求出c吗？例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线 ，解这个直角三角形。6解：因为AD平分∠BAC在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）a = 30 , b = 20 ;练习解：根据勾股定理 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
(2) ∠B＝72°，c = 14.解： 解决有关比萨斜塔倾斜的问题． 设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m所以∠A≈5°28′ 可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角．
你愿意试着计算一下吗？ABC解直角
三角形∠A＋ ∠ B＝90°a2+b2=c2三角函数
关系式计算器 由锐角求三角函数值由三角函数值求锐角解直角三角形：由已知元素求未知元素的过程直角三角形中，例4： 2008年10月15日“神舟”7号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到0.1km） 分析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点． 如图，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点． 的长就是地面上P、Q两点间的距离，为计算 的长需先求出∠POQ（即a）例题 解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．∴ PQ的长为 当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2009.6km1. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）∴∠BED=∠ABD－∠D=90°答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.解：要使A、C、E在同一直线上，则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角 2. 如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？解 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为:
26＋10＝36（米）.
答:大树在折断之前高为36米.3. 如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长为10m,请你求出大树的高.30AB的长D（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°（3）边角之间的关系（1）三边之间的关系 （勾股定理）在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：课件25张PPT。新人教版九年级数学(下册)第二十八章 §28.2 解直角三角形（2）在直角三角形中,除直角外,由已知两元素
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:∠ A＋ ∠ B＝ 90o；(3)边角之间的关系:sinA＝知识回顾(必有一边)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若∠A=30°，BC=3，则AC=（2）若∠B=60°，AC=3，则BC=（3）若∠A=α°，AC=3，则BC=（4）若∠A=α°，BC=m，则AC=仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
介绍:【例1】如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .450米解：由题意得，在Rt△PAO与Rt△PBO中
答：大桥的长AB为 PAB
答案: 米变题1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO .AB400米PBA200米例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .LUD答案: 米P例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .PBA200米CPBA200米C例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .PBA200米C200米POBA答案: 米变题2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离.45°30°45060°45°20020045°30°30°45°450例2:热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高?α=30°β=60°120ABCD巩固练习建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为50°,观察底部B的仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)40(课本93页)1．数形结合思想.方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.解题思想与方法小结：2．方程思想.3．转化（化归）思想.2.如图2，在离铁塔BE 120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE= _________ （根号保留）．1.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD为100m，塔高CD为 m，则下面结论中正确的是（ ）
A．由楼顶望塔顶仰角为60°
B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30°
D．由楼顶望塔基俯角为30°C3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于 （根号保留）．4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°
，则折叠后重叠部分的面积为 （根号保留）． 作业必做题：
书本P96/4、P97/7题．
选做题：
1.一架直升机从某塔顶Ａ测得地面C、D两点的俯角分别为30°、 45°，若C、D与塔底Ｂ共线，CD＝200米，求塔高AB？
2.有一块三形场地ABC，测得其中AB边长为60米，AC边长50米，∠ABC=30°，试求出这个三角形场地的面积．3.学生小王帮在测绘局工作的爸爸买了一些仪器后与同学在环西文化广场休息，看到濠河对岸的电视塔，他想用手中的测角仪和卷尺不过河测出电视塔空中塔楼的高度.现已测出∠ADB=40°，由于不能过河，因此无法知道BD的长度，于是他向前走50米到达C处测得∠ACB=55°，但他们在计算中碰到了困难，请大家一起想想办法，求出电视塔塔楼AB的高.（参考数据： ）答案：空中塔楼AB高约为105米1.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16031`，求飞机A到控制点B的距离.(精确到1米）2. 两座建筑AB及CD，其地面距离AC为50.4米，从AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角β＝250,测得其底部C的俯角a＝500, 求两座建筑物AB及CD的高.（精确到0.1米）课本P92 例4挑战自我
3.国外船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的区域，如图，设A、B是我们的观察站，A和B 之间的距离为157.73海里，海岸线是过A、B的一条直线，一外国船只在P点，在A点测得∠BAP=450，同时在B点测得∠ABP=600，问此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域.挑战自我4、如图，为了测量高速公路的保护石堡坎与地面的倾斜角∠BDC是否符合建筑标准，用一根长为10m的铁管AB斜靠在石堡坎B处，在铁管AB上量得AF长为1.5m，F点离地面的距离为0.9m，又量出石堡坎顶部B到底部D的距离为 m ，这样能计算出∠BDC吗？若能，请计算出∠BDC的度数，若不能，请说明理由。挑战自我利用解直角三角形的知识解决实际问题的
一般过程是:1.将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案. 1.在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念(仰角,俯角)
2.实际问题向数学模型的转化
(解直角三角形)
知识小结视线视线仰角俯角在进行观察或测量时，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；课件14张PPT。新人教版九年级数学(下册)第二十八章 §28.2 解直角三角形（3）利用解直角三角形的知识解决实际问题的
一般过程是:1.将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案.例1. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）65°34°PBCA指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角.
如图：点A在O的北偏东30°
点B在点O的南偏西45°（西南方向）
方位角介绍:例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？解：如图 ，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.91=72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．65°34°PBCA 气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得 ． 台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动．以O为原点建立如图12所示的直角坐标系．
（1）台风中心生成点B的坐标为 ，台风中心转折点C的坐标为 ；（结果保留根号）
（2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为A点）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？解：（1） （2）过点C作 于点D，如图2，则 在 中 台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时．例4.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BADF60°1230°BADF解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°由题意图示可知∠DAF=30°设DF= x , AD=2x则在Rt△ADF中，根据勾股定理在Rt△ABF中，解得x=610.4 > 8没有触礁危险30°60° 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？ 我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1. 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h. 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容． 例5. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
（1）坡角a和β;
（2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90° 在Rt△CDE中，∠CED=90° 1.在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念(方位角;坡度、坡角等)
2.实际问题向数学模型的转化
(解直角三角形)
知识小结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
