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28.1锐角三角函数
【重点难点提示】
重点：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，三角函数间的同角关系与互余关系．
难点：锐角三角函数在0°～90°之间的变化规律的应用．
考点：锐角三角函数的有关知识在初中数学中占有比较重要的地位；近年各地中考试题中，大多以填空或选择题的形式出现，约占考量的2.5％．
【经典范例引路】
例1 （1）计算：+cot30°-tan45°-cos30°;
（2）Rt△ABC中，∠C=90°,a=2,b=2，求cosA.
解：（1）原式=+ cot30°-tan45°-cos30°;
=+-1-=1+-1-=
（2）在Rt△ABC中，∴∠C＝90°，a＝2，b＝2，∴c＝=2
∴cosA===
【解题技巧点拨】[来源:21世纪教育网
（1）主要注意隐含关系式sin2α＋cos2α＝1的运用，来求得sin215°＋sin275°＝sin215°＋cos215°＝1的技巧．
例2 已知cosα＝0.6975，sinβ＝0.7328（α、β均为锐角），求证：α＋β＞90°
证明：∵α、β为锐角 ∴90°-β也为锐角，且cosα＝0.6975，cos（90°-β）＝sinβ=0.7328，根据余弦函数在0°～90°之间的变化规律有：α＞90°-β即α+β＞90°
【解题技巧点拨】
本题必须灵活运用余弦函数在0°～90°之间的变化规律及三角函数间的互余关系解题．
【综合能力训练】
一、填空题
1.计算：sin60°·cot30°+sin245°＝ ．
2．求值：sin60°·cos45°＝ .
3．在△ABC中，如果∠C=90°，∠A＝45°那么tanA＋sinB= ；△ABC为 对称图形（填“轴”或“中心”）
4.α为锐角时，＝ ．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，＋|cosB+1|＝ ．
6.已知：cot(90°-x)=，则= 。
7．若tanα·tan46°＝ 1（α为锐角），则α＝ 。
8.Rt△ABC中，∠C＝90°，且＝,＝．则sinA＝ .
二、选择题：
9.若α是锐角，sinα=cos50°，则α等于（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
10.sin64°与cos26°之间的关系是（ ）
A．sin64°＜cos26° B．sin64°＝cos26°
C．sin64°＞ cos26° D．sin64°＝ -cos26°
11.△ABC中，∠C＝90°，则cosA·cotB的值是（ ）
A. B. C. D.
12.当∠A为锐角，且cotA的值小于时，∠A应（ ）
A．小于30° B．大于3O° C．小于60° D．大于60°
13.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（ ）
A．都扩大两倍 B.都缩小两倍 C．不变 D．都扩大四倍
14.在△ABC的三内角中， A∶B∶C＝3∶2∶7，则sinA∶sinB＝（ ）
A．1∶ B.1∶ C. D. ∶[来源:21世纪教育网
15．已知0°＜α＜45°，则使无意义的α的值是（ ）21世纪教育网
A．3O° B．15° C．不存在 D．非以上答案
16．已知45°＜θ＜90°，且2sinθ-x+3＝0则x的取值范围是（ ）
A.＜x＜1 B．3-＜x＜1
C．3+＜x＜5 D．1＜x＜3＋
三、解答题：
17.设x=()-1+(sin73°)0+tan21°·tan69°，求（-）÷的值．
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18.已知方程4x2＋kx＋2＝0的两根是sinθ，cosθ（ θ为锐角），求k和θ．
19.计算：+|1-tan60°|
20.计算：（）-2+（sin21°13′-tan21°）0-
21.已知sinα+cosα＝m,sinα·cosα＝n，试确定m与n的关系．
【创新思维训练】
22．计算：tan1°·tan2°·tan3°·tan4°……tan88°·tan89°的值．
23．cosx＝α+（α＞ 0）成立吗？若成立，求出α的值．若不成立，请说明理由．
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参考答案
【综合能力训练】
一、1.2 2. 3.1+,轴 4.1-cosα 5.2 6.3+2 7.44° 8.
二、9.C 10.B 11.A 12.B 13.C 14.C 15.B 16.C
三、17.原式==4(+1) 18.,θ=45° 19. 20.-1 21.m2=2n+1
22.1 23.不成立(a+>1而021世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
28.1锐角三角函数（1）
教学目标：
1、 理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的表示法；
2、 能根据锐角三角函数的定义计算一个锐角的各个三角函数的值；
3、 掌握Rt△中的锐角三角函数的表示：
sinA=， cosA=，tanA=
4、掌握锐角三角函数的取值范围；
5、通过经历三角函数概念的形成过程，培养学生从特殊到一般及数形结合的思想方法。
教学重点：
锐角三角函数相关定义的理解及根据定义计算锐角三角函数的值。
教学难点：
锐角三角函数概念的形成。
教学过程：
一、创设情境：
鞋跟多高合适？
美国人体工程学研究人员卡特·克雷加文调查发现，70％以上的女性喜欢穿鞋跟高度为6至7厘米左右的高跟鞋。但专家认为穿6厘米以上的高跟鞋腿肚、背部等处的肌肉非常容易疲劳。
据研究，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11度左右时，人脚的感觉最舒适。假设某成年人脚前掌到脚后跟长为15厘米，不难算出鞋跟在3厘米左右高度为最佳。
问：你知道专家是怎样计算的吗？
显然，高跟鞋的鞋底、鞋跟与地面围城了一个直角三角形，回顾直角三角形的已学知识，引出课题。
二、探索新知：
1、下面我们一起来探索一下。
实践一：作一个30°的∠A，在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点C。
⑴计算，，的值，并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较。
∠A=30°时
学生1结果
学生2结果
学生3结果
学生4结果
⑵将你所取的AB的值和你的同伴比较。
实践二：作一个50°的∠A，在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点C。21世纪教育网
（1）量出AB，AC，BC的长度（精确到1mm）。
（2）计算，，的值（结果保留2个有效数字），并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较。
∠A=50°时 AB AC BC
学生1结果 21世纪教育网
学生2结果
学生3结果
学生4结果
（3）将你所取的AB的值和你的同伴比较。
2、经过实践一和二进行猜测21世纪教育网
猜测一：当∠A不变时，三个比值与B在AM边上的位置有无关系？
猜测二：当∠A的大小改变时，相应的三个比值会改变吗？
3、 理论推理
如图，B、B1是一边上任意两点，作BC⊥AC于点C，B1C1⊥AC1于点C1，
判断比值与，与，与是否相等，并说明理由。
4、归纳总结得到新知：
⑴三个比值与B点在的边AM上的位置无关；
⑵三个比值随的变化而变化，但（00﹤﹤900）确定时，三个比值随之确定；
比值，，都是锐角的函数
比值叫做 的正弦(sine)， sin=
比值叫做的余弦(cosine)，cos=
比值叫做的正切(tangent)，tan=
（3）注意点：sin，cos，tan都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中前面的“∠”一般省略不写。
强化读法，写法；分清各三角函数的自变量和应变量。
三、深化新知
1、三角函数的定义
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.则有
sinA＝
cosA
2、提问：根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦三角函数值的取值范围吗？
（点拨）直角三角形中，斜边大于直角边．
生：独立思考，尝试回答，交流结果．
明确：锐角的三角函数值的范围：0＜sin＜1，0＜cos＜1.
四、巩固新知
例1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=5,BC=3,
（1） 求∠A的正弦、余弦和正切.
（2）求∠B的正弦、余弦和正切.
分析：由勾股定理求出AC的长度，再根据直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系求出各函数值。
提问：观察以上计算结果,你发现了什么
明确：sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1
五、升华新知
例2 .如图:在Rt△ABC,∠B=90°,AC=200,sinA=0.6，求BC的长.
由例2启发学生解决情境创设中的问题。
六、课堂小结：谈谈今天的收获
1、内容总结
（1）在RtΔABC中,设∠C=900，∠α为RtΔABC的一个锐角，则
∠α的正弦 ， ∠α的余弦 ，
∠α的正切
2、方法归纳
在涉及直角三角形边角关系时，常借助三角函数定义来解
四、布置作业
1、 必做题：书本作业题A组和作业本
2、 选做题：书本作业题B组
学生实践报告：
实践一：作一个30°的∠A，在角的边上任意取一点B，
作BC⊥AC于点C。
1、计算，，的值，并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较。[来源:21世纪教育网
∠A=30°时
学生1结果
学生2结果
学生3结果
学生4结果
2、将你所取的AB的值和你的同伴比较。
实践二：作一个50°的∠A，
在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点C。21世纪教育网
1、 量出AB，AC，BC的长度（精确到1mm）。
2、 计算，，的值（结果保留2个有效数字），并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较。
∠A=50°时 AB AC BC
学生1结果
学生2结果
学生3结果
学生4结果
经过实践一和二进行猜测
猜测一：当∠A不变时，三个比值与B在AM边上的位置有无关系？
猜测二：当∠A的大小改变时，相应的三个比值会改变吗？
A
C
B
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