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第28章《圆》单元测试
一、选择题（每题3分，共30分，每小题有且只有一个选项符合题意）
1、三角形的外接圆的圆心是（ ），
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
2、三角形的内切圆的圆心是（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点21世纪教育网
3、若AB是⊙O的直径，∠ACB=900，则点C一定在（ ）
A ⊙O内 B ⊙O外 C ⊙O上 D 不能确定是否在圆上
4、、如图1，图中相等的圆周角有（ ）组
A 1 B 2 C 3 D 4
5、如图2，已知∠BOC=1100，则∠BAC=（ ）
A 1100 B 550 C 350 D 700
6、一个点到圆的最小距离为3cm,最大距离为8cm，则该圆的半径是（ ）
A．5cm或11cm B．2.5cm C． 5.5cm D．2.5cm或5.5cm
7、已知圆⊙O1和⊙O2的半径的6cm和8cm，当O1O2=2cm时, ⊙O1和⊙O2的位置关系为[来源:21世纪教育网]
A．外切 B．相交 C． 内切 D．内含
8、圆的最大弦为12cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为,那么（ ）
A. 0cm≦ B. C. D.
9、圆锥的底面半径为5cm，圆锥母线长为13cm，则圆锥的侧面积为（ ）cm2
A 120 B 60 C 130 D 65
10、如图3，在⊙O中，已知∠AOB=1000，C是圆周上的一点，则∠ACB为（ ）
A 1300 B 1000 C 800 D 500
二、填空题（每空2分，共30分）
11、如图4，若∠A=600，则∠BOD= ，∠BCD= ；
12、如图5，已知圆心角∠AOB=1000，则圆周角∠ACB= ；
图5 图6 图7
13、如图6，⊙O的半径为5cm，OP=4cm，则CP= cm，CD= cm，
AB= cm。
14、如图7， PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，PA=6，在劣弧上任取一点C，过C作⊙O的切线，分别交PA，PB于D，E，则△PDE的周长是
15、三角形的面积为4，周长为10，则这个三角形的内切圆半径为
16、扇形的圆心角是80°，半径R=5，则扇形的面积为 。
17、直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为 。
18、两圆的半径分别为11cm和14cm，当两个圆相切时，圆心距为
19、如图8，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，∠P=80°，则∠C=
20、如图9，已知AB是的直径，BD=CB,∠CAB=30°,请根据已知条件和所给图形，写出三个正确的结论：(除AO=OB=BD外)
①、 ；②、 ；③、
三、解答题：（共40分）
21、已知三角形ABC，求作△ABC的内切圆。（保留作图痕迹，不用写做法）（6分）[来源:21世纪教育网
22、已知两圆半径长是方程的两个根，若圆心距是9，试说明两圆的位置关系是什么？（8分）21世纪教育网
23、圆锥形的烟囱帽的底面直径是40cm，母线长是25cm，计算这个圆锥得展开图扇形的圆心角及面积。（8分）
24、如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB,点C在圆上，∠CAB=30
求证：DC是⊙O的切线.
25、如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF=BE．
求证：∠D = ∠B.（6分）
26、如图，△ABC内接于⊙O，D是弧AC的中点，求证：CD2=DE·DB。（6分）
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四、附加题（20分）
已知：如图，点I是△ABC的内心，AI交边BC于点D，交△ABC外接圆于点E。
求证：（1）IE=BE （2）
图1
图2
图3
图4
E
D
O
A
B
C
P
图9
图8
P
C
B
A
O
I
E
D
C
B
A
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点的轨迹
三种位置关系
垂径定理
圆心角定理
圆周角定理
弦切角定理
圆的内接四边形定理
切线的性质与判定定理
切线长定理
相交弦定理
两圆公共弦定理
圆的公切线
圆内正多边形
弧长、扇形面积公式
侧面展开图
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；
2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；
3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线
集合：
轨迹：
点与圆
直线与圆
圆与圆
点在圆内 d点在圆上 d=r 点B在圆上
点在此圆外 d>r 点A在圆外
直线与圆相离 d>r 无交点
直线与圆相切 d=r 有一个交点
直线与圆相交 d外离（图1） 无交点 d>R+r
外切（图2） 有一个交点 d=R+r
相交（图3） 有两个交点 R-r内切（图4） 有一个交点 d=R-r
内含（图5） 无交点 d垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出 其它3个结论，即：
①AB是直径 ②AB⊥CD ③CE=DE ④ ⑤
①② ③④⑤或①③ ②④⑤或……
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O中，∵AB∥CD
∴
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论
也即：①∠AOB=∠DOE ②AB=DE ③OC=OF ④
① ②③④或② ①③④……
圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半
即：∵∠AOB和∠ACB是 所对的圆心角和圆周角
∴∠AOB=2∠ACB
圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧
即：在⊙O中，∵∠C、∠D都是所对的圆周角
∴∠C=∠D
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径
即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵∠C=90°
∴∠C=90° ∴AB是直径
推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
即：在△ABC中，∵OC=OA=OB
∴△ABC是直角三角形或∠C=90°
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
弦切角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
即：∵MN是切线，AB是弦
∴∠BAM=∠BCA
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O中，
∵四边形ABCD是内接四边形
∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180°
∠DAE=∠C
（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵MN⊥OA且MN过半径OA外端
∴MN是⊙O的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：过圆心 过切点 垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件
∵MN是切线
∴MN⊥OA
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA、PB是的两条切线
∴PA=PB
PO平分∠BPA
圆内相交弦定理及其推论：
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等
即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P
∴PA·PB=PC·PA
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙O中，∵直径AB⊥CD
∴
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线
∴
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）
即：在⊙O中，∵PB、PE是割线
∴
圆公共弦定理：连心线垂直平分公共弦
即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点
∴O1O2垂直平分AB
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：在Rt△O1O2C中，
（2）外公切线长：CO2是半径之差；
内公切线长：CO2是半径之和
（1）正三角形
在⊙O中 △ABC是正三角形，有关计算在Rt△BOD中进行，OD:BD:OB=
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt△OAE中进行，OE :AE:OA=
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt△OAB中进行，AB:OB:OA=
（1）弧长公式：
（2）扇形面积公式：
（1）圆柱侧面展开图
=
（2）圆锥侧面展开图
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第二十八章 圆（小结与复习）
【学习目标】
1、了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．
2、探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．
3、进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算．
4、熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．
【学习过程】
1、 自主学习：
1、在同圆或等圆中的弧、弦、圆心角、有什么关系？一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？
2、垂径定理的内容是什么？推论是什么？
3、点与圆有怎样的位置关系？直线和圆呢？圆和圆呢？怎样判断这些位置关系？请你举出这些位置关系的实例？21世纪教育网
4、圆的切线有什么性质？如何判断一条直线是圆的切线？
21世纪教育网
5、正多边形和圆有什么关系？你能用正多边形和等分圆周设计一些图案吗？
6、举例说明如何计算弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积？
2、 典型例题：
例1：如图，P是⊙O外一点，PAB、PCD分别与⊙O相交于A、B、C、D.
(1)PO平分∠BPD；(2)AB=CD；(3)OE⊥CD，OF⊥AB；(4)OE=OF.
从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明，与同伴交流.
例2：如图，AB是⊙O的弦，交AB于点C，过点B的直线交OC的延长线于点E，当时，直线BE与⊙O有怎样的位置关系？并证明你的结论．
例3：（1）如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连结AC、BC，则圆中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．2 D．4
（2）如图,在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=1,BC=2．以边BC所在直线为轴，把△ABC旋转一周,得到的几何体的侧面积是
A． B．2 C． D．2 21世纪教育网
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3、 总结反思：
【达标检测】
1、下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等[
A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
2、右图是一个“众志成城，奉献爱心”的图标，图标中两圆的位置关系是
A．外离 B．相交 21世纪教育网
C．外切 D．内切
3、（中考题）如图，小红同学要用纸板制作一个高4cm，底面周长是6πcm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是
（A）12πcm2 （B）15πcm2 （C）18πcm2 （D）24πcm2
4、如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM=______cm时，⊙M与OA相切．
5、如图，AB是⊙O的弦，半径OA=20cm,∠AOB=1200,则△AOB的面积是 。
6、如图，⊙A、⊙B、⊙C、两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中三个扇形(即阴影部分的面积)之和为 。
（第4题图） （第5题图） （第6题图）
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