反函数

2.4反函数
教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数
教学重点：反函数的定义和求法
教学难点：反函数的定义和求法
教学过程：
一、复习引入：
在函数中，x是自变量，y是x的函数，定义域xR，值域yR. 我们从函数中解出x，就可以得到式子. 这样，对于y在R中任何一个值，通过式子，x在R中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y为自变量，x为y的函数，定义域是yR，值域是xR.
综合上述，我们由函数得出了函数，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：①它们的对应法则是互逆的；②它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数.
二、讲解新课：
反函数的定义
一般地，设函数的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) (yC)叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成
开始的两个例子：s=vt记为，则它的反函数就可以写为，同样记为，则它的反函数为：.
探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？
反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数来说，不一定有反函数，如,只有“一一映射”确定的函数才有反函数，,有反函数是
探讨2：互为反函数定义域、值域的关系
从映射的定义可知，函数是定义域A到值域C的映射，而它的反函数是集合C到集合A的映射，因此，函数的定义域正好是它的反函数的值域；函数的值域正好是它的反函数的定义域（如下表）：
函数 反函数
定义域 A C
值 域 C A
探讨3：的反函数是？
若函数有反函数，那么函数的反函数就是，这就是说，函数与互为反函数1．探究互为反函数的函数的图像关系
观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数的图象和它的反函数的图象关于直线对称.图象上任意一点关于直线y=x的对称点都在它的反函数的图象上，由与互为反函数可知，函数图象上任意一点关于直线y=x的对称点也都在它的反函数的图象上，
∴函数与的图象关于直线y=x对称.
逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x对称，则这两个函数一定是互为反函数.
3．应用：⑴利用对称性作反函数的图像
若的图象已作出或比较好作，那么它的反函数的图象可以由的图象关于直线y=x对称而得到；
⑵求反函数的定义域求原函数的值域；
⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同
三、讲解例题：
例1．求下列函数的反函数：
①； ②；
③； ④.
小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明
⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到
⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射
例2．求函数（）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像
例3求函数
（1例4 已知= -2x(x≥2),求.
例5．求函数的反函数,并利用对称关系作出其反函数的图象.
例6．求函数的值域．
例7 已知=(x<-1)，求；
四、课堂练习与作业
1，函数，求它的反函数
（1） （x∈R） （2） (x∈R，且x≠0)
（3） （x≥0） （4） (x∈R，且x≠)
2，下列函数的反函数：
⑴；⑵y=-6x+12(x≤3);⑶y=(x≤-2).
3，已知函数y=ax+2的反函数是y=3x+b，求a,b的值.
4，函数y=(x≥0，x≠1)的反函数.
5，函数y==，求它的反函数.
6，知函数的反函数是(x∈R,x≠2)，求a,b,c的值.
7，若，试求反函数．
8，函数y=的反函数.
9，已知函数=1+有反函数，且点(a,b)在函数的图象上，又在其反函数的图象上，求a,b的值.