高中数学人教新课标必修1：第二章 基本初等函数（ⅰ） 幂函数

课件57张PPT。2．3　幂 函 数1．一般地形如 的函数叫做幂函数．y＝xα(α为常数)函数的图象与性质列表如下：观察总结可知幂函数y＝xα(α为常数)的性质：
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)；
(2)如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上为增函数；
(3)如果α<0，则幂函数在(0，＋∞)上为减函数，在第一象限内，向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．
(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数，图象都过(－1，－1)点，当α为偶数时，幂函数为偶函数、图象都过(－1，1)点．本节重点：幂函数的概念、图象与性质．
本节难点：幂函数y＝xα的图象随α取值不同的分布与变化规律．
[例1]　幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m、n、p、q的大小关系用“<”连接起来结果是________．[解析]　过原点的指数α>0，不过原点的α<0，
∴n<0，
当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，
∴p>1,0x>1时，指数越大，图象越高，∴m>q，
综上所述n[点评]　x>1时，逆时针方向α依次增大，故n函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则实数a、b、c的大小关系为 (　　)
A．cC．b[答案]　A
总结评述：1.注意利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤．
第一步，据指数分清正负；
第二步，正数区分大于1与小于1的，a>1，α>0时，aα>1；00时01，α<0时01；
第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形．2．给定一组数值，比较大小的步骤．
第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行．
第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1.
第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性．第四步：对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底(化同指)、或放缩、有时作商(或作差)、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等．
[解析]　(1)考察幂函数y＝x1.5，在区间[0，＋∞)上是单调增函数，
∵a＋1>a，∴(a＋1)1.5>a1.5.
[例3]　某农药厂今年生产农药8 000吨，计划5年后把产量提高到14 000吨，问平均每年需增长百分之几？
[解析]　设平均每年增长的百分率为x，则由题意得，8 000(1＋x)5＝14 000，答：平均每年需增长11.9%.
[例4]　幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3当x∈(0，＋∞)时为减函数，求实数m的值．
[解析]　∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1，
即(m－2)(m＋1)＝0，
∴m＝2，或m＝－1.
当m＝－1时，m2－2m－3＝0不满足题意，舍去．
当m＝2时，m2－2m－3＝－3满足题设条件，
∴m＝2.
已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数．
(1)求函数f(x)；
(2)比较f(－2)与f(1)的大小．
[解析]　(1)由题意m2－2m－3<0，
∴－1∵m∈Z，∴m＝0,1,2，
∵f(x)为偶函数，∴m2－2m－3为偶数，
∴m＝1，∴f(x)＝x－4.(2)∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴f(1)>f(2)＝f(－2)．
[例5]　判断幂函数y＝x3的单调性和奇偶性．
[分析]　函数单调性的判断：取值——作差——判断符号——下结论，函数奇偶性的判断：定义域——f(－x)与－f(x)、f(x)的关系——下结论．
[解析]　∵f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，
∴y＝x3是奇函数．
解法一：∵α＝3>0，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
又∵f(x)为奇函数，∴f(x)在R上为增函数．
解法二：在(－∞，＋∞)上任取x1，x2，设x2>x1，
[辨析]　错解忽视了3x－1>0,2＋x>0的限制条件．一、选择题
1．下列函数中是幂函数的是 (　　)
[答案]　C2．下列结论中，正确的是 (　　)
A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
[答案]　C3．下列幂函数的值域错误的是 (　　)
[答案]　D
[答案]　B[答案]　A
[答案]　A二、解答题
7．比较下列各组中三个值的大小，并说明理由：