高中数学人教新课标必修1：第二章 基本初等函数（ⅰ） 幂函数章末归纳总结

课件36张PPT。章末归纳总结
一、熟练掌握指数幂的定义、运算法则、公式和对数的定义、运算法则、公式是指对函数及其一切运算赖以施行的基础
1．指数幂的定义与运算[答案]　D[例2]　方程2x－x2＝2x＋1的解的个数为______．
[解析]　原方程即2x＝x2＋2x＋1，在同一坐标系中画出y＝2x，y＝x2＋2x＋1的图象，由图象可知有3个交点.[例3]　0.32，log20.3,20.3这三数之间的大小顺序是(　　)
A．0.32<20.3B．0.32C．log20.3<0.32<20.3
D．log20.3<20.3<0.32
[分析]　可分别画出y＝2x，y＝log2x与y＝x2的图象用图象来解决，也可以由幂、指、对函数值的分布规律解决．
[解析]　如图，
在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝x2及y＝log2x的图象．
观察图象知当x＝0.3时，log20.3<0.32<20.3.选C.[例4]　方程log3x＋x＝3的解所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3，＋∞)
[解析]　直接解方程是无法实现的，而借助于数形结合思想作出图象，则问题易于解决．
设y1＝log3x，y2＝－x＋3，在同一坐标系中画出它们的图象(如下图)观察可排除A，D.其交点P的横坐标应在(1,3)内．
又x＝2时，y1＝log32<1，
而y2＝－x＋3＝1，且知y1是增函数，y2是减函数，所以交点P的横坐标应在(2,3)内，∴选C.[例5]　设x∈(0,1)时，函数y＝xp的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________．
[解析]　(1)当p>0时，根据题意p<1，∴0(2)当p＝0时，函数为y＝1(x≠0)，符合题意．
(3)当p<0时，在(0，＋∞)上过(1,1)点，函数为减函数，符合题意．
综上所述，p的取值范围是(－∞，1)．[例6]　函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一直角坐标系下的大致图象是
(　　)
[答案] C
[解析]　f(x)的图象过点(1,1)，g(x)的图象过点(0,2)，只有C符合，故选C.[例2]　比较a2x2＋1与ax2＋2(a>0，a≠1)的大小．
[解析]　(1)当a>1时，
①若2x2＋1>x2＋2，即x>1或x<－1，则a2x2＋1>ax2＋2；
②若2x2＋1＝x2＋2，即x＝±1，则a2x2＋1＝ax2＋2；
③若2x2＋1①若2x2＋1>x2＋2，即x>1或x<－1，则a2x2＋1②若2x2＋1＝x2＋2，即x＝±1，则a2x2＋1＝ax2＋2；
③若2x2＋1ax2＋2.
[例3]　(2010·广东理，3)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则
(　　)
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
[答案]　B
[解析]　∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，∴f(x)为偶函数，而g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．
[答案]　D
[解析]　∵2x>0，∴2x－1>－1
又2x－1≠0，∴2x－1∈(－1,0)∪(0，＋∞)，
∴y∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故选D.[例5]　设函数f(x)＝|log3x|，若f(a)>f(2)，求a的取值范围．三、注重数学思想方法的掌握
1．函数与方程的思想．
[例1]　已知关于x的方程2a2x－2－7ax－1＋3＝0有一个根是2，求a的值和方程其余的根．[分析]　本题给出的的方程有两个变量x、a，要使之有确定的值必须附加一个条件，题中的条件“有一个根为2”正是依据这种需要给出的．因此将x＝2代入方程消去x，得到一个关于a的一元二次方程，是解题的基本途径；此外，对于解指数方程，如果习惯于用换元法，令ax－1＝y，同样可得到一个关于y的一元二次方程，但须注意，由于表达y的代数式有两个变量，仍需运用条件“x＝2”才能确定a的值．同时，因为本题的一元二次方程有两个不同的实数根，故必须由a或y的不同值分别求出x的另一个值．
2．分类讨论的思想
[例2]　设x＝loga(a3＋1)，y＝loga(a2＋1)，a>0，且a≠1，则x，y的大小关系是
(　　)
A．x>y B．xC．x＝y D．与a有关
[解析]　∵(a3＋1)－(a2＋1)＝a2(a－1)，
∴a>1时，a3＋1>a2＋1，从而x>y；
0y，综上可知x>y，
故选A.[点评]　对数函数y＝logax的单调性是按a>1与0分类定义的．[例4]　函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，求a的值．3．转化与化归的思想
[例5]　关于x的方程4x－2x＋a＝0有解，求a的取值范围．
[分析]　设t＝2x，则问题可变为讨论一元二次方程t2－t＋a＝0在区间(0，＋∞)上有解的问题，讨论较为繁琐，可以把问题转换成a＝－t2＋t在(0，＋∞)上有解，进一步把问题转换成求函数y＝－t2＋t在(0，＋∞)上的值域．