高中数学人教新课标必修1：第三章 函数的应用 方程的根与函数的零点

课件51张PPT。3．1　函数与方程
3．1.1　方程的根与函数的零点
1．函数y＝x2－1与x轴交点坐标为 ．
方程x2－1＝0的实数根为 .
函数y＝x2与x轴交点坐标为 ．
方程x2＝0的实数根为 .
函数y＝x2＋1与x轴交点 ．
方程x2＋1＝0的实数根 ．(1,0)，(－1,0)x＝±1(0,0)x＝0无无
2．一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根及其相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的关系如下表，请填写
3.对于函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
方程f(x)＝0有实数根
?函数y＝f(x)的图象与 有交点
?函数y＝f(x)有 点．
4．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续曲线，且有 ，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝ .f(x)＝0x轴零f(a)f(b)<00本节重点难点：通过方程与函数的关系，确定方程根的存在性和根的个数．1．一般结论
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c就是方程f(x)＝0的根．零点c通常称作函数f(x)的变号零点．
注意：f(x)的图象必须在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0时，才可确定f(x)在[a，b]上有零点．2．函数变号零点的性质．
对于任意函数y＝f(x)，只要它的图象是连续不间断的，则有：
①当它通过变号零点时，函数值变号．如函数f(x)＝x2－2x－3的图象在零点－1的左边时，函数值取正号，当它通过零点－1时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变正．
②在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号．3．方程的根与函数的零点的作用
一方面，函数是否有零点是研究函数性质和精确地画出函数图象的重要一步．例如，求出二次函数的零点及其图象的顶点坐标，就能确定二次函数的一些主要性质，并能粗略地画出函数的简图．
另一方面，对于不能用公式法求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点或所在范围，从而求出方程的根或根的近似值．
[例1]　1.指出下列函数的零点：
①f(x)＝4x－3　　　②f(x)＝x2－3x＋2
③f(x)＝x4－1
2．函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是2和－4，求a、b.
3．函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的取值范围．
(1)指出下列函数的零点：
①f(x)＝x2－2x－3零点为________．
②g(x)＝lgx＋2零点为________．
(2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝________.
[例2]　二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是 (　　)
A．1个　　　　　　　 B．2个
C．0个 D．无法确定
[分析]　分析条件a·c<0，a是二次项系数，确定抛物线的开口方向，c＝f(0)，所以a·c＝a·f(0)<0，由此得解．
总结评述：判断二次函数f(x)的零点个数，就是判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实根个数，一般地由判别式Δ>0、Δ＝0、Δ<0完成．对于二次函数在某个定义区间上的零点个数以及不能用“Δ”判断的二次函数零点，则要结合二次函数的图象进行．
(1)对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内 (　　)
A．一定有零点 B．一定没有零点
C．可能有两个零点 D．至多有一个零点
(2)若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上为减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有
(　　)
A．一个 B．两个
C．至少两个 D．无法判断[答案]　(1)C　(2)B
[分析]　从已知的区间(a，b)，求f(a)和f(b)判断是否有f(a)·f(b)<0.
总结评述：这是最基本的题型，所用的方法也是基本方法：只要判断区间[a，b]的端点函数值的乘积是否有f(a)·f(b)<0.
若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根0，则f(－1)·f(1)的值
(　　)
A．大于0 B．小于0
C．无法判断 D．等于零[答案]　C
[解析]　当有变号零点时f(－1)·f(1)<0，
当有不变号零点时，f(－1)·f(1)>0，故选C.
[例4]　求函数f(x)＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)的零点，并指出使y<0成立的x的取值范围．
[解析]　∵y＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)＝(x＋2)(x－1)(x＋2)(x－4)＝(x＋2)2(x－1)(x－4)
∴函数的零点为－2,1和4
画出示意图：可知使y<0成立的x的取值范围是区间(1,4)
在求使y<0(或y>0)的x的取值范围时，常根据零点的性质画出示意图，在数轴上标出零点，画曲线时，奇过(乘方次数为奇数，即变号零点)偶不过(乘方次数为偶数，即不变号零点)直接据图示写出x的取值范围．这种方法通常称作“标根法”(或“穿根法”)
[例5]　已知函数f(x)在其定义域上是单调函数，证明f(x)至多有一个零点．
[分析]　不妨设f(x)在R上是增函数，为证明f(x)＝0至多有一个实根，考虑用反证法证明．[证明]　假设f(x)＝0至少有两个不同的实根x1，x2，且不妨设x1∴f(x1)＝f(x2)①
∵f(x)在其定义域上是单调函数，不妨设为增函数，由x1f(x1)因此①、②相矛盾．假设不成立，故f(x)＝0至多有一个零点．
总结评述：这是一个很明显的结论，但证明起来却难以下手，要很好地体会证明方法．请应用这个结论解决下面问题．
已知函数f(x)＝x3－3x＋2
(1)证明函数y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数
(2)证明方程f(x)＝0没有大于1的根(2)∵f(1)＝13－3×1＋2＝0，
且当x∈(1，＋∞)时，
f(x)为增函数，
∴当x>1时，f(x)>0，
从而不存在x>1，使f(x)＝0，
∴方程f(x)＝0没有大于1的实数根．[错解]　∵f(1)＝2>0，f(－1)＝－2<0，
∴f(x)至少有一个零点，故选C.
[辨析]　解决函数问题必须注意函数的定义域，本题中，函数f(x)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f(x)的图象不是连续不断的．在定义域上不能用勘根定理．因为此定理的前提条件是函数图象连续不断．
[正解]　易知函数定义域为{x∈R|x≠0}，当x<0时，f(x)<0，当x>0时，f(x)>0，∴函数无零点，故选A.一、选择题
1．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0则方程f(x)＝0在区间[a，b]上 (　　)
A．至少有一实根　　　　 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有惟一的实根
[答案]　D2．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是
(　　)
A．a<－1 B．a>1
C．－1[答案]　B
[解析]　a＝0时，显然不满足，令f(x)＝2ax2－x－1，
∵f(x)＝0在(0,1)内恰有一解．∴f(0)·f(1)<0，
即－1·(2a－2)<0.∴a>1.∴选B.3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：
函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 (　　)
A．2个　　　B．3个　　　C．4个　　　D．5个
[答案]　B4．(2010·天津理，2)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是
(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
[答案]　B二、填空题
5．已知函数f(x)在定义域R上的图象如图所示，则函数f(x)在区间R上有________个零点．
[答案]　36．(上海大学附中2009～2010高一期末)函数y＝10x与函数y＝x＋2的图象交点个数为________．
[答案]　2