高中数学人教新课标必修1：第三章 数学模型的建立

课件28张PPT。章末归纳总结
一、深刻领会函数与方程的关系，才能有效的解决函数与方程的问题，而函数的零点与方程的根的关系，二分法求方程的近似解是基础．
1．方程的根与函数的零点：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
2．零点判断法：
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．3．二分法的定义：
对于在区间[a，b]上连续不断、且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．4．用二分法求零点的近似值的步骤：
第1步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
第2步：求区间(a，b)的中点x1；
第3步：计算f(x1)．
(1)若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；
(3)若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．
第4步：判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第2步至第4步．[例1]　若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是 (　　)
A．a<－1　　　　　 B．a>1
C．－1[解析]　令f(x)＝2ax2－x－1，方程在(0,1)内恰 有一个解，即函数f(x)在(0,1)内恰有一个零点，
∵f(0)＝－1＜0，故必有f(1)＝2a－2＞0，∴a＞1.故选B.
[例2]　函数f(x)＝x3－3x2－4x＋12的零点个数为(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3
[解析]　f(x)＝x2(x－3)－4(x－3)＝(x－3)(x－2)(x＋2)
∴f(x)＝0有三个零点3，－2,2.故选D.[例4]　方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围为________ .
[答案]　(－5，－4][例5]　用二分法求方程x＝3－lgx在区间(2,3)内的近似解，要求精确到0.1，则至少要计算________次．二、熟练掌握各种常见函数模型的图象与性质，明确其增长率的变化特征，才能在解决实际问题时，恰当地选取函数模型，使所学函数知识服务于生活、生产、科研．
1．增长率与函数图象．
[例1]　某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4%，若经过x年可以增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致是
(　　)[解析]　设某林区的森林蓄积量原有1个单位，则经过1年的森林蓄积量为1＋10.4%；
经过2年的森林蓄积量为(1＋10.4%)2；
…
经过x年的森林蓄积量为(1＋10.4%)x
(x≥0)，即y＝(110.4%)x(x≥0)；
∵底数110.4%大于1，根据指数函数的图象，故应选D.[例2]　向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是
(　　)
总结评述：本题考查函数的对应关系．要求由水瓶的形状识别函数原型，是典型的数形结合问题，“只想不算”有利于克服死记硬背，更突出了对思维能力的考查．2．函数模型的选取
[例3]　今有一组实验数据如下：[解析]　从表中数据观察到，v是t的增函数，故B不正确．
又把t的值看作均匀增长的，如3.0－1.99≈1,4.0－3.0≈1,5.1－4.0≈1，而函数值的变化越来越大，如4.04－1.5≈2.5,7.5－4.04≈3.5,12－7.5≈4.5.
∴函数图象应是向下凹的曲线，故选C.3．应用问题
[例4]　西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对生产的羊皮手套进行促销．在一年内，据测算销售量S(万双)与广告费x(万元)之间的函数关系为S＝3－ (x>0)，已知生产羊皮手套的年固定投入为3万元，每生产1万双手套仍需再投入16万元．年销售收入＝年生产成本的150%＋年广告费的50%.(1)试将羊皮手套的年利润L(万元)表示为年广告费x(万元)的函数．
(2)当年广告费投入多少万元时，此公司的年利润最大，最大利润为多少？(年利润＝年销售收入－年生产成本－年广告费．)[例5]　甲、乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数f(x)，g(x)及任意x≥0，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司有失败的风险，否则无风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司有失败的风险，否则无风险．