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6.3 二次函数与一元二次方程
（第一课时）
教学目标:
1.体会二次函数与方程之间的联系；
2.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，以及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；[来源:21世纪教育网
3.理解一元二次方程的根与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象的关系
教学重点:
理解和掌握二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与一元二次方程的根的关系．
教学难点:
理解和掌握二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与一元二次方程的根的关系．[来源:21世纪教育网
教学方法:讨论探索法.
教学手段:多媒体
教学过程：
一、情境创设------函数与方程的微妙关系
二次函数的一般形式是什么？与什么有点像？
二、温故知新------体会数与形的神奇之处
写出二次函数的顶点坐标、对称轴，并画出它的图象.
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三、合作探究------感受新旧知识的碰撞
探究一：(1)观察图象，x为何值时，y=0？
(2)此时函数图象与x轴的交点与一元二次方程根的关系？
一般地,如果二次函数的图象与x轴有两个公共点( ,0)、( ,0 )，那么一元二次方程有两个不相等的实数根 、,反之亦成立.[来源:21世纪教育网
巩固练习----相信自己，享受学习成果
探究二：(1)观察二次函数的图象(图1)和二次函数的图象(图2),分别说出一元二次方程和的根的情况.
图1 图2
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根
有两个交点 有两个不相等的实数根
有一个交点 有两个相等的实数根 21世纪教育网
没有交点 没有实数根
巩固练习----相信自己，享受学习成果
四、回顾总结 -----------函数与方程关系的神奇美
五、布置作业------------------巩固知识培养能力
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6.3二次函数与一元二次方程（教案）
一、教学目标
1. 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的关系.
2. 理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时函数有两个交点、一个交点和没有没有交点.
3. 理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.
二、教学重点和难点
重点：探索二次函数图象与x轴的交点及一元二次方程的根的情况.
难点：利用图象法探究交点个数的判别方法.
三、教学方法
自主探究、合作交流
四、教学设计
1. 旧知回顾：（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（ ， ）
一元一次方程x＋2＝0的根为________
（2） 一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为（ ， ）
一元一次方程－3x＋6＝0的根为________
通过观察对比，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？
结论：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根
2. 新课引入：课题6.3二次函数与一元二次方程
2.1问题导出：二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有什么关系？
动手操作：请每位同学在方格纸中画出二次函数y＝x2－2x－3的图象
观察思考：你的图象与x轴的交点坐标是什么？
解一元二次方程： x2－2x－3＝0
你发现了什么？
发现的结论：（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根
（2）二次函数的问题可以转化为一元二次方程去解决
反馈练习1：求下列二次函数与x轴的交点坐标
（1） y＝x2＋4x－5；（2）y＝－x2＋6x－9；（3）y＝2x2＋3x＋5
通过计算发现问题：不是所有的二次函数与x轴都有两个交点！有的函数只有一个交点，有的没有交点（借助图象的平移说明这个事实）
2.2设想：二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的解的个数有关系
我们在学习一元二次方程时是用什么来判断解的个数的？
回顾判别式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
b2－4ac＞0 方程有两个不相等的实数根
b2－4ac＝0 方程有两个相等的实数根
b2－4ac＜0 方程没有实数根
那么，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，判别式又能给我们什么样的结论？学生归纳：
b2－4ac＞0 函数与x轴有两个交点
b2－4ac＝0 函数与x轴有一个交点
b2－4ac＜0 函数与x轴没有交点
反馈练习2：判断下列二次函数图象与x轴的交点情况21世纪教育网
（1） y＝x2－1；（2）y＝－2x2＋3x－9；（3）y＝x2－4x＋4；
（4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0）
2.3联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判别式解决，那么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么解决呢？
例如，二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝x＋2有交点吗？有几个？
分析：两个函数的交点是这两个函数的公共解，列出方程组，消去y后再利用判别式判断即可.
反馈练习3：二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝x＋b有唯一公共点（即相切），求出b的值.
3. 交流总结
4. 作业
6.3二次函数与一元二次方程（学案）
一、回顾练习
（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（ ， ）
一元一次方程x＋2＝0的根为________
（2） 一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为（ ， ）
一元一次方程－3x＋6＝0的根为________
二、请每位同学在方格纸中画出二次函数y＝x2－2x－3的图象
∵y＝x2－2x－3＝（ ）2_______
∴图象的顶点为( )
列表
x －2 －1 0 1 2 3 4 ……
y ……
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三、反馈练习1：求下列二次函数与x轴的交点坐标
（1）y＝x2＋4x－5；（2）y＝－x2＋6x－9；（3）y＝2x2＋3x＋5
反馈练习2：判断下列二次函数图象与x轴的交点情况
（1） y＝x2－1；（2）y＝－2x2＋3x－9；（3）y＝x2－4x＋4；
（4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0）
反馈练习3：二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝x＋b有唯一公共点（即相切），求出b的值.
x
y
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