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7.5 解直角三角形
学习目标：
了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形.
学习重点：
直角三角形的解法．
学习难点：[来源:21世纪教育网
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
学习过程：
一、课前热身
星期天，小华去图书超市购书，因他所买书类在二楼，故他乘电梯
上楼，已知电梯倾斜角∠A=30°，则∠ B= °.
若电梯AC=8,BC=6,则AB= ；若电梯AC=8,BC=6, AB=10，则：
sinA= ，cosA= ，tanA= .
二、情境创设
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足
50°≤ α ≤75°.现有一个长6m的梯子.问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的平房 (精确到0.1m)
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(2)当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°) 这时人能否安全使用这个梯子
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三、探究活动
在Rt△ABC中,
(1)根据∠A= 75°,斜边AB=6,你能求出这个三角形的其他元素吗
(2)根据AC=2.4m,斜边AB=6,你能求出这个三角形的其他元素吗
(3)根据∠A=60°,∠B=30°,你能求出这个三角形的其他元素吗
结论:在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道 个元素(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素.
思考:在Rt△ABC中，∠C为直角，其余5个元素之间有以下关系:
（1）三边之间的关系：
（2）锐角之间的关系：
（3）边角之间的关系：
四、例题学习
1、在Rt △ ABC中，∠C=90°，∠ A=30 °，a=5，求b、c的大小.
2、在Rt△ABC中,∠C=90°,a=5,b=5.
求: (1)c的大小. (2)∠A、∠B的大小.
定义：由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
3、在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A-∠B=30°，a-b=2，解这个直角三角形.
4、如图, ⊙O的半径为10,求⊙O的内接正三角形ABC的边长.
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五、课内练习
1．在下列直角三角形中不能求解的是 （ ）
A、已知一直角边一锐角 ；B、已知一斜边一锐角；C、已知两边；D、已知两角
2.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，b=2,c=4.
求:(1)a (2) ∠B、∠A的度数
3. 如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处
折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
六、小结反思
1、在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．
2、在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道其中某两个元素的关系(必须有边)，也可以求出其余元素．
3、在含有特殊角的三角形中，知道其中一条边，就可以求出其它元素.
课外练习：
1、在Rt△ABC中，∠C=90°,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列结论中，能成立的是 （ ）
A.c=a·sinA B.b=c·cosA C.b=a·tanA D.a=c·cosA
2、如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′等于 （ ）
A．1 B． C． D．
3、某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要 （ ）．
A．450a元 B.225a元
C.150a元 D.300a元
4、在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC = ,解这个直角三角形.
5、在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,b=20,解这个直角三角形.
6、在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,c=20,解这个直角三角形.
7、在RtΔABC中，CD是斜边上的高.若AC=8，cosA=，求ΔABC的面积.
8、在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b分别为∠A、∠B的对边，sinA=,a=2，求b与 cosA 的值.
9、已知：如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若∠B＝30°，CD＝6，求AB的长．
10、如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，BE与ED的长度之比为1:3，求tan∠ADB的值.
11、如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长为10m,请你求出大树的高.
第一学期九年级数学作业纸[来源:21世纪教育网
内容：7.5 解直角三角形
1、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm，那么底角的余弦等于 （ ）．
A． B. C. D.
2、在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=，且,
AB = 4, 则AD的长为 （ ）．
A.3 B. C. D.
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，b=，则a= ，c= .
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边AC是直角边BC的2倍，则sinA的值是
5、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，sinA=，则BC的长为 cm.
6、已知在直角梯形ABCD中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=，则底角∠B= °.
7、在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=，则AB= .
8、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°, ∠A=150°,AB=5,CD=15.求AD、BC长.
9、赞化学校有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测到∠A=30°，AC=40米，BC=25米，请你求出这块花圃可能的面积(结果保留根号).
C
A
D
B
C
A
B
30°
地面
太阳光线
60°
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7.5解直角三角形（1）
教学目标
使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形.
教学过程
一、引入新课
如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处.问大树在折断之前高多少米 21世纪教育网
显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分
的长度为＝26 26＋10＝36所以，
大树在折断之前的高为36米.
二、新课
1．解直角三角形的定义.
任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出末知元素的过程，叫做解直角三角形.像上述的就是由两条直角边这两个元素，利用勾股定理求出斜边的长度，我们还可以利用直角三角形的边角关系求出两个锐角，像这样的过程，就是解直角三角形.
2．解直角三角形的所需的工具.
(1)两锐角互余∠A＋∠B＝90°
(2)三边满足勾股定理a2＋b2＝c2
(3)边与角关系sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝cotB＝，cotA＝tanB＝.
3．例题讲解.
例1．如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到l米).
分析：本题中，已知条件是什么 (AB＝2000米，
∠CAB＝90°－ ∠CAD＝50°)，那么求AC的长是用
“弦”还是用“切”呢 求BC的长呢 显然，
AC是直角三角形的斜边，应该用余弦函数，
而求BC的长可以用21世纪教育网，也可以用余切函数.
讲解后让学生思考以下问题：
(1)在求出后，能否用勾股定理求得BC；
(2)在这题中，是否可用正弦函数求AC，是否可以用余切函数求得BC.[来源:21世纪教育网
通过这道例题的分析和挖掘，使学生明确在求解直角三角形时可以根据题目的具体条件选择不同的“工具”以达到目的.
4．从上面的两道题可以看出，若知道两条边利用勾股定理就可以求出第三边，进而求出两个锐角，若知道一条边和一个锐角，可以.利用边角关系求出其他的边与角.所以，解直角三角形无非以下两种情况：
(1)已知两条边，求其他边和角.
(2)已知一条边和一个锐角，求其他边角.
三、练习
课本第113页练习的第l、2题(帮助学生画出第2题的图形).
四、小结
本节课我们利用直角三角形的边与边、角与角、边与角的关系，由已知元素求出未知元素，在做题目时，学生们应根据题目的具体条件，正确选择上述的“工具”，求出题目中所要求的边与角.
五、作业
7.5 解直角三角形(2)
教学目标
使学生进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
教学过程
一、给出仰角、俯角的定义
在本章的开头，我们曾经用自制的测角仪测出视线(眼睛与旗杆顶端的连线)与水平线的夹角，那么把这个角称为什么角呢
如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.右图中的∠1就是仰角， ∠2就是俯角.
二、例题讲解
例1．如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高度.
分析：因为AB＝AE＋BE，AE＝CD＝1.20米，所以只要求出BE的长度，问题就得到解决,在△BDE中,已知DE＝CA＝22.7米，∠BDE＝22°，那么用哪个三角函数可解决这个问题呢 显然正切或余切都能解决这个问题.
例2．如图，A、B是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物，B楼不能到达，由于建筑物密集，在A楼的周围没有开阔地带，为测量B楼的高度，只能充分利用A楼的空间，A楼的各层都可到达且能看见B楼，现仅有测量工具为皮尺和测角器(皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线的夹角).
(1)你设计一个测量B楼高度的方法，要求写出测量步骤和必需的测量数据 (用字母表示)，并画出测量图形.
(2)用你测量的数据(用字母表示)写出计算B楼高度的表达式.
分析：如右图，由于楼的各层都能到达，所以A楼的高度可以测量，我们不妨站在A楼的顶层测B楼的顶端的仰角，再测B楼的底端的俯角，这样在Rt△ABD中就可以求出BD的长度，因为AE＝BD，而后Rt△ACE中求得CE的长度，这样CD的长度就可以求出．
请同学们想一想，是否还能用其他的方法测量出B楼的高度.
三、练习
四、小结
本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题选用适当的数学知识加以解决.
五、作业21世纪教育网
7.5 解直角三角形(3)
教学目标
使学生知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
教学过程
一、引入新课
如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大 显然，斜坡A1Bl的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A.从图形可以看出，＞，即tanAl＞tanA.
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
二、新课
1．坡度的概念，坡度与坡角的关系.
如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式.坡面与水平面的夹角叫做坡角.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
2．例题讲解.
例1．如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽.(精确到 0.1米)
分析：四边形ABCD是梯形，通常的辅助线是过上底的两个顶点引下底的垂线，这样，就把梯形分割成直角三角形和矩形，从题目来看，下底AB＝AE＋EF＋BF，EF＝CD＝12.51米． AE在直角三角形AED中求得，而BF可以在直角三角形BFC中求得，问题得到解决.
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例2．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角.和坝底宽AD.(i＝CE:ED，单位米，结果保留根号)
三、练习
四、小结
会知道坡度、坡角的概念能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决.
五、作业21世纪教育网
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