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7.6 锐角三角函数的简单应用(1)
学习目标：使学生进一步掌握锐角三角函数的简单应用，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与圆有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
学习重点：与圆有关的实际问题的解题思路；
学习难点：把实际问题转化为数学问题
教学过程：
一、问题1：“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩.游乐场的大型摩天轮的半径为20m，旋转1周需要12min.小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5m）开始1周的观光，2min后小明离地面的高度是多少（精确到0.1m）
二、拓展与延伸：
1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次达到10m？
2、小明将有多长时间连续保持在离地面20m以上的空中？
三、练习：如图，赞化学校田径场的跑道弯道弧AB长12m，弯道半径R为36.m，求弯道两端的距离AB.
四、补充例题：
“云娜”台风中心从某市（看成点A）的正东方向300km的B处以每小时25km的速度正面袭击某市，距台风中心250km的范围内均受台风的影响.该市遭到了严重的影响，那么影响时间有多长？
若“云娜” 台风中心从该市的正东方向300km处向北偏西 30 度方向移动，其他数据不变，请问此时，该市会受到台风影响吗？若受影响，则影响的时间有多长？
若“云娜” 台风中心从该市的正东方向300km处向北偏西 60度方向移动，其他数据不变，请问此时，该市会受到台风影响吗？若受影响，则影响的时间有多长？
五、补充练习：
如图,某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处,经16小时的航行到达,到达后必须立即卸货.此时,接到气象部门通知,一台风正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动.距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.[来源:21世纪教育网]
(1)问:B处是否受到台风的
影响 请说明理由.
(2)为避免受到台风的影响,
该船应在多少小时内卸完货物
六、课外练习
1、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC=，BC=1，
那么的值是______________.
2、如图，是一个路障的纵截面和汽车越过路障时的底盘示意图，O1、O2分别是车轮的轴心，M是线段O1O2的中点（轴心距的中点），两车轮的半径相等．经验告诉人们，只要中点M不被P点托住（俗称托底盘，对汽车很有危害！），线段O1O2上的其它点就不会被P点托住，汽车就可顺利通过．否则，就要通过其他方式通过．
（1）若某种汽车的车轮半径为50cm, 轴心距O1O2为400cm. 通过计算说明,当∠APB等于多少度时，汽车恰好能通过斜坡？（精确到0.1，参考数据sin14.48 ≈0.25，cos14.48
≈0.97）
（2）当∠APB=120°时，通过计算说明要使汽车安全通过，车轮半径与轴心距O1O2的比应符合什么条件？．
3、2007年5月17日我市荣获“国家卫生城市称号”．在“创卫”过程中，要在东西方向两地之间修建一条道路．已知：如图点周围180m范围内为文物保护区，在上点处测得在的北偏东方向上，从向东走500m到达处，测得在的北偏西方向上．
（1）是否穿过文物保护区？为什么？（参考数据：）[来源:21世纪教育网
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？
4、如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H.若OH=2，AB=12，BO=13.求：（1）⊙O的半径；（2）sin∠OAC的值；（3）弦AC的长（结果保留两个有效数字）.[来源:21世纪教育网]
[来源:21世纪教育网
四、小结：你还有什么疑惑，请与老师和同学交流.
五、作业 见作业纸
第一学期九年级数学作业纸
内容：7.6三角函数的应用（1） 班级 姓名 日期 月 日 等第
1、如图，两地之间有一座山，汽车原来从地到地须经地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线行驶．已知，，，则隧道开通后，汽车从地到地比原来少走多少千米？（结果精确到）（参考数据：，）
2、已知，如图：△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝900，AB＝10，D为△ABC外一点，边结AD、BD，过D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E.21世纪教育网
（1）若△ABD是等边三角形，求DE的长；
（2）若BD＝AB，且，求DE的长.
3、如图，在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点在第一象限内，，．求：（1）点的坐标；（2）的值．
北
B
A
北
东
Ｃ
Ａ
Ｂ
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7.6 锐角三角函数的简单应用(2)
学习目标：使学生进一步掌握锐角三角函数的简单应用，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
学习重点：仰角、俯角有关的实际问题
学习难点：把实际问题转化为数学问题
教学过程一、给出仰角、俯角的定义
在本章的开头，我们曾经用自制的测角仪测出视线(眼睛与旗杆顶端的连线)与水平线的夹角，那么把这个角称为什么角呢
如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.右图中的∠1就是仰角， ∠2就是俯角.
二、例题讲解
例1．如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高度.
例2．为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点处观测气球，测得仰角为27度，然后他向气球方向前进了50米，此时观测气球，测得仰角40度.若他的眼睛离1.6米地面 ,他如何计算气球的高度呢 (精确到0.1米)
例3:热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高
例4、建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为50°,观察底部B的仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
例5、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
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三、补充练习：1、如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线
杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）.
2．如图，在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，高为AB.当太阳光与水平线成500时，测得该树在斜坡上的树影BC的长为7m，求树高.(精确到0.1m)
3．要在宽为28m的海堤公路的路边安装路灯.路灯的灯臂长为3m，且与灯柱成120°(如图所示)，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直.当灯罩的轴线通过公路路面的中线时，照明效果最理想.问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果？
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4．已知：如图，在△ABC中，∠CAB=120°，AB=4，AC=2，AD⊥BC，D是垂足.求：AD的长.
5、如图，某校九年级3班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动.部分同学在山脚点A测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米；另一部分同学在山顶[来源:21世纪教育网]
点B测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60°.请你帮助他们计算出小山的高度BC（计算过程和结果都不取近似值）.
6．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼.甲船以每小时千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进.甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇.
（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？
（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？
四、小结：本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题选用适当的数学知识加以解决.
五、作业 见作业纸
第一学期九年级数学作业纸
内容：7.6三角函数的应用（2） 班级 姓名 日期 月 日 等第
1.如图,小岛A在港口P的南偏西45°方向，距离港口8l海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东6O°方向，以l8海里/时的速度驶离港口.现两船同时出发，
(1)出发后几小时两船与港口P的距离相等
(2)出发后几小时乙船在甲船的正东方向 (结果精确到0.1小时)
2．如图，在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°，现A、B两地要同时开工，若干天后公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是( )
A北偏西52° B南偏东52° C西偏北52° D北偏西
3、一船以每小时20海里的速度沿正东方向航行.上午8时，该船在A处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B处，上午9时行到C处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是多少海里？(（画出示意图，结果保留根号）.
3．某学生站在公园的湖边M处，测得湖心亭A位于北偏东30 方向上，又测得游船码头B位于南偏东60 方向上，现有一艘游船从湖心亭A处沿正南方向航行返回游船码头.已知M处与AB的距离MN为0.7千米，求湖心亭与游船码头的距离.（画出示意图，精确到0.1千米）
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4．在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点 A 处观测到河对岸边有一点 C，测得 C 在 A 北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到达 B 处，测得 C 在 B 北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．
B
A
C
D
3m
120°
轴线
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7.6 锐角三角函数的简单应用(3)
学习目标：使学生知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
学习重点：坡度、坡角有关的实际问题21世纪教育网
学习难点：把实际问题转化为数学问题
教学过程：一、情境创设
如下图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大 显然，斜坡A1Bl的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A.从图形可以看出，＞，即tanAl＞tanA.
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
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二、新课讲解
1．坡度的概念，坡度与坡角的关系.
____________________________________________叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝______，_________________________________叫做坡角.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝_________，显然，坡度越大，坡角越______，坡面就越__________.
2．例题讲解.
例1．如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角为30°.背水坡AD的坡度i（即tan）为1︰1，坝顶宽DC=2.5m,坝高4.5m.求：（1）背水坡AD的坡角；
（2）坝底宽AB的长（精确到0.1m）.
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拓展与延伸
在上面的例题中，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5m,背水坡AD的坡度改为1︰1.2.已知堤坝的总长度为5km,求完成该项工程所需的土方（精确到0.1m3）.
例2.某班在春游时组织登山活动，他们从山底开始，先爬32°的山坡800m,再爬46°的山坡300m后到达山顶，求山顶相对于山底的高度（结果精确到1m）.
(sin32°=0.53 ,sin46°=0.72,tan32°=0.62,tan46°=1.04)
3．练习
1）. 小华同学去坡度为1︰2的土坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是4m，斜坡上相邻两树间的坡面距离为_____m
2）．如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽.(精确到 0.1米)
(sin28°=0.47,tan28°=0.53)
3）．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角和坝底宽AD.
(坡面CD 的坡比i=1︰，单位米，结果保留根号)
4）.铁路路基的横截面是等腰梯形，路基顶部的宽为9.8m,路基的高为5.8m,斜坡与地面所成的角为32°.求路基底部的宽（精确到0.1m）.
5）.工人师傅沿着一块斜靠在车厢后部的木板往汽车上推一个油桶（如图），已知木板长为4m，车厢到地面的距离为1.4m.
（1）你能求出木板与地面的夹角吗？
（2）请你求出油桶从地面到刚刚到达车厢时的移动的水平距离.（精确到0.1m）
（参考数据：sin20.5°≈0.3500，cos20.5°≈0.9397，tan20.5°≈0.3739）
6）.如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为15m,它的坡角为45°.为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1︰1.6的斜坡AD,在CB方向上距B处5m的地方有一座房屋，问在背水坡改造的施工过程中，此处房屋是否需要拆除？
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7）.如图：是一海堤的横断面为梯形ABCD，已知堤顶宽BC为6m，堤高为4m，为了提高海堤的拦水能力，需要将海堤加高2m，并且保持堤顶宽度不变，迎水坡CD的坡度也不变.但是背水坡的坡度由原来的i=1:2改成i=1:2.5(有关数据在图上已注明)
(1)求加高后的堤底HD的长.
(2)求增加部分的横断面积
(3)设大堤长为1000米，需多少方土加上去？
(4)若每方土300元，计划付给民工多少资金？
三、小结：本节课我们学习了有关坡度与坡角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题选用适当的数学知识加以解决.
四、作业 见作业纸
第一学期九年级数学作业纸
内容：7.6锐角三角函数的应用（3） 班级 姓名 日期 月 日 等第
1.小明沿倾斜角为20°的斜坡向上前进了80m,他上升的高度是（ ）
A． B. C.80sin20°m D.80cos20°m21世纪教育网
2. 某地下过街通道有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为5m,扶梯的长度为_______m.
3.在一个坡面上每前进100m ,高度就升高了10m.求这个山坡的坡度（即坡角的正切）.
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4.在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）为6m,测得斜坡坡度为1︰3.5.求斜坡上相邻两树间的坡面距离（精确到0.1m）.
5.如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶CD宽为5m,坝高DE为20m,斜坡AD的坡度为
1︰，斜坡CB的坡度为5︰6.建造这样的大坝1000m需要多少立方米的土？
（结果保留根号）
H
6
M
E
B
A
C
D
6
4
2
1:2.5
1:2
1:2
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