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第二章 二次函数
（时间：60分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分）
1．下列函数不属于二次函数的是（ ）
A.y=(x－1)(x+2) B.y=(x+1)2 C. y=1－x2 D. y=2(x+3)2－2x2
2. 函数y=-x2-4x+3图象顶点坐标是（ ）
A.（2，-1） B.（-2，1） C.（-2，-1） D.（2， 1）
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（-2，1） C．（2，-1） D．（-2，-1）
4. y=(x－1)2＋2的对称轴是直线（ ）
A．x=－1 B．x=1 C．y=－1 D．y=1
5．已知二次函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A． 0或2 B． 0 C． 2 D．无法确定
6. 二次函数y＝x2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ）
A. y＝x2＋3 B. y＝x2－3 C. y＝(x＋3)2 D. y＝(x－3)2
7．函数y=2x2-3x+4经过的象限是（ ）
A.一、二、三象限 B.一、二象限 C.三、四象限 D.一、二、四象限
8．下列说法错误的是（ ）
A．二次函数y=3x2中，当x>0时，y随x的增大而增大
B．二次函数y=－6x2中，当x=0时，y有最大值0
C．a越大图象开口越小，a越小图象开口越大
D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点[来源:21世纪教育网
9．如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（ ）
A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m
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10．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．a＞0． B．b＞0． C．c＜0． D．abc＞0．
(第9题) (第10题)
二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分）
11．一个正方形的面积为16cm2，当把边长增加x cm时，正方形面积为y cm2，
则y关于x的函数为 。
12．若抛物线y＝x2－bx＋9的顶点在x轴上，则b的值为 。
13．抛物线y=x2-2x-3关于x轴对称的抛物线的解析式为 。
14．如图所示,在同一坐标系中,作出①②③的图象,则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是(填序号) 。
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三、（本题共2小题，每小题5分，满分10分）
15．一个二次函数,它的对称轴是y轴,顶点是原点,且经过点(1,-3)。
(1)写出这个二次函数的解析式；
(2)图象在对称轴右侧部分,y随x的增大怎样变化
(3)指出这个函数有最大值还是最小值,并求出这个值。
16．拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为m时，水面的宽度为多少米？
四、（本题共2小题，每小题5分，满分10分）
17．已知二次函数的顶点坐标为(4，－2)，且其图象经过点(5，1)，求此二次函数的解析式。
18.用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2。
(1)求出y与x的函数关系式。
（2）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
五、（本题共2小题，每小题6分，满分12分）[来源:21世纪教育网
19．在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图5所示.已知∠AOB＝90°，
AO＝BO，点A的坐标为(－3，1)。
（1）求点B的坐标；
（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）设点B关于抛物线的对称轴l的对称点为Bl，求△AB1 B的面积。
20．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数。有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度v(km/h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s=0.01v2确定；雨天行驶时，这一公式为s=0.02v2。
(1)如果汽车行驶速度是70 km/h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？
(2)如果汽车行驶速度分别是60 km/h与80 km/h，那么同在雨天行驶(相同的路面)相比，刹车距离相差多少？
(3)根据上述两点分析，你想对司机师傅说些什么？
六、（本大题满分8分）
21.已知二次函数y＝（m2－2）x2－4mx＋n的图象的对称轴是x＝2，且最高点在直线y＝x＋1上，求这个二次函数的解析式。
七、（本大题满分8分）
22．已知抛物线y＝ax2＋6x－8与直线y＝－3x相交于点A(1，m)。
（1）求抛物线的解析式；
（2）请问(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y＝ax2的图象？
八、（本大题满分10分）
23．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子
OA，O恰好在水面中心，安装在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流
在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，
抛物线的形状如图(1)和(2)所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度
y(米)与水平距离x(米)之间的关系式是y＝－x2+2x+，请你寻求：
（1）柱子OA的高度为多少米
（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少
（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流
不至于落在池外。
参考答案
一、选择题
1-5DABBC, 6-10 DBCBB.
二、填空题
11． y= (x+4)2。 12．±6。 13． y=-x2+2x+3 。 14.①③②
三、15．解：(1) y=-3x2 ；
(2) y随x的增大而减小；
(3)∵a=-3<0，∴函数有最大值。当x=0时，函数最大值为0。
16．10m。
四、17． 设此二次函数的解析式为。
∵其图象经过点(5，1)，
∴，
∴，
∴。
18.（1）；（2），所以当x=5时，矩形的
面积最大，最大为25cm2。
五、19．（1）如图，作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D，则∠ACO＝
∠ODB＝90°.所以∠AOC+∠OAC＝90°.又∠AOB＝90°，
所以∠AOC+∠BOD＝90°。所以∠OAC＝∠BOD.又AO＝BO，
所以△ACO≌△ODB.所以OD＝AC＝1，DB＝OC＝3。
所以点B的坐标为(1，3)。（2）抛物线过原点，可设所求抛物线的
解析式为y＝ax2+bx.将A(－3，1)，B(1，3)代入，得，解得
故所求抛物线的解析式为y＝x2+x。
20．(1)v=70 km/h,
s晴=0.01v2=0.01×702=49(m), s雨=0.02v2=0.02×702=98(m),
s雨－s晴=98－49=49(m)。
(2)v1=80 km/h,v2=60 km/h。
s1=0.02v12=0.02×802=128(m)，s2=0.02v22=0.02×602=72(m)。
刹车距离相差：s1－s2=128－72=56(m)。
(3)在汽车速度相同的情况下，雨天的刹车距离要大于晴大的刹车距离。
在同是雨天的情况下，汽车速度越大，刹车距离也就越大。
请司机师傅一定要注意天气情况与车速。
六、21. 当x＝2时， y＝x＋1=2，抛物线的顶点坐标为（2，2），这个二次函数的解析式为。
七、22．解：（1）∵点A(1,m)在直线y＝－3x上，∴m＝－3×1＝－3。
把x＝1，y＝－3代入y＝ax2＋6x－8，求得a＝－1。
∴抛物线的解析式是y＝－x2＋6x－8。
（2）y＝－x2＋6x－8＝－(x－3)2＋1．∴顶点坐标为(3,1)。
∴把抛物线y＝－x2＋6x－8向左平移3个单位长度得到y＝－x2＋1
的图象，再把y＝－x2＋1的图象向下平移1个单位长度(或向下平移1个单位再向左平移3个单位)得到y＝－x2的图象。
八、23．(1)当x＝0时，y＝，故OA的高度为1.25米。
(2)∵y＝－x2+2x+＝－(x－1)2+2.25，
∴顶点是(1，2.25)，故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米。
(3)解方程－x2+2x+＝0,得.∴B点坐标为。
∴OB＝。故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出21世纪教育网
的水流不至于落在水池外
2.5m
3.05m
x
y
o
图5
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第二章 二次函数
一、体系展示
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二、要点整合
1、 二次函数平移 21世纪教育网
例1：已知二次函数 y=ax2-bx+c (-1 《 b<1》. 当 b 从一 1 逐渐变化到 1 的过程中 , 它 所对应的抛物线位置也随之变动 , 下列关于抛物线的移动方向的移动方向的描述中 , 正确的是( )
(A) 先往左上方移动 , 再往左下方移动
(B) 先往左下方移动 , 再往左上方移动
(C) 先往右上方移动 , 再往右下方移动
(D) 先往右下方移动 , 再往右上方移动
2. 二次函数的对称轴及顶点坐标的求法
例2已知抛物线 y=ax2 + bx+c 经过 (-1,0),(0, - 3),(2, - 3) 三点 .21世纪教育网
(1) 求这条抛物线的解析式 ;
(2) 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标
3. 二次函数的图象及 a 、 c 、 b2-4ac 的符号
(1) 二次函数的图象是一条抛物线 .
(2) 二次函数 y= a x2+bx+c( a≠ O) 的性质
例3.在同一直角坐标系中 , 一次函数 y= ax+b 和二次函数 y=ax2+bx 的图象可能为图中的（ ）
(A) (B) (C) (D)
4、综合应用
阅读下面的文字后，解答问题．
有这样一道题目：“已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,a) 、B(1,-2)、 ，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=2．”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．
（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式 若能，写出求解过程，若不能请说明理由；
（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填上一个适当的条件，把原题补充完整．
三、需要注意的问题
在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。
四．自我测试
1.抛物线经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为 ．
2．抛物线，开口向下，且经过原点，则k= ．
3．点A（-2，a）是抛物线上的一点，则a= ； A点关于原点的对称点B是 ；A点关于y轴的对称点C是 ；其中点B、点C在抛物线上的是 ．
4．若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是 ．
5．把函数的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新图象的函数关系式为 ．
6．已知二次函数的最小值为1，那么m的值等于 ．
7．二次函数的图象在x轴上截得的两交点之间的距离为 ．
8．抛物线的对称轴是 ，根据图象可知，当x 时，y随x的增大而减小．
9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点（-2，-2），则抛物线的函数关系式为 ．
10、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：．y值越大，表示接受能力越强．
（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
（2）第10分时，学生的接受能力是多少？
（3）第几分时，学生的接受能力最强？
1. y=ax2
2. y=ax2+c
3. y=a(x-h)2
4. y= a(x-h)2+k 5. y=ax2+bx+c
对函数的再认识
二次函数的定义
二次函数的图象性质
二次函数的表达式
1. 函数表达式及求法
2. 图象法
3. 列表法
二次函数与一 元二次方程
1、 二次函数与一 元二次方程的关系
2、 利用图象求一 元二次方程的近似解
二次函数的应用
3、 最大利润
4、 最大面积
5、 坐标系的建立
二次函数
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义务教育课程标准实验教科书
SHUXUE 九年级下
湖南教育出版社
离黄志明同学所在学校不远的一条双行线公路上有一个隧道，如下图所示：
通过隧道的车辆应该有一个限制高度，这个限制高度怎么确定呢？
数 学 建 模
为了解决这个问题，黄志明和他的同学经实地考察取了以下的情况：
1.隧道的纵截面由因矩形和一抛物线构成；
2隧道内路面的总宽度为8m，双行车道宽度为6m，隧道顶部最高处距路面6m，的矩形的高为2m.
3.为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要0.5m.
黄志明和他的同学们运用已知的数学知识，解决了这个实际问题，其过程如下：
画出隧道的截面图，设双行道的两个端点分别为A，B，以AB为x轴的正方向，AB的中点为原点建立直角坐标系，如图所示，于是（0，6）为抛物线的顶点，因此可设抛物线表达式为
又因为抛物线经过点（4，2），所以2＝16a＋6
这样，抛物线的表达式确定为
令x=3，得y=3.75
3.75－0.5＝3.25≈3.2
8cm
A
B
3cm
3cm
2cm
x
y
6cm
o
黄志明和他的同学们把通过隧道的车辆限制高度定为3.2m.
从黄志明和他的同学们解决这个实际问题的过程中，我们看到，将一个实际问题，用所学过的数学语言加以抽象概括，建立数学模型（这里是建立适当的直角坐标系，求抛物线的表达式），再应用数学方法来求出能够反映实据问题所要求的实际结果（这里是求当x=3时，y的值，所求的限制高度则为y－0.5），这就是简单数学建模的全过程，本问题的数学模型是二次函数模型.
实际问题
数学问题
数学结果
实际结果
抽象，概括，数学化
求解数学问题
结合实际加以检验
简单数学建模的过程，我们可用下面的框图来说明：
1.某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用去1500元，按该书定价8.4元/册出售，并很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元/册，用去了2000元，所购书数量比第一次多50本，当这批书售出时，出现滞销，便以定价的8折售完剩余图书，试问该老板第一次售书赚了多少钱？第二次售书是赔钱，还是赚钱（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
2.某塑料厂销售科，策划销售一种新式样的塑料鞋，经销人员并不是仅仅根据估计的生产成本确定塑料鞋的销售价格，而是通过对经营塑料鞋的零售经销商进行调查，看看在不同价格下他们会进多少货，一番调查，确定需求关系式为p＝－750x+15000（p为每个零售经销商进货的数量，x为零售经销商愿意支付的价格），并求得工厂生产该塑料鞋的固定成本是7000元，估计生产每双塑料鞋的材料和劳动生产费用为4元，为了获得最大利润，工厂对零售经销商规定多少价格合适？
