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16.2.1 分式的乘除（二）
【自主领悟】
1．下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．= ．
3．=_____ ______．
4．化简，结果是 （ ）
A． B． C． D．
5．下列计算中，错误的是 （ ）
A． B．
C． D．
6．计算：
（1）； （2）.
【自主探究】
问题1 计算：.
名师指导
与整式乘除法混合运算一样，分式乘除法混合运算也是统一为乘法运算，然后利用分式乘法法则进行计算，其中要注意先确定运算结果的符号，以及不含小括号等其它附加条件的乘除同级运算顺序是从左往右.
解题示范
解：
问题2 计算：.
名师指导
在进行分式乘方运算时，先确定运算结果的符号，负数的偶数次方为正，而奇数次方为负，同时要注意运算顺序，先乘方，后乘除.
解题示范
解：
[来源:21世纪教育网]
归纳提炼
分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．同样要注意的地方有：一是要确定好结果的符号；二是运算顺序不能颠倒.
【自主检测】
1．计算得 （ ）
A． B．x5y C．y5 D．xy5
2．计算的结果是 （ ）
A． B． C． D．
3．计算的值等于 （ ）
A． B． C． D．
4．计算：·÷． 5．计算：．
6．计算：． 7．计算：．
8．阅读理解：
计算时，小虎给出了他的解答过程如下：
解：．
试说明小虎的求解过程是否正确？如果不正确，请你指出错误之处，并写出你认为正确的解答过程．
9．课堂上，吴老师给大家出了这样一道题：求当x等于（1）7－2；（2）9+2时，请分别计算代数式÷的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程．
10．先化简，再求值：，其中．
【自主评价】[来源:21世纪教育网
一、 自主检测提示
9．将÷化简得，原式，所以计算结果与x取值无关． 10．化简：，再把代入．
二、自我反思
1．错因分析
2．矫正错误
3．检测体会
4．拓展延伸
【例题】用水清洗蔬菜上残留的农药，设用x（x≥1）单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为．21世纪教育网[来源:21世纪教育网
现有a（a≥2）单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成两份后清洗两次．试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．
【点拨】根据题意在两种方案下，设清洗前蔬菜上残留的农药量为1，分别用a的代数式表示蔬菜上残留的农药量，用a单位量的水清洗一次，蔬菜上残留的农药量为；把a单位量的水平均分成两份后清洗两次，蔬菜上残留的农药量为．然后比较其大小．结果是把水平均分成两份后清洗两次蔬菜上残留的农药量较少．
总结：与分数一样，比较两个分式的大小时，如果分子相同，那么分母大的分式的值反而小．本题可用“作差法”比较两个结果中分母的大小，即＜0，所以＜．
21世纪教育网
参考答案
1．A 2．B 3．D 4． 5． 6． 7． 8．不正确，原式 9． 10．
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16.2.3 整数指数幂（二）
【自主领悟】
1．用科学记数法表示下列各数：
（1）0.000 001= ； （2）0.000 12= ；[来源:21世纪教育网
（3）0.000 000 345= ； （4）0.000 501= ．
2．一只跳蚤的重量约为0.0003kg，用科学记数法记为 ．
3．用科学记数法表示的数，其原数为 ．
4．用科学记数法表示的数，其原数为 ．
【自主探究】
问题1 用科学记数法表示下列各数：（1）0.000 002= ；（2）0.000 0108= .
名师指导
用科学记数法表示绝对值大于1的数值，应当表示为，其中n为原数整数部分的数位数减1．小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面所有的0的个数（包括小数点前的那个零）所决定．所以0.000 002=；0.000 0108=．
归纳提炼
小于1的正数可以用科学记数法表示为的形式，其中a是整数数位只有一个的正数，n是正整数，n是由原数第一个不为零的数字前面的0的个数所决定的，同时也可以看作由小数点移动的位数来决定的．
问题2 计算：（1）； （2）.[来源:21世纪教育网]
名师指导
用科学记数法表示的式子的运算，可利用乘法交换律和结合律，把中的a与n分别相乘.
解题示范
解：（1）
（2）
【自主检测】
1．用科学记数法表示：（1）0.000 09= ；（2）0.000 56= .
2．用科学记数法表示的数，其原数为 .
3．用科学记数法表示的数，其原数为 .
4．一个正数用科学记数法表示的形式，则a的取值范围为 （ ）
A．a为整数 B．a为绝对值小于1的小数 C．1＜a≤10 D. 1≤a＜10
5．计算：（1）；
（2）.
[21世纪教育网
21世纪教育网
6．科学家研究发现，与我们日常生活密不可分的水的一个水分子的质量大约是千克，8克水中大约有多少个水分子？通过进一步研究科学家又发现，一个水分子是由2个氢原子和一个氧原子所构成，已知氧原子的质量约为千克，求氢原子的质量.
【自主评价】
一、 自主检测提示
6．（个），（千克）
二、自我反思
1．错因分析
2．矫正错误
3．检测体会
4．拓展延伸
[来源:21世纪教育网
参考答案
1．（1），（2） 2．0．0002 3．0．000 000 0302 4．D 5．（1），（2）9 6．（个），（千克）
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16.2.1 分式的乘除（一）
【自主领悟】
1．计算：= ．
2．计算：= ．
3．下列分式中，是最简分式的是 （ ）
A． B． C． D．
4．下列各式中，计算结果是分式的是 （ ）
A． B． C． D．
5．计算：
（1）； （2）； （3）； （4）．
6．计算：
（1）； （2）．
【自主探究】
问题1 计算：（1）； （2）．
名师指导
（1）这道例题就是直接应用分式的乘法法则进行运算．值得注意的是运算结果应约分到不好约分为止，同时还应注意在计算时跟整式运算一样，先确定符号，再进行相关计算，求出结果.
（2）这道例题中分式的分子、分母是多项式，应先把分子、分母中的多项式分解因式，再进行约分.
解题示范
解：（1）；
（2）．
归纳提炼
类比分数的乘法运算不难理解，分式的乘法运算就是根据分式乘法法则，将各式分子、分母分别相乘后再进行约分运算，值得注意的地方有三点：一是要确定好运算结果的符号；二是计算结果中分子和分母能约分则要约分；三是有时计算结果的分母不一定是单一的多项式，而是多个多项式相乘，这时也不必把它们展开
问题2 计算：（1）； （2）．
名师指导
分式除法运算，根据分式除法法则，将分式除法变为分式乘法运算，注意点同分式乘法．
解题示范
解：（1）；
（2）．
问题3 已知：，，求代数式的值．
名师指导
完成这类求值题时，如果把已知条件直接代入，计算将会较为繁杂，容易导致错误产生．解决这种问题，一般应先将代数式进行化简运算，然后再把已知条件代入化简后的式子中进行计算，这样的处理方式可以使运算量少很多．
解题示范[来源:21世纪教育网
解：化简代数式得，
．
把，代入，所以
原式．21世纪教育网
归纳提炼
许多化简求值题，有的在题目中会明确要求先化简，再求值，这时必须按要求的步骤进行解题．但有的在题目中未必会给出明确的要求或指示，与整式中的求代数式值的问题一样，分式中的求值题一般也是先化简，然后再代入已知条件，这样可以简化运算过程．
【自主检测】
1．计算：·=___ _____．
2．计算：____ ____．
3．计算：=____ ____．
4．计算：=____ ____．
5．若m等于它的倒数，则分式的值为 （ ）
A．－1 B．3 C．－1或3 D．
6．计算的结果是 （ ）
A． B． C． D．
7．计算的结果是 （ ）[来源:21世纪教育网
A．3a2－1 B．3a2－3 C．3a2＋6a＋3 D．a2＋2a＋1
8．已知x等于它的倒数，则÷的值是 （ ）
A．－3 B．－2 C．－1 D．0
9．计算÷．
10．观察下列各式：
（1）你能得到一般情况下的结果吗？
（2）根据这一结果计算：．
【自主评价】
一、自主检测提示
8．因为x等于它的倒数，所以，
．
10．根据所给一组式子可以归纳出：21世纪教育网
．
所以．
二、自我反思
1．错因分析
2．矫正错误
3．检测体会21世纪教育网
4．拓展延伸
参考答案
1． 2． 3． 4． 5．C 6．C 7．B 8．A 9． 10．（1），（2）
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16.2.2 分式的加减（二）
【自主领悟】
1．已知公式（），若已知、，则表示的公式是 ．
2．化简的结果是_____ _______．
3．计算得 （ ）
A． B． C．－2 D．2
4．化简的结果是 （ ）
A．1 B． C． D．－1
5．计算：（1）； （2）.
【自主探究】
问题1 计算：．
名师指导
对于分式混合减运算，其实也就是在同一个算式中，综合了分式的加减、乘除及乘方中的一种或几种运算，关键是要注意分清运算级别，按照运算顺序“从高到低，从左到右，括号从小到大”的规定进行.
解题示范
解：
问题2 计算：．
名师指导
仔细观察这道题，可以发现，把小括号中的看作是会给题目的计算带来方便，而如果一味的先通分，再约分，反而会使问题计算过程变得复杂.
解题示范
解：
21世纪教育网
归纳提炼
对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意数学思想方法的运用，如类比思想、整体思想、转化思想等．
问题3 已知，求代数式的值．
名师指导
这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是利用分式运算先把代数式化简，然后再代入已知条件求值．具体操作时，还应注意以下几点：（1）将各分式的分子、分母分解因式后再进行运算；（2）遇到除法运算时，可以先化成乘法运算；（3）注意处理好每一步运算中遇到的符号．
解题示范
解：
．
当时，原式．
【自主检测】
1．直接写出结果：（1） ；（2） ．
2．计算：________________．
3．计算：________________．
4．计算：________________．
5．计算的结果为 ( )
A．1 B． C． D．
6．计算的结果为 ( )
A． B． C． D．
7．计算：． 8．计算：．
9．计算：．
10．求的值，其中，．
11．已知，求的值．
[来源:21世纪教育网
12．阅读理解：
我们把分子为1的分数叫做单位分数．如，，，…任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，，，…
（1）根据对上述式子的观察，你会发现＝．请写出□，○所表示的数；
（2）进一步思考，单位分数（n是不小于2的正整数）＝，请写出△，☆所表示的式，并加以验证．
【自主评价】
一、 自主检测提示
10．先化简，再求值. 11．化简得，再代入求值. 12．等式右边的第一个分母比左边的分母大1，第二个分母是前两个分母的乘积.
二、自我反思
1．错因分析
2．矫正错误
3．检测体会
4．拓展延伸
【例题】
1若两两不相等，求的值．
2．已知，，，求代数式的值.
3．亮亮新买了一只手表，但发现这只手表比家里的闹钟每小时快30秒，可是那只闹钟又比标准时间每小时慢30秒，你说此手表准不准？
【点拨】
1．∵
，，∴原式
=
2．由,得,即…① ；同理可得…②；…③，所以①+②+③得,∴∴,∴=.
总结:巧妙地取倒数是解答此题的关键.由此看来，对于复杂的分式求值题应考虑从多个角度变形已知条件，当然，这离不开细致的观察、比较和日常方法的积累.[来源:21世纪教育网
3．闹钟走1小时(即3600秒)，手表走了1小时零30秒(即3630秒)；那么，闹钟走59分30秒(即3570秒，这是在标准时间1小时内闹钟走的时数)，手表应当走多少呢？设在标准时间1小时内手表走x秒，则可列出方程，解得x=3599.75(秒).
由此可知，手表比标准时间慢3600-3599.75=0.25(秒)，所以，这只手表不准，它每小时慢0. 25秒，每天慢6秒.
21世纪教育网
21世纪教育网
参考答案
1．（1）0，（2） 2． 3． 4．2 5．D 6．A 7． 8． 9． 10．，－1 11． 12．（1）□，○分别表示6和30，（2）
○
□
△
☆
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16.2.2 分式的加减（一）
【自主领悟】
1． 计算： ； ．
2． 计算： ．
3． __________； __________．
4．分式的结果是 （ ）
A． B． C． D．
5． 计算得 （ ）
A． B． C．－2 D．221世纪教育网
6． 已知王刚与赵军家相距s千米，王刚从他家到赵军家需m小时，赵军从他家到王刚家需n小时，现两人同时从各自家中出发，相向而行，需几小时相遇？
【自主探究】
问题1 计算：
（1）___ _____；（2）_____ ___；（3）___ __ __．
名师指导
对于分式的加减运算，与分数一样，如果是同分母，只需将分子直接进行加减，而分母不变.而如果是异分母，则需要先把异分母化为同分母，主要是进行通分.
（1）式中两个分式是同分母，直接将分子相加减得；（2）式中两个分式的最简公分母是，所以通分后可得；（3）式中两个分式的分母其实是互为相反数的，所以通分后得．
问题2 计算：（1）++； （2）．
名师指导
（1）几个分式相加减，根据分式加减法则进行运算．对于异分母情形，应弄清以下各步骤：①正确找出各分式最简公分母；②准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式；③通分后，进行同分母分式的加减运算；④公分母保持积的形式，将各分子展开，化简结果．
（2）整式与分式相加减时，一般可以把整式看作分母为1的分式，与其它分式进行通分运算．
解题示范
解：（1）
（2）
归纳提炼
与分数加减运算一样，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减.
问题3 已知，试求的值．
名师指导
解决这类求值题时，应先观察题目的特点，就本题而言，如果想通过已知条件求出字母a的值再代入，解题比较困难，所以应考虑利用转化及整体思想解题．根据所求代数式的结构分析，如果能求出的值再平方就可以求出的值．结合所给已知条件，不难将其转化为，这样就可以依次求得、的值了．
解题示范
解：因为，将等式两边同时除以a（a≠0），21世纪教育网
所以，两边同时平方，得，
所以，两边再次平方，得，
所以．
归纳提炼
分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
【自主检测】
1． 直接写出结果：
（1） ；
（2） .
2． 计算（1） ； (2) ．
3． 计算的结果为_______ ____．
4． 如果a>b>0，则的值的符号是__________．
5． 某校教学楼建筑工地上有S吨渣土，用大渣土车每次能运走a吨，用小渣土车每次能运走的渣土是大渣土车的，用大小渣土车同时运送，共需运 次．
6． 公路全长s千米，骑车t小时可到达，要提前20分钟到达，每小时应多走__ __千米.
7． 化简的结果为 ( )
A． B． C． D．
8． 若，则的值为 （ ）
A． B．－ C．－2 D．2
9． 计算：（1）； （2）.
10．已知x为整数，且为整数，求所有符合条件的x值的和.
11．若，求的值．
12．已知，求分式的值．
【自主评价】
一、自主检测提示
10．将式子化简，得原式，因为x为整数且也是整数，所以分母可取的值为：±1、±2，则x的值分别为4、2、5、1． 11．将通分变形，转化为，再把它整体代入原式约分求值． 12．由整理变形，转化为，后面的解题过程可参考问题3．
二、自我反思
1．错因分析
2．矫正错误
3．检测体会
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4．拓展延伸
【例题】
1．已知，求的值．
【点拨】∵，∴，即．同理可得．
∴．∴，．21世纪教育网
2．已知，且abc=6024,求的值.
【点拨】由已知条件,得.
原式
总结：已知中的对代数式的值并没有影响．这是一个考察能力的题目, 几种平日里常见的变形在这里一并用到了．这就是在提醒读者,日常学习中应该养成善于观察、总结和综合的好习惯.以此来提高自己的解题能力．
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参考答案
1．（1）；（2） 2．（1）；（2） 3． 4．正 5． 6． 7．A 8．C 9．（1）；（2） 10．12 11．3 12．
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16.2.3 整数指数幂（一）
【自主领悟】
1．直接写出计算结果：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）
2．当时， ；当，且n为正整数时， ．
3．计算：（1） ； （2） ．
4．将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是 （ ）
A．＜＜ B．＜＜
C．＜＜ D．＜＜
5．下列计算中，正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
6．计算：
（1）； （2）.
【自主探究】21世纪教育网
问题1 计算：.
名师指导
本题要求理解两点知识，一是负数指数幂的意义，二是零指数幂的意义．在此前的同底数幂除法中，我们规定，这里要求m＞n．为了这一法则能适用于更广泛的范围，当m＜n时，中指数为负，就再次规定（也就是直接定义，而非证明）（a≠0，n是正整数）．另外，若m=n，则即，从而有（a≠0）．（注意：无意义）
解题示范
解：
问题2 计算：.
名师指导
先把括号中可以约分的进行约分化简，然后再结合负数指数幂的意义计算出最终结果.
解题示范
解：
归纳提炼
关于整数指数幂的问题，关键有两点知识必须理解掌握，一是负数指数幂的意义，即（其中，且n为正整数）；二是零指数幂的意义，即（）．引入负整数指数和0指数后，这条性质的适用范围就扩充到m、n为任意整数的情形．从而整数指数幂的运算性质可归纳为三条：（1）；（2）；（3）．
【自主检测】
1．计算：（1） ；（2） .
2．计算：（1） ；（2） .
3．下列计算中，正确的是 （ ）
A．=1 B．=－9 C．5.6×=560 D．＝25
4． （ ）
A． B． C． D．
5．计算：. 6．计算：.
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【例题】阅读第（1）题的解题过程，再做第（2）题：
（1）已知，求的值．
解：因为
所以
所以；
（2）已知，求的值．
思路：阅读题中规范解法，利用负整数指数幂和整体代入解题．要分别计算出及，然后再计算
．
总结：（1）训练掌握公式或；
（2）整体代入法在代数中是一种重要的解题方法．
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参考答案
1．（1），（2）－1 2．（1），（2） 3．D 4．C 5． 6．
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