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16．3分式方程（三）
【自主领悟】
1．从某镇到县城的路程是15千米，张亮骑自行车从镇上出发到县城，40分钟后，王倩骑电瓶车也从镇上出发去往县城，结果两人同时到达．已知王倩的速度是张亮的速度的3倍，求两人的速度．如果设张亮的速度为x千米/小时，则可列出方程 ．
2．A、B两地相距45千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
3．某农场原有粮食种植用地400公顷，蔬菜种植用地150公顷，为了提高粮食产量，准备把部分蔬菜用地改为粮食用地，改完之后，要求蔬菜种植用地占粮食种植用地的10%，问应把多少公顷蔬菜种植用地改为粮食种植用地．
4．轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所需要的时间相同，已知水流的速度是3km/h，求轮船在静水中的速度．
【自主探究】
问题1 为了使贫困同学能顺利读完九年义务教育，丰华中学组织了捐款活动．小华对八年级（1）班和八年级（2）班两班捐款的情况进行了统计，得到如下三条信息：
信息一：八年级（1）班共捐款300元，八年级（2）班共捐款232元．
信息二：八年级（2）班平均每人捐款钱数是八年级（1）班平均每人捐款钱数的．
信息三：八年级（1）班比八年级（2）班多2人．
请你根据以上三条信息，求出八年级（1）班平均每人捐款多少元．
名师指导
本题以信息的形式给出已知条件，相等关系也在其中，本题所要求的是八年级（1）班平均每人捐款数，因此可直接根据问题设未知数，再利用信息三中的相等关系列出方程．
解题示范
解：设八年级（1）班平均每人捐款x元，则八年级（2）班平均每人捐款元，由题意得
．
解这个方程，得．21世纪教育网
经检验，是原方程的解．
答：八年级（1）班平均每人捐款5元．
问题2 “要致富，先修路！”甲乙两地相距360千米，为更好的促进甲、乙两地经济往来，新修的高速公路开通后，在甲乙两地间行驶的客运车辆平均车速提高了50%，而从甲地到乙地的时间比原来缩短了2小时，求原来客运车辆的平均速度是多少
名师指导
根据题目中的“从甲地到乙地的时间比原来缩短了2小时”可得出相等关系，从而只要表示出原来与现在行完全程所需的时间即可列出方程．
解题示范
解：设原来车辆的平均速度为x千米/小时，由题意可得
．
解这个方程，得．
经检验，是原方程的解．
答：原来车辆的平均速度为60千米/小时．
归纳提炼21世纪教育网
利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
【自主检测】21世纪教育网
1．某中学组织学生到离学校15千米的某景区旅游，活动组织人员和学生队伍同时出发，行进速度是学生队伍的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做好准备工作．求组织人员和学生队伍的速度各是多少？设学生队伍的速度为x千米/小时，根据题意可列方程 ．
2．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则小时相遇；若同向而行，则小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的_ _倍． （ ）
A． B． C． D．
3．一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，求江水的流速为多少？
4．A、B两地相距100公里，甲骑电瓶车由A往B出发，1小时30分钟后，乙开着小汽车也由A往B．已知乙的车速为甲的车速的2．5倍，且乙比甲提前1小时到达，求两人的速度各是多少？
5．某市从今年元月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨，小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元，已知小丽家今年7月的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民用水的价格．
6．“十一”期间，某商场举行促销活动，活动期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
消费金额p（元）的范围 200≤p＜400 400≤p＜500 500≤p＜700 700≤p＜900 ……21世纪教育网
获得奖券金额（元） 30 60 100 130 ……
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为450×0．8=360（元），获得优惠额为：450×0．2+30=120（元）．设购买商品的优惠率=．试问：
（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（2）若一顾客购买了一套西装，得到的优惠率为，已知该套西装的标价高于700元，低于850元，该套西装的标价是多少元？
7．甲、乙两人从某火车上下来，沿着一个方向到同一个地方，甲一半的路程以速度a行走，另一半的路程以速度b行走；乙一半时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走，问哪个旅客先到达目的地？（速度的单位都是千米/小时）
【自主评价】
一、自主检测提示
2．设甲、乙两人的速度分别为、，根据相遇问题及追及问题中速度、时间与路程的关系，可列出方程，整理得． 6．（1）标价800元，消费金额为（元），获得优惠额为：（元），所以优惠率为：，（2）因为西服标价低于850，所以其消费额最大为（元），低于700元，因此获得的奖券金额为100元，设西服标价x元，根据题意可列出方程，解方程即可． 7．设总路程为单位1，甲到达目的地所用的时间为，乙到达目的地所用的时间为，由题意可得：；又，所以，将、作差得：
≥0，所以乙先到．
2、 自我反思
1．错因分析
2．矫正错误
3．检测体会
4．拓展延伸
21世纪教育网
参考答案
1． 2．C 3．5千米/时 4．甲速度24千米/时，乙速度60千米/时 5．2元/米 6．（1）优惠率为32．5%；（2）标价750元 7．乙先到达
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16.3 分式方程（一）
【自主领悟】
1．当______时，的值等于．
2．当______时，的值与的值相等．
3．若方程的解是最小的正整数，则的值为________．21世纪教育网
4．下列关于的方程，是分式方程的是 （ ）[来源:21世纪教育网
A. B. C. D.
5．若与互为相反数，则的值为 （ ）
A. B.－ C.1 D.－1
6．解方程：
（1）； （2）．
【自主探究】
问题1 下列关于的方程中，是分式方程的是（ ）
A. B.21世纪教育网
C. D.
名师指导
判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．A项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B项中方程分母含字母a，但它不是表示未知数，也不是分式方程；同样C项中的分母中不含表示未知数的字母；而D项的方程分母中含未知数x，所以D项是正确答案．
问题2 若分式方程的解为，则的值为__________．
名师指导
如果已知方程的解，求方程中含有的字母系数，一般方法是把已知的解直接代入原方程，再去解关于字母系数的新方程．
解题示范
把代入方程可得，解这个方程得，所以a的值为5．
问题3 若与互为相反数，则可得方程___________，解得_________．
名师指导
两个式子互为相反数，即两式相加为0，所以可得方程，解分式方程关键在于正确去分母，把方程两边同时乘以得，解得．求出结果后还应注意检验，以确保原方程的解有意义．
问题4 解方程：（1）； （2）．
名师指导
解分式方程时，其基本思路主要是利用转化思想，将分式方程化为整式方程，首先要根据等式的基本性质去分母，要注意必须是方程两边的每一项都要乘以各分母的最简公分母，尤其不能忘记方程中的常数，如方程（1）中的1，这一点往往容易被同学们忽视．
解题示范
解：（1）方程两边同乘，得
．
解得．
检验：时≠0，0是原分式方程的解．
（2）方程两边同乘，得
．
化简，得
．
解得．
检验：时，1不是原方程的解，原分式方程无解．
归纳提炼
解分式方程与解整式方程有一个根本的区别，就是解整式方程不要求写出检验过程，但解分式方程如果没有检验步骤，那将会是一个不完整的解题过程，检验是解方程的一个重要步骤，因为在去分母的同时，无形之中就扩大了未知数的取值范围，因此需要检验．判别时，只需将所解方程的根代入最简公分母，看其值是否为0，是0则须将其舍去．
【自主检测】
1．分式方程的解为 ．
2．要使分式的值为，则的值为____________．
3．如果的值与的值相等，则___________．
4．若分式方程的解为，则的值为__________．
5．若关于的方程无解，则的值为___________．
6．下列方程中是分式方程的是 （ ）
A． B．
C． D．
7．解分式方程，去分母后所得的方程是 （ ）
A． B． C． D．
8．化分式方程为整式方程时，方程两边必须同乘 （ ）
A． B．
C． D．
9．下列说法中，错误的是 （ ）
A．分式方程的解等于0，就说明这个分式方程无解
B．解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程
C．检验是解分式方程必不可少的步骤
D．能使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值不是原分式方程的解
10．解方程：（1）； （2）+ 3 =．
11．解方程：（1）； （2）．
12．若方程的一个解为，求代数式的值．
13．已知关于的方程的解为正数，求的取值范围．
【自主评价】
一、 自主检测提示
5．解含有字母系数m的分式方程，得，因为原分式方程无解，所以方程的解代入分母即，由此可求出的值． 13．解含有字母系数m的分式方程，得，因为原方程的解为正数，所以＞0，即＞0，从而求出的取值范围．
二、自我反思
1．错因分析
2．矫正错误
3．检测体会
4．拓展延伸
【例题】阅读下列信息，增根：在分式方程的变形过中，有时可能会产生不适合原方程的根，即能满足去掉分母后的整式方程，但代入原分式方程则无意义，我们把这样的根叫做原分式方程的增根．请根据此知识，解决下述问题．[来源:21世纪教育网
若分式方程有增根，试求m的值．
【点拨】分式方程会有增根，即把方程的解代入各分母的最简公分母，其值为0，则，故方程产生的增根有两种可能：．由增根的定义可知， 是原方程去分母后化成的整式方程的根，将它们代入变形后的整式方程，可求出m的值为－4或6．
总结：（1）产生增根的原因：解分式方程首先要去分母，方程两边同时乘以了一个含未知数的式子（最简公分母），而由此得到的整式方程求出的解，可能会使方程所乘的式子值为0（即最简公分母为0），从而导致出现结果是整式方程的解，但不满足原分式方程，它是增根．
（2）增根的求法：令公分母为0；
（3）求有增根的方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可．
【例题】阅读下列材料：
关于x的方程的解是；的解是；的解是；（即）的解是．
（1）请观察上述方程与解的特征，x的方程（m≠0）与上述方程有什么关系？猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可得到以下结论：如果方程的左边是一个未知数倒数的a倍与这个未知数的的和等于2，那么这个方程的解是．请用这个结论解关于x的方程：
（a≥－1）．
【参考答案】（1）；（2）．[来源:21世纪教育网
参考答案
1． 2．1 3．－1 4．5 5．1 6．A 7．C 8．D 9．A 10．（1）；（2）无解 11．（1）；（2）无解 12． 13．m＜－2
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16．3分式方程（二）
【自主领悟】
1．某饭馆用320元钱到商场去购买“白猫”洗洁精，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价买多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶元，则可列出方程为 （ ）
A． B．
C． D．
2．某实验室现有30%的盐酸50克，要配制25%的稀盐酸，需加入x克水，下面是小华的学习小组所列的关于x的方程，你认为正确的是 （ ）
A．=25% B．=25% C．=25% D．=25%
3．一项工程，甲、乙两人合做需小时完成，甲独做需小时完成，那么乙独做需____________小时完成．
4．甲、乙制作某种零配件，甲每天比乙多做5个，甲制作75个零件所用的天数与乙制作50个零件的天数相等，则甲、乙每天制作的零件数分别为________________．
5．某市为缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程能提前3个月完成，须将原定的工作效率提高12%，问原计划完成这项工程用多少个月？
21世纪教育网
【自主探究】
问题1 某工厂计划天内生产120件零件，由于采用新技术，每天增加生产3件，因此提前2天完成计划，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
名师指导
列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系，本题可用来列方程的相等关系是采用新技术后每天增加生产3件．由题意，原计划每天能生产零件件，采用新技术后提前两天即天完成，所以每天能生产件，根据相等关系可列出方程．
问题2 为改善居住环境，柳村拟在村后荒山上种植720棵树，由于共青团员的支持，实际每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计算每天种植多少棵？设原计划每天种植x棵，根据题意得方程______ __．
名师指导
题目设原计划每天种植x棵，那么可用来列方程的相等关系是实际比原计划提前4天完成任务．由题意，原计划植树天，而实际每天植树棵，实际植树天数为天，所以根据相等关系可列方程．
问题3 甲队单独做一项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比预期多用3天．若甲、乙两队合作2天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成，则规定的工期是多少天？
名师指导
本题的相等关系有两个“乙队单独完成这项工程要比预期多用3天”和“若甲、乙两队合作2天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”．考虑到问题要求的是规定的工期，所以根据第二个相等关系来列方程比较直接，因此设规定的工期是x天，则甲队完成这项工程要x天，再根据第一个相等关系，乙队完成这项工程的天数就可以表示为天．
解题示范
解：设规定的工期是x天，则甲队完成这项工程要x天，乙队完成这项工程要天，
记总工程量为1，由题意可列方程
．
解这个方程，得
．
检验：时，，是原方程的解．
答：规定的工期是6天．
归纳提炼
列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．而难点则在于对题目已知条件的分析，也就是审题，一般来说应用题中的条件有两种，一种是显性的，直接在题目中明确给出，而另一种是隐性的，是以题目的隐含条件给出．问题3中的两个“如期完成”就是一个隐含条件．
【自主检测】
1． 新农村，新气象，农作物播种全部实现机械化．已知一台甲型播种机4天播完一块地的一半，后来又加入一台乙型播种，两台合播，1天播完这块地的另一半．求乙型播种单独播完这块地需要几天？设乙型播种单独播完这块地需要x天，根据题意可列方程 ．
2． 小王做90个零件所需要的时间和小李做120个零件所用的时间相同，又知每小时小王与小李两人共做35个机器零件．求小王、小李每小时各做多少个零件？设小王每小时做x个零件，根据题意可列方程 ．21世纪教育网
3． 某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，请用p表示d ．
4． 某工地调来144人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走．怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工（停工等待）．为解决此问题，可设派x人挖土，其他人运土．列方程为 ①；②；③；④．上述所列方程，正确的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5． “五一”期间，东方中学“动感数学”活动小组的全体同学包租一辆面包车前去某景点游览，面包车的租价为180元．出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元车费．若设“动感数学”活动小组有x人，则所列方程为 （ ）
A． B．
C． D．
6． 某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务．设原计划每天固沙造林公顷，根据题意列方程正确的是 （ ）
A． B． 21世纪教育网
C． D．
7． 在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．
8． 小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们所买的科普书比所买的文学书少一本．这种科普书和这种文学书的价格各是多少？小明和同学买了科普书和文学书各多少本？
[21世纪教育网
9． 某商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了件，并且商场第二个月比第一个月多获利元．问此商品的进价是多少元？商场第二个月共销售多少件？
10．某单位将沿街的一部分房屋出租作为店面房，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9．6万元，第二年为10．2万元．
（1）求出租的房屋总间数；
（2）分别求历年每间房屋的租金．
【自主评价】
一、 自主检测提示
3．设商品成本为1，则标价为，由题意，，整理得
二、自我反思
1．错因分析
2．矫正错误
3．检测体会
4．拓展延伸
【例题】甲、乙两人两次同时在一家粮店购买大米，两次大米的价格分别为每千克a元和b元（a≠b）．甲每次买100千克大米，乙每次买100元大米．
（1）用含a、b的代数式表示：甲两次购买大米共需付款 元，乙两次共购买 千克大米．若甲两次购买大米的平均单价为每千克元，乙两次购买大米的平均单价为每千克元，则= ，= ．
（2）若规定谁两次购粮的平均价格低，谁购粮的方式就更合理，请你判断比较甲、乙两人的购粮方式，哪一个更合理，并说明你的理由．
【参考答案】（1）；
（2）作差法：－=＞0．所以乙的购粮方式更合理．
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参考答案
1． 2． 3． 4．C 5．B 6．B （1）60天，（2）24天 8．科普书7．5元/本、文学书5元/本；（2）科普书2本、文学书3本 9．此商品进价是元，第二个月共销售件． 10．（1）12间，（2）8000元、8500元
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