本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
18.1 勾股定理（三）
教学时间 第3课时
三维目标
一、知识与技能
能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．
二、过程与方法
1．经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型过程，并能用勾股定理来解决此问题，发展学生的应用意识．
2．在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神．
3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．
三、情感态度与价值观
1．在用勾股定理探索实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
2．在解决实际问题的过程中形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．
教学重点 将实际问题转化为直角三角形模型．
教学难点 如何用解直角三角形的知识和勾股定理解决实际问题．
教具准备 多媒体课件．
教学过程
一、创设情境，引入新课
活动1
问题：欲登12米高的建筑物，为完全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？
设计意图：
勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大．它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛的应用．
此活动让学生体验勾股定理在生活中的一个简单应用．
师生行为：21世纪教育网
学生分小组讨论，建立直角三角形的数学模型．
教师深入小组活动中，倾听学生的想法．
此活动，教师应重点关注：
①学生能否将简单的实际问题转化为数学模型；
②学生能否利用勾股定理解决实际问题并给予解释；
③学生参加数学活动是否积极主动．
生：根据题意，（如图）AC是建筑物，则AC=12m，BC=5m，AB是梯子的长度．所以在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13m．
所以至少需13m长的梯子．
师：很好！
由勾股定理可知，已知两直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长．由勾股定理可得a2=c2-b2或b2=c2-a2，由此可知已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边，也就是说，在直角三角形中，已知两边就可求出第三边的长．
二、讲授新课
活动2
问题：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？
设计意图：
进一步体会勾股定理在现实生活中的广泛应用，提高解决实际问题的能力．
师生行为：
学生分组讨论、交流，教师深入学生的数学活动中，引导他们发现问题，寻找解决问题的途径．
教师在此活动中应重点关注：
①学生能否独立思考，发现解决问题的途径比较AC与宽2.2m的大小即可；
②学生遇到困难，能否有克服的勇气和坚强的毅力．
生：从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．
生：在长方形ABCD中，对角线AC是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板是否通过．
师生共析：
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理AC2=AB2+BC2=12+22=52．
因此AC≈≈2.236．
因为AC>木板的宽，所以木板可以从门框内通过．
活动3
问题：如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
设计意图：
进一步熟悉如何将实际问题转化为数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题，发展学生的应用意识和应用能力．
师生行为：
学生独立思考后，在小组内交流合作．
教师深入到学生的数学活动中，倾听他们是如何将实际问题转化为数学问题的．
教师在此活动中应重点关注：
①学生克服困难的勇气和坚强的意志力；
②学生用数学知识解决实际问题的意识．
生：梯子底端B随着梯子顶端A沿墙下滑而外移到D，即BD的长度就是梯子外移的距离．
观察图形，可以看到BD=OD-OB，求BD可以先求出OB，OD．
师：OB，OD如何求呢？
生：根据勾股定理，在Rt△OAB中，AB=3m，OA=2.5m，所以OB2=AB2-OA2=32-2.52=2.752．
OB≈1.658m（精确到0.001m）
在Rt△OCD中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，所以OD2=CD2-OC2=32-22=5．
OD≈2.336m（精确到0.001）
BD=OD-OB=2.236-1.658≈0.58m（精确到0.01m），所以梯子顶端沿墙 ( http: / / www. / / )下滑0.5m，梯子底端外移0.58m．
活动4
问题：“执竿进屋”：笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角．笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．
──当代数学教育家清华大学教授
许莼舫著作《古算题味》
设计意图：
通过古代算题的研究，揭发学生学习数学的兴趣，进一步提高学习数学应用数学知识的能力．
师生行为：
学生先独立思考，读懂题意，后小组交流、讨论、合作完成本活动．
教师深入到学生的数学活动中去，倾听学生理解题意，寻找解题思路的过程．
本活动教师应重点关注：
①学生能否积极主动地参与；
②学生能否运用勾股定理，借助方程（或方程组）解决问题．
生：解：设竿长为x尺，门框的宽度为（x-4）尺，高度为（x-2）尺，根据题意和勾股定理，得
x2=（x-4）2+（x-2）2．
化简，得x2-12x+20=0，
（x-10）（x-2）=0，
x1=10，x2=2（不合题意，舍去）．
所以竿长为10尺．
三、巩固提高
活动5
练习：1．有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，圆的直径至少多长（结果保留整数）．
2．如下图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20m，你能求出A、B两点间的距离吗？
设计意图：
进一步提高学生应用勾股定理解决问题的能力．提高学生学习数学的兴趣．
师生行为：
由学生在黑板上板演，其他同学在练习本上完成，教师可巡视学生完成的情况，对程度较差的学生给予及时的辅导．21世纪教育网
在本活动中，教师应重点关注：
①学生能否独立完成任务；
②学生解答的过程是否严格规范．
生：1．解：设圆的直径为xdm，根据勾股定理，得502+502=x2，
解得x≈71．
所以圆的直径改为71dm．
2．解：如右图，在Rt△ABC中，AC=20m，BC=60m，根据勾股定理，得
AB2=BC2-AC2=602-202=3 200，AB=40．
所以A，B两点间的距离为40m．
四、课时小结
活动6
问题：谈谈你这节课的收获有哪些？会用勾股定理解决简单应用题；学会构造直角三角形．
设计意图：
通过本节，让学生利用勾股定理，完成了将实际问题转化为直角三角形的数学模型的全过程．[来源:21世纪教育网
师生行为：
学生思考总结．
教师完善，得出结论：
本节是从实际问题出发，转化为直角三角形问题，并用勾股定理完成解决．
在活动6中，教师应重点关注：
（1）学生能否从实际问题出发，将实际问题转化成直角三角形的问题，并用勾股定理完成解决，体验勾股定理的重要性；
（2）完成是否积极主动地参与小结．
板书设计
18．1 勾股定理（三）
活动与探究
一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点，那么沿哪条路爬最近？你能帮它找出来吗？（这个长方体的长为15厘米，宽为10厘米，高为20厘米，点B离点C5厘米）
过程：要求蚂蚁爬行的最短路径，需将空间图形转化成平面图形，即将A和B所在的相邻的两个面展示，利用“两点之间，线段最短”，就可求得．
结果：根据题意，最短路径有下列三种情况（如下图所示）．
由图（1）求得AB2=AB12+BB12=152+202=625；
由图（2）求得AB2=BC12+C1A2=252+102=725；
由图（3）求得AB2=AC2+BC2=302+52=925．
比较上面结果，可知最短路径应为AB=25厘米．
21世纪教育网
备课资料
一、雅典凉席
毕达哥拉斯平日生活简朴，他的一张雅典凉席（草编的带有绿方格的席子）已伴随他十几个春秋了，夏天又快到了，他的妻子将草席破损处剪去后，剩下一个不方不正的残片（如下图）．
( http: / / www. / / )
“换一张新的吧！”毕氏的妻子嘟哝着，“实在不能用了．”
正在一旁演算题目的毕氏放下手中的笔，看了看那块被妻子剪裁后的草席道：“把它裁裁拼拼还能用一夏天”．说完他想了一阵，便用手在席子上比划着说：“这样裁成3块（如上图中粗线所示部分），便可将它们拼成一个正方形．”
毕氏说完，妻子看了看又想了一阵说：“你这裁法拼起来太麻烦，还有别的更好的裁法吗？”
毕氏又想了一阵，还是把残草席裁成了3块（图（1）），用它们拼成了一个正方形凉席（图（2）），并且花纹也没有被打乱，妻子看后很满意．[来源:21世纪教育网]
你能试试将按第一种裁法得到的3个图形拼成一个正方形吗？
二、考虑练习
1．某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 200米，结果他在水中实际游了520米，求该河流的宽度．
2．如下图，要修一个育苗棚，棚宽a=2m，b=1.5m，长d=16m，求覆盖在顶上的塑料薄膜需多少平方米？
答案：1．约480m 2．40m2
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
18．1 勾股定理（一）
一、教学目标
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
二、重点、难点
1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
三、例题的意图分析
例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。
四、课堂引入
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
五、例习题分析
例1（补充）已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正
4×ab＋（b－a）2=c2，化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=4×ab＋c2
右边S=（a+b）2
左边和右边面积相等，即
4×ab＋c2=（a+b）2
化简可证。
六、课堂练习
1．勾股定理的具体内容是： 。
2．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ；
⑵若D为斜边中点，则斜边中线 ；
⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ；
⑷三边之间的关系： 。
3．△ABC的三边a、b、c，若满足b2= a2＋c2，则 =90°； 若满足b2＞c2＋a2，则∠B是 角； 若满足b2＜c2＋a2，则∠B是 角。
4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。
七、课后练习
1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
⑴c= 。（已知a、b，求c）
⑵a= 。（已知b、c，求a）
⑶b= 。（已知a、c，求b）
2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。
3、4、5 32+42=52
5、12、13 52+122=132
7、24、25 72+242=252
9、40、41 92+402=412
…… ……
19，b、c 192+b2=c2
3．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。
4．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。
求证：⑴AD2－AB2=BD·CD
⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。
课后反思：
八、参考答案
课堂练习21世纪教育网
1．略；
2．⑴∠A+∠B=90°；⑵CD=AB；⑶AC=AB；⑷AC2+BC2=AB2。[来源:21世纪教育网]
3．∠B，钝角，锐角；21世纪教育网
4．提示：因为S梯形ABCD = S△ABE+ S△BCE+ S△EDA，又因为S梯形ACDG=（a+b）2，
S△BCE= S△EDA= ab，S△ABE=c2, （a+b）2=2× ab＋c2。21世纪教育网
课后练习
1．⑴c=；⑵a=；⑶b=
2． ；则b=，c=；当a=19时，b=180，c=181。
3．5秒或10秒。
4．提示：过A作AE⊥BC于E。
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
18．1 勾股定理（二）
教学时间 第二课时
三维目标
一、知识与技能
1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法．
2．运用勾股定理解决一些实际问题．
二、过程与方法
1．经历用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力．
2．在拼图的过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识．
三、情感态度与价值观
1．利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献，借助此过程对学生进行爱国主义的教育．
2．经历拼图的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣．
教学重点
经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值．
教学难点 经历用不同的拼图方法证明勾股定理．
教具准备 每个学生准备一张硬纸板;多媒体课件演示．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
问题：我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2；完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2是非常重要的内容．谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？
设计意图：
回忆前面的知识，由此得出用拼图的方法推证数学结论非常直观，上节课已经通过数格子的方法大胆猜想出了一个命题：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．但我们不能对所有的直角三角形一一验证，因此需从理论上加以推证，学生也许会从此活动中得到启示，采用类似拼图的方法证明．
师生行为：
学生动手活动，分组操作，然后在组内交流．
教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，并帮助、指导学生完成任务，得出两个公式的几何意义．
在活动1中教师应重点关注：
①学生能否积极主动地参与活动；
②学生能否想到用拼图的方法，通过计算拼图的面积而得出两个公式的几何意义；
③学生能否从这两个公式的几何意义联想到直角三角形的三边关系是否也可以类似证明．
生：这两个公式都可以用多项式乘以多项式的乘法法则推导，如下：
（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2，
所以（a+b）（a-b）=a2-b2；
（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2；
（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2；
所以（a±b）2=a2±2ab+b2．
生：还可以用拼图的方法说明上面的公式成立．例如：
(1) (2)
图（1）中，阴影部分的面积为a2-b2，用剪刀将（1）中的长和宽分别为（a-b）和b的长方形剪下来拼接成图（2）的形式便可得图（2）中阴影部分的面积为（a+b）（a-b）．而这两部分面积是相等的，因此（a+b）（a-b）=a2-b2成立．
生：（a+b）2=a2+2ab+b2也可以用拼图的方法，通过计算面积证明，如图:
(3)
我们用两个边长分别为a和b的正方形，两个长和宽分别a和b的长方形拼成一个边长为（a+b）的正方形，因此这个正方形的面积为（a+b）2，也可以表示为a2+2ab+b2，所以可得（a+b）2=a2+2ab+b2．
师：你能类似的方法证明上一节猜想出的命题吗？
二、探索研究
活动2
我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系，拼一拼，完成下列问题：
（1）在一张纸上画4个与图（4）全等的直角三角形，并把它们剪下来．
(4) (5)
（2）用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用拼图的方法，面积之间的关系说明上节课关于直角三角形三边关系的猜想吗？
（3）有人利用图（4）这4个直角三角形拼出了图（5），你能用两种方法表示大正方形的面积吗？
大正方形的面积可以表示为：__________，又可以表示为__________．
对比两种表示方法，你得到直角三角形的三边关系了吗？
设计意图：
让学生通过拼图计算面积的方法证明直角三角形的三边关系，培养学生的动手操作能力和创新意识．
师生行为：
学生在独立思考的基础上，以小组为单位交流自己拼图的结果．
教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，并帮助、指导学生完成任务，用计算面积的方法比较得出直角三角形的三边关系．
在本次活动中，教师应关注：
①能否通过拼图计算面积的方法得到直角三角形的三边关系．
②学生能否积极主动地参与拼图活动．
生：我也拼出了图（5），而且图（5）用两种方法表示大正方形的面积分别为
（a+b）2或4×ab+c2，由此可得（a+b）2=4×ab+c2．
化简得：a2+b2=c2．
由于图（4）的直角三角形是任意的，因此a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
生：我拼出了和这个同学不一样的图，如图（6）大正方形的边长是c，小正方形的边长为a-b，利用这个图形也可以说明勾股定理．因为大正方形的面积也有两种表示方法，既可以表示为c2，又可以表示为ab×4+（b-a）2．对比两种表示方法可得
c2=HYPERLINK "http://www.//" EMBED Equation.DSMT4 ab×4+（b-a）2．化简得c2=a2+b2，
同样得到了直角三角形的三边关系．
(6)
师：这样就通过推理证实了命题1的正确性，我们把经过证明被确定为正确的命题叫做定理．命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理．21世纪教育网
我国古代的学者们对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且使用了许多巧妙的方法证明了它为了弘扬我国古人赵爽的证法，大家从中一定会领略到我国古代数学家的智慧．
活动3
图（6）这个图案和3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案一模一样，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽利用弦图证明命题1（即勾股定理）的基本思路如下，如图（7）．
把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积为a2+b2，另一方面这个图形由四个全等的直角三角形和一个正方形组成．把图（7）中左、右两个三角形移到图（9）所示的位置，就会形成一个c为边长的正方形．
因为图（7）与图（9）都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面积相等．
因此a2+b2=c2．
上面的证法是我国有资料记载的对勾股定理的最早证法．“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．它是我国古代数学的骄傲．正因如此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．
设计意图：
了解我国古代数学成就，为我国数学未来的发展立志作出贡献，培养学生的爱国主义精神．
师生行为：
在教师的引导下进一步体会我国古代数学家证明勾股定理的聪明、智慧．
师：在所有的几何定理中，勾股定理的证明方法也许是最多的．在西方，一般认为这个定理是由毕达哥拉斯发现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理．
1940年，国外有人收集了勾股定理的365种证法，编了一本书．其实，勾股定理的证法不止这些，作者之所以选用了365种，也许他是默默地想让人注意，勾股定理的证明简直到了每天一种的地步．
生：老师，我在查资料时，还发现勾股定理的证明还和美国的一个总统有关系，是这样吗？21世纪教育网
师：是的．1876年4月1日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，颇有兴趣地在《新英格兰教育日志》上发表了提出的一个勾股定理的证明．据他说，这是一种思维体操，并且还调皮地声称，他的这个 ( http: / / www.21cnjy.com / )证明是得到两党议员“一致赞同的”．由于1881年加菲尔德当上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话．
生：能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗？
师：可以，如下图所示，这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，和第一个同学用全等的四个直角三角形拼出来的图形对比一下，有联系．
生：总统拼出的图形恰好是第一个同学拼出的大正方形的一半．
师：同学们不妨自己从上图中推导出勾股定理．
生：上面的图形整体上拼成一个直有梯形．所以它的面积有两种表示方法，既可以表示为（a+b）·（a+b），又可以表示为ab×2+c2．对此两种表示方法可得
（a+b）·（a+b）=ab×2+c2．化简，可得a2+b2=c2．
师：很好．同学们如果感兴趣的话，不妨自己也去寻找几种证明勾股定理的方法．
活动4
议一议：
观察上图，用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是否满足a2+b2=c2．
设计意图：
前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系，那么锐角三角形或钝角三角形三边是否也满足这一关系呢？学生通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a，b，c不满足a2+b2=c2．通过这个结论，学生将对直角三角形的三边的关系有进一步的认识．
师生行为：
学生分小组讨论交流，得出结论：
教师提出问题后，组织讨论，启发，引导．
此活动教师应重点关注：
①能否积极参与数学活动；
②能否进一步体会到直角三角形非常重要的三边关系．
师：上图中的△ABC和△A′B′C′是什么三角形？
生：△ABC，△A′B′C′在小方格纸上，不难看出△ABC中，∠BCA>90°；△A′B′C′中，∠A′B′C′，∠′B′C′A′，∠B′A′C′都是锐角，所以△ABC是钝角三角形，△A′B′C′是锐角三角形．
师：△ABC的三边上“长”出三个正方形，谁为帮我数一个每个正方形含有几个小格子．
生：以b为边长的正方形含有9个小格子，所以 ( http: / / www.21cnjy.com / )这个正方形的面积b2=9个单位面积；以a为边长的正方形中含有8个小格子，所以这个正方形的面积a2=8个单位面积，以c为边长的正方形中含有29个小格子，所以这个正方形的面积c2=29个单位面积．
a2+b2=9+7=16个单位面积，c2=29个单位面积，所以在钝角三角形ABC中a2+b2≠c2．
师：锐角三角形A′B′C′中，如何呢？
生：以a为边长的正方形含5个小格子，所以a2=5个单位面积；以b为边长的正方形含有8个小格子，所以b2=8个单位面积；以c为边长的正方形含9个小格子，所以a2=9个单位面积．由此我们可以算出a2+b2=5+8=13个单位面积．在锐角三角形A′B′C′中，a2+b2≠c2．
师：通过对上面两个图形的讨论可进一步认识到只有在直角三角形中，a，b，c三边才有a2+b2=c2（其中a、b是直角边，c为斜边）这样的关系．
生：老师，我发现在钝角三角形ABC中，虽然a2+b2≠c2，但它们之间也有一种关系a2+b2c2，它们恒成立吗？
师：这位同学很善于思考，的确如此，同学们课后不妨验证一下，你一定会收获不小．
三、课时小结
活动521世纪教育网
你对本节内容有哪些认识？会构造直角三角形，并理解构造原理，深刻理解勾股定理的意义．
设计意图：
这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，从而使小结活动不流于形式而具有实效性，为学生提供更好的空间以梳理自己在本节课中的收获．
小结活动既要注重引导学生体会勾股定理独特的证明方法又要从能力，情感态度方面关注学生对课堂的整体感受．
师生行为：
由学生小组讨论小结．
在活动5中，教师应重点关注：
（1）不同层次的学生对本节知识的认同程序；
（2）学生要从我国古人对数学的钻研精神和聪明才智中得到启示，树立学好数学的信心．
板书设计
18．1 勾股定理（二）
1．用拼图法验证勾股定理
（1）
由上图得（a+b）2=ab×4+c2
即a2+b2=c2；
（2）
由上图可得c2=ab×4+（b-a）2
即a2+b2=c2
2．介绍“赵爽弦图”
活动与探究
如右图，木长二丈，它的一周是3尺，生长在木下的葛藤缠木七周，上端恰好与木刘，问葛藤长多少？
过程：从表面上看，这道题与勾股定理无关系．但是如果你用一张直角三角形的纸片约一支圆柱形铅笔上缠绕，就会发现；这里的葛藤之长相当于直角三角形的斜边．
结果：根据题意，可得一条直角边（即高）长2丈即20尺，另一条直角边（即底边）长7×3=21（尺），因此葛藤长设为x尺，则有x2=202+212=841=292，所以x=29尺，即葛藤长为29尺．
备课资料
一、《原本》一书中勾股定理的证明
我们知道，勾股定理的证明方法有五百余种．现存的最古老的证明，载于欧几里得的《原本》一书中，它随《原本》在世界广泛流传而流传，成为二千年来《几何学》教科书中通用证法．
如图，在Rt△ABC各边上向外作正方形ABED，BCGK，CAFH．连结CD，FB．
因为AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠CAD=90°+∠CAB，所以△FAB≌△CAD，21世纪教育网
作CL∥AD．因为S△FAB=FA·FH．（FH为△FAB的AF边上的高）．
而S正方形CAFH=FA·FH．所以S正方形CAFH=2S△FAB．
又因为S△CAD =AD·DL（DL为AD边上的高），而S长方形ADLM=AD·DL，
所以S长方形ADLM=2S△CAD；
综上所述，可得S正方形CAFH=S长方形ADLM．
同理可证S正方形BCGK=S长方形BELM，
所以S正方形ABED=S长方形ADLM+S长方形BELM=S正方形CAFH+S正方形BCGK，即AB2=AC2+BC2．
其实，欧几里得《原本》中的证明并不简单，简明的证明要数公元三世纪我国数学家赵爽给出的勾股圆方图．即这节课我们介绍的验证勾股定理的第二种拼图．
二、勾股定理的推广
如果把勾股定理“直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和”中的平方，理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理还可以推广．比如，把由直角三角形三边所构作的三个正方形，推广为以三边为直径的半圆，结论仍然成立，即以斜边为直径的半圆，其面积等于分别以两条直角边为直径所作的半圆的面积之和（如图）．证明如下：
( http: / / www. / / )
因为c2=a2+b2．等式两边同乘，得c2=a2+b2
即（）2＝（）2＋（）2．
所以（）2＝（）2＋（）2．
如果将上图中斜边上的半圆沿斜边翻一个身，成为右图的样子，不难证明“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积．”[来源:21世纪教育网]
这两个阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙形”．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
18.1 勾股定理（四）
教学时间 第四课时
三维目标
一、知识与技能
1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．
2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．
二、过程与方法
1．经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程，发展学生灵活勾股定理解决问题的能力．
2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的动手操作能力和创新精神．
3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．
三、情感态度与价值观
1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
2．在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．
教学重点
在数轴上寻找表示，，，，……这样的表示无理数的点．
教学难点 利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．
教具准备 多媒体课件．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
【例1】飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5 000米，飞机每小时飞行多少千米？
【例2】如右图所示，某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体，已知物体A到平面镜的距离为6米，向B点到物体A的像A′的距离是多少？
【例3】在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？
设计意图：
让学生进一步体会勾股定理在生活中的应用的广泛性，同时经历勾股定理在物理中的应用，由此可知数学是物理的基础，方程的思想是解决数学问题的重要思想．
师生行为：
先由学生独立思考，完成，后在小组内讨论解决，教师可深入到学生的讨论中去，对不同层次的学生给予辅导．
在此活动中，教师应重点关注：
①学生是否自主完成上面三个例题；
②学生是否有综合应用数学知识的意识，特别是学生是否有在解决数学问题过程中的方程的思想．
师生共析：
例1：分析：根据题意，可以画出右图，A点表示男孩头顶的位置，C、B点是两个时刻飞机的位置，∠C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．
解：根据题意，得Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5 000米，AC=4 800米．由勾股定理，得AB2=AC2+BC2．即5 0002=BC2+4 8002，所以BC=1 400米．
飞机飞行1 400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1 400×6×60=50 400米=504千米，即飞机飞行的速度为504千米/时．
评注：这是一个实际应用问题，经过分析，问题转化为已知两边求直角三角形等三边的问题，这虽是一个一元二次方程的问题，学生可尝试用学过的知识来解决．同时注意，在此题中小孩是静止不动的．
例2：分析：此题要用到勾股定理，轴对称及物理上的光的反射知识．
解：如例2图，由题意知△ABA′是直角三角形，由轴对称及平面镜成像可知：
AA′=2×6=12米，AB=5米；
在Rt△A′AB中，A′B2=AA′2+AB2=122+52=169=132米．
所以A′B=13米，即B点到物体A的像A′的距离为13米．
评注：本题是以光的反射为背景，涉及到勾股定理、轴对称等知识．由此可见，数学是物理的基础．
例3：分析：在此问题中，要注意水草的长度与水深的关系，还要注意水草站立时和吹到一边，它的长度是不变的．
解：根据题意，得到右图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB，BC⊥AD．
所以在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2，即（AC+3）2=AC2+62，
AC2+6AC+9=AC2+36.6AC=27，AC=4.5，所以这里的水深为4.5分米．
评注：在几何计算题中，方程的思想十分重要．
二、讲授新课
活动2
问题：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出的点吗？的点呢？
设计意图：
上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题．在初一时我们只能找到数轴上的一些表示有理数的点，而对于象，，……这样的无理数的数点却找不到，学习了勾股定理后，我们把，，……可以当直角三角形的斜边，只要找到长为，的线段就可以，勾股定理的又一次得到应用．
师生行为：
学生小组交流讨论
教师可指导学生寻找象，，……这样的包含在直角三角形中的线段．
此活动，教师应重点关注：
①学生能否找到含长为，这样的线段所在的直角三角形；
②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志；
③学生能否积极主动地交流合作．
师：由于在数轴上表示的点到原点的距离为，所以只需画出长为的线段即可．
我们不妨先来画出长为的线段．
生：长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边．
师：长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？
生：设c=，两直角边为a，b，根据勾股定理a2+b2=c2即a2+b2=13．若a，b为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13=4+9，a2=4，b2=9，则a=2，b=3．所以长为的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．
师：下面就请同学们在数轴上画出表示的点．
生：步骤如下：
1．在数轴上找到点A，使OA=3；
2．作直线L垂直于OA，在L上取一点B，使AB=2；
3．以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点．
活动3
练习：在数轴上作出表示的点．
设计意图：
进一步巩固在数轴上找表示无理数的点的方法，熟悉勾股定理的应用．
师生行为：
由学生独立思考完成，教师巡视．
此活动中，教师应重点关注：
①学生能否积极主动地思考问题；
②能否找到斜边为，另外两个角直边为整数的直角三角形．
生：是两直角边为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示的点如右图：
三、巩固提高
活动4
问题：（1）根据勾股定理，还可以作出长为无理数线段，你能做出哪些长为无理数的线段呢？
（2）欣赏下图，你会得到什么启示？
设计意图：
进一步熟悉直角三角形的三边关系，让学生在学习的过程中欣赏和创造美．
师生行为：
学生分组活动，交流讨论．
教师参与于学生的小组活动中去．
本活动教师应重点关注：
①能否将无理数转化为某个直角三角形的斜边长．
②能否积极参与，欣赏数学美．
生：在上述方程找到了长度为，、、、，……的线段，因此在数轴上便可以表示出来，．教学时可以先画出，，……之后，再画，画法不唯一，如下图：
四、课时小结
活动5
问题：你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理得到一些无理数并理解数轴上的点与实数一一对应．
设计意图：
这种形式的小结，激发了学生主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足学生多样化的学习需要，从而使小结活动不流于形式而具有实效性，为学生提供了更好的空间以梳理自己在本节课中的收获．
小结活动既要注重引导学生将数学知识体系化又要从能力、情态态度等方面关注学生对课堂的整体感受．
师生行为：
学生小组内交流、反思．
教师巡视指导．
在活动5中教师应重点关注：
①不同层次学生对本节知识的认知程度；
②学生独立面对困难，克服困难的能力．
板书设计
18．1 勾股定理（四）
1．在数轴上画出表示的点，分以下四步完成；
（1）将在数轴上画出表示的点的问题转化为画出长为的线段的问题。
（2）由长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，联想到长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边．
（3）通过尝试发现，长为的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．
（4）画出长为的线段，从而在数轴上画出表示的点．
活动与探究
河海滨馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设红地毯，主楼梯宽4米，购货员在市场中选中一种宽度合适的地毯，每平方米50元，帮他计算一下，购买铺这段楼梯的地毯，大约需多少钱？
过程：此题看似是在一个直角三角形中求斜边，其实不然，由于楼梯的水平方向和竖直方向都需要铺，所以水平方向长度和即为6.4m，竖直方向长度和即为4.8m．
结果：地毯共需：4.8+6.4=11.2（m）．
面积为11.2×4=44.8（m2）．
44.8×50=2 400（元）．
所以购买地毯共需2 440元．
习题详解
习题18．1
1．AC==17．
2．解：设旗杆折断之前有xm，根据勾股定理，得
（x-6）2=62+82，[来源:21世纪教育网]
（x-6）2=100．
因为x-6>0，所以x-6=10，
∴x=16．
所以旗杆折断之前的高度为16m．
3．解：根据勾股定理，得
AB==2.5，
即AB的长为2.5cm．
4．解：AC=40-21=19cm，BC=60-21=39（cm）．
根据勾股定理，得
AB=≈43.4（mm）．
即两孔中心距离为43.4mm．[来源:21世纪教育网
5．解：根据勾股定理，得
=2（m）．
所以地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离是2m．
6．解：根据勾股定理可知：两直角边的长分别为4，2时，斜边的长为，如下图所示：
( http: / / www. / )
7．解：（1）∠A=30°，AB=10，所以BC=5，因为∠C=90°，根据勾股定理，得
AC==5≈8.66．
（2）∠A=45°，所以△ABC为等腰直角三角形，即BC=AC．
根据勾股定理，得2BC2=2AC2=100，
所以BC=AC=5≈7.07．
8．解：在△ABC中，∠C=90°．
（1）△ABC的面积=×2.1×2.8=2.94（cm2）；
（2）根据勾股定理：AB==3.5（cm）；21世纪教育网
（3）因为CD×AB=AC×BC，
所以CD==1.68（cm）．
即高CD为1.68cm．
9．解：根据题意，得
L=≈82（mm）．
10．解：设水的深度为x尺，这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据题意，设：
（x+1）2=x2+（10÷2）2．
解这个方程得x=12．
x+1=13．
所以水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺．
11．解；以AB为直径的半圆的面积为××（）2=AB2；以BC为直径的半圆的面积为××（）2=BC2；
以AC为直径的半圆的面积为×（）2=AC2．
因为∠C=90°，所以AB2=BC2+AC2
AB2=BC2+AC2
即以直角三角形斜边为直径的半圆的面积等于两直角边为直径的半圆的面积和．
12．解：阴影部分的面积=以AC为直径的半圆的面积+以BC为直径的半圆的面积+Rt△ABC的面积-以AB为直径的半圆的面积，根据11题的结论可知：
阴影部分的面积=Rt△ABC的面积=20cm2．
13．解：根据题意，可知：OB=1.6÷2=0.8m，OA=2÷2=1m，
在Rt△OAB中，AB==0.6（m），
1-0.6=0.4≥0. 2，
所以这辆卡车能通过厂门．
备课资料
参考例题
【例1】如右图所示，△ABC中，AB=15cm，AC=24cm，∠A=60°，求BC的长．
分析：△ABC是一般三角形，若要求出BC的长，只能将BC置于一个直角三角形中．
解：过点C作CD⊥AB于点D．
在Rt△ACD中，∠A=60°，
∠ACD=90°-60°=30°，
AD=AC=12（cm）．
CD2=AC2-AD2=242-122=432，
DB=AB-AD=15-12=3．
在Rt△BCD中，
BC2=DB2+CD2=32+432=441，
BC=21cm．
评注：本题不是直角三角形，而要解答它必须构造出直角三角形，用勾股定理来解．
【例2】如右图，A、B两点都与平面镜相距6米，且A、B两点相距6米，一束光线由A射向平面镜反射之后恰巧经过B点，求B点到入射点的距离．
分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识．
解：作出B点关于CD的对称点B′，连结AB′，交CD于点O，则O点就是光的入射点．
因为B′D=DB．
所以B′D=AC．
∠B′DO=∠OCA=90°，∠B′=∠CAO
所以△B′DO≌△ACO（SSS）
则OC=OD=AB=×6=3米．
连结OB，在Rt△ODB中，[来源:21世纪教育网
OD2+BD2=OB2．21世纪教育网
所以OB2=32+42=52，
即OB=5（米）．
所以点B到入射点的距离为5米．
评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础．
【例3】如下图，一艘船在A处要到达灯塔C处，可由于A、C之间有一座小岛，船就先向北行驶400海里，再向东行驶300海里便可到达C处，请你计算A与C之间的直线距离有多远？
分析：由方位可知，正北方向与正东方向的夹角为90°，因此，由题意可画出一个直角△ABC，∠B=90°，如上图所示，AB=400，BC=300，可由勾股定理求AC的长．
解：在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理，得
AB2+BC2=AC2．
∴4002+3002=AC2，
∴AC2=250 000．
∴AC=500（海里）．
所以A、C之间的直线距离为500海里．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
