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18．2 勾股定理的逆定理（三）
教学目标21世纪教育网 知识与技能21世纪教育网 1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形. 21世纪教育网21世纪教育网2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题.[来源:21世纪教育网3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.
过程与方法 在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度.使学生能归纳总结数学思想方法在题目中应用的规律.
情感态度与价值观 培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值
重点 灵活应用勾股定理及逆定理解综合题目
难点 灵活应用勾股定理及逆定理解解综合题目
教 学 过 程
教学设计 与 师生互动 备 注
第一步：课堂引入勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目.
第二步：应用举例：例1已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.分析：利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状.⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，则都为0；⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.
例2已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD的面积.分析：使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题.本题辅助线作平行线间距离无法求解.创造3、4、5勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE就是平行线间距离.⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积.例3已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形. 分析：勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形.∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2
第三步：课堂练习1．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ ）A．等腰三角形；B．直角三角形；C．等腰三角形或直角三角形；D．等腰直角三角形.2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：，试判断△ABC的形状.3．已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且AB⊥BC.求：四边形ABCD的面积.4．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD2=AD·BD.求证：△ABC中是直角三角形.参考答案：1．C； 2．△ABC是等腰直角三角形； 3． 4．提示：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2，∴∠ACB=90°.
第四步：课后练习：1．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积.2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm.求证：△ABC是等腰三角形.3．已知：如图，∠DAC=∠EAC，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2.求证：AB2=AE2+CE2.4．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，试判定△ABC的形状. 参考答案：1．6； 2．提示：因为AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD，根据线段垂直平分线的判定可知AB=BC. 3．提示：有AC2=AE2+CE2得∠E=90°；由△ADC≌△AEC，得AD=AE，CD=CE，∠ADC=∠BE=90°，根据线段垂直平分线的判定可知AB=AC，则AB2=AE2+CE2.4．提示：直角三角形，用代数方法证明，因为（a+b）2=16， a2+2ab+b2=16，ab=1，所以a2+b2=14.又因为c2=14，所以a2+b2=c2 .
小结与反思：
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18．2 勾股定理的逆定理（二）
教学目标 知识与技能[来源:21世纪教育网 1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.[来源:21世纪教育网]21世纪教育网2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.
过程与方法 在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度.
情感态度与价值观 培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值
重点 灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.
难点 灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.
教学过程
教学过程 与 师生互动 备 注
第一步：课堂引入、创设情境在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法.
第二步：应用举例、能力提高：例1（P83例2）分析：⑴了解方位角，及方位名词； ⑵依题意画出图形；⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30；⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90°；⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°.小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识.例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状.分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形.
第三步：课堂练习1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地.小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 .2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？参考答案：1．向正南或正北.2．能，因为BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以BC2+AC2= AB2；3．由△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，所以有∠CAB=40°，航向为北偏东50°.
第四步：课后练习1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 .2．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量.小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°.参考答案：1．6米，8米，10米，直角三角形；2．△ABC、△ABD是直角三角形，AB和地面垂直.3．提示：连结AC.AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此∠CAB=90°，S四边形=S△ADC+S△ABC=36平方米.
小结与反思 ：
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18．2 勾股定理的逆定理（一）
教学目标[21世纪教育网[来源:21世纪教育网21世纪教育网 知识与技能21世纪教育网 探索并掌握直角三角形判别思想，会应用勾股逆定理解决实际问题．[21世纪教育网
过程与方法 经历直角三角形判别条件的探究过程，体会命题、定理的互逆性，掌握情理数学意识．
情感态度与价值观 培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值
重点 理解并掌握勾股定理的逆定性，并会应用．
难点 理解勾股定理的逆定理的推导．
教学过程
教学设计 与 师生互动 备 注
一、创设情境，导入课题【实验观察】 实验方法：用一根钉上13个等距离结的细绳子，让同学操作，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起．然后用角尺量出最大角的度数．（90°），可以发现这个三角形是直角三角形．归纳结论：勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
二、研究新知、应用举例：例：以6，8，10为三边的三角形是直角三角形吗？如 三边为5，6，7的三角形是不是直角三角形？例：根据下列条件，分别判断a,b,c为边的三角形是不是直角三角形（1）a=7,b=24,c=25; (2) a=,b=1,c=例：已知的三边分别a,b,ca=,b=2mn,c=(m>n,m,n是正整数)，是直角三角形吗？说明理由。分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。解：是直角三角形注意事项：书写时千万是直角三角形。这里你弄错了勾股定理的逆定理的条件和结论。分清何时利用勾股定理，何时利用其逆定理例（见课本P83 例2） 思路点拨：首先应根据题意画出图形，（见课本P83图18．2-3）．这是一种象限图，依图形可以看出，“远航”号的航向已经知道，只要求出两艘轮船的航向所成的角，就可以知道“海天”号的航向．例：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=BC，求证：AF⊥EF．思路点拨：要证AF⊥EF，需证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定性，只要证出AF2+EF2=AF2就可以了．
三、随堂练习，巩固深化 1．课本P84 “练习”1，2，3 2．【探研时空】 若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状． （提示：根据所给条件，只有从关于a，b，c的等式入手，找出a，b，c三边之间的关系，应用分解因式可得（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，求出a=5，b=12，c=13，∵a2+b2=c2，∴△ABC是Rt△）．例：如下图中分别以三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则是直角三角形吗？
四、课堂总结，发展潜能 1．勾股定理的逆定性：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．（问：勾股定理是什么呢？） 2．该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 3．应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．
课后反思 ：
A
B
C
a
b
c
S1
S2
S3
B
A
B
C
a
b
c
S1
S2
S3
A
C
a
b
c
S1
S2
S3
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