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19.2.2 菱形(2)
第四课时
教学目标
知识与技能：
探究菱形的判定方法，掌握菱形的判定定理．了解菱形在实际问题中的应用．
过程与方法：
经历思索菱形判定思想的过程，领会菱形的概念以及应用方法，发展学生主动探究的思想和说理的基本方法．
情感态度与价值观：
培养良好的思维意识以及合情推理能力，感悟其应用价值．
重难点、关键
重点：理解和掌握菱形的判定定理．
难点：发展学生合情推理能力．
关键：应用观察、运动的观点探究本节课的主要内容，把握菱形是平行四边形的特殊事例的这一前提来寻求菱形固有的特性．
教学准备
教师准备：投影仪，制作投影片，补充本节课有关的内容并制成投影片；21世纪教育网
教具准备：长短两根细木条，钉子，橡皮筋．
学生准备：复习菱形性质，预习菱形判定定理．
学法解析
1．认知起点：已经学行四边形、矩形、菱形等有关知识的基础上，积累了一定的推理经验．
2．知识线索：
3．学习方式：以操作引入，迁移的方式展开学习，采用合作交流的学习方式来解决重点突破难点．
教学过程
一、回顾交流，操作导入21世纪教育网
教师提问：
1．菱形的定义是什么？
（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
2．菱形具有哪些性质呢？
性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都相等；
（2）角的性质：对角相等；
（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
（4）对称性：是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．
学生活动：采用相互提示、回顾并回答的方法，结合图形直观理解．
【课堂演练】（投影显示）
填空
1．菱形的周长为12cm，一个内角等于150°，则它的面积是_____．
（答案：4.5cm2）
2．矩形的一条边长为4cm，面积为20cm2，则这个矩形的一条对角线长为______．
（答案：cm）
3．菱形中较大角是较小角的3倍，高为5cm，则这个菱形边长为______．
（答案：5cm）
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，组织学生演练，然后提问个别学生．
学生活动：独立思考，完成填空题，通过训练，达到回忆的目的．
【设计意图】用合作交流的方式复习概念，再通过课堂训练，以练促思．
二、教具演示，观察发现
【问题牵引】
教具：两根一长一短的细木条，钉子、橡皮筋．
操作：教师在两根细木条的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字，再将四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形，问：这个四边形是怎样的四边形？（答：平行四边形）．教师继续操作教具，转动木条，问：将木条转成互相垂直的位置，这时这个平行四边形是怎样的平行四边形呢？为什么？
回答：学生观察后回答：因为将木条转成互相垂直后，这个平行四边形两条对角线互相垂直平分，根据线段垂直平分线性质定理，可以得到这个平行四边形一组邻边相等，根据菱形定义，它是菱形．
【形成定理】（教师板书）
菱形判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【归纳方法】（学生归纳）
菱形的判定方法：
（1）边的关系：是平行四边形，并且有一组邻边相等．
（2）对角线的关系：是平行四边形，并且对角线互相垂直．
三、范例点击，应用所学
例2 如图，ABCD的对角线AC、BD交于O，AB=5，AO=4，BO=3，求证ABCD是菱形．（投影显示）
思路点拨：由于平行四边形对角线互相平分，构成了△ABO是一个三角形，而AB=5，AO=4，BO=3，由勾股定理可知∠AOB=90°，这样可利用菱形判定定理证得．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，分析例2．
讲明分析思路，是利用勾股定理求证∠AOB=90°（板书）
教师活动：补充课堂演练题．组织学生应用知识．
演练题1：如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，E是AD上的点，∠BCE=75°，求证：BE=BC.
思路点拨：已知四边形ABCD是矩形，∠BCE=75°，所以∠DEC=75°，∠ECD=15°，以CD为边，在矩形外作∠DCF=60°，这样得到∠F=30°，得到CF=2CD=2AB=BC，∠FCE=∠FEC=75°，只要证四边形BCFE是菱形即可；本题还可以证△BCE≌△FCE来解决．
学生活动：分析、思考，完成演练题1，然后上台演示、交流．
证明：以CD为边在矩形ABCD的外面作∠DCF=60°交AD的延长线于F，
则∠F=30°，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DEC=∠BCE=75°，
∴CF=2CD=2AB=BC．∠DCE=∠DCB-∠ECB=90°-75°=15°，
∴∠ECF=∠ECD+∠DCF=15°+60°=75°．21世纪教育网
∴∠ECF=∠FEC=75°，∴EF=CF，∴EF=BC．
又BC=CF．
∴四边形EBCF是菱形．
【设计意图】以例2分析帮助学生理解判定定理的应用，然后教师放手让学生演练，培养学生独立思考能力．
四、随堂练习，巩固深化
1．课本P110 “练习”1，2，3
2．【探研时空】
Rt△ABC，∠A=90°，∠B的平分线交AC于D，自A作BC的垂线交BD于E，自D作DF⊥BC，求证：AEFD为菱形．
（提示：欲证AEFD是菱形，首先证明AEFD是平行四边形，再证它有一组邻边相等）．
五、课堂总结，发展潜能
1．当平行四边形的一组邻边相等时，这个平行四边形是菱形，菱形也是平行四边形特例，它是轴对称图形，它的对称轴是它的对角线所在的直线，因此它有两条对称轴．
2．菱形也具有平行四边形的所有性质，而且由“一组邻边相等”可导出菱形的特殊性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
3．判定一个四边形是菱形的方法有：
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
六、布置作业，专题突破
七、课后反思
[来源:21世纪教育网
第四课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．如图所示，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE相交于M，BC、DF交于N，求证：四边形BMDN是菱形．
2．如图所示，菱形ABCD，E、F分别是BC、CD上的点，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF的度数．
【提升“学力”】
3．如图所示，ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于E，交BC于F，求证四边形AFCE是菱形．
[来源:21世纪教育网]
4．求证：连接矩形四边中点的四边形是菱形（要求画出图形，写出已知、求证，证明）21世纪教育网
【聚焦“中考”】
5．如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠B=60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长（粗线部分）为（ ）．
A．12m B．20m C．22m D．24m
6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD的长为（ ）．
A．8 B．4 C．2 D．8
7．如图，过ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于E、F、G、H．求证：四边形EFGH是菱形．
8．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，求图中阴影部分面积．
答案:
1．提示：先证BNDM，再证△BFN≌△DCN，得BN=DN 2．∠CEF=18°
3．提示：FG AE，∴AECF，AF∥CE，同理：DE∥BF，∠FGE=90°
4．提示：连接矩形对角线
5．B 6．B
7．提示：证△OBG≌△ODE，推出OE=OG，
同理OF=OH，得平行四边形EFGH，
由EG⊥FH得菱形EFGH 8．2.5
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19.2.2菱形（1）
第三课时
教学目标
知识与技能：
理解菱形的概念，掌握菱形的性质．
过程与方法：21世纪教育网
经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基本方法．
情感态度与价值观：
培养学生主动探究的习惯和严密的思维意识、审美观、价值观．
重难点、关键
重点：理解并掌握菱形的性质．
难点：形成合情推理的能力．
关键：把握平行四边形的概念，引伸到菱形定义，而后再研究菱形的性质．
教学准备
教师准备：教具：形如下面的示意图；矩形纸片，剪刀．图片．
学生准备：复习平行四边形内容，预习菱形内容P106～P108；收集有关生活中的菱形图片．剪刀和矩形纸片．
学法解析21世纪教育网
1．认知起点：已学过平行四边形概念、性质、判定，积累一定的推理方法和经验．
2．知识线索：
现实情境
3．学习方式：观察、分析、合作交流．
教学过程
一、创设情境，操作感知
【活动方略】
活动素材：现实生活中的菱形图片（相片），实物等．
活动方式：分四人小组先在组内交流学生自己收集的有关菱形的图片，实物等．然后进行全班性交流．
活动目标：在教师的引导下，认识菱形，感受菱形的生活价值．
引入定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【操作感知】
活动教具：活动式木框，如下图:
活动过程：教师拿出平行四边形木框（可活动的），操作给学生看，让学生体会到：平移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，可以得到一个菱形，说明菱形也是平行四边形的特例，因此，菱形也具有平行四边形的所有性质．
【设计意图】让学生收集并在课堂上交流生活中的菱形图片，调动学生的求知欲，激发学生的探究意识，再通过教师的教具操作感受菱形的定义．
二、应用学具，探究新知
【活动方略】
问题牵引：请同学们拿出矩形纸片，对折两次，然后沿课本图19．2-8中虚线剪下，再打开，看一看得到了什么图形？观察这个图形（菱形），它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴在什么位置上？你能找出图中相等的线段和角吗？
活动过程：教师使用投影仪，显示“问题牵引”后，和同学们一起进行实践操作，观察剪下来的图形是怎样的图形．实际上，学生很容易发现，剪下的一个图形是菱形．
学生活动：动手操作后发现：菱形是轴对称图形，对称轴就是它对角线所在的直线（两条）．从中利用轴对称图形的性质可和：
菱形性质：（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
教师提问：菱形的面积是怎样求得的呢？能有几种求面积的方法？
学生活动：首先学生想到菱形也是平行四边形，因此，它可以利用菱形的底×菱形的高的方法求得面积，即S=BC·h．（右图）
引导观察：在教师的引导下，学生很快发现菱形的对角线将菱形切成4个全等的直角三角形，以此可推出菱形的面积S=4×Rt△BOA=BD·AC，即菱形面积也可以等于对角线乘积的一半．
【设计意图】充分地应用直观学具的制作，发现菱形所具有的性质，激发课堂学习的热情．
三、范例点击，应用所学
例2 （投影显示）如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m2）．
思路点拨：（1）由于花坛是菱形的，要求对角线AC和BD．只要求出BO，AO即可，而BO、AO又都在一个△ABO中，因此，可以通过求出∠ABO=30°，得到AO=AB=10m，即AC=20，再应用勾股定理求出BD值．（2）也可利用等边三角形来解决．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，分析例2，引导学生把问题归结到利用直角三角形ABO或等边三角形ABC中去解决；先分析课本的解题方法，然后再启发学生从等边三角形的知识来求解．
学生活动：参与教师讲例2，提出不同的思路（1）利用直角三角形有关知识．（2）利用等边三角形有关知识．（1）方法见课本；（2）方法：由于菱形ABCD，使得AB=AC，又因为∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，即AC=AB=20m，AO=10m，再应用勾股定理求BO．求得面积S=AC·BD≈346.4（m2）．
【设计意图】
采取启发式教学，发挥学生的潜能，培养一题多解的思想．
【合作交流】
已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，且AC=6，BD=8，求菱形的高. 21世纪教育网
菱形具有平行四边形的所有性质，S菱表ABCD=BCh．① 而菱形自身的特性使得S菱形ABCD=AC·BD，② 将①②联立可以求出h的值．
【活动方略】
教师活动：制作投影仪，组织学生讨论，请部分学生上台演示．
学生活动：先独立思考，再与同学交流；踊跃上台演示，从中理解两个菱形公式的应用．×6×8＝5×h，h=．
【设计意图】
补充这题题目的思想是对菱形的两个面积公式进行综合应用．
四、随堂练习，巩固深化
【课堂演练】
演练题1：如图，在菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，求证：AE=AF．（用两种证法）[
思路点拨：本题证法有四种，证法1：利用菱形性质证得∠B=∠D，AB=AD，BE=DF，再运用△ABE≌△ADF（SAS）可以证出AE=AF，证法2：连线AC，证△AEC≌△AFC（SAS）．
【活动方略】
教师活动：板书“课堂演练题”，引导学生一题多证．请部分学生上台“演示”．
学生活动：课堂练习，然后上台演示自己的练习，同伴相互交流．
【课堂演练】
演练题2：
演练题3：求证：连结菱形四边中点所得的四边形是矩形（要求画出图形，写出已知、求证，并证明）21世纪教育网
五、课堂总结，发展潜能
1．菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
2．菱形性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都相等．
（2）角的性质：对角相等．
（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
（4）对称性：是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线．
六、布置作业，专题突破
1．课本
2．选用课时作业优化设计
七、课后反思
第三课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．菱形的两条对角线长分别为16cm，12cm，那么这个菱形的高是_______．
2．已知菱形两邻角的比是1：2，周长是40cm，则较短对角线长是________．
3．菱形的面积为50cm2，一个内角为30°，则其边长为______．
4．菱形一边与两条对角线所构成两角之比为2：7，则它的各角为______．
5．菱形ABCD，若∠A：∠B=2：1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（ ）．
A．相等 B．互相垂直且不平分
C．互相平分且不垂直 D．垂直且平分
6．在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，菱形ABCD面积等于24cm2，AE=6cm，则AB长为（ ）．
A．12cm B．8cm C．4cm D．2cm
【提升“学力”】
7．近几年，城市里流行一种新式的衣帽架，它是用木条构成的几个连续的菱形（如图），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你能根据形状，说出它的好处和固定方法吗？
【聚焦“中考”】
8．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，作EF∥BC，交AC于点F，如果EF=4，那么CD的长为（ ）．
A．2 B．4 C．6 D．8
9．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF．
（1）求证：△ABE≌△ADF．
（2）过点C作CG∥EA，交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数．
答案:
1．9.6cm 2．10cm 3．略 4．40° 140° 21世纪教育网
5．D 6．C 7．略 8．D 9．（1）略，（2）∠AHC=100°
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19.2.1矩形（2）
第二课时
教学目标
知识与技能：
理解矩形的判定定理，能有理有据的推理证明，精练准确地书写表达．
过程与方法：
经历探索矩形的判定过程，培养实验探索能力．形成几何分析思路和方法．
情感态度与价值观：
注重推理能力的培养，会根据需要选择有关的结论证明．体会理论来自于实际的需要．
重难点、关键
重点：理解矩形的判定定理，培养分析思路．
难点：培养几何推理能力，形成分析思路．
关键：通过平行四边形的特殊图形切入本节课的问题，用平行四边形的概念迁移．
教学准备
教师准备：教具：仍用上一节课使用过的活动平行四边形框架，制作投影片．
学生准备：复习上一节内容，预习本节课内容．
学法解析
1．认知起点：在学行四边形有关概念、矩形的有关定义性质，积累了一定的推理方法的基础上继续学习本节课内容．
2．知识线索：
3．学习方式：采用知识迁移的手法，通过学生合作交流，探究解决本节课重点，突破难点．
教学过程
一、回顾交流，拓展延伸
【实验观察】
教师活动：拿出教具进行操作，将平行四边形渐变为矩形，然后在渐变的过程中明确判定一个四边形是矩形的第一种方法是通过定义来判定．
判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
教师解释：也就是说：证明一个四边形是矩形可先证这个四边形是平行四边形，然后再证这个平行四边形有一个角是直角．
学生活动：观察教具，回忆学过的矩形定义，深刻理解定义可作为矩形判定的方法之一，并归纳出通俗易记的构架：先证→再证一个Rt△→矩形．
教师活动：出示教具继续操作，探究，提问：当矩形一个角变成90°后，其余三个角同时都变成90°，两条对角线也成为相等的线段，那么这个变形中你们想到了什么呢？能从中得到怎样的启发？21世纪教育网
学生活动：观察、联想后，提出各自的见解：
考虑到对角线，因为四边形的两条对角线在保持互相平分的前提条件下，无论怎么伸缩，它们的长度都是相等时，平行四边形将变为矩形．（如图）
判定2：对角线相等的平行四边形是矩形．
教师解释：也就是说，要证明一个四边形是矩形，先证它是平行四边形，再证两条对角线相等．
学生归纳：先证→再证对角线相等→矩形．
学生活动：归纳后，口述证明思路：如上图a，可应用“SSS”证明由△ABC≌△DCB，得∠ABC=∠DCB=90°，由定义知，平行四边形ABCD是矩形．（教师也可以请学生上台“板演”）．
教师活动：组织学生阅读P105第十二行～第十五行的问题，联系生活实际，加深理解矩形判定定理的实际应用．
学生活动：观察课本图形，阅读问题，并与同伴交流，提出自己的看法：测量两组对边长是否分别相等的目的是看看它是否是平行四边形，再测量它们的两条对角线是否相等，目的是看看这个平行四边形是否是矩形．
【动手操作】
教师提问：请同学们按书本中李芳的画图步骤，画出一个四边形，感受一下李芳的判断，发表自己的见解．
学生活动：动手画图，发现李芳的判断是正确的，然后踊跃发表自己的看法，并上台“板演”自己的证明．
证明：如右图，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠BAD+∠ABC=180°，∴AD∥BC．
同理 ∠BAD+∠ADC=180°，∴AB∥DC
∴四边形ABCD是平行四边形，又∠ABC=90°，
∴得到四边形ABCD是矩形．
判定3：有三个角是直角的四边形是矩形．
归纳矩形的判定方法（学生进行）
【矩形判定】（投影显示）
（1）定义：是平行四边形，并且有一个是直角．
（2）角的定义：是平行四边形，并且有三个角是直角．
（3）对角线的关系：是平行四边形，并且两条对角线相等．
【设计意图】
采用直观教具进行观察，通过师生互动，解决重点问题，突破本节课难点．
二、范例点击，应用所学
例（补充材料）
如图，已知在四边形ABCD中，AC⊥DB，交于O、E、F、G、H分别是四边的中点，求证四边形EFGH是矩形．（教师用投影显示题目）．
【活动方略】
先让学生独立思考几分钟，然后教师再提问个别学生，让他讲出证明思路来，如果班上没有学生想的出证明思路，教师再进行启发、引导学生学会分析，找到切入点．
学生活动：独立分析，并拿出课堂笔记本练习．
教师活动：分析例子的证明思路，引导学生利用三角形中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形，切入点：凡中点问题都可以考虑用中位线定理，然后再引导学生去证一个角是直角，如证∠HEF=90°．
学生活动：在教师引导下，很快找到△ADC，并知道EH是这个三角形中位线，从而证得EHAC，同理FGAC，∴EHFG．证出四边形EFGH是平行四边形．然后通过AC⊥DB，可证出∠FEH=90°，从而证出四边形EFGH是矩形．
【设计意图】21世纪教育网
教师补充一个例题，帮助学生综合地应用几何知识，学会几何分析．
三、随堂练习，巩固深化
1．课本P106 “练习” 1，2
2．【探研时空】
如图，已知AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE，
求证：四边形BCED是矩形．（用两种证法）
（提示：证法1．连结DC，BE，利用先证平行四边形再证DC=BC可得，证法2．从定义出发）
四、课堂总结，发展潜能
判定一个四边形是矩形的方法与思路是：
五、布置作业，专题突破
1．课本P112 习题19．2 3
2．选用课时作业优化设计
六、课后反思
第二课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．矩形一条长边的中点与其对边的两端点的连线互相垂直，已知矩形的周长为24cm，则矩形的面积是_______．
2．如果矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，且∠BOC=120°，AB=3cm，那么矩形ABCD的面积为________．
3．下面命题正确的个数是（ ）．
（1）矩形是轴对称图形
（2）矩形的对角线大于夹在两对边间的任意线段
（3）两条对角线相等的四边形是矩形
（4）有两个角相等的平行四边形是矩形
（5）有两条对角线相等且互相平行的四边形是矩形
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（ ）．
A．57.5° B．32.5°
C．57.5°、33.5° D．57.5°、32.5°
5．如图，矩形ABCD中，AF=CE，求证：AECF是平行四边形．
[来源:21世纪教育网
【提升“学力”】
6．如图，在△ABC中，AB=AC，PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E、D、F，求证：PE-PF=CD．
【聚焦“中考”】
7．已知：如图，矩形ABCD中，AE=DE，BE的延长线与CD的延长线相交于点F，求证：S矩形ABCD=S△BCF．
8．若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，请你求出这个平行四边形的一个最小内角的值等于多少？
9．如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形AnBnCnDn．
（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；
（3）写出四边形AnBnCnDn的面积；
（4）求四边形A5B5C5D5的周长．
[来源:21世纪教育网
答案:
1．32cm2 2．9cm2 3．D 4．D
5．提示：用AF=CE， FC=AE，证AECF，只要证，△ADF≌△CEB，推出DF=BE
6．提示：过C作CM⊥EP，证矩形CMED，得ME=CD，证△CMP≌△CFP，得PM=PF
7．
证法一：在Rt△BAE和Rt△FDE中，
∵∠BAE=∠FDE=90°，AE=DE，∠AEB=∠DEF，
∴△BAE≌△FDE，∴AB=DF，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∴FC=2AB．
∴S=×BC×FC=BC·AB．
∵S矩形ABCD=BC·AB，∴S矩形ABCD=S△FBC；
证法二：∵∠BAE=∠FDE=90°，AE=DE．∠AEB=∠DEF，
∴△BAE≌△FDE．∴S△BAE = S△FDE，
∵S△FBC = S△FDE +S四边形BCDE，
∵S矩形ABCD=S△BAE+S四边形BCDE，
∴S矩形ABCD= S△BCF．
8．30° 21世纪教育网
9．（1）提示：用三角形中位线；（2）12，6；（3）24×；（4）
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19.2.3正方形
第五课时
教学目标
知识与技能：
了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质、判定方法．
过程与方法：
经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．
情感态度与价值观：
培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值．
重难点、关键
重点：探索正方形的性质与判定．
难点：掌握正方形的性质、判定的应用方法．
关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容．
教学准备
教师准备：投影仪，制作投影片，补充本节课内容，矩形纸片，活动的菱形框架．
学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形性质、判定，预习本节课内容．
学法解析
1．认知起点：已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识，在取得一定的经验的基础上，认知正方形．
2．知识线索：
3．学习方式：采用自导自主学习的方法解决重点，突破难点．21世纪教育网
教学过程
一、合作探究，导入新课
【显示投影片】
显示内容：展示生活中有关正方形的图片，幻灯片（多幅）．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题：
1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？四个角呢？
2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？
3．正方形具有哪些性质呢？
学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片．进行联想．易知：1．正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）．
实验活动：教师拿出矩形按课本P110图19．2～14左图折叠．然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的特殊矩形是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊矩形是正方形．
教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：
学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质，它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：
正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形．
正方形性质：
（1）边的性质：对边平行，四条边都相等．
（2）角的性质：四个角都是直角．
（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．
（4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴．
【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点．
二、实践应用，探究新知
【课堂演练】（投影显示）
演练题1：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，且分别与OA、OB相交于M、N．
求证：（1）BM=CN，（2）BM⊥CN．
思路点拨：本题是证明BM=CN，根据正方形性质，可以证明BM、CN所在△BOM与△CON是否全等．（2）在（1）的基础上完成，欲证BM⊥CN．只需证∠5+∠CMG=90°，就可以了．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪．组织学生演练，巡视，关注“学困生”；等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流．
学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题．
证：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠COB=∠BOM=90°，OC=OB，
∵MN∥AB，∴∠1=∠2，∠ABO=∠3，
又∵∠1=∠ABO=45°，∴∠2=∠3，∴OM=ON，
∴△CON≌△BOM，∴BM=CN．
（2）由（1）知△BOM≌△CON，
∴∠4=∠5，∵∠4+∠BMO=90°，
∴∠5+∠BMC=90°，∴∠CGM=90°，∴BM⊥CN．
演练题2：已知：如图，正方形ABCD中，点E在AD边上，且AE=AD，F为AB的中点，求证：△CEF是直角三角形．
思路点拨：本题要证∠EFC=90°，从已知条件分析可以得到只要利用勾股逆定理，就可以解决问题．这里应用到正方形性质．
【活动方略】
教师活动：用投影仪显示演练题2，组织学生应用正方形和勾股逆定理分析解析．并请同学上讲台分析思路，板演．
学生活动：先独立分析，找到证明思路是利用勾股定理的逆定理解决问题．
证明：设AB=4a，在正方形ABCD中，DC=BC=4a，AF=FB=2a，AE=a，DE=3a．
∵∠B=∠A=∠D=90°，由勾股定理得：
EF2+CF2=（AE2+AF2）+（CB2+BF2）=（a2+4a2）+（16a2+4a2）=25a2，
CE2=CD2+DE2=（4a）2+（3a）2=25a2，
∴EF2+CF2=CE2．
由勾股定理的逆定理可知△CEF是直角三角形．
【设计意图】补充两道关于正方形性质应用的演练题，提高学生的应用能力．
三、继续探究，学习新知
【问题牵引】
教师提问：怎样判定一个四边形是正方形呢？把你所想的判定方法写出来，并和同学们进行交流、证明．
学生活动：分四人小组进行合作讨论，归纳总结出判定正方形的方法如下：
判定方法：
1．是矩形，并且有一组邻边相等．
2．是菱形，并且有一个角是直角．
【投影显示】
例4 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
思路点拨：这是一道文字题，首先应该根据题意画出几何图形，然后依据图形写出已知求证，最后证明，本题可利用正方形性质：对角线互相垂直平分且相等，证出问题．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，画出图形，讲请怎样写出已知、求证．
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
【评析】这里教师可以让学生上台书写已知、求证．然后再纠正写法上的不足．
学生活动：分析文字题后，举手上讲台“板演”．上述证明思路：因为四边形ABCD是正方形，所以AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO．∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形．且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
四、随堂练习，巩固深化
1．课本P112 练习1，2，3．
2．【探研时空】
如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形．
请拼成尽可能多的四边形．要求：每次拼四边形全部用上这四个直角三角形，但这些三角形互不重叠且不留空隙．
思路点拨：思路1：特殊四边形，包括（1）菱形，除正方形之外只有一个，其边长为，对角线为2和4．图形略．（2）矩形，除正方形之外只有一个，其长为4，宽为1．图形略．（3）梯形，两个，一个是上底为1，下底为3，高为2的等腰梯形；另一个是上底为2，下底为6，高为1的等腰梯形，图形略．（4）一般的平行四边形，共4个，其一，两组对边分别为2和，高为2和；其二，两组对边分别为1和2，高为4和；其三，两组对边分别为2和2，高为2和；其四，两组对边分别为4和，高为1和，图形略．思路2：一般凸四边形共两个，一个的四条边长分别为、2、2；另一个的四条边长分别为1、3、、，图形略．
【评析】这是一道江苏省徐州市2001年中考题，是很好的分类讨论题．
五、课堂总结，发展潜能
【问题提出】
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论、交流，并用列表和框图表示出来．
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质（投影显示）
边 角 对角线[21世纪教育网
平行四边形 21世纪教育网
矩形
菱形
正方形
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
平行四边形
矩形
菱形
正方形
六、布置作业，专题突破
七、课后反思
21世纪教育网
第五课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．正方形ABCD的对角线相交于O，若AB=2，那么△ABO的周长是_______，面积是________．
2．如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE=AC，AE与CD相交于点F，则∠AFC=________．
3．顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（ ）．
A． B． C． D．
4．四条边都相等的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上结论都不对
5．如图所示的运动：正方形ABCD和正方形AKCM中，将正方形AKLM沿点A向左旋转某个角度．连线段MD、KB，它们能相等吗？请证明你的结论．
【提升“学力”】
6．如图，E是正方形ABCD中CD边延长线上一点，CF⊥AE，F是垂足，CF交AD或AD延长线于G，试判断当点E在CD的延长线上移动时，∠DEG的大小是否变化，若变化，请求出变化范围；若不变化，请求出其度数．
【聚焦“中考”】
7．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：DE=DF．
（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）
8．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为多少？
9．今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出的三张正方形图纸上分别画图，并简述画图步骤，这里图纸略）
答案:
1．2+2-1 2．112.5° 3．A 4．B
5．提示：证△ADM≌△AKB
6．不变，值为45°，可利用△CDG≌△ADE，证明DE=DG，得出结果
7．（1）提示：证△DEB≌△DFC，[来源:21世纪教育网
（2）∠A=900167，四边形AFDE是平行四边形等（方法很多）
8． 9．叙述有道理即可．
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19．2.1 矩形(1)
第一课时
教学目标
知识与技能：
了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．
过程与方法：
经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．
情感态度与价值观：
培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．
重难点、关键
重点：掌握矩形的性质，并学会应用．
难点：理解矩形的特殊性．
关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．
教学准备
教师准备：投影仪，收集有关矩形的图片，制作教具．（图19．2-2）
学生准备：复习平行四边形性质，预习矩形这节内容．
学法解析
1．认知起点：已经学习了三角形、平行四边形，积累了一定的经验的基础上学习本节课内容．
2．知识线索：情境与操作→平行四边形→矩形→矩形性质．
3．学习方式：观察、操作、感知其演变，以合作交流的学习方式突破难点．
教学过程
一、联系生活，形象感知
【显示投影片】
教师活动：将收集来的有关长方形图片，播放出来，让学生进行感性认识，然后定义出矩形的概念．
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（也就是小学学习过的长方形）．
教师活动：介绍完矩形概念后，为了加深理解也为了继续研究矩形的性质，拿出教具．同学生一起探究下面问题：
问题1：改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？（教师提问）[来源:21世纪教育网
学生活动：观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，是属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有性质．
问题2：既然它具有平行四边形的所有性质，那么矩形是否具有它独特的性质呢？（教师提问）
学生活动：由平行四边形对边平行以及刚才变角∠α为90°可以得到∠α的补角也是90°，从而得到矩形四个角都是直角．
评析：实际上，在小学学生已经学过长方形四个角都是90°，这里学生不难理解．
教师活动：用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系，并要求学生证明（口述）．
学生活动：观察发现：矩形的两条对角线相等，口述证明过程是：充分利用（SAS）三角形全等来证明．
口述：∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=DC[来源:21世纪教育网
又∵BC为公共边
∴△ABC≌△DCB（SAS）
∴AC=BD
教师提问：AO=_____AC，BO=______BD呢？（，）BO是Rt△ABC的什么线？由此你可以得到什么结论？
学生活动：观察、思考后发现AO=AC，BO=BD，BO是Rt△ABC的中线．由此归纳直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半（师生回忆）．
【设计意图】采用观察、操作、交流、演绎的手法来解决重点突破难点．
二、范例点击，应用所学
例1 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．（投影显示）
思路点拨：利用矩形对角线相等且平分得到OA=OB，由于∠AOB=60°，因此，可以发现△AOB为等边三角形，这样可求出OA=AB=4cm，∴AC=BD=2OA=8cm．
【活动方略】
教师活动：板书例1，分析例1的思路，教会学生解题分析法，然后板书解题过程（课本P104）
学生活动：参与教师讲例，总结几何分析思路．
【问题探究】（投影显示）
如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD是△ABC的高，E是AB的中点，求证：DE=AC．
思路点拨：本题可从E是AB的中点切入，考虑应用三角形中位线定理．应用三角形中位线必需找到另一个中点．分析可知：可以取BC中点F，也可以取AC的中点G为尝试．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，引导、启发学生的分析思路，教会学生如何书写辅助线．
学生活动：分四人小组，合作探索，想出几种不同的证法．
证法一：取BC的中点F，连结EF、DF，如图（1）
∵E为AB中点，∴EFAC，∴∠FEB=∠A，
∵∠A=2∠B，∴∠FEB=2∠B．DF=BC=BF，21世纪教育网
∴∠1=∠B，∴∠FEB=2∠B=2∠1=∠1+∠2，
∴∠1=∠2，∴DE=EF=AC．
证法二：取AC的中点G，连结DG、EG，∵CD是△ABC的高，
∴在Rt△ADC中，DG=AC=AG，
∵E是AB的中点，∴GE∥BC，∴∠1=∠B．
∴∠GDA=∠A=2∠B=2∠1，
又∠GDA=∠1+∠2，∴∠1+∠2=2∠1，
∴∠2=∠1，∴DE=DG=AC．
【设计意图】
补充这道演练题是训练学生的应用能力，提高一题多解的意识，形成几何思路．
三、随堂练习，巩固深化
1．课本P104 “练习”1，2，3．
2．【探研时空】
已知：如图，从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线相交于点E．求证：AC=CE．
思路点拨：要证AC=CE，可以考虑∠E=∠CAE，AE平分∠BAD，所以∠DAE=∠BAE，因此，从中发现∠CAE=∠DAE-∠DAC．
另外一个条件是CE⊥BD，这样过A作AF⊥BD于F，则AF∥CE，可以将∠E转化为∠FAE，∠FAE=∠BAE-∠FAE．现在只要证明∠BAF=∠DAC即可，而实际上，∠BAF=∠BDA=∠DAC，问题迎刃而解．
四、课堂总结，发展潜能
1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行四边形所有性质．
2．性质归纳：
（1）边的性质：对边平行且相等．
（2）角的性质：四个角都是直角．
（3）对角线性质：对角线互相平分且相等．
（4）对称性：矩形是轴对称图形．
五、布置作业，专题突破
六、课后反思
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第一课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，对角线长是________，两边长分别等于________．
2．矩形周长为36cm，一边中点与对边两顶点的连线所夹的角是直角，则矩形各边长是______．
3．已知矩形ABCD中，O是AC、BD的交点，OC=BC，则∠CAB=_______．[来源:21世纪教育网]
4．如图，矩形ABCD中，E是BC中点，∠BAE=30°，AE=4，则AC=______．
5．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取上一点M，使AM=AB，则∠MBC=_______．
6．矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（ ）．
A．对角相等 B．对角线相等 C．对边相等 D．对角线互相平分
7．如果E是矩形ABCD中AB的中点，那么△AED的面积：矩形ABCD的面积值为（ ）．
A． B． C． D．
8．已知：如图，矩形ABCD中，EF⊥CE，EF=CE，DE=2，矩形的周长为16，求AE的长．
【提升“学力”】
9．如图，矩形ABCD中，DF平分∠ADC交AC于E，交BC于F，∠BDF=15°，求∠DOC、∠COF的度数．
【聚焦“中考”】
10．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、DC上，BF∥DE，若AD=12cm，AB=7cm，且AE：EB=5：2，求阴影部分EBFD的面积．21世纪教育网
11．小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料，（裁剪两种布料时，均不计余料），若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料多少匹呢？
答案:
1．10，5，5 2．6cm，12cm，6cm，12cm 3．30° 4．2 5．15°
6．B 7．C 8．3
9．60°，75°
提示：∠ODC=∠ODE+∠EDC=15°+45°=60°，
∴△ODC是等边三角形，∴∠DOC=60°，
∵OC=CD，CD=CF，∴OC=CF，
又∵∠OCF=90°-60°=30°，
∴∠COF==75°．
10．24cm2 11．30匹
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