1-1 第一章常用逻辑用语复习
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课件24张PPT。第一章《常用逻辑用语》
复习归纳总结
1．学习命题，首先根据能否判断语句的真假看是否是命题，掌握四种命题的组成及互为逆否命题的等价性．
2．由于原命题和它的逆否命题是等价的，所以当一个命题的真假不易判断时，往往可以转而判断它的逆否命题的真假；有的命题不易直接证明时，就可以改证它的逆否命题成立，所以反证法的实质就是证明“原命题的逆否命题成立”，所以教材在阐述了四种命题后安排了用反证法的例题，可以加深对命题等价性理解．3．要注意：否命题与命题的否定是不同的，如果原命题是“若p则q”，那么这个原命题的否命题是“若非p，则非q”，而这个命题的否定是“若p则非q”，可见：否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论．
4．充要条件的判断是通过判断命题“若p则q”的真假来判断的．因此，充要条件与命题的四种形式之间的关系密切，可相互转化．
充分、必要条件问题涉及的知识面广，要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念．5．准确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，熟练判断“p∧q”、“p∨q”、“?p”形式的命题的真假．
6．准确区分全称命题和特称命题的差异，能用简洁、自然的语言表述含有一个量词的命题的否定．1．命题及其真假判断
(1)可以判断真假的陈述句为命题、反问句也是命题，但疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．
[例1] 下列语句哪些是命题，是命题的判断其真假．
①方程x2－2x＝0的根是自然数；
②sin(α＋β)＝sinα＋sinβ(α，β是任意角)；
③垂直于同一个平面的两个平面平行；
④函数y＝12x＋1是单调增函数；
⑤非典型肺炎是怎样传染的？
⑥奇数的平方仍是奇数；⑦好人一生平安！
⑧解方程3x＋1＝0；
⑨方程3x＋1＝0只有一个解；
⑩3x＋1＝0.
[解析] ①②③④⑥⑨都是命题，其中①④⑥⑨为真命题．
[点评] ⑤是疑问句，⑦是感叹句，⑧是祈使句都不是命题，⑩中由于x的值未给，故无法判断此句的真假，因而不是命题．[误区警示] 含有未知数的等式、不等式，当式子成立与否与未知数的值有关时，它不是命题．
(2)复合命题的真假判断是个难点，当直接判断不易着手时，可转为判断它的等价命题——逆否命题，这是一种重要的处理技巧．
[例2] 判断命题：“若a＋b≠7，则a≠3，且b≠4”的真假．
[解析] 其逆否命题为：“若a＝3或a＝4，则a＋b＝7”．显然这是一个假命题，
∴原命题为假．
2．四种命题的关系
(1)注意：若p，则q，不能写作“p?q”，因为前者真假未知，而“p?q”是说“若p，则q”是一个真命题．(2)原命题与其逆否命题等价，原命题的逆命题与原命题的否命题也等价．从而四种命题中有两对同真同假．
(3)互逆或互否的两个命题不等价，其真假没有联系．
[例3] 写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判定其真假：
(1)?n∈N，若n是完全平方数，则n∈N；
(2)?a，b∈R，如果a＝b，则a2＝ab；
(3)如果x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(4)如果a，b都是奇数，则ab必是奇数．
(5)对于平面向量a，b，c，若a·b＝a·c，则b＝c.(3)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或7.(真)
否命题：若x≠3且x≠7，则(x－3)(x－7)≠0.(真)
逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0，则x≠3且x≠7.(真)
(4)逆命题：若ab是奇数，则a、b都是奇数．(假)
否命题：若ab不全是奇数，则ab不是奇数．(假)
逆否命题：若ab不是奇数，则a、b不全是奇数．(真)
(5)逆命题：对于平面向量a、b、c，若b＝c，则a·b＝a·c.(真)
否命题：对于平面向量a、b、c，若a·b≠a·c，则b≠c.(真)
逆否命题：对于平面向量a、b、c，若b≠c，则a·b≠a·c.(假)[误区警示] ①“p或q”的否定为“非p且非q”；“p且q”的否定为“非p或非q”．
②实数xy＝0，则有x＝0或y＝0，向量a、b满足a·b＝a·c不能得出b＝c.
3．量词与复合命题
(1)逻辑联结词“且”、“或”、“非”与集合的“交”、“并”、“补”有着密切的联系，借助集合的运算可以帮助对逻辑联结词的理解．逻辑联结词“且”、“或”还可借助电路的“串联”、“并联”来类比理解，如图．
含有逻辑联结词的复合命题真假判断，要以真值表为标准．[例4] 分析下列命题的构成，并用“∧”、“∨”或“非”表示出来：
(1)x＋1是x3＋x2－x－1与x3＋1的公因式；
(2)方程x2＝1的解是x＝±1；
(3)点(3,4)不在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上；
(4)3≥3.
[解析] (1)p∧q形式，其中p：x＋1是x3＋x2－x－1的因式，q：x＋1是x3＋1的因式．
(2)p∨q形式，其中p：方程x2＝1的一个解是x＝1，q：方程x2＝1的一个解是x＝－1.
(3)非p形式，其中p：点(3,4)在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上．
(4)p∨q形式，其中p：3>3，q：3＝3.[误区警示] 若把方程x2＝1的解是x＝±1，写成简单命题p：x2＝1的解是x＝1，q：x2＝1的解是x＝－1，p∨q形式，就错了，从真值表判断，p，q都是假命题，但原命题为真命题．[例5] 写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：有些三角形是直角三角形．
(2)p：方程2x＋1＝0有一负实根．
(3)p：三角形的两边之和大于第三边．
(4)p：存在实数q<0，使方程x2＋2x＋q＝0无实根．
[解析] (1)非p：“没有一个三角形是直角三角形”．(假)
(2)非p：“方程2x＋1＝0无负实根”．(假)
(3)非p：“存在某个三角形，两边之和小于或等于第三边”．(假)(4)非p：“对任意实数q<0，方程x2＋2x＋q＝0都有实数根”．(真)
4．充要条件
(1)若“p?q”，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即：有了p成立，则一定有q成立，即使p不成立，q也可能成立；q不成立，则p一定不成立．
(2)区分“p是q的充要条件”，“p的充要条件是q”说法的差异．
[例6] 已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的 ( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件．
[答案] B
[解析] 由a－c>b－d变形为a－b>c－d，
因为c>d，所以c－d>0，所以a－b>0，即a>b，
∴a－c>b－d?a>b.
而a>b并不能推出a－c>b－d.
所以a>b是a－c>b－d的必要而不充分条件．故选B.[例7] 已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
[解析] 解不等式x2－8x－20>0得
p：A＝{x|x>10，或x<－2}．
解不等式x2－2x＋1－a2>0得
q：B＝{x|x>1＋a，或x<1－a，a>0}．
依题意，p?q但q?/ p，说明A 是 B的真子集.
5．反证法
如果遇到正面证明一个问题比较困难时，可通过假设结论的反面成立，从假设出发，推证出明显的矛盾，从而肯定假设不正确，原结论正确．这种方法适合于结论本身为否定形式或含有“至少”“至多”等限制词的情况．
复习归纳总结
1．学习命题，首先根据能否判断语句的真假看是否是命题，掌握四种命题的组成及互为逆否命题的等价性．
2．由于原命题和它的逆否命题是等价的，所以当一个命题的真假不易判断时，往往可以转而判断它的逆否命题的真假；有的命题不易直接证明时，就可以改证它的逆否命题成立，所以反证法的实质就是证明“原命题的逆否命题成立”，所以教材在阐述了四种命题后安排了用反证法的例题，可以加深对命题等价性理解．3．要注意：否命题与命题的否定是不同的，如果原命题是“若p则q”，那么这个原命题的否命题是“若非p，则非q”，而这个命题的否定是“若p则非q”，可见：否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论．
4．充要条件的判断是通过判断命题“若p则q”的真假来判断的．因此，充要条件与命题的四种形式之间的关系密切，可相互转化．
充分、必要条件问题涉及的知识面广，要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念．5．准确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，熟练判断“p∧q”、“p∨q”、“?p”形式的命题的真假．
6．准确区分全称命题和特称命题的差异，能用简洁、自然的语言表述含有一个量词的命题的否定．1．命题及其真假判断
(1)可以判断真假的陈述句为命题、反问句也是命题，但疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．
[例1] 下列语句哪些是命题，是命题的判断其真假．
①方程x2－2x＝0的根是自然数；
②sin(α＋β)＝sinα＋sinβ(α，β是任意角)；
③垂直于同一个平面的两个平面平行；
④函数y＝12x＋1是单调增函数；
⑤非典型肺炎是怎样传染的？
⑥奇数的平方仍是奇数；⑦好人一生平安！
⑧解方程3x＋1＝0；
⑨方程3x＋1＝0只有一个解；
⑩3x＋1＝0.
[解析] ①②③④⑥⑨都是命题，其中①④⑥⑨为真命题．
[点评] ⑤是疑问句，⑦是感叹句，⑧是祈使句都不是命题，⑩中由于x的值未给，故无法判断此句的真假，因而不是命题．[误区警示] 含有未知数的等式、不等式，当式子成立与否与未知数的值有关时，它不是命题．
(2)复合命题的真假判断是个难点，当直接判断不易着手时，可转为判断它的等价命题——逆否命题，这是一种重要的处理技巧．
[例2] 判断命题：“若a＋b≠7，则a≠3，且b≠4”的真假．
[解析] 其逆否命题为：“若a＝3或a＝4，则a＋b＝7”．显然这是一个假命题，
∴原命题为假．
2．四种命题的关系
(1)注意：若p，则q，不能写作“p?q”，因为前者真假未知，而“p?q”是说“若p，则q”是一个真命题．(2)原命题与其逆否命题等价，原命题的逆命题与原命题的否命题也等价．从而四种命题中有两对同真同假．
(3)互逆或互否的两个命题不等价，其真假没有联系．
[例3] 写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判定其真假：
(1)?n∈N，若n是完全平方数，则n∈N；
(2)?a，b∈R，如果a＝b，则a2＝ab；
(3)如果x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(4)如果a，b都是奇数，则ab必是奇数．
(5)对于平面向量a，b，c，若a·b＝a·c，则b＝c.(3)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或7.(真)
否命题：若x≠3且x≠7，则(x－3)(x－7)≠0.(真)
逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0，则x≠3且x≠7.(真)
(4)逆命题：若ab是奇数，则a、b都是奇数．(假)
否命题：若ab不全是奇数，则ab不是奇数．(假)
逆否命题：若ab不是奇数，则a、b不全是奇数．(真)
(5)逆命题：对于平面向量a、b、c，若b＝c，则a·b＝a·c.(真)
否命题：对于平面向量a、b、c，若a·b≠a·c，则b≠c.(真)
逆否命题：对于平面向量a、b、c，若b≠c，则a·b≠a·c.(假)[误区警示] ①“p或q”的否定为“非p且非q”；“p且q”的否定为“非p或非q”．
②实数xy＝0，则有x＝0或y＝0，向量a、b满足a·b＝a·c不能得出b＝c.
3．量词与复合命题
(1)逻辑联结词“且”、“或”、“非”与集合的“交”、“并”、“补”有着密切的联系，借助集合的运算可以帮助对逻辑联结词的理解．逻辑联结词“且”、“或”还可借助电路的“串联”、“并联”来类比理解，如图．
含有逻辑联结词的复合命题真假判断，要以真值表为标准．[例4] 分析下列命题的构成，并用“∧”、“∨”或“非”表示出来：
(1)x＋1是x3＋x2－x－1与x3＋1的公因式；
(2)方程x2＝1的解是x＝±1；
(3)点(3,4)不在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上；
(4)3≥3.
[解析] (1)p∧q形式，其中p：x＋1是x3＋x2－x－1的因式，q：x＋1是x3＋1的因式．
(2)p∨q形式，其中p：方程x2＝1的一个解是x＝1，q：方程x2＝1的一个解是x＝－1.
(3)非p形式，其中p：点(3,4)在圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0上．
(4)p∨q形式，其中p：3>3，q：3＝3.[误区警示] 若把方程x2＝1的解是x＝±1，写成简单命题p：x2＝1的解是x＝1，q：x2＝1的解是x＝－1，p∨q形式，就错了，从真值表判断，p，q都是假命题，但原命题为真命题．[例5] 写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：有些三角形是直角三角形．
(2)p：方程2x＋1＝0有一负实根．
(3)p：三角形的两边之和大于第三边．
(4)p：存在实数q<0，使方程x2＋2x＋q＝0无实根．
[解析] (1)非p：“没有一个三角形是直角三角形”．(假)
(2)非p：“方程2x＋1＝0无负实根”．(假)
(3)非p：“存在某个三角形，两边之和小于或等于第三边”．(假)(4)非p：“对任意实数q<0，方程x2＋2x＋q＝0都有实数根”．(真)
4．充要条件
(1)若“p?q”，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即：有了p成立，则一定有q成立，即使p不成立，q也可能成立；q不成立，则p一定不成立．
(2)区分“p是q的充要条件”，“p的充要条件是q”说法的差异．
[例6] 已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的 ( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件．
[答案] B
[解析] 由a－c>b－d变形为a－b>c－d，
因为c>d，所以c－d>0，所以a－b>0，即a>b，
∴a－c>b－d?a>b.
而a>b并不能推出a－c>b－d.
所以a>b是a－c>b－d的必要而不充分条件．故选B.[例7] 已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
[解析] 解不等式x2－8x－20>0得
p：A＝{x|x>10，或x<－2}．
解不等式x2－2x＋1－a2>0得
q：B＝{x|x>1＋a，或x<1－a，a>0}．
依题意，p?q但q?/ p，说明A 是 B的真子集.
5．反证法
如果遇到正面证明一个问题比较困难时，可通过假设结论的反面成立，从假设出发，推证出明显的矛盾，从而肯定假设不正确，原结论正确．这种方法适合于结论本身为否定形式或含有“至少”“至多”等限制词的情况．