数学（苏教版选修2-2）：1.4《导数在实际生活中的应用》复习教案

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1.4导数在实际生活中的应用（1）
[教学目标]
一、知识与技能：会将实际问题转化为数学函数求最值问题，掌握其解决的步骤与方法。
二、过程与方法：通过一个例题的处理说明书写方法步骤及导数法应用的步骤，通过变形及练习加以强化
三、情感态度和价值观：体会事物联系性的观点
[教学难点、重点]导数法求极值与最值
[教学流程]
一、复习：1、用导数法求函数的极值的方法和步骤是什么？（确（函数定义域）--求（求函数的导数）---列（列出函数的单调性表）--写（写出分界点处函数的极值））
2、求最值问题的步骤是什么？（先求极值，再与端点值比较得到最值）
问题：如何应用？又如何求实际问题的最值？
二、典型例题
例1、把长为60cm的铁丝围成矩形，长、宽各为多少时矩形的面积最大？
　　
说明1：解应用题一般有四个要点步骤：设--列--解--答
说明2：用导数法求函数的最值，与求函数极值方法类似，加一步与几个极值及端点值比较即可。
变形1：把长为60cm的铁丝分成两段，各围成一个正方形，怎样分法能使正方形面积和最小？（均30cm）
变形2：把长为60cm的铁丝分成两段，一个围成一个正方形，另一个围成圆，怎样分法能使正方形和圆的面积和最小？（一段为）
例2、有一个容积为256m3的方底无盖水箱，它的高为多少时，用料最省？
　
练习：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿折起，做成一个无盖的方底铁皮箱。当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？（40cm,16000cm3）
例3、某种圆柱形饮料溶积V一定，如何确定其高与底面半径，才能使它的用料最省？
　
　说明1：这种在定义域内仅有一个极值的函数称单峰函数
　说明2：用导数法求单峰函数最值，可以对一般的求法加以简化，其步骤为：
　S1:列：列出函数关系式
　S2:求：求函数的导数
　S3:述：说明函数在定义域内仅有一个极大（小）值，从而断定为函数的最大（小）值，必要时作答
　练习：一个底面半径为R,高为h的圆锥，求其内接圆柱体积的最大值（R2h）
三、小结：1、解应用题一般有四个要点步骤：设--列--解--答
2、用导数法求函数的最值，与求函数极值方法类似，加一步与几个极值及端点值比较即可，注意取最值时对应的自变量必须有解。
四、作业：[A]组：教材40---习题1，2，3， 6 （完成到试卷反面）
[补充习题B]
1、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为_____
2、如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10 000米2，鱼塘前面要留4米的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长宽分别为 _____
3、如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为_______时,其容积最大．
4、已知矩形的两个顶点位于x轴上，另外两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形面积最大时的边长
[C]组5、从边长2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t .
（Ⅰ）把铁盒的容积V表示为x的函数，并指出其定义域；
（Ⅱ）x为何值时，容积V有最大值.
[教后感想与作业情况]
1.4导数在实际生活中的应用(2)
[教学目标]
一、知识与技能：了解单峰函数的定义，掌握用导数法求单峰函数求最值的方法和步骤
二、过程与方法：通过例子说明单峰函数的直观定义，汇总用导数法求单峰函数的方法和步骤
三、情感态度和价值观：感受问题的简化功能
[重点、难点]单峰函数求最值的步骤与方法
[教学流程]
一、复习：如何用导数法求函数的最值？（求极值--比较）
思考问题：每个问题这样进行，能否进一步简化？
二、典型例练
例1、如图所示的电路图中，已知电源的内阻为r,电动势为E。当外电阻R多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？
说明：求最值要注意验证等号成立的条件，也就是说取得这样的值时对应的自变量必须有解
练习：已知在某点的照度与光的强度成正比，与距光源的距离的平方成反比。强度分别为a,b的两个光源A,B的距离为d,问在连接两个光源的线段AB上，何处照度最小？
例2、甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：
可变部分与速度 v (千米/时)的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元
I．把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域
　　II．为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
　　
　例3、在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x),出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x),R(x)-C(x)称为利润函数，记为P(x)
　(1)若C(x)=10-6x3-0.003x2+5x+1000,那么生产多少单位产品时，边际成本C/(x)最低？
　(2)如果C(x)=50x+10000,产品的单价p=100-0.01x,那么怎样定价可以使利润最大？
　
　
　（该题为教材P37---例5，必要时可以让学生自己阅读）
　练习：教材P39-练习第4题
　
三、小结：用导数法求单峰函数最值，其步骤为： S1:列：列出函数关系式，S2:求：求函数的导数
　S3:述：说明函数在定义域内仅有一个极大（小）值，从而断定为函数的最大（小）值，必要时作答
　四、作业：[A]组教材P40----4，5，7, （完成到试卷反面）
[补充习题B组]
1、做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积价格为b元，当造价最低时，锅炉的直每径与高的比为（ ）
2、过抛物线y=x2-3x上一点P的切线的倾斜角为45°，它与两坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积是 ．
3、在半径为的半圆内作一内接矩形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，梯形上底长为_________
4、海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/小时，当速度为10海里/小时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用（无论速度如何）都是每小时400元，如果甲乙两地相距800海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为__________
5、某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为:p=24200－x2,且生产x t的成本为:R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大 最大利润是多少 (利润=收入－成本)
[C组]
6、在长为100千米的铁路线AB旁的C处有一个工厂，工厂与铁路的距离CA为20千米.由铁路上的B处向工厂提供原料，公路与铁路每吨千米的货物运价比为5∶3，为节约运费，在铁路的D处修一货物转运站，设AD距离为x千米，沿CD直线修一条公路(如图).
　　(1)将每吨货物运费y(元)表示成x的函数.
　　(2)当x为何值时运费最省？
[教后感想与作业情况]
导数的复习与小结（复习讲义）
例2：用公式法求下列导数：
（1）y= （3）y=ln(x+sinx)
（2）y= （4）y=
例3、已知f (x) =2x2+3x f (1), f (0)=
例4（2001文）已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1，试确定a、b的值，并求出f(x)的单调区间。
练习：设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极值为-4
（1）、求a、b、c的值
（2）、求函数的单调区间
例5 若函数 在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围.
例6 已知 在R上是减函数，求a的取值范围.
例7 如图，已知曲线C1：y=x3(x≥0)与曲线C2:y=－2x3+3x(x≥0)交于O，A,直线x=t(0（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);
（Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t) 的最大值.
例8 已知函数 在 处取得极值。
(1)讨论 和 是函数 的极大值还是极小值；
(2)过点 作曲线 的切线，求此切线方程。
例9．
例10 已知函数f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx.
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值；
（Ⅱ）设0www.
O
t
x
y
D
B
A
C1
C2
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