广东揭阳市2010—2011学年度高中三年级数学学业水平考试

绝密★启用前
揭阳市2010—2011学年度高中三年级学业水平考试
数学试题(文科)
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时l20分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卷的选择题答题区上将对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卷的整洁,考试结束后，将试卷和答题卷一并交回．
参考公式：锥体的体积公式,其中S表示底面积，h表示高．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A. B. C. D.
2．已知复数z满足，则z为
A. B. C. D.
3．已知幂函数的图象过点，则的值为
A. 3 B. 4 C. 6 D. －6
4．若，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5．如果等差数列中，，那么的值为
A. 18 B. 27 C. 36 D. 54
6．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
7．已知则.
A. B. C. D.
8．已知双曲线上一点M的横坐标是3，则点M到双曲线左焦点的距离是
A.4 B. C. D.8
9．在中,若，，，则为.
A.1 B.2 C. D.
10．已知，若向区域上随机投1个点P，则点P落入区域的概率为
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11－13题）
11．命题P：“”的否定为： 、的真假为 .
12．如果执行右面的框图，输入，则输出的数S= .


第13题图 第12题图
13. 四棱锥的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如上图所示,根据图中的信息，在四棱锥的任两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线对数为 ．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14. (坐标系与参数方程选做题) 已知曲线C的参数方程为（为参数），则曲线C上的点到直线的距离的最大值为 .
15．(几何证明选讲选做题) 已知圆的半径为，从圆外一点
引切线和割线，圆心到的距离为，，
则切线的长为 ．
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本题满分12分）
已知函数, .
(1)求函数的最小正周期和值域；
(2)求函数的单调增区间．
17．（本题满分12分）
如图甲，在平面四边形ABCD中，已知
,,现将四边形ABCD沿BD折起，
使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱
AC、AD的中点.
（1）求证：DC平面ABC；
（2）设，求三棱锥A－BFE的体积.
18. （本题满分14分）
为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2.
表1:男生身高频数分布表
表2：:女生身高频数分布表
（1）求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图；
（2）估计该校学生身高在的概率；
（3）从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185190cm之间的概率。
19．（本题满分14分）
已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，，是它的左，右焦点．
（1）若，且，，求、的坐标；
（2）在（1）的条件下，过动点作以为圆心、以1为半径的圆的切线（是切点），且使，求动点的轨迹方程．
20.（本题满分14分）
已知数列中，，前项和为且
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为,求满足不等式的值.
21．（本题满分14分）
已知函数.(为常数)
（1）当时，求函数的最值；
（2）求函数在上的最值；
（3）试证明对任意的都有．
揭阳市2010—2011学年度高中三年级学业水平考试
数学试题(文科)参考答案及评分说明
一. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四. 只给整数分数．
一．选择题：BACBC BCDAD
解析：2．，选A.
3．由幂函数的图象过点得，则目,故选C.
5．由得，=，选C.
7．，选C.
8．依题意可求得点M的坐标为，左焦点,根据对称性只需求点到的距离,由两点的距离公式易得所求的距离为8，选D.
9．由余弦定理得：，选A.
10．由右图易得，满足条件A的区域面积,满足条件的区域面积
,故所求的概率,故选D.
二．填空题：11. 、真；12．；13.4；14. ；15. .
12．根据框图所体现的算法可知此算法为求和：
13．有PA与BC;PA与DB;PA与CD;PB与AD;PD与AB;PC与DB共6对互相垂直异面直线.
14．将曲线C的参数方程为化为直角坐标方程得，易得所求最大距离为.
15．解析：依题意，=2，5，=15，=
三．解答题：
16．解：（1）∵=
=------------------------------------------------------------------------3分
∴函数的最小正周期--------------------------------------------------------4分
又∵ ∴，
∴---------------------------------------------------------------------------6分
∴函数的值域为.----------------------------------------------------------7分
（2）由，----------------------------------------------------9分
得，----------------------------------------------------------------11分
∴函数的单调增区间为------------------------------------12分
17．解：（1）证明：在图甲中∵且 ∴ ,
即----------------------------------------------------------------------------------------2分
在图乙中，∵平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDC＝BD
∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD.------------------------------------------4分
又，∴DC⊥BC,且
∴DC平面ABC. -----------------------------------------------------6分
（2）解法1：∵E、F分别为AC、AD的中点
∴EF//CD，又由（1）知，DC平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，--------------------------------------------------------7分
∴-------------------------8分
在图甲中，∵, ∴,
由得 ,--------------------------10分
∴ ∴
∴-------------------------------------------12分
18．解（1）样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400.----2分
频率分布直方图如右图示：--------------------------------------------------6分
（2）由表1、表2知，样本中身高在的学生人数为：5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在
的频率-------------------------------------------------------8分
故由估计该校学生身高在
的概率.----------------------------9分
（3）样本中身高在180185cm之间的男生有4人，
设其编号为①②③④ 样本中身高在185190cm
之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥
从上述6人中任取2人的树状图为：
--12分
故从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率.---------------14分
[或从上述6人中任取2人的所有可能的情况为、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、
（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6）
共15种，其中至少有1人身高在185~190cm之间的可能结果有9种，故所求概率]
19．解：（1）依题意知-----------------①----------------------------------------------------------1分
∵ ∴， ∴---------3分
又，由椭圆定义可知，------②-----5分
由①②得． ∴、---------------------------------------7分
（2）由已知，即------9分
∵是的切线 ∴
∴------------------------------------------11分
设，则
即（或）------------------------------------------------13分
综上所述，所求动点的轨迹方程为：-------------------------------------14分
20．解：（1）解法1：由得
当时
∴ 即 ∴------------------4分
又，得 ∴ ∴----------------------------6分
∴数列是首项为1，公比为的等比数列
∴--------------------------------------------------------------7分
解法2：由得--------------------------------3分
即 ∴数列是首项为,公比为的等比数列----4分
∴ 即---------------------------------5分
当时
∴＝＝---------------------6分
显然当时上式也成立
∴.----------------------------------------------------------7分
（2）∵z数列是首项为1，公比为的等比数列，
∴数列是首项为1，公比为的等比数列，------------------------------8分
∴，---------------------------------------------9分
又∵
∴不等式 即-----------------------------10分
令并整理得，解得---------------------11分
即，将代入都符合，又
且函数在上为减函数，故当时都有-----------------13分
∴满足不等式的值为：1，2，3.----------------------------------14分
21．解：（1）当时，函数=，
∵，令得---------------------------------------2分
∵当时， ∴函数在上为减函数
∵当时 ∴函数在上为增函数
∴当时，函数有最小值，----------------------------------4分
（2）∵
若，则对任意的都有，∴函数在上为减函数
∴函数在上有最大值，没有最小值，；------------6分
若，令得
当时，，当时，函数在上为减函数
当时 ∴函数在上为增函数
∴当时，函数有最小值，-----------------------8分
当时，在恒有
∴函数在上为增函数，函数在有最小值，.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------9分
综上得：当时，函数在上有最大值，；
当时，函数有最小值，；
当时，函数在有最小值，．-----------------------------------10分
(3)证法1：由（1）知函数=在上有最小值1
即对任意的都有，即，---------------------------------------12分
当且仅当时“＝”成立
∵ ∴且
∴
∴对任意的都有．---------------------------------------------------------------14分
证法2：要证明对任意的都有，只须证明，-----------11分
设函数，
∵，令得-------------------------------12分
∵当时，当时
∴函数在上单调递减，在上单调递增
∴当时，函数取得最小值，
即对任意的，都有，当且仅当时“＝”成立
∵ ∴
∴
即对任意的都有．--------------------------------------------------------------14分