2.4.1抛物线及其标准方程（1）

(共15张PPT)
2.4.1
抛物线及其标准方程
一、温故而知新：
我们知道, 椭圆、双曲线有共同的几何特征：
都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和
一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.
(其中定点不在定直线上)
那么,当e = 1时，它又是什么曲线 ？？？
(1)当0·
M
F
l
0＜e ＜1
H
(2) 当e＞1时，是双曲线;
l
F
·
M
e＞1
H
m
（1）平面内一个定点F 和一条不经过定点F 的定直线
，交
的垂直平分线m
（3）作线段
于
（2）在直线
上任取点H ，过点H 作
二、活动探究：（一）探究一
几何画板观察
探究？
l
F
H
M
当e = 1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？
H2
M
m
M
m
H3
m
M
H4
m
M
H5
M1
M2
M5
M4
M3
探究？
点M随着H运动的过程中,总有 ，即平
面内与一个定点F 和定直线l 距离 的点的轨迹
是曲线C。我们把这样的一条曲线叫做 .
M
·
F
l
·
e=1
探究思考：
当e = 1时，即|MF|=|MH| ，
点M的轨迹是什么？
|MF|=|MH|
相等
抛物线
M
·
F
l
·
e=1
在平面内,与一个定点F 和一条不经过点F的定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线.
定点F 叫抛物线的焦点 ,
定直线l 叫抛物线的准线
准线
焦点
（二）抛物线的定义:
课题：抛物线的标准方程和几何性质
d
d 为 M 到 l 的距离
如何建立坐标系，
使抛物线的方程更简单呢？？？
M
·
F
l
·
e=1
问题一：
如何建立坐标系呢？
思考：抛物线是轴对称图形吗？
（三）探究二：抛物线的标准方程
那么焦点F 的坐标为 ，准线l 的方程为 ，
设抛物线上的点 ，
动点M 满足的几何条件是
则有
化简方程得
方程 叫做抛物线的标准方程。
问题二：抛物线的标准方程的推导
如图所示，取经过点F 且垂直l 的直线为x 轴，垂足为K，以FK 的中点O为原点，
建立直角坐标系，设
M
·
F
l
·
x
y
（四）数形结合思考：
在方程 中，因为一次项含x且其系数为 ，
可以得到焦点坐标 。
可以说：一次项x的系数是 ，则焦点在 上，
且焦点的横坐标等于一次项x的系数的四分之一，
同时也可以得到准线方程 。
反之，如果已知焦点的坐标是 ，
可以写出，抛物线方程 ；
同理，
如果已知准线方程是 ，
也可以写出抛物线方程 。
·
F
l
x
y
2p
2p
x轴
（1）已知抛物线标准方程是 ，
则它的焦点坐标为 ，准线l 的方程为 。
（2）已知抛物线的焦点坐标是F ，
则它的标准方程是 。
（3）已知抛物线的准线方程是 ，
则它的标准方程是 。
（4）点M与点F 的距离和它到直线
的距离相等，则点M的轨迹方程是 。
三、实践感知
例1：
变式：（5）点M与点F（4，0）的距离比它到直线 的距离
小1，求点M的轨迹方程。
M
F（4，0）
l
x
y
解法二：（直接法）
设M（x，y），
则M点到l的距离为d，
依题意
则
化简为
解法一：
可知原条件 M点到F （4，0）和到 距离相等，
由抛物线的定义，
点M的轨迹是以F （4，0）为焦点， 为准线的抛物线。
，所求方程是
l’
-5
-4
·
·
四、探究三：抛物线 的几何性质
抛物线
1.范围
2.对称性
3.顶点
4.离心率
·
F
l
x
y
M
·
，当 x 值越大， 的值也越大
坐标原点O
以－y代y，方程不变，这条抛物线关于 对称
x轴
五、实践感知
例2（1）抛物线 上一点 到焦点F 的距离是 。
（2）抛物线 上一点 到焦点F 的距离是 。
2
·
F（1，0）
x
y
焦点
准线
·
2
2
F
x
·
y
·
归纳总结：
抛物线 的焦半径公式是
（3）斜率为1的直线经过抛物线 的焦点，与抛物线相交
于两点A、B，求线段AB的长。
定义：抛物线上任意一点 与抛物线焦点F 的连线段，
叫做抛物线的焦半径，
归纳总结：抛物线 的
焦点弦长公式____________
引申探究：
（4）求经过抛物线 的焦点的弦AB的中点的轨迹方程。
·
F
l
x
y
A
·
·
·
B
M
1.抛物线的定义:
2.p的几何意义是:
焦点到准线的距离